山东省滨州市2023届高三年级上册期末考试模拟数学试卷

一、单选题

1.已知集合4=上苗+》<0},8={x|y=ln(2x+l)},则AcB=()

A.f-^olB.1—,o]C.fi,olD.「T,-!

12」L2J12」L2.

【答案】A

2.复数z=(l+2i)i的实部和虚部之和为()

A.1B.-iC.3D.-3

【答案】B

3.2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开

始倒计时创意新颖，赢得了全球观众的好评.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作

出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的

文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不

同的放置方式种数有()

A.24B.48C.144D.240

【答案】C

4.函数/(x)=3sin(与-2x)的一个单调递减区间是()

7713乃71171冗7C71

—，—C.—，一D.--,一

1212J12266

【答案】B

22

5.已知尸I,尸2为椭圆C:=+4=l(a>b>0)的左，右焦点，为C的短轴的一个端点，直

ab-

线班与C的另一个交点为，若"4弱为等腰三角形，则IA图/-I=

A.12

B.\_C-D.3

323

【答案】A

01

6.己知FG分别为5-2=l,a>0,6>0的左、石焦点，为双曲线右支上任一点,

ab西

最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是()

A.(1,2)B.(1.3]C.(2,3)D.（3,4-00）

【答案】B

?

7.关于函数/(x)=lnx+—,下列判断正确的结论的个数是()

ax

①函数/(%)的图像在点X=1处的切线方程为(吁2)x-ay+4-a=。

2

②是函数/a)的一个极值点；

a

③当时，/(x)>ln2+l；

④当a=-1时，不等式/(2x+D-/(3x-D>0的解集为(1,2)；

⑤f(x)20恒成立的充分必要条件是ae(0,2e］；

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

8.已知函数/(x)是定义在(-1，2)上的单调函数，且对任意的xe(-l,2),都有

—1)=1恒成立，则/(2)=()

211

A.-B.1C.-D.-

【答案】D

二、多选题

9.已知等差数列｛4｝的前项和为S”,若q=31,$=210,则()

A.SI9=19a10

B.数列｛2%｝是公比为28的等比数列

C.若，=(-1)"­凡，则数列｛包｝的前2023项和为-4037

D.若么=——,则数列他,｝的前项和为

【答案】ABD

10.已知4e；是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，可以作为一组基底的是()

A.。和q+e,B.q—2e?和/一2«?1

C.q+e2和弓―e2D.q—2/和4%—2q

【答案】ABC

11.如图，在菱形ABCQ中，AB=^-,ZBAD=60,沿对角线8D将△ABZ)折起，使点,

3

C之间的距离为2夜，若P,Q分别为直线52CA上的动点，则下列说法正确的是()

A.当人。=。。,49=。3时，点。到直线也的距离为巨

21

B.线段PQ的最小值为加

C.平面ABDI平面BCD

D.当RQ分别为线段的中点时;PQ与A。所成角的余弦值为理

4

【答案】BCD

12.记/(X)的导函数为数为),若F(x)v犷(的v2/(x)-*对任意的正数都成立,则下列

不等式中成立的有()

A.〃1)<2/出B./(1)<|/(2)

C.D./(1)<1/(2)4

【答案】BC

三、填空题

13.如图，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度加=10米，高度/?=5米(即桥

拱顶到基座AB所在的直线的距离).由于河流上游降雨，导致河水从桥的基座处开始上涨了

1米，则此时桥洞中水面的宽度为米.

【答案】475

14.等比数列｛0“｝中，S“是其前项和，且5*=100,1=300,则邑4=

【答案】700

15.球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和

此球体积的比值为.

【答案】《9或三3

3232

16.已知函数/*)=，-3修，现给出下列结论：

①/(x)有极小值，但无最小值

②/(X)有极大值，但无最大值

③若方程fM=b恰有一个实数根，则b>61

④若方程/(x)="合有三个不同实数根，则0<b<Ge，

其中所有正确结论的序号为

【答案】②④

四、解答题

17.为了更好地帮助高二学生准备生物地理的等级考试，复旦附中就“住校备考”还是“回家

备考”问题进行了抽样调查，调查数据如下表(单位：人):

住校备考^山家备考合计

男4812

女10313

合计141125

(1)根据表中数据回答，能否有95%以上的把握判定是否回家备考与性别有关?

