2023届高考数学试题一轮总复习题型练习第11讲　指数与指数函数讲义

第11讲指数与指数函数

触与指数导的运算

考点1：指数幕的运算©/

“整体代换法"化简求值

指数函数的概念

/一

指数函数图象的辨析

考点2:指数函数的图像及应用————

----------《"指数型”函数过定点问题

指数与指数函数®应用指数函数的图象求参数范围

指数函数的单调性与值域

指数型复合函数的单调性与值域

考点3:指数函数的性质及应用应用指数函数的性质比较大小

\应用指数函数的单调性解不等式

1-----------------------------------------------------

\指数函数的综合问题

走迸教材自主回顾

1.根式

(1)根式的概念

①若.,则X叫做a的"次方根,其中n>∖且"∈N*.式子缶叫做根式,这里叫

做根指数,_叫做被开方数.

②a的n次方根的表示:

x-'y[cι,当〃为奇数且〃W，时，

xn=a?'

.x=部-当〃为偶数且〃∈N*时.

(2)根式的性质

①(缶)"=a("∈N*,且〃>1).

Ca，〃为奇数，

②缶a,,

Id=〃为偶数.

~a'a<0'

2.有理数指数幕

(1)事的有关概念

m

①正分数指数累：an=^∣^(a>O9m9n∈N∖且〃>1)；

—1I

②负分数指数基：αn=-y=-1-(a>O,m,n∈N*,且〃>1)；

正≡

③O的正分数指数幕等于,O的负分数指数募

(2)有理数指数幕的运算性质

①“Zs=β≤⅛>O,r,s∈Q);

(¾^7=αL%”>0,r,s∈Q);

③")'=H3>0,r,s∈Q);

(A)(abY=arbr(a>O,b>O,r∈Q).

3.指数函数的图象与性质

y=aκ

3>0且a>l0<a<∖

a≠∖)

Ir■

…辛"尸

图象…r=ι1

⅛∏"x

Oli_'x

定义域—

值域—

过定点____________

当x>0时，γ>l;当心>0时，OVy<1；

性质

当XVo时，O<γ<l当x<0时，y>l

在R上是增函数在R上是减函数

HHHHBHlKH898SBSHBR考点探究•题型突破//////////////////////////////

A考点1指数鬲的运算

［名师点睛］

1.对于指数早的运算，首先将根式、分数指数嘉统一为分数指数累，以便利用法则计算，还应注意:

(1)必须是同底数早相乘，指数才能相加；

(2)运算的先后顺序.

2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

［典例］

02/22

1.（2022•全国•高三专题练习）（1）计算0.027^+8Γ75+⅛-3^I;

9

（2）若:+J；=«，求V+/2的值.

2.（2022•全国•高三专题练习）化简下列各式（其中各字母均为正数）.

2

27

(1)+0.002F-Ioa-2)+4°;(2)II

O^b*a，京

\

ɪ

22、2II

I\-2.5

3ɑɔ∙b~l•”苏

­0•

(3)0.0645一冗»(4)

√6τΨ

［举一反三］

1.（2022•全国•高三专题练习）计算：1.5“-*>+8"2隈蚯+（√∑χg）6-

ɪ

-I2

025

2.（2022•全国•高三专题练习）（1）计算：（0.0081尸一3×X81--+

2ɪɪɪ

（2）化简：（标广）孙

（2022•全国•高三专题练习）已知求下列各式的值.

3.CiI（4-J

2-21

(1)a'+a'(2)a2+a-2(3)矿+“：

iia+a'+∖

11x2+X~-2

4.(2022•全国•高三专题练习)已知q主丫瓦_4,求F---3—的值.

A~rA—ɔ——λ

X2+X2—3

5.（2022•全国•高三专题练习）分别计算下列数值:

ɪI----------------

(I)0.0643-(-π)°+164+√(3-π-)2：

2-9

X^-X-

(2)已知χ+χ-∣=6,(0<X<l),求一T-2.

X2+X~2

6.（2022•全国•高三专题练习）化简:

⑴(√2×√3)6+(-2018)o-4×f^j2+⅛(3-Λ-)4

正一遍T

(2)(L,YJI(α>0,⅛>0).

&1枕a3⅛3

3ɪ

/c、a2-1a+。？-∖

⑶-----1—a

α+4'+l+1-1

＞考点2指数函数的图象及应用

［名师点睛］

1.对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对

称变换得到.特别地，当底数。与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解.

