专题02平面向量的基本定理及坐标运算（原卷版）

专题02平面向量的基本定理及坐标运算知识点1平面向量基本定理1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．3、对平面向量基本定理的理解（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．（2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．（3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，．（4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．4、平面向量基本定理的应用（1）平面向量基本定理唯一性的应用：设，是同一平面内的两个不共线向量，若，则（2）重要结论设是平面内一个基底，若，=1\*GB3①当时，与共线；=2\*GB3②当时，与共线；=3\*GB3③当时，；知识点2平面向量的坐标运算1、向量和差运算：已知，则，．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．2、向量数乘运算：若，则；结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。3、向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是知识点3线段的定比分点及λ设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：(内分)

(外分)()

(外分)()1、定比分点坐标公式：若点，，为实数，且，则点坐标为，我们称为点分所成的比.2、点的位置与的范围的关系：①当时，与同向共线，这时称点为的内分点；②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点.3、若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则；特别地为的中点.知识点4平面向量数量积的坐标表示1、向量数量积的坐标运算：若，，则两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。2、两个向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则3、用坐标表示的三个重要公式（1）向量的模公式：若a=(x（2）两点间的距离公式：若A(x1,y（3）向量的交角公式：设两个非零向量a=(x1,y1)，b则cos考点1对基本定理的概念理解【例1】（2022·江苏·高一专题练习）（多选）设是已知的平面向量，向量，，在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（）A．给定向量，总存在向量，使；B．给定向量和，总存在实数和，使；C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D．若，存在单位向量，和正实数，，使，则．【变式11】（2022春·高一课时练习）下列说法错误的是（）A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C．平面上向量的基底不唯一D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一【变式12】（2022·高一课时练习）（多选）下列说法中正确的是（）A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量.B．在平面向量基本定理中，若，则.C．若单位向量､的夹角为，则在方向上的投影向量是.D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.【变式13】（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）（多选）如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）A．(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B．对于平面α内任一向量，使的实数对(λ，μ)有无穷多个C．若向量与共线，则有且只有一个实数λ，使得D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0考点2基底的判断【例2】（2023春·安徽滁州·高一安徽省定远县第三中学校考阶段练习）设，是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（）A．和B．和C．和D．和【变式21】（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）A．和B．和C．和D．和【变式22】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（）A．B．C．D．【变式23】（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）（多选）如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（）A．与B．与C．与D．与【变式24】（2023·全国·高一专题练习）设是两个不共线的非零向量，且．（1）证明：可以作为一个基底；（2）以为基底，求向量的分解式．考点3用基底表示向量【例3】（2023春·全国·高一专题练习）如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，设，，则（）A．B．C．D．【变式31】（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P．若，，则（）A．B．C．D．【变式32】（2023春·河南洛阳·高一校考阶段练习）如图所示，已知和交于点E，若，则实数的值为（）A．B．C．D．【变式33】（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）在中，D为中点，连接，若，则的值为（）A．B．C．D．1【变式34】（2022春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）在矩形中，，，E为CD的中点，若，，则________．【变式35】（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝.（1）用表示向量；（2）若点F在AC上，且，求AF∶CF.考点4向量线性运算的坐标表示【例4】（2023春·河北沧州·高一校考阶段练习）已知向量，则__________.【变式41】（2023·全国·高一专题练习）已知向量，若满足，则等于（）A．B．C．D．【变式42】（2023春·河北沧州·高一校考阶段练习）已知向量，若，则（）A．1B．2C．6D．6【变式43】（2023·高一课时练习）已知点，，，设，，，且，，（1）求；（2）求满足的实数的值．考点5利用坐标求向量共线问题【例5】（2023秋·辽宁·高一沈阳市第十中学校考期末）已知向量，，，若与共线，则（）A．4B．3C．2D．1【变式51】（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，且与平行，则______．【变式52】（2023春·河南洛阳·高一校考阶段练习）已知.（1）当k为何值时，与共线?（2）若且A，B，C三点共线，求m的值.【变式53】（2022·高一课时练习）已知，，，下列点D的坐标中不能使点A、B、C、D构成四边形的是（）A．B．C．D．考点6向量数量积的坐标表示【例6】（2022秋·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）已知正方形的边长为2，点满足，则的值为（）A．B．C．D．4【变式61】（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）已知向量，，，若，则实数x的值为______．【变式62】（2023春·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）已知向量，，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【变式63】（2022春·北京·高一北京市八一中学校考阶段练习）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【变式64】（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）如图，在四边形中，，且.（1）求实数的值；（2）若是线段上的动点，求的取值范围.考点7利用坐标求向量的夹角【例7】（2022春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考阶段练习）已知平面向量，，若，则与的夹角为（）A．B．C．D．【变式71】（2023春·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）（多选）已知向量，若为锐角，则实数可能的取值是（）A．B．C．D．【变式72】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）已知向量，，其中．（1）试计算及的值；（2）求向量与夹角的余弦值．【变式73】（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考阶段练习）已知向量，，，且，．（1）求向量、；（2）若，，求向量，的夹角的大小.【变式74】（2022春·陕西延安·高一校考阶段练习）已知，．（1）若与垂直，求k的值；（2）若为与的夹角，求的值．考点8利用坐标求向量的模长【例8】（2022春·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）设，向量，，且，则（）A．B．C．D．5【变式81】（2022春·河北邢台·高一校联考阶段练习）平面向量与的夹角为，则等于（）A．B．C．4D．12【变式81】（2022春·广东茂名·高一校考阶段练习）（多选）已知向量，，θ∈，则的值可以是（）A．B．C．2D．2【变式82】（2023春·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）（多选）已知，则下列选项中可能成立的是（）A．B．C．D．【变式83】（2022春·湖北宜昌·高一宜昌市一中校联考阶段练习）如图，直角的斜边长为，，且点、分别在轴、轴的正半轴上滑动，点在线段的右上方，则下列说法成立的是（）A．有最大值B．无最大值C．有最大值D．是定值1．（2022春·福建福州·高一校考期末）已知，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（）．A．和B．和C．和D．和2．（2022春·北京·高一北京八中校考阶段练习）与向量和夹角均相等，且模为2的向量的坐标是（）A．B．C．或D．3．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在中，D是BC边上一点.Р是线段AD的中点，且.则（）A．B．1C．D．24．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）中，点D满足，点E满足，则（）A．B．C．D．5．（2022春·广西桂林·高一校考期末）在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）A．B．C．D．6．（2022春·北京丰台·高一北京市第十二中学校考阶段练习）平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（）A．B．C．D．7．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知向量，，，若与共线，则实数（）A．B．C．5D．8．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）若向量，且，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．9．（2022春·河南洛阳·高一栾川县第一高级中学校联考阶段练习）平面向量与的夹角为，，，则等于（）A．B．C．D．10．（2022春·江苏常州·高一常州市第二中学校考阶段练习）已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（2023春·河北沧州·高一校考阶段练习）（多选）已知向量，则（）A．B．C．D．与不共线12．（2022春·广东韶关·高一校考阶段练习）（多选）已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（）A．与的夹角为钝角B．向量在方向上的投影为C．D．的最