(2)从“回家备考”的11人中选出4人进行座谈，设参加座谈的男生人数为X,求X的分布和

期望.

说明：解答本题，可以参考如下资料:

P(/")

2n(^ad-bcy

,(o+b)(c+d)(a+c)(b+d).

【答案】(1)答案见解析；

(2)分布列见解析，期望为三32.

(1)

25x(8x10-4x3)2

由%2=»4.812>3.841

14x11x12x13

所以有95%以上的把握判定回家备考与性别有关.

⑵

由题设，X可能值为"2,3,4},

P(X=D=詈嘀，尸《=2)=署U嘉尸-3)=詈嘲

玖*=4)=詈=爵,

X分布列为

X1234

88416870

330330330330

18c84168.7032

E（X）=1x---F2x---F3x----F4x---=

33033033033077

18.在MBC中，AB=6,AC=3&，ABAC=-18.

（1）求BC边的长;

（2）求AABC的面积.

【答案】（1）3V1O；（2）9.

【详解】（1）由AB-AC=A8-AC-cosA=-18，且A8=6,AC=3叵,

BC=ylAB2+AC2-2ABAC-cosA={62+（3河一2.18）=3x/10：

（2）在MBC中，AB=6,AC=3y/2,BC=3x/i（j,

.ABAC-186.*r----ry夜

cosA=------=----f==----,smA=vl-cosA=---,

ABAC6x3V222

所以SMBC=gAB-4C-sinA=g-6-3VLq=9.

19.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面四边形ABCD是矩形，A8="=2BC,平面PAB1

平面ABCD,二面角尸-BC-A的大小为45.

（1）求证：Q41平面ABCD；

（2）求直线”与平面PAC所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵.

10

【详解】（1）四棱锥尸-ABCD中，四边形ABCD是矩形，所以BC1AB,

又因为平面2钻1平面ABCD,平面PABc平面BCu平面ABCD

所以BC工平面RM，

又因为AB、朋、P8u平面BW，所以BC143，BC1PA,BCLPB,

从而/PBA是二面角尸―BC-A的平面角，

因为二面角P-BC—A的大小为45,所以/PA4=45",

在：％B中，AB=PA＞所以/8抬=/尸班=45,所以NP8A=90"，

即加1"，

又因为BC工尸A,ABcBC=B,所以B41平面/1BCD；

（2）在底面ABCD内，过点作B//1AC,垂足为〃，连接PH，

由（1）知241平面ABCD,又BHu平面ABCD,所以m1BH，

又因为W/1AC，PA^AC=A,所以BH1平面PAC,

从而ZBPH为直线尸s与平面PAC所成角，

设BC—a，则AB=AP=2a,AC=>/AB^+BC~=后a,

”,„„BABC2a__________「

所以，BH=AC=忑，PB=>JPA2+AB2=2j2a>

2a

所以直线”与平面PAC所成角的正弦值为sm/PH=也==眄-

PB2缶10

20.已知某数列的第一项为1,并且对所有的自然数稔2,数列的前“项之积为/.

(1)写出这个数列的前5项；

(2)写出这个数列的通项公式并加以证明.

1(〃=1)

【答案】2

(l)1,4,y,U；(2)«„=■n

4"Io(n>2)

(n-1)2

【详解】(1)已知。/=1，由题意，得。/・。2=22,・・・02=22.

.3"

VCU,d2,d3=y19•*C13=•

4~5~

同理，可得。4=三，"5=不・

因此这个数列的前5项分别为1,%之.

4,16

⑵观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：

1(〃=1),

2

an=5n

(n>2).

("一1产

下面用数学归纳法证明当“22时，an=-^—r.

22

①当，7=2时，C12=~~~—r—22,结论成立.

(2—1)

②假设当"=©Q2,keN*)时，结论成立，

k2

即以

2

°：ag•…，aki=(k—\¥，arar...'ak-rakakA/=(A:+1),

,(A+1)2Gt+1)2a-1)2(&+l)2/+1)2

十(4。2ak-\^'ak(4—1)2k2k2[(/:+1)-1]■

这就是说当〃=%+l时，结论也成立.