［典例］

1.(2022•浙江•宁波诺丁汉附中模拟预测)函数/(x)=τ(。＞0月.”工1)的图象如图所示，则(???????)

aI

A.k>∖,a>∖B.k>∖,a<∖C.0<k<l9a<lD.O<k<l,a>l

2.(2022•北京•高三专题练习)若函数/(x)=4-7(a>0且"1)的图像经过定点P,则点P的坐标是

(7999999)

A.(l,-ɪ)B.(1,0)C.(0,0)D.(0,-1)

［举一反三］

1.(2022•全国•高三专题练习)己知函数/(x)=""2-5(”>0且“≠l)的图象过定点(〃?,〃)，则不等式

/+侬+〃+1<0的解集为(???????)

A.(1,3)B.(―3,—1)C.(—00,—3)U(I,÷∞)D.(—3,1)

2.(多选)(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=(x-α)(x-b)的图象如图所示，则g(x)=优-。的图

象可能是(???????)

04/22

A考点3指数函数的性质及其应用

［名师点睛］

1.比较指数式的大小的方法：（1）能化成同底数的先化成同底数累，再利用单调性比较大小；（2）不能

化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.

2.指数方程（不等式）的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.

3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及

值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

［典例］

1.（2022•天津河西•一模）设α=k‰°∙2,b=O.203,C=IOg则α,b,C的大小关系为（???????）.

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<h<a

2.（多选）（2022•全国•高三专题练习）若指数函数y="在区间［TJ上的最大值和最小值的和为与，则。

的值可能是（???????）

A.ɪB.-C,3D.2

ɪ.、10Λ^2-102^X,X<2/、/、

3.(2022•辽宁•建平县实验中学模拟预测)已知函数〃X)=7_3|_I丫>2，则不等式〃力+/口-1)<°

的解集为.

4.(2022•北京•高三专题练习)设“X)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，/(x)=2^l,若对任意的

XW〃痔+1］,不等式〃力、尸(x-，力恒成立，则正数用的取值范围为(??????？)

A.m≥1B.m>∖C.OVV1D.0<∕n<l

5.(2022•重庆市朝阳中学高三开学考试)已知函数g(χ)=限是奇函数，/(x)=Ig(Io'+1)+反是偶函数.

(1)求“和匕的值；

(2)设G(x)=∕(x)+gx,若存在XeW,l］,使不等式g(x)>Λ⅛(10w+9)］成立，求实数机的取值范围.

［举一反三］

3

o5

L（2022•天津•一模）设。=In]，⅛=O.5Sc=0.8"°,则〃,瓦。的大小关系为（？?????？）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b

2.（2022•山西吕梁•二模）已知α=3∕=Ej,c=E）∙，贝IJ（???????）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<hD.c<h<a

aʌ

ax------F2--,x≥0

2

3.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(%)=在Λ0(%>0)处取得最小值，且

3a八

->+ι-,%<0

/(-x0)<3«,则实数。的取值范围(???????)

A.[2,3）B.[1,3）C.[1,2）D.（1,3）

4.(2022•上海市进才中学高三期中)设函数〃x)=2',若存在XWo,4］使不等式/(α+x)-/(2x)≥2成立,

则实数a的取值范围为.

5.(2022•全国•高三专题练习)设函数"x)=2'-2τ+χ3,则使得不等式/(2x-l)+"3)<0成立的实数X

的取值范围是

6.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=9'r小3'+”+6,若方程/(-x)+/(x)=0有解，则实数加

的取值范围是.

7.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)="+bL(”>0且α≠l)是定义在R上的偶函数，且

06/22

(1)求/(x)的解析式；

(2)若函数g(x)=f(x)-m2'+g在［0,+8)上的最小值是1,求机的值.

2

、4

8.(2022•全国•高三专题练习)已知函数=一(α>O,α≠l)且/(O)=O.

2a+a

(1)求4的值；

(2)若函数g(x)=(2'+l).∕(x)+"有零点，求实数左的取值范围.

(3)当Xe(O，1)时，/(x)>m2*-2恒成立，求实数T的取值范围.

