2021新高考数学二轮复习学案板块1命题区间精讲精讲14双曲线

双曲线命题点1双曲线的定义及标准方程1．利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．2．在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．3．利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．[高考题型全通关]1．(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的方程为()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1D[因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x，a＝2，所以当焦点在x轴上时，eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以b＝eq\r(2)，所以双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1；当焦点在y轴上时，eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),2)，所以b＝2eq\r(2)，所以双曲线的方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1.综上所述，该双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1，故选D．]2．(2020·唐山模拟)双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的右焦点为F，点P为C的一条渐近线上的点，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则S△OPF的最小值为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．1D．2B[不妨设点P在渐近线y＝eq\f(1,a)x上，由题意知F(eq\r(a2＋1)，0)．因为|PO|＝|PF|，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a2＋1),2)，\f(\r(a2＋1),2a)))，则S△OPF＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋1)×eq\f(\r(a2＋1),2a)＝eq\f(a2＋1,4a)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))≥eq\f(1,2)，当且仅当a＝1时取“＝”，故选B．]3．(2020·广东四校联考)P是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线．P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为()A．1 B．2＋eq\f(\r(15),5)C．4＋eq\f(\r(15),5) D．2eq\r(2)＋1D[设双曲线的右焦点为F2，因为|PF1|－|PF2|＝2eq\r(2)，所以|PF1|＝2eq\r(2)＋|PF2|，|PF1|＋|PQ|＝2eq\r(2)＋|PF2|＋|PQ|，当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值为点F2到直线l的距离．由题意可得直线l的方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x，焦点F2(eq\r(3)，0)，点F2到直线l的距离d＝1，故|PQ|＋|PF1|的最小值为2eq\r(2)＋1，选D．]4．(2020·大同调研)已知F1，F2是双曲线M：eq\f(y2,4)－eq\f(x2,m)＝1的焦点，y＝eq\f(2\r(5),5)x是双曲线M的一条渐近线，离心率等于eq\f(3,4)的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，则|PF1|·|PF2|＝()A．8B．6C．10D．12D[由M的一条渐近线的方程为y＝eq\f(2\r(5),5)x＝eq\f(2,|m|)x，所以eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(2,|m|)，得m2＝5，所以M的半焦距c＝3.因为椭圆E与双曲线M的焦点相同，且椭圆E的离心率e＝eq\f(3,4)，所以E的长半轴长a＝4.不妨设|PF1|＞|PF2|，根据椭圆与双曲线的定义有|PF1|＋|PF2|＝8，|PF1|－|PF2|＝4，解得|PF1|＝6，|PF2|＝2，所以|PF1|·|PF2|＝12，故选D．]5．(2020·东营模拟)设双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最小值为()A．13B．12C．11D．10C[由题意得双曲线的实半轴长a＝2，虚半轴长b＝eq\r(3).根据双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a＝4 ①，|BF2|－|BF1|＝2a＝4 ②，①＋②得|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋8＝|AB|＋8.又|AB|min＝eq\f(2b2,a)＝3，所以|AF2|＋|BF2|的最小值为11，故选C．]6．(2020·济南模拟)已知双曲线Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线Γ的右支上异于顶点的一个点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则以下结论正确的是()A．△PF1F2的内切圆的圆心I在直线x＝a上B．|OM|＝aC．若∠F1IF2＝θ，则△PF1F2的面积为－b2tanθD．