河北省张家口市蔚县一中2023年高考数学预测卷

河北省张家口市蔚县一中2023年高考预测卷

〔数学理〕

2023、05

第I卷(选择题，共60分)

一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项

符合题目要求的〕

1.集合(xeN*∣]∈Zj中含有的元素个数为)

A.4B.6C.8D.12

22

2.方程,+」一=1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是)

2-k2k-∖

A.(5,2)B.(1,+∞)C.(1,2)D.,1

3.以下有关命题的说法中，正确的选项是)

A.命题“假设f>l,那么χ>l"的否命题为“假设f>1,那么χ≤l"

B.命题“假设α>∕?,贝IJtana>tan∕r的逆命题为真命题

命题“∈使得的否认是都有

C.3cR,/+%+1<0"“VxwR/+χ+l>0"甲I乙

10.036

D.-χ>∖"是“f+χ-2>0"的充分不必要条件20.(M1Z3

930.059

63I0.062∂

4.PM2.5是指大气中直径小于或等于2∙5微米的颗粒物，也称为可

3310.079

640.0S89

入肺颗粒物，右图是据北京某日早7点至晚8点甲、乙两个PM25

7ɑoθ29

监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎叶图，那么

甲、乙两地浓度的中位数较低的是()

A.甲B.乙

C.甲乙相等D.无法确定

假设：』)公=那么

5.J(2x+3+ln2(a>l),a的值是()

A.2B.3C.4D.6

6.某程序框图如右图所示，那么输出的结果是()

A.43B.44

C.45D.46

7.a,b是两个互相垂直的单位向量，且c∙α=c必=1,∣CI=J5,

那么对任意的正实数t,∣c+s+-M的最小值是)

A.2B.2√2

C.4D.4√2

8.一个几何体的三视图及尺寸如以下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰

三角形，该几何体的外表积是()

A.16Λ∕2+16^∙

B.16∙∖∕2+8?TN«n

C.8∙∖∕2+16τr

D.8+8TT

9.过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A,B两点，设双曲线的左顶点M,假设^MAB

是直角三角形，那么此双曲线的离心率e的值为（）

3

A.-B.2C.√2D.√3

2

10.如以下图，给定两个平面向量。4和。8,它们的夹角为120°,点C在以O为圆心的圆弧AB上，且

OC=xOA^yOB（其中x,ywR）,那么满足x+y≥J5的概率为（）

A.V2—1

II.定义在R上的奇函数/（x）,设其导函数/（X）,当Xe（T»,（）］时，恒有J√∙'（X）＜∕（-X）令

F(x)=λf(x),那么满足尸(3)＞尸(2%一1)的实数*的取值范围是()

A.[-1,2)B.(-l,ɪ)C.(1,2)D.[-2,1)

22

*Λ

12.7(x)=1"-k-4x('(0),且函数y=/(x)—2X恰有3个不同的零点，那么实数a的取值范围是

[∕U-2)(Λ≥0)

()

A.[-4,0]B.[-8,-HΛ)C.H”)D.(0,+∞)

第H卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题后的横线上。

13.i为虚数单位，那么复数上3的虚部是。

14.函数/（尤）=一25抽（2%+°）（|0|<乃），假设是/（x）的一个单调递增区间，那么。的值

558

为。

15.给出以F不等式：IH--1—>1,1H---1---FH—>—,1H--1FH--->2,

2323722315

1+」+1++」•〉之...那么按此规律可猜测第n个不等式为。

23312

16.在ZVLBC中，A=30°,BC=26,。是AB边上的一点，CD=2,Δβ8的面积为4,那么AC的长

为。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题总分值12分）

｛an｝为等比数列，OI=Iq=243,S11为等差数列电｝的前n项和，bl=3,S5=35.