9.(2022•北京•高三专题练习)定义在。上的函数/(x),如果满足:对任意xe。,存在常数M>0,都有

-M≤∕(x)≤M成立，则称是。上的有界函数，其中M称为函数/(x)的上界.已知

/(X)=4Λ+<7∙2Λ-2.

(1)当α=-2时，求函数"x)在(0,+8)上的值域，并判断函数/(x)在(O,+e)上是否为有界函数，请说

明理由；

(2)若函数/(“)在(一8，°)上是以2为上界的有界函数，求实数”的取值范围

第12讲指数与指数函数

根式与指数幕的运算

考点1：指数幕的运算

"整体代换法"化简求值

指数国数的概念

指数国数图象的辨析

考点2:指数函数的图像及应用

"指数型"函数漆点问题

指数与指数函数Θ应用指数函数的图象求参数范围

指数函数的单调性与值域

指数型复合函数的单调性与值域

考点3:指数函数的性质及应用应用指数函数的性质比较大小

应用指数函数的单调性解不等式

指数函数的综合问题

走进教材・自主回顾

1.根式

(1)根式的概念

①若『=小则X叫做”的〃次方根，其中〃>1且"∈N*.式子缶叫做根式，这里比叫做根指数，生叫

做被开方数.

②”的n次方根的表示:

x=y∣a>当”为奇数且〃GN*，时，

Λn="?'

[x=±^L，当〃为偶数且〃GN*时.

(2)根式的性质

①(缶)"="("∈N*,且〃>1).

a,"为奇数,

[a»α≥0»

Id=]C〃为偶数.

[-α»a<O»

2.有理数指数零

(1)鬲的有关概念

m

①正分数指数基：an—^[c^.(a>0,m,∕ι∈N∖且〃>1)；

一%11

②负分数指数累：a/I===-*=一(α>0,〃z,"∈N*,且〃>1)；

江≡

③0的正分数指数基等于0,0的负分数指数指无意义.

(2)有理数指数幕的运算性质

①#α'=M'(">0,r,s∈Q);

第=仁(4>0,r,s∈Q);

③⑺'=g4>0,r,5∈Q);

(A)(abY=arbr(a>O,b>0,r∈Q).

3.指数函数的图象与性质

y=ax

(。>0且cι>∖0<a<]

a≠l)

y£

图象(O,I)

_______________

定义域R

08/22

值域(0,+∞)

过定点(0,ιΓ~

当x>0时，y>l；当x>0时，0<y<1；

性质

当x<0时，0勺<1当x<0时，y>l

在R上是增函数在R上是减函数

---------Φ------------1

考点探究•题型突破

A考点1指数幕的运算

［名师点睛］

L对于指数早的运算，首先将根式、分数指数嘉统一为分数指数累，以便利用法则计算，还应注意:

(1)必须是同底数幕相乘，指数才能相加；

(2)运算的先后顺序.

2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

［典例］

1.(2022•全国•高三专题练习)(1)计算0.027-3-(-：)-2+8［。75+(3。_3，

(2)若1+χT=#,求Y+一的值•

【解】

,1111in1

(1)0.0273-(-i)-2+810∙75+(-)0-3^l=0.31-36+33+l--=——36+27+1--=-5.

69333

(2)若£+xT=a，∙*∙x+-+2=6,x+'=4,Λx2+x7+2=16,.,.x2+x2=∖4.

2.(2022•全国•高三专题练习)化简下列各式(其中各字母均为正数).

y∣a3b2^br

JLIY_11

a^b2a

A«

2/3

(3Y21lθ(√5+2)

【解】⑴原式=鸟)÷5°°2-(⅛⅛÷1

=-÷10√5-10√5-20÷l=--ζ

99

<!2、

（2）原式一［αw匕2

31,1,1—

-+——1+-1+——2——(1；

a263。33=y

b

ab2a^by

（3）原式=

5

-Hl)3

」J1

ɪɪɪ∣+∣5.

a3庐∙a鼻后3^2-6.^2+3_6=_!_

（4）原式=-=a

Γ^5a

［举一反三］

1.（2022•全国•高三专题练习）计算：1.5、+802i×√2+(√2χ√3)6-

【解】5'X+8O∙25×√2+(√2×√3)6-

ɜ1ɪɪ

=伤尸×l+(23r×25+22×33-

(|)5+2+4x27-

=110.

