高考数学一轮复习训练第2章第1讲相等关系与不等关系

第二章第1讲[A级基础达标]1．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()A．ad>bc B．ac>bdC．a－c>b－d D．a＋c>b＋d【答案】D2．设a>2，A＝eq\r(a＋1)＋eq\r(a)，B＝eq\r(a＋2)＋eq\r(a－2)，则A，B的大小关系是()A．A>B B．A<BC．A≥B D．A≤B【答案】A3．若a<b<0，则下列不等式不能成立的是()A．eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a) B．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．|a|>|b| D．a2>b2【答案】A4．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A5．(多选)若a<b<0，则下列不等式关系中，正确的有()A．eq\f(1,b)>eq\f(1,a) B．eq\f(1,a)>eq\f(1,a－b)C．aeq\s\up7(\f(2,3))>beq\s\up7(\f(2,3)) D．eq\f(1,a2)>eq\f(1,b2)【答案】BC【解析】对于A，因为a<b<0，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故A错误；对于B，因为a<b<0，所以a<a－b<0，两边同时除以a(a－b)可得eq\f(1,a)>eq\f(1,a－b)，故B正确；根据幂函数的单调性可知C正确；对于D，因为a<b<0，所以a2>b2>0，所以eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2)，故D错误．6．设a>b>c>0，x＝eq\r(a2＋b＋c2)，y＝eq\r(b2＋c＋a2)，z＝eq\r(c2＋a＋b2)，则x，y，z的大小关系是________(用“>”连接)．【答案】z>y>x【解析】方法一：y2－x2＝2c(a－b)>0，所以y>x.同理，z>y，所以z>y>x方法二：令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝eq\r(18)，y＝eq\r(20)，z＝eq\r(26)，故z>y>x.7．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：①若ab>0，bc－ad>0，则eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0；②若ab>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，则bc－ad>0；③若bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，则ab>0.其中正确的命题是____________．【答案】①②③【解析】因为ab>0，bc－ad>0，所以eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＝eq\f(bc－ad,ab)>0，所以①正确；因为ab>0，又eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即eq\f(bc－ad,ab)>0，所以bc－ad>0，所以②正确；因为bc－ad>0，又eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即eq\f(bc－ad,ab)>0，所以ab>0，所以③正确8．已知a＋b>0，则eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系是____________．【答案】eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)【解析】eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).因为a＋b>0，(a－b)2≥0，所以eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.所以eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).9．已知1>2a>0，试确定A＝1－a2，B＝1＋a2，C＝eq\f(1,1－a)，D＝eq\f(1,1＋a)的大小顺序，并说明理由．解：因为1>2a>0，所以a>0,1－a因为C－B＝eq\f(1,1－a)－(1＋a2)＝eq\f(a－a2＋a3,1－a)＝eq\f(a1－a＋a2,1－a)＝eq\f(a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋\f(3,4))),1－a)>0，所以C>B.因为B－A＝1＋a2－(1－a2)＝2a2>0，所以B>A因为A－D＝1－a2－eq\f(1,1＋a)＝eq\f(a－a2－a3,1＋a)>eq\f(a×2a－a2－a3,1＋a)＝eq\f(a2－a3,1＋a)＝eq\f(a21－a,1＋a)>0，所以A>D.综上，C>B>A>D.10．甲、乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步．如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解：设路程为s，跑步速度为v1，步行速度为v2，t甲＝eq\f(\f(s,2),v1)＋eq\f(\f(s,2),v2)＝eq\f(sv1＋v2,2v1v2)，s＝eq\f(t乙,2)·v1＋eq\f(t乙,2)·v2⇒t乙＝eq\f(2s,v1＋v2)，所以eq\f(t甲,t乙)＝eq\f(v1＋v22,4v1v2)≥eq\f(2\r(v1v2)2,4v1v2)＝1.所以t甲≥t乙，当且仅当v1＝v2时“＝”成立．由实际情况知v1>v2，所以t甲>t乙．所以乙先到教室．[B级能力提升]11．