（1）求｛%｝和他』的通项公式；

⑵设7；=+a2b2++anbn,求&

18.（本小题总分值12分）

哈尔滨冰雪大世界每年冬天都会吸引大批游客，现准备在景区内开设经营热饮等食品的店铺假设干。

根据以往对500名40岁以下（含40岁）人员和500名40岁以上人员的统计调查，有如下一系列数

据：40岁以下（含40岁）人员购置热饮等食品的有260人，不购置热饮食品的有240人；40岁以上

人员购置热饮等食品的有220人，不购置热饮等食品的有280人，请根据以上数据作出2x2列联表，

并运用独立性检验思想，判断购置热饮等食品与年龄［按上述统计中的年龄分类方式）是否有关系？

注：要求到达99.9%的把握才能认定为有关系。

'（β+⅛Xc+<0（o+cX⅛+<∕）

P（K1>*）0.5000.4000.1000.0100.001

19.（本小题总分值12分〕

斜三棱柱ABC—AIBIG的底面是正三角形，侧面ABBIAl是菱形，且NAA3=60°,M是AB的中

点，MB±AC.

⑴求证：MBj_平面ABC；/\

（2）求二面角Ai—BB1—C的余弦值。片二~~T----7z,'

20.(本小题总分值12分)

椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在X轴上，假设M的一个顶点恰好是抛物线V=8x的焦点，M

的离心率e=L,过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线/,交M于A,B两点。

2

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)设点N(t,0)是一个动点，且(Ml+NB)LAB,求实数t的取值范围。

21.(本小题总分值12分)

/7Y

函数/(χ)=YL_在X=1处取得极值为2,设函数y=/U)图象上任意一点(⅞√(x0))处的切线斜

X+b

率为k。

(1)求k的取值范围；

(2)假设对于任意0<χ∣<χ2<l,存在k，使得％="2)一八')，求证：x1<∣⅞∣<¾∙

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分。

22.(本小题总分值10分)选修41：几何证明选讲

如图，Oa与。。2相交于A、B两点，AB是&的直径，过A点作Oa的切线交劣于点E，并

与BoI的延长线交于点P,PB分别与(。1、OQ交于C,D两点。

求证：(I)PAPD=PEPC;

(2)AD=AE°

23.(本小题总分值IO分)选修I:坐标系与参数方程

ʌ3

在极坐标系中，曲线L:/?SilrO=2cosO,过点A(5.α)(a为锐角且tana=1)作平行于

TT

e=W(0∈R)的直线/,且/与曲线L分别交于B,C两点。

(ɪ)以极点为原点，极轴为X轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出

曲线L和直线/的普通方程；

(2)求IBCl的长。

24.(本小题总分值10分)选修4—5：不等式选讲

关于X的不等式等x+l∣-∣x-l∣≤log2α(其中α>0).

(1)当a=4时，求不等式的解集；

(2)假设不等式有解，求实数a的取值范围。

参考答案

选择题:

题号I23456789101112

答案BCDBACBDBBAC

填空题：

13.—114,—15.1H-----1----1-∙∙∙H-------：----->--------16.2-∖∕2或4

4232"+'-12

三、解答题:

17.(I)a,,=3"τ(3分)

hιl=2n+∖(6分)

|,2n

(∏)T11=3×l+5×3+∙∙∙+(2n-l)×3^+(2n+l)×3^'①

37；=3x3+5x32+∙∙∙+(2"l)χ3"T+(2/+l)x3"②

①-②得：-21,=3+2x(3+3?+…+3"T)-(2"+l)x3”[9分)

整理得：Tn=n×3"(12分)

18.由题得2x2列联表

购置热饮等食品不购置热饮等食品总计

40岁以下260240500

41岁以上220280500

总计4805201000

(4分)

ʌ1000(260×280-220×240)^

K2=——-------------------------L≈6.410<10.828（10分）

500×500X480×520

所以没有99.9%的把握认定为有关系.(12分)

19.（1）；侧面4584是菱形且/448=60°.∙.ΔA,85为正三角形

又Y点M为A1B1的中点.∙.BMɪAM

'：AB//AtBl：.BMIAB

由MBLAC.∙.MB,平面ABC（4分）

（H）（法一）连接GM,作于“，连接G”

由（I）知GM，面AAB与，CiM±BBl

又MH工BBl：.BBi，面GBBlLCiH

：.ZCtMH为所求二面角的平面角(8分)

