导数大题证明不等式归类（学生版）

11(1)直接构造函数法：证明不等式fx>gx(或fx<gx)转化为证明fx-gx>0(或fx-gx<0)，进而构造辅助函数hx=fx-gx；(2)构造新的函数hx；(3)利用导数研究hx的单调性或最值；题. 1(陕西省澄城县20121-2022学年高三试数学(理)试题)设函数f(x)=lnx-x+1.(1)讨论f(x)的单调性； 2已知函数f(x)=x2-2lnx.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；22(湖南省三湘名校教育联盟(湖南省三湘名校教育联盟2021-2022学年高三数学试题)已知函数fx=ex+ax+b，曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y=a-b.12-3lnx.233(1)求曲线y=f(x)在点,f处的切线方程；xx>1.33 1(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知函数f(x)=x2-1-lnx.(1)求fx的最小值； (Ⅱ)证明：f(x)>ex-x.44然对数的底数，曲线y=fx在2,f2处切线的倾斜角的正切值为e2+2e.122(1)讨论y=f(x)的单调性并求极值；2(x+1)>lnx⋅ln(x+2).3355 时，2n+1lnn+1<nlnn+n+1lnn+2. 662023·2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)设函数f(x(=(1-ax(ln(x+1(-bx，其中a和b是实数，曲线y=f(x(恒与x轴相切于坐标原点.(3(求证10000.4<e<1000.5.12(2023上·河南南阳·高三统考期中)(1)已知函数f(x(=xlnx，判断函数g(x(=f(1+x(+f(1-x(的23(2017下·黑龙江大庆·高三大庆中学校已知函数f(x)=+lnx；377证明不等式f1+f2+⋯+fn<gngn=[gn-gn-1[+[gn-1-gn-2[+[gn-2-gn-3[+⋯+[g2-g1[+[g1-g0[n=gn-gn-1n∈N*，则只需证f1+f2+⋯+fn<b1+b2+⋯+bn即如果能够证出fn<bn恒成立，则原不等式也就成立. 1(2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考一模)已知函数fx=ln1+x-mx.(1)求函数fx的极值；(2)求证：++⋯+>ln2n∈N*. (1)讨论函数fx的单调性；(2)证明:2lnn+1>+++⋯+(n∈N*).88n1(1)讨论fx的单调性；+lnn+1>n.+++⋯+n+14+lnn+1>n.+++⋯+n+14*2(1)若不等式fx≥gx在区间0,+∞内恒成立，求实数k的取值范围；2(2)求证：++...+<(n≥2,n∈N∗,e为自然对数的底数)33(2)已知a=1，m≥，x>1，gx=lnx+mf(3)证明：ln5<++⋯+n∈N*.9922n=(n∈N*(， *)12*，x>-1且x≠0，函数f(x(=(1+x(p-px-1.>0；233(2)求证：1+1+⋯1+<e.ln(f(1(∙f(2(∙⋯∙f(n((<lnt⇒ln(f(1((+ln(f(2((+ln(f(3((⋯+ln(f(2((<lnt <f(x(<x；*1+1+⋯1+<e. 2(2023·全国·高三专题练习)已知函3(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；*⋯12(2023·全国·高三专题练习)已知关于x的函数fx=ax-lnx-1+ln2.2(1)讨论fx的单调性；*<n2-nln2.3(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数fx=ex-ax2-x3 1已知函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx(a∈R).(1)求函数y=f(x)的单调区间；x>x2+x+2. 2(20122·浙江·模拟预测)已知函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx(a∈R).(1)求函数y=f(x)的单调区间；x>x2+x+2.(2023(2023上·福建福州·高三校联考)设函数f(x)=e2x-alnx.12(2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习)已知函数fx=x-alnx-4,a∈R.2(1)讨论函数fx的单调性；(2)当a=1时，令Fx=x-2ex-fx，若x=x0为Fx的极大值点，证明：0<Fx0<1.3(2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知函数fx=ax+xlnx,a∈R.(1)判断fx的单调性;3(2)若a=1,0<x≤1,求证:ex+1-fx≤e,其中e是自然对数的底数.凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明f(x)>0，若可将不等式左端f(x)拆成g(x)>h(x)，且gmin来完成证明. 1(2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考)已知函数fx=+lnx,m∈(1)讨论fx的单调性； 2已知函数f(x)=ex-x-m(m∈R).(2)当m=-1时，证明：f(x)>1-.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若a<-1，证明：f(x)<-1.12已知f(x)=xlnx，g(x)=-x2+ax-323已知函数f(x)=ax2-xlnx.32.xex=elnx⋅ex=elnx+x3.==elnx-x4.x+lnx=lnex+lnx=ln(xex)5.x-lnx=lnex-lnx=ln-x16.=x-6.=x=x=elnx(核心公式)x=elnx⋅ex=elnx+x（3）==elnx-x（4）x+lnx=lnex+lnx=lnxex（5）x-lnx=lnex-lnx=ln（1）==（2）=-x-1lnx-1=-elnx-1⋅lnx-1（3）xlnx=elnx⋅lnx（4）==-(-x)e-xxx11一个核心：lnex=x=elnxxxxx 数的底数.