高中数学选择性学案第1章1-1直线的斜率与倾斜角

第1章直线与方程1.1直线的斜率与倾斜角1.直线的斜率对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,则直线l的斜率为:k=

QUOTE.

如果x1=x2,那么直线l的斜率不存在.2.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系当直线与x轴不垂直时,k=tanαQUOTE.

斜率的正负与倾斜角范围有什么联系?提示:当k=tanα<0时,倾斜角α是钝角;当k=tanα>0时,倾斜角α是锐角;当k=tanα=0时,倾斜角α是0°.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)下图中标的α都不是对应直线的倾斜角. ()(2)任一直线都有倾斜角,都存在斜率. ()(3)倾斜角为135°的直线的斜率为1. ()(4)若直线的倾斜角为α,则它的斜率为k=tanα. ()提示:(1)√.x轴的正向与直线向上的方向之间所成的角是直线的倾斜角,所以图中的四个α都不是对应直线的倾斜角.(2)×.倾斜角为90°的直线不存在斜率.(3)×.倾斜角为135°的直线的斜率为1.(4)×.倾斜角α不等于90°时,它的斜率才是k=tanα.2.如图所示,直线l与y轴的夹角为45°,则l的倾斜角为 ()A.45° B.135° C.0° D.无法计算【解析】选B.根据倾斜角的定义知,l的倾斜角为135°.3.(教材二次开发:例题改编)已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值是 ()A.5 B.8 C.QUOTE D.7【解析】选C.由斜率公式可得QUOTE=1,解得m=QUOTE.4.已知直线l的倾斜角为30°,则直线l的斜率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选A.由题意可知直线l的斜率k=tan30°=QUOTE.类型一直线的倾斜角、斜率的概念(数学抽象)1.设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为 ()A.α+45°B.α135°C.135°αD.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α135°2.一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为 ()A.α B.180°αC.180°α或90°α D.90°+α或90°α3.已知点A的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点B,若kAB=4,则点B的坐标为 ()A.(2,0)或(0,4) B.(2,0)或(0,8)C.(2,0) D.(0,8)【解析】1.选D.因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α180°=α135°.2.选D.如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;当l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°α.3.选B.设B(x,0)或(0,y),因为kAB=QUOTE或kAB=QUOTE,所以QUOTE=4或QUOTE=4,所以x=2,y=8,所以点B的坐标为(2,0)或(0,8).1.求直线的倾斜角的方法及两点注意事项(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)两点注意事项:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.2.解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围),利用定义式k=tanα(α≠90°)解决.(2)由两点坐标求斜率,运用两点斜率公式k=QUOTE(x1≠x2)求解.(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合求解.【补偿训练】已知直线l经过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率k的取值范围是 ()A.(1,0] B.[0,1]C.[1,2] D.[0,2]【解析】选D.由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时,满足题意,所以直线l的斜率满足0≤k≤2.类型二直线的倾斜角、斜率的计算(数学运算)【典例】1.若A(1,0),B(3,m),直线AB的斜率为QUOTE,则m= ()A.8 B.-2 C.2 D.82.若直线过点C(1,3),D(4,3+QUOTE),则此直线的倾斜角为.

3.已知点M(0,b)与点N(QUOTE,1)连成直线的倾斜角为120°,求b的值.【解析】1.选C.A(1,0),B(3,m),直线AB的斜率为QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得:m=2.2.直线过点C(1,3),D(4,3+QUOTE),则直线的斜率k=QUOTE=QUOTE,所以此直线的倾斜角是QUOTE.答案:QUOTE3.k=QUOTE=tan120°,解得b=2.利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的(2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.(3)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.1.直线经过点(0,2)和点(3,0),则它的斜率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.斜率k=QUOTE=QUOTE.2.若直线经过两点A(m,2),BQUOTE,且倾斜角为45°,则m的值为 ()A.2 B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.经过两点A(m,2),BQUOTE的直线的斜率为k=QUOTE,又直线的倾斜角为45°,所以QUOTE=tan45°=1,即m=2.3.已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,1),B(1,1),C(1,1),求直线AB,BC,AC的斜率.【解析】已知点的坐标,可代入过两点的直线的斜率公式求斜率,但应先验证两点的横坐标是否相等.kAB=QUOTE=0,kAC=QUOTE=1.因为B,C两点的横坐标相等,所以直线BC的斜率不存在.类型三直线的倾斜角、斜率的应用(数学运算,逻辑推理)角度1求斜率的范围

【典例】已知两点A(3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围;(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.【思路导引】作图,让直线与线段有公共点,可得倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,进一步获得斜率的取值范围.【解析】如图所示,由题意可知kPA=QUOTE=1,kPB=QUOTE=1.(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤1或k≥1.(2)由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是45°,PA的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.角度2三点共线问题

【典例】若三点A(2,3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,则实数k=.

【思路导引】利用AB和AC的斜率相等.【解析】因为A(2,3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,所以kAB=kAC,kAB=QUOTE=3,kAC=QUOTE=QUOTE,所以3=QUOTE,即k=6.答案:61.求直线斜率的取值范围时,通常先结合图形找出倾斜角的范围,再得到斜率的范围.2.利用斜率可解决点共线问题,点A,B,C共线⇔kAB=kAC或kAB与kAC都不存在.3.QUOTE的几何意义是直线的斜率,用之可通过几何方法解决函数的值域问题.1.若三点A(3,1),B(2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数b等于 ()A.2 B.3 C.9 【解析】选D.因为三点A(3,1),B(2,b),C(8,11)在同一直线上,所以kAC=kAB,即QUOTE=QUOTE,解得b=9.2.已知A(3,3),B(4,2),C(0,2).若点D在线段BC上(包括端点)移动,则直线AD的斜率的变化范围是.

【解析】如图所示.当点D由B运动到C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,又kAB=QUOTE=QUOTE,kAC=QUOTE=QUOTE,所以直线AD的斜率的变化范围是QUOTE.答案:QUOTE3.已知坐标平面内两点M(m+3,2m+5),N(m2,1).(1)当m为何值时,直线MN的倾斜角为锐角?(2)当m为何值时,直线MN的倾斜角为钝角?(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗?【解析】(1)若倾斜角为锐角,则斜率大于0,即k=QUOTE=QUOTE>0,解得m>2.即当m>2时,直线MN的倾斜角为锐角.(2)若倾斜角为钝角,则斜率小于0,即k=QUOTE=QUOTE<0,解得m<2.即当m<2时,直线MN的倾斜角为钝角.(3)当直线MN垂直于x轴时,直线的倾斜角为直角,此时m+3=m2,此方程无解,故直线MN的倾斜角不可能为直角.1.已知一条直线过点(3,2)与点(1,2),则这条直线的倾斜角θ是 ()A.0° B.45° C.60° D.90°【解析】选A.因为k=QUOTE=0,所以θ=0°.2.若过两点A(4,y),B(2,3)的直线的倾斜角为45°,则y等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.1【解析】选C.kAB=QUOTE=tan45°=1,即QUOTE=1,所以y=1.3.(教材二次开发:练习改编)已知直线AB与直线AC有相同的斜率,且A(1,0),B(2,a),C(a,1),则实数a的值是.

【解析】依题意:kAB=kAC,即QUOTE=QUOTE,解得a=QUOTE.答案:QUOTE4.已知倾斜角为45°的直线经过点A(2m,3),B(2,3),则