△PF1F2的内切圆与x轴的切点为(c－a，0)ABC[设内切圆与△PF1F2的边F1F2，F2P，F1P分别切于点A，B，C(图略)，切点A的坐标为(x0，0)，则|PF1|－|PF2|＝|PC|＋|CF1|－|PB|－|BF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝(c＋x0)－(c－x0)＝2x0＝2a，所以x0＝a，连接IA，则IA⊥x轴，所以A正确，D不一定正确；设直线F2M交PF1于D，因为PM是∠F1PF2的平分线，且PM⊥F2D，所以△PDF2是等腰三角形，即|PD|＝|PF2|，所以|PF1|－|PF2|＝|DF1|＝2a，又易得M是线段DF2的中点，O是线段F1F2的中点，所以|OM|＝eq\f(1,2)|F1D|＝a，故B正确；在△PF1F2中，设∠F1PF2＝α，因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以结合余弦定理可得|PF1|·|PF2|＝eq\f(2b2,1－cosα)，所以△PF1F2的面积S＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sinα＝eq\f(b2sinα,1－cosα).因为∠IF1F2＋∠IF2F1＋θ＝π，即eq\f(1,2)(π－α)＋θ＝π，所以α＝2θ－π，所以S＝eq\f(b2sin2θ－π,1－cos2θ－π)＝－eq\f(b2sin2θ,1＋cos2θ)＝－eq\f(2b2sinθcosθ,2cos2θ)＝－b2tanθ，所以C正确．]7．(2020·江西红色七校第一次联考)双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上且tan∠F1PF2＝4eq\r(3)，O为坐标原点，则|OP|＝________.eq\r(5)[因为tan∠F1PF2＝4eq\r(3)，所以sin∠F1PF2＝eq\f(4\r(3),7)，cos∠F1PF2＝eq\f(1,7).由余弦定理|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－eq\f(2,7)·|PF1|·|PF2|＝16，又||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF1|·|PF2|＝7，则△F1PF2的面积为eq\f(1,2)·|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝2eq\r(3).设P(x0，y0)，因为△F1PF2的面积为eq\f(1,2)·2c·|y0|＝2eq\r(3)，所以|y0|＝eq\r(3)，代入x2－eq\f(y2,3)＝1得xeq\o\al(2,0)＝2，所以|PO|＝eq\r(2＋3)＝eq\r(5).]8．[一题两空](2020·临沂模拟)已知双曲线C经过点(2，3)，且该双曲线的其中一条渐近线的方程为y＝eq\r(3)x，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，双曲线C的方程为________，若P为该双曲线右支上一点，点A(6，8)，则当|PA|＋|PF2|取最小值时，点P的坐标为________．x2－eq\f(y2,3)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3\r(2),2)，3＋\f(3\r(2),2)))[由题意，可设双曲线C的方程为y2－3x2＝k，将(2，3)代入，得32－3×22＝k，得k＝－3，故双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1，作出双曲线C如图所示，连接PF1，AF1.由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF2|＝|PF1|－2，则|PA|＋|PF2|＝|PA|＋|PF1|－2≥|AF1|－2，当且仅当A，P，F1三点共线时，等号成立．由A(6，8)，F1(－2，0)，得直线AF1的方程为y＝x＋2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,x2－\f(y2,3)＝1，))得2x2－4x－7＝0，解得x＝1±eq\f(3\r(2),2)，因为点P在双曲线的右支上，所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3\r(2),2)，3＋\f(3\r(2),2))).]命题点2双曲线的几何性质双曲线的渐近线与离心率的关系双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±eq\f(b,a)满足关系式e2＝1＋k2.[高考题型全通关]1．[多选][教材改编]已知双曲线M：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是()A．M的离心率为eq\f(2\r(3),3)B．M的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1C．M的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)xD．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点ACD[依题意，a2＋b2＝4，因为两条渐近线的夹角为60°，a＞b＞0，所以渐近线的倾斜角为30°与150°，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(3)，,b＝1，))所以ACD正确，B错误．故选ACD．]2．(2020·德州模拟)已知F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形F1NF2M的周长为p，面积为S，且满足32S＝p2，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(1,2)x B．y＝±eq\f(\r(2),2)xC．y＝±eq\f(\r(3),2)x D．y＝±eq\f(2\r(3),3)xB[依题意得|MF1|－|MF2|＝2a ①，|MF1|＋|MF2|＝eq\f(p,2) ②，联立①②，解得|MF1|＝a＋eq\f(p,4)，|MF2|＝eq\f(p,4)－a，又F1F2为直径，∴四边形F1NF2M为矩形，∴S＝|MF1|·|MF2|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,4)))eq\s\up12(2)－a2，即eq\f(p2,32)＝eq\f(p2,16)－a2，即p2＝32a2，由|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2得2a2＋eq\f(p2,8)＝4c2，即3a2＝2c2，∴a2＝2b2，∴eq\f(b,a)＝±eq\f(\r(2),2)，故选B．]3．