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定【答案】B【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又因为a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，所以a1－1<0，a2－1<0，所以(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.所以M>12．(多选)已知a，b∈(0,1)，且a>b，则下列所给命题中错误的为()A．(1－b)eq\s\up10(\f(1,a))>(1－b)a B．(1－b)a>(1－b)eq\s\up4(\f(a,2))C．(1＋b)b>(1＋a)a D．(1－b)b>(1－a)a【答案】ABC【解析】因为a，b∈(0,1)且a>b，所以1>1－b>1－a>0，因为指数函数y＝ax(0<a<1)单调递减，1>a>b>0，所以eq\f(1,a)>a，a>eq\f(a,2)，故A，B错误．(1＋b)b<(1＋a)b<(1＋a)a，故C错误．(1－b)b>(1－b)a>(1－a)a，故D正确13．已知有三个条件：①ac2>bc2；②eq\f(a,c)>eq\f(b,c)；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件的是____________(填序号)．【答案】①【解析】由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，a<b；③当a<0，b<0时，a<b，故②③不是a>b的充分条件14．(一题两空)张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元/千克．为增加销量，张军对这四种干果进行促销：一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x(2x∈Z)元．每笔订单被顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x＝________；②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为______．【答案】1018.5【解析】①顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付120＋70－x＝180元，则x＝10.②设顾客一次购买干果的总价为M元，当0<M<150时，张军每笔订单得到的金额显然不低于促销前总价的七折．当M≥150时，0.8(M－x)≥0.7M.即M≥8x对M≥150恒成立，则8x≤150，x≤18.75，又2x∈Z，所以xmax15．已知1<a<4,2<b<8，试求a－b与eq\f(a,b)的取值范围．解：因为2<b<8，所以－8<－b<－2.又1＜a＜4，所以1－8<a－b<4－2，即－7<a－b<2.又因为eq\f(1,8)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，所以eq\f(1,8)<eq\f(a,b)<2.故a－b的取值范围为(－7,2)，eq\f(a,b)的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)).16．(1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d)；(2)已知c>a>b>0，求证：eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).证明：(1)因为bc≥ad，bd>0，所以eq\f(c,d)≥eq\f(a,b).所以eq\f(c,d)＋1≥eq\f(a,b)＋1.所以eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).(2)因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0.因为a>b>0，所以eq\f(1,a)<eq\f(1,b).又因为c>0，所以eq\f(c,a)<eq\f(c,b).所以eq\f(c－a,a)<eq\f(c－b,b).又c－a>0，c－b>0，所以eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).[C级创新突破]17．小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员，为了迎接胜利归来的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是()A．3枝康乃馨价格高B．2枝玫瑰花价格高C．价格相同D．不确定【答案】B【解析】设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别为x元，y元，由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋3y>24，,4x＋5y<22，))令2x－3y＝m(6x＋3y)＋n(4x＋5y)＝(6m＋4n)x＋(3m＋5n)y，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6m＋4n＝2，,3m＋5n＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(11,9)，,n＝－\f(4,3).))所以2x－3y＝eq\f(11,9)(6x＋3y)－eq\f(4,3)(4x＋5y)>eq\f(11,9)×24－eq\f(4,3)×22＝0，因此2x>3y.所以2枝玫瑰花的价格高．18．设a≠0，a，b∈R，试比较eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a2－b2)),2|a|)与eq\f(|a|－|b|,2)的大小．解：(1)当0<|a|≤|b|时，eq\f(|a2－b2|,2|a|)≥0，eq\f(|a|－|b|,2)≤0，所以eq\f(|a2－b2|,2|a|)≥eq\f(|a|－|b|,2).当|a|＝|b|时取等号．(2)当|a|>|b|≥0时，eq\f(|a2－b2|,2|a|)－eq\f(|a|－|b|,2)≥eq\f(|a|2－|b|2,2|a|)－eq\f(|a|－|b|,2)＝eq\f(|a|－|b||a|＋|b|,2|a|)－eq\f(|a|－|b|,2