设菱形A5B∣A边长为2,那么GM=J3

A

在RtAB】MB中,由M4∙5B∣=MB-MB知:MH=—

2

CM√5

在RfAG""中，tanNGM"=^^=2：.COSNCIMH

5

即二面角Ai-BBt-C的余弦值为乎

（法二）如图建立空间直角坐标系

设菱形ABBlA边长为2

得4(0,-1,6)，A(0,2,0)

C(√3,l,θ),A(θ,l,√3)

那么网=(θ,l,6),BA=(0,2,0)

BBl=(θ,-l,√3),flC=(√3,l,θ)

设面A55∣A∣的法向量n1=(xl,yl,zl),由勺_LBA,/1BAi得

2y∣=O

令Xl=1,得n=(1,0,0)（8分）

X+GZl=0l

设面84CC的法向量n2=（々,%*2）,由公工BC得

’令”收得心（T国）（10分）

又二面角A-Bq-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为上（12分）

20.(I)椭圆M的标准方程：二+二=1（4分）

43

(H)设Aa],y),B(x29y2),设/:X=Zny+1(m∈氏mwθ)

X=my+1

222

xy=(3/72÷4卜2+^my-9=0

----1------1

43

6π?

由韦达定理得％+乂=-一÷-①（6分）

3m^+4

(丽+丽)_LQnMl=I叫=>

(王一。2+=(%7)2+为2=

22

(η-Λ2XΛI+X2-2r)+(y,-y2)=0

将Xl=〃%+1,工2=%2+1代入上式整理得：

(y一为加/+My+>2)+机(2-2。]=0,由必户必知

2必)+〃?(将①代入得

(m+IXy+2-2/)=0,t=―ɪ—(IO分)

3m~+4

所以实数(12分)

由/'(1)=0及/(1)=2得，a=^,b=∖(2分)

设一=fe(0,1］得女G-匕4(4分)

ɪ+⅞L2-

,ς

(ID∕M=4⅛-令:(x)>0nx∈(Tl)

/(x)的增区间为(一1,1),故当0<玉</<1时，>0.

即左>0,故XOe(6分)

(法一)由于/'(%)=:(一/),故只需要证明无Oe(O，1)时结论成立

X

由k=f(2)_’("J,得/(χ,)∙~kx2=f(xi)-kxi，

X2-X1

记∕z(x)=/(X)—4X,那么〃(X2)=〃(Xl)

1(X)=尸(X)那么〃'(%)=0,

设g(χ)=7^z*χe(αι),g'(H=卢¾^<0'

(1+χ)(1+χ)

g(χ)为减函数，故/'(X)为减函数

故当X>X。时有/'(x)</'(/)=3此时〃'(x)<0,MX)为减函数

当X</时h'(x)>O,∕ι(x)为增函数

所以〃(Xo)为〃(X)的唯一的极大值，因此要使力(工2)=〃(X1)，必有》|<与<%2

综上，有x∣<∣⅞∣<X2成立(12分)

(法一)由∙,1一小:I-'马、

(√÷lk÷l)-(√÷l)(√÷l)①

下面以反证法证明结论：

假设闻≥X2>X],那么与2>王龙2，

因为％o∈(-l,l),xl,x2∈(θ,l),所以OVI-Xo2vIr/，

又OV]V?_____ɪ_____故]Uo<

(√+ι)2<n+0√+ι),故鬲+ιw+ι)<=+0√+ι)

与①式矛盾

假设同≤…”同理可得小赤刁>不甘可

与①式矛盾

综上，有X∣<∣Λ⅛∣<X2成立(12分)

22.（I〕∙.∙PE∖PB分别是。。2的割线∙∙∙P4PE=PO∙PB①（2分）

又∙.∙PA∖PB分别是。O∣的切线和割线PA?=PCPB②(4分)

由①，②得PApD=PEPC（5分）

(II)连结AC、ED

设QE与AB相交于点尸

∙.∙BC是。O1的直径

.∙.ZC4β=90o

.∙.AC是O。？的切线.(6分)

DAPC

由（I）知存==,.∙.AC〃石Q.∙.A8_LDE,ZCAD^ZADE（8分）

PEPD

又；AC是。。2的切线，，ZCADZAED

又/CAD=ZADE,：.ZAED=ZADE

AD-AE(10分)

23.(I)由题意得，点A的直角坐标为(4,3)