(2020·陕西百校联盟第一次模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1与l2，A与B为l1上关于坐标原点对称的两点，M为l2上一点且kAM·kBM＝e(e为双曲线C的离心率)，则e的值为()A．eq\r(5)B．eq\f(\r(5)＋1,2)C．2D．eq\r(2)B[设M(x0，y0)，A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)．不妨设l1：y＝eq\f(b,a)x，l2：y＝－eq\f(b,a)x，则y0＝－eq\f(b,a)x0，y1＝eq\f(b,a)x1，所以kAM·kBM＝eq\f(y0－y1,x0－x1)·eq\f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1))＝eq\f(b2,a2)，因为kAM·kBM＝e，所以eq\f(b2,a2)＝e，即eq\f(c2－a2,a2)＝e，e2－1＝e，e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1±\r(5),2).又e＞1，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2)，选B．]4．(2020·南昌模拟)圆C：x2＋y2－10y＋16＝0上有且仅有两点到双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是()A．(eq\r(2)，eq\r(5)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(5,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(5,2))) D．(eq\r(5)，eq\r(2)＋1)C[不妨设该渐近线经过第二、四象限，则该渐近线的方程为bx＋ay＝0.因为圆C：x2＋(y－5)2＝9，所以圆C的圆心为(0，5)，半径为3，所以2＜eq\f(|5a|,\r(a2＋b2))＜4，结合a2＋b2＝c2，得eq\f(5,4)＜eq\f(c,a)＜eq\f(5,2)，所以该双曲线的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(5,2))).]5．(2020·聊城模拟)如图，已知A，B，C是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BF⊥AC，且2|AF|＝|CF|，则该双曲线的离心率是()A．eq\f(5,3)B．eq\f(\r(17),3)C．eq\f(\r(17),2)D．eq\f(9,4)B[设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′(图略)，则由|OA|＝|OB|，|OF|＝|OF′|，BF⊥AC知四边形AFBF′为矩形，设|AF|＝m，则|AF′|＝m＋2a，|AC|＝|AF|＋2|AF|＝3|AF|＝3m，|FC|＝2|AF|＝2m，则|F′C|＝|FC|＋2a＝2m＋2a，则在Rt△AF′C中，|F′C|2＝|AF′|2＋|AC|2，即(2m＋2a)2＝(m＋2a)2＋(3m)2，解得m＝eq\f(2,3)a.在Rt△AF′F中，|F′F|2＝|AF′|2＋|AF|2，即4c2＝(m＋2a)2＋m2，即4c2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋2a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))eq\s\up12(2)，整理得eq\f(c2,a2)＝eq\f(17,9)，所以双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(17),3)，故选B．]6．(2020·济南模拟)如图，点A为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右顶点，点P为双曲线上一点，作PB⊥x轴，垂足为B，若A为线段OB的中点，且以A为圆心，AP为半径的圆与双曲线C恰有三个公共点，则双曲线C的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)A[法一：由题意可得A(a，0)，又A为线段OB的中点，所以可得B(2a，0)，令x＝2a，则y＝±eq\r(3)b，可取P(2a，－eq\r(3)b)．由题意可得圆A经过双曲线的左顶点(－a，0)，即|AP|＝2a，即2a＝eq\r(a2＋3b2)，可得a＝b，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(2)，故选A．法二：设双曲线的左顶点为M，圆A与x轴的正半轴交于点N，由已知易得|PB|＝eq\r(3)b，|BM|＝3a，|BN|＝a，连接PM，PN(图略)，在Rt△PMN中，PB⊥MN，所以|PB|2＝|BM|·|BN|，所以3b2＝3a2，因为c2＝b2＋a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，故选A．]7．(2020·成都模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，又点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(3b2,2a))).若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|＋|MN|＞4b，则双曲线C的离心率的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),3)，\r(5))) B．(eq\r(5)，eq\r(13))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(13),3)))∪(eq\r(5)，＋∞) D．(1，eq\r(5))∪(eq\r(13)，＋∞)C[由双曲线定义知|MF2|－|MF1|＝2a，所以|MF2|＝|MF1|＋2a，所以|MF2|＋|MN|＞4b恒成立，即|MF1|＋|MN|＋2a＞4b恒成立，即|MF1|＋|MN|＞4b－2a恒成立．法一：(|MF1|＋|MN|)min＞4b－2a.由平面几何知识知，当MF1⊥x轴时，|MF1|＋|MN|取得最小值eq\f(3b2,2a)，所以eq\f(3b2,2a)＞4b－2a，即3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－8·eq\f(b,a)＋4＞0，解得0＜eq\f(b,a)＜eq\f(2,3)或