高一数学人教B版必修4课时作业2-4向量的应用

课时作业24向量的应用(限时：10分钟)1．设D是正△P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△P1P2P3的中心．若集合S＝{P|P∈D，|PP0|≤|PPi|，i＝1,2,3}，则集合S表示的平面区域是()A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域解析：依题意作出图形(如图)，由P∈D且|PP0|＝|PP1|知，点P的轨迹为线段P1P0的垂直平分线段A1A2再由|PP0|≤|PP1|知，点P在线段A1A2上及线段A1A2含点P0的一侧且P∈同理由|PP0|≤|PP2|，|PP0|≤|PP3|知，S表示的平面区域为六边形A1A2B1B2C答案：D2．在△ABC中，已知向量eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(AC,\s\up8(→))满足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0且eq\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)＝eq\f(1,2)，则△ABC为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形解析：由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0知△ABC为等腰三角形，所以AB＝AC.由eq\f(\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AB,\s\up8(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)＝eq\f(1,2)知〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝60°，所以△ABC为等边三角形．故选A.答案：A3．一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．2eq\r(7)B．2eq\r(5)C．2D．6解析：如图，设eq\o(OF1,\s\up8(→))代表力F1，eq\o(OF2,\s\up8(→))代表力F2，则本题实际上是求eq\o(OF1,\s\up8(→))与eq\o(OF2,\s\up8(→))的和向量eq\o(OG,\s\up8(→))的模，由余弦定理得|eq\o(OG,\s\up8(→))|2＝|eq\o(OF1,\s\up8(→))|2＋|eq\o(F1G,\s\up8(→))|2－2|eq\o(OF1,\s\up8(→))|·|eq\o(F1G,\s\up8(→))|·cos∠OF1G＝4＋16－2×2×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝28，∴|eq\o(OG,\s\up8(→))|＝2eq\r(7)，故选A.答案：A4．若直线l过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则直线l的方程为________．解析：由直线l的一个法向量为(1,2)可知直线l的一个方向向量为(2，－1)，故直线的斜率k＝－eq\f(1,2)，再由直线方程的点斜式可得y－4＝－eq\f(1,2)(x－3)，即x＋2y－11＝0.答案：x＋2y－11＝05．已知函数f(x)＝log2(x2＋2)，a＝(m,1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(m,2)))，若f(a·b)≥f(|a－b|)，试求m的取值范围．解析：由f(x)＝log2(x2＋2)知f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增．于是，由f(a·b)≥f(|a－b|)，得|a·b|≥|a－b|，∵a＝(m,1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(m,2)))，∴a·b＝m×eq\f(1,2)＋1×eq\f(m,2)＝m.∴|a－b|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(m,2)))2)＝eq\r(\f(5,4)m2－2m＋\f(5,4))，∴|m|≥eq\r(\f(5,4)m2－2m＋\f(5,4))⇒m2≥eq\f(5,4)m2－2m＋eq\f(5,4)，即m2－8m＋5≤0⇒4－eq\r(11)≤m≤4＋eq\r(11).∴m的取值范围为[4－eq\r(11)，4＋eq\r(11)]．(限时：30分钟)1．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及与此直线垂直的向量b分别是()A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)答案：C2．若向量eq\o(OF,\s\up8(→))1＝(2,2)，eq\o(OF,\s\up8(→))2＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为()A．(0,5)B．(4，－1)C．2eq\r(2)D．5解析：|F1＋F2|＝|eq\o(OF1,\s\up8(→))＋eq\o(OF2,\s\up8(→))|＝|(2,2)＋(－2,3)|＝|(0,5)|＝5.答案：D3．在四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝0，eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝0，则四边形ABCD为()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形解析：∵eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(CD,\s\up8(→))|，且eq\o(AC,\s\up8(→))⊥eq\o(BD,\s\up8(→))，故四边形ABCD为菱形．答案：D4．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为()A．5eq\r(3)NB．5NC．10ND．5eq\r(2)N解析：如下图可知|F1|＝|F|cos60°＝5(N)．答案：B5．O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))·(eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→)))＝0，则△ABC是()A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形解析：∵eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(CB,\s\up8(→))·(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝0，∴△ABC为以BC为底边的等腰三角形．答案：B6．一条河的宽度为d，水流的速度为v2，一船从岸边A处出发，垂直于河岸线航行到河的正对岸的B处，船在静水中的速度是v1，则在航行过程中，船的实际速度的大小为()A．|v1|B.eq\r(|v1|2＋|v2|2)C.eq\r(|v1|2－|v2|2)D．|v1|－|v2|解析：画出船过河的简图可知，实际速度是v1与v2的和，由勾股定理知选C.答案：C7．直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足eq\o(OP,\s\up8(→))·eq\o(OA,\s\up8(→))＝4，则P点的轨迹方程为________．解析：由题意知，点P(x，y)满足eq\o(OP,\s\up8(→))·eq\o(OA,\s\up8(→))＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，即为P点的轨迹方程．答案：x＋2y＝48．若A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状为__________．解析：eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－3,3)，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0，即eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(AC,\s\up8(→))，故△ABC为直角三角形．答案：直角三角形9．已知一物体在共点力F1＝(2,2)，F2＝(3,1)的作用下产生位移s＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，则共点力对物体所做的功为__________．解析：对于合力F＝(5,3)，其所做的功为W＝F·s＝eq\f(5,2)＋eq\f(9,2)＝7.答案：710．如下图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2.求证：AD⊥BC.证明：设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(AD,\s\up8(→))＝e，eq\o(DB,\s\up8(→))＝c，eq\o(DC,\s\up8(→))＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d.∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知得a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.∵eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))＝d－c，∴eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝e·(d－c)＝0.∴eq\o(AD,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，即AD⊥BC.11．已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(6,1)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(x，y)，eq\o(CD,\s\up8(→))＝(－2，－3)．若eq\o(BC,\s\up8(→))∥eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))⊥eq\o(BD,\s\up8(→)).(1)求x，y的值；(2)求四边形ABCD的面积．解析：(1)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝(4＋x，y－2)，eq\o(DA,\s\up8(→))＝(－4－x,2－y)．由eq\o(BC,\s\up8(→))∥eq\o(DA,\s\up8(→))，得x(2－y)＋y(4＋x)＝0.①eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＝(6＋x，y＋1)，eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝(x－2，y－3)．由eq\o(AC,\s\up8(→))⊥eq\o(BD,\s\up8(→))，得(6＋x)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.由①②，解得x＝2，y＝－1或x＝－6，y＝3.(2)S四边形ABCD＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up8(→))||eq\o(BD,\s\up8(→))|，当x＝2，y＝－1时，S四边形ABCD＝16；当x＝－6，y＝3时，S四边形ABCD＝16.即四边形ABCD的面积为16.12．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|，设P、Q在t＝0秒时分别在P0、Q0处，当eq\o(PQ,\s\up8(→))⊥eq\o(P0Q0,\s\up8(→))时所需的时间t为多少秒？解析：∵e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，∴e1＋e2＝(1,1)，3e1＋2