(2023·(2023·四川遂宁·统考模拟预测)设f(x)=ae3x-x，h(x)=3x2-xlnx，(1)试讨论f(x)的单调性；(2)当a≥1时，证明f(x)>h(x)恒成立.122 a. (1)求函数fx的单调区间；(2)已知m，n是正整数，且1<m<n，证明1+mn>1+nm.(1)求gx的单调区间；12(2021·全国·高三专题练习)已知函数fx=lnx-.2(1)求证：函数fx在0,+∞上单调递增；3(2022·全国·高三专题练习)已知函数fx=lnx-.3(1)若函数fx在0,+∞上为单调增函数，求a的取值范围； 1(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知函数fx=ex-ax2+e2x有两个极值点a≤-，x2x1<x2.+x2<2ln2a. 2(2023·山西·校考模拟预测)已知函数fx=lnx-ax+1,a∈R.(1)若fx≤0，求a的取值范围；(2)若关于x的方程fx2=eax-ex2有两个不(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x1≠x212(2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习)已知函数fx=lnx+,a∈R．若函数fx有两个不相2等的零点x1,x2.+x2>4a.处理极值点偏移问题中的类似于x1x2<afx1=fx2的问题的基本步骤如下：①求导确定fx的单调性，得到x1,x2的范围；②构造函数Fx=fx-f，求导可得Fx恒正或恒负；③得到fx1与f的大小关系后，将fx1置换为fx2； x1 x1 1(2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习)已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R). 2(2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考)已知函数fx=，gx=lnx-x.(1)求函数gx的极值；(2)若hx=fx-gx，求函数hx的最小值；1x2<1.1 2e2-a+1xa∈R.2(1)当a=1时，求函数y=fx的零点个数. (1)讨论fx的单调性； 2(2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)已知函数fx=lnx-ax2.(1)讨论函数fx的单调性：(2)若x1,x2是方程fx=0的两不等实根，求证：x+x>2e；(2023·山西(2023·山西·校联考模拟预测)已知函数fx=-ax.1(1)若fx≤-1，求实数a的取值范围；(2)若fx有2个不同的零点x1,x2(x1<x2)，求证：2x+3x> 2(1)若fx≤1，求a的取值范围；2，使得fx1=fx2，则x+x>2.3.三角函数与函数的重要放缩公式：x≥sin 1(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=ex-x-1. 2(2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数fx=x3-ax+1.(2022·(2022·新疆·统考三模)已知函数f(x)=sinx-axcosx，a∈R122 1已知函数fx=lnx+x2-axa∈R.(1)求函数fx的单调区间； 2(2)设fx存在两个极值点x1,x2，且x1<x2，若0< 23-4,求证：fx1-fx23-4ln2. 2已知函数f(x)=lnx+ax2-x.(2)设f′(x)为f(x)的导函数，若x1，x2是函数f′(x)的两个不相等的零点，求证：f(x1)+f(x2)<x1+x2-5已知函数f已知函数fx=x--alnx(a∈R)，1(1)求曲线y=fx在点（e,-处的切线与坐标轴围成三角形的面积.(2)fx是fx的导函数，若函数gx=x2⋅fx-ax+2lnx有两个极值点x1,x2，且0<x1<x2<e，求证：gx1+<gx2+e2-4.2已知函数fx=x2+lnx+mx，(m∈R).2(1)若fx存在两个极值点，求实数m的取值范围；2为fx的两个极值点，证明：-f>.(1)ex≥x+1；(2)ex≥ex；(3)1-≤lnx≤x-1；(4)lnx≤. x2-x1<2a+1+e-2.求证：|a-b|<nlnt+nn. 2已知函数f(x)=4ex-1+ax2，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+1.(2)x>0且x≠1时，证明：曲线y=f(x)的图象恒在切线y=bx+1的上方；x-1-x3-3x-2lnx≥0.已知函数f(已知函数f(x)=4ex-1+ax2，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+1.(2)x>0且x≠1时，证明：曲线y=f(3)证明不等式：4xex-1-x3-3x-2lnx≥0.12(2013·新课标II卷)已知函数fx=ex-lnx+m①2(1)设x=0是fx的极值点，求m并讨论fx的单调性；(2)当m≤2时，证明：fx>012021·福建莆田·统考二模)设函数f(x)=2ex+acosx,a∈12(2023上·湖北·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=sinx+x2.2(1)求曲线g=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程，(2)证明：f(x)>-.3(2023·全国·高三专题练习)设函数fx=x2-ax+alnxa∈R,a≠0,fx是函数fx的导函数.3(1)讨论fx的单调性；(3)利用(2)中的不等式证明：++...+>lnn+1n∈N*.44(2)求证：+++⋯+<nn+5，n∈N∗.5(2023·河北·统考模拟预测)已知函数fx=l51+<en∈N*.660是f(x)的导函数f(x)的零点，若-7(天津市红桥区2021-2022学年高三数学试题)已知fx=xlnx，gx=-x2+ax-3.(1)求函数fx的单调区间；78-2022学年高函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的.如函数fx=xx8x>0，我们可以作变形：fx=xx=elnxx=ex⋅lnx=ett=xlnx，所以fx可看作是由函数ft=et和gx=xlnx复合而成的，即fx=xxx>0为初等函数，根据以