-1-

-0.25+

2.（2022•全国•高三专题练习）（1）计算：（0.0081尸—3×X81

(2)化简：(QL)MaW

P^

【解】⑴原式=(a)4T」x[34*"5>+B叫f=12」X122101

-+—=--------=3o

1032333333

ɪɪɪɪ

Q34a5万!LA11_5

（2）原式=

ɪ5

a

小∙b%

3.（2022•全国•高三专题练习）已知一+“T=3,求下列各式的值•

⑴“⑵­≡2-2⅛.

【解】（1）将）+°T=3两边平方得"+a"+2=9,所以"+1=7.

10/22

(2)将d+I=7两边平方得a?+α-2+2=49,^τUl02+α^2=47.

(3)由(1)(2)可得♦：+1=9上L=6.

a+a^'+∖7+1

2

II+X-2

4.(2022•全国•高三专题练习)已知/+fi=3,求F―ʒ一的值•

X2+x2-3

1A11

【解】设3则X2,，所以f+'3,

X-'tt

而/+%以=〃+"=(/+')-2,

将f+l=3平方得产+乙+2=9,于是/+4=7,

trr

I2-247

⑷gA卜3(7」)-315

5.(2022•全国•高三专题练习)分别计算下列数值:

_1I-----------------

(I)0.064^≈-(-π)°+164+√(3-π:)2：

χ~•>—X-2-

(2)已知χ+%τ=6,(0<x<1),求ɪ.

X2+x2

【解】⑴原式=(Od)L(一万)。+(24户+|3-小

=(0.4)T-l+2∣+/-3,

=π-∖,

(2),.*X2-X~2=(X+χT)(X-XT)=6(x-χT),

(尢-XT)2=(1+χT)-_4=32,

V0<x<l,

∙*∙x-x-,=-4Λ∕2，

・・・x2-x^2=6(x-x-1)=-24√2,

又•・・χ2+√I=Λ+χ-'+2=8,

V0<x<l,

'/+”=2√2'

2-2

X-X

—y=-12.

x2+xɪ

6.(2022•全国•高三专题练习)化简:

16

(1)(√2×√3)6+(-2O18)O-4×2+1(3-7)4

49

J4%2商

a+a2+1a2+↑a2

【解】

(1)J^⅛=(√2)6×(√3)6+l-4×+|3—4|=4乂27+1-7+乃一3=99+4

∖

ɪΛIO8\2

a3b2aibia3b^54

(2)原式=

______√__a.

1ɪ274*'

ɪλ/ɪλ

a2-1∙a+a2+13ɪ3ɪ11-Z71

(3)原式dl-a-∖-a-a2-a2+a2-。+1=a2-1--------=a2.

a-∖

a+a2÷1

>考点2指数函数的图象及应用

［名师点睛］

1.对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对

称变换得到.特别地，当底数。与I的大小关系不确定时应注意分类讨论.

2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解.

［典例］

x-k

1.(2022•浙江•宁波诺丁汉附中模拟预测)函数"X)=(α>O⅛α≠l)的图象如图所示，则(???????)

aLd1

12/22

A.A>l,α>lB.k>∖,a<∖C.O<⅛<l,α<lD.O<k<l,a>l

【答案】D

【解析】

因为/(O)=*由图得一l<τt<0,

所以O<k<l,所以排除AB,

因为由图象可知当Xf+8时，/(x)→0,

所以α>l,所以排除C,

故选：D

2.(2022•北京•高三专题练习)若函数/(x)="i-l(”>0且“≠l)的图像经过定点P,则点P的坐标是

(9797979)

A.(l,-ɪ)B.(1,0)C.(0,0)D.(0,-1)

【答案】B

【解析】

因为α°=l,所以当χ-l=0,即x=l时，函数值为定值0,所以点P坐标为(L0).

另解：因为/(力=。1-1可以由y=α*向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由y="

过定点(0,1),所以/(X)=«1-1过定点0,0).

故选：B

［举一反三］

1.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=α'"-5(">0且αwl)的图象过定点(机,〃)，则不等式

χ2+mr+"+l<0的解集为(???????)

A.(1,3)B.(-3,-1)C.(-∞,-3)u(l,+∞)D.(-3,1)

【答案】D

【解析】

当x=2时，/(2)=。2一2一5=。。-5=1—5=7,故机=2,"=Y,所以不等式为/+2χ-3<0,解得一3<x<l,

所以不等式的解集为(Tl).