根据①②可知，当“N2时，这个数列的通项公式是

n2

1(〃=1),

•••这个数列的通项公式为加={〃2，、小

-----7(“22).

〔5-1)2

21.已知复数2=工+加(兀丫€©在复平面内对应的点为河(x,y),且满足|z+2|-|z-2|=2,

点”的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)设A(-LO),8(1,0),若过尸(2,0)的直线与C交于，0两点，且直线w与80交于点.证

明：

(i)点在定直线上；

(ii)若直线AQ与配交于点S,则RF_LSF.

【答案】(1)x2_《=i(x>o)；(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.

【详解】(1)由题意可知：7U+2)2+/-^x-2)2+y2=2)

所以点”到点片(—2,0)与到点名(2,0)的距离之差为2,且2〈衍q=4,

所以动点”的轨迹是以E，B为焦点的双曲线的右支，

设其方程为.一方=l(x>0,〃>0/>0),其中2〃=2,2c=4,

所以〃=1,c=2t

所以从=C2-/=3,所以曲线c的方程为V-9=l(x>0).

(2)(i)设直线P0的方程为X=〃+2,P(x,9y,)f0(*2，/)，其中％>0，电>。.

(x=ty+2

联立卜一片=],消去，可得(3,2-1)〉2+]2疗+9=0,

由题意知3r_1*o且△=144/一36(3r2-l)=36(r+1)>0,

由…一⑵

所以,+%=铲7反=彳9才

直线招：,=38+1),直线BQ：y=-2r7(x-D0,

X1+IX2~i

由于点尸(x,，x)在曲线c上，可知y：=3(x；-l),所以扁=蛰二D,

所以直线他：yK芭0(X+1)②.

乂

联立①②，消去y可得士二】），

M七一1

3（x+l）=^

即A-1（王_1）（々-1），

而N3（x+D=）1必=________3^2_______

所’x-1（^,+1）（%+1）/％必+/（必+为）+1'

所以点在定直线x=7上.

2

(ii)由题意，与(i)同理可证点S也在定直线》=■!■上.

2

由于在直线@：丫=」;。+1）上，S在直线AQ：y=』y（x+l）上,

X1+1x2+1

所以r=*得■,5=|--^77.

2X1+12x2+1

而“2..___Z12?___=2,____Z122____

所以rs=4（再+1）（芍+1）-4侬+3）（优+3）

=9___________________=9_________9________=_9

-4/%刈+3,（乂+%）+9—49产―36产+9（3/-1）-4，

9

所以耳?・烈=二+小=0,所以RF1SF.

Y

22.设函数./■（*）=xlnx,g（x）=----

'/VII

(1)若直线y=；x+b是曲线y(x)的一条切线，求力的值；

(2)证明：①当0<x<l时，g(x)-/(x)>gx(x-l)；

2

②Vx>0,g(x)-〃x)<-.(是自然对数的底数,e«2.718)

【答案】⑴一「

(2)①证明见解析②证明见解析

(1)

由f(x)=x\nx,则/(x)=lnx+l,

设产｝+/?在/(x)上的切点为(Xo，/ln%),

_,1-1

从而f(x0)=Inx0+1=-=>x()=e2,

iAi.1

故y=-x+Z?在jf(x)上的切点为(e2,--e2),

22

-11-11i_l1J._1

将(e2,——e2)代入y=_1+/?得，——e2=—e2+b=b=-e2,

2222

故b的值为_eW.

(2)

①当时，>^x(x-l)<=>21nx-x+—>0,

不妨令〃(x)=21nx-x+L则〃'(x)=2-i--g*二D<0,

xxxx

故/2(x)在(0,1)上单调递减，

从而对Vxe(0,1),都有h(x)>h(V)=0,

故当0<工<1时，g(x)-/(x)>|x(x-l)

②(i)由①知，当0<x<l时，^(x)-/(x)>-x(x-l),

从而xlnx〉,，_]),

2

欲证g(x)_f(x)<一,只需证9(x)=——x2+—<—,

ex+122e

l-x(x+l)2

则。(x)=x

-(--%--+---1-)27~=----(--X--+---l-)2-

令0(x)=l-x(x+l)2,则d(x)=-(x+l)2-2x(x+l)<0,

从而。(x)在(0,1)上单调递减,

因为心=1」(1+1)2>1,i9