故选：D

2.(多选)(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=(x-α)(x-份的图象如图所示，则g(x)=α"-的图

象可能是(???????)

【解析】解：令/(x)=(x-α)(x-∕0=0,解得Xi=。、x2=⅛,根据二次函数图形可知，。、b两个数一个

大于1,一个大于0且小于1,①当”>l,0<6<l时，则g(x)=a'-〃在定义域上单调递增，且

g(0)=α°-8=l-6,即0<g(0)<l,所以满足条件的函数图形为C；

②当6>1,0<“<l时，则g(X)=优-〃在定义域上单调递减，且g⑼=ɑ°-6=l-b<0,所以满足条件的

14/22

函数图形为A；

故选：AC

A考点3指数函数的性质及其应用

［名师点睛］

1.比较指数式的大小的方法：（1）能化成同底数的先化成同底数累，再利用单调性比较大小；（2）不能

化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.

2.指数方程（不等式）的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.

3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及

值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减''这一性质分析判断.

［典例］

α3

1.（2022•天津河西•一模）=Iog030.2,⅛=0.2,C=Iog/,则α,6,c的大小关系为（???????）.

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】D

【解析】山指数函数的性质，可得O<O,2fti<0.2°=1,所以0<6<l,

根据对数的运算性质，可得α=k‰3θ.2>k‰3θ∙3=l,所以

由0<6<l,α>l,所以C=IOg%α<log∕,l=0,即c<0,

所以c<λ><a.

故选：D

2.（多选）（2022•全国•高三专题练习）若指数函数y="在区间「1,1］上的最大值和最小值的和为当，则“

的值可能是（??????？）

A.—B.—C.3D.2

【答案】BC

【解析】当时，函数丫=罐在区间［-LU上为单调递增函数，

当X=I时，‰=a,当X=-I时∙，‰in=a',

所以4+4-=与，即3/-10α+3=0,解得。=3或a=；,

因为α>l,所以a=3；

当O<α<l时，函数y="在区间-1,1］上为单调递减函数,

当X=I时，‰in=a,当X=-I时，ymm=a'',

所以。+/=与，即3∕T0α+3=0,解得。=3或

因为Ovα<l,所以〃=g.

综上可得，实数。的值为3或g.

故选：BC

3.(2022•辽宁•建平县实验中学模拟预测)已知函数/(x)=∣.3卜1空2，则不等式F(X)+/(1)<。

的解集为.

【答案UFq)

【解析】①当x≤2时，x-l≤l,〃力=1。7-102T在(-∞,2]上单调递增，

.∙J(x)≤/⑵=0,又/(x-l)≤∕(l)<42)=0,

.∙J(x)+∕d<0恒成立；

②当2<x≤3时，l<x-l≤2,/(Λ)=∣X-3∣-1=2-X<0,

又/(x-l)≤f(2)=0,.∙"(x)+∕(l)<O恒成立：

③当3<x≤4时，2<x-l≤3,/(x)=∣x-3∣-l=x-4,/(x-l)=∣x-4∣-l=3-x;

尤)+f(x-l)=-1<0恒成立；

④当x>4时，X-I>3,/(x)=∣x-3∣-l=x-4,/(x-l)=∣x-4∣-l=x-5,

OO

/./(x)÷∕(x-l)=2x-9<0,解得：Jt<-,/.4<%<—；

综上所述：不等式/(x)+/(x-1)<0的解集为[-∞q).

故答案为：卜OoB)一

4.(2022•北京•高三专题练习)设“x)是定义在R上的偶函数，且当x≤O时，f{x)=Tx,若对任意的

x≡[m1m+l],不等式/(x)>r(X-W)恒成立，则正数用的取值范围为(???????)

A.m≥1B.m>lC.O<m<↑D.0<m≤l

【答案】A

16/22

【解析】因为函数/(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，/(x)=2-jt,

则当x≥0时，-x<O,f(x)=f(-x)=2v,故对任意的xeR,/(力=2忖,

对任意的xe[加,〃?+1],不等式/(x)》f2(x-加)恒成立，

即2禺22平叫，即W22,M对任意的X∈卜％加+1]恒成立，

且加为正数，则x22(x-m),UJ得x42w,所以，m+l<2m,

故选：A.

5.(2022•重庆市朝阳中学高三开学考试)已知函数g(x)=票是奇函数，/(x)=Ig(Io*+1)+加是偶函数.

(1)求。和b的值；

(2)设〃(X)=/(x)+gx,若存在xe[0,l],使不等式8(冷>加怆(10，〃+9)]成立，求实数”的取值范围.

【解】解：(1)因为函数g(χ)=W^是奇函数，所以g(0)=0得。=1,

4v-l

则g(χ)=%」，经检验g(x)是奇函数.

又/(x)=Ig(I(T+1)+版是偶函数，

所以f(一1)=/。)得〃=-g，则∕ω=lg(10l+l)-→,

经检验/(x)是偶函数，.∙∙a=l,b=~.

(2)Λ(x)=lg(10'+l),A(lg(lOnt+9))=lg[l0'sll0m+9*+l]=lg(lOm+10),

则由已知得，存在x<0,l],使不等式g(x)>lg(10m+10)成立，

4v-1I3

因为g(χ)==2'—六，易知g。)单调递增，・・・gmax(X)=g⑴=习

3—,

・•・ig(io^+ιθ)<-=igioi=igio√io,.*.1o^+1o<1o√io.

_L[10^÷9>0,9

所以“VXZi5-1,又｛，解得相›一指，

[10AZ7+10>010

所以一得<m<M-ι.

[举一反三]

3

1.(2022•天津•一模)设。=In^,⅛=0.50∖c=0.8^°5,则〃也。的大小关系为(？?????？)

A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b

【答案】C

3

【解析】InICIne=1,O.5o8<O.5o=HO.8^05>0.8°=1,∙">α,ob；

lnɪ=lnʌ/-=InJ2.25<In6=L0.50,8>0.5lɪɪ,;.b>a；

2V422

s.a<b<c.

故选：C.

2.(2022•山西吕梁•二模)己知”=3/=E)C=E)图'，则(???????)

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】因为函数y=(qj单调递减，故α=gj<b=弓J

因为Hyndg凯所以c<江

又图Ln削图"所以

综∖^.a<c<b,

故选B.

aʌ

ax——+2-%≥0

2

3.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(X)=在A0(%>0)处取得最小值，且

3a八

—>+~lτ,Λ<O

/(-⅛)<3a,则实数。的取值范围(???????)

A.[2,3)B.[1,3)C.[1,2)D.(1,3)

【答案】C

【解析】由函数F(X)在x°e(0,+8)处取得最小值得/(X)≥"ΛU),则a>0且％=5>0

当x<0时/(X)=号>与，又/小)=尼卜2(，

〃>0

所以〈cr3a，得aN1.

2——≤——

122

又/(TO)<%，所以/卜∣)<3”,

即立⅛<30,整理得令-→l>0,解得"2.

22L>\2

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综上，l<a<2.

故选：C.

4.(2022・上海市进才中学高三期中)设函数〃》)=2”,若存在段［0,4］使不等式〃4+司-/(2622成立，

则实数a的取值范围为.

【答案】∣,+∞j

【解析】解：由f(α+x)-/(2x)≥2,得2"+，—22・≥2,两边同除23

即2"≥2*+2x2,又2v+2x2-*≥2√∑,当且仅当2'=2乂2-”，

即x=g∈［0,4］时取等号,所以2士友=21所以42∣∙

故答案为：1+s)

5.(2022•全国高三专题练习)设函数"x)=2'-2-,+V,则使得不等式〃2x-1)+43)<0成立的实数X

的取值范围是

【答案】(-8,-1)

【解析】函数的定义域为R，/(-x)=2-l-2'-√=-∕(x),所以函数/(x)是奇函数，并由解析式可知函

数/(x)是增函数，原不等式可化为/(2x-l)<f(-3),所以2x-1<-3,解得χ<T,故X的取值范围是

(→o,-l).

故答案为：(-00,-ι)

6.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=9'-m∙3'+.+6,若方程fGx)+/(X)=O有解，则实数"?

的取值范围是.

【答案】［2√14+4,+∞)

【解析】由题意得:9,+9T-M3*+3-*)+2m+12=0有解

令3*+3^x=t(t≥2),则9"+9^x=t2-2

.∙."mf+2m+10=0有解,即见―2)=产+10有解,显然f=2无意义

.,./>2,令［-2=y(y>0)

∙'∙m=()+2)*∣°=y÷—+4≥2λ