河北省衡水市衡水中学2024届高三年级上册四调考试数学试题（含答案）

河北省衡水市衡水中学2024届高三上学期四调考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合人={川一1<X<1},B={X|0WXV2},则AB=()

A.[0,1)B.(-1,2]C.(1,2]D.(0,1)

2.已知直线4：ax+y-3=0和直线4：3x-2y+3=0垂直，贝！j"=()

3322

A.——B.一C.——D.

2233

3.已知圆锥的底面半径为2,高为4形，则该圆锥的侧面积为()

1672

A.4兀B.12KC.16KD.---------71

4.已知函数是定义域为R的奇函数，当xNO时，〃力=尤(1+力，则〃-1)=()

A.-1B.-2C.2D.0

2小e八COS6Z/

5.已知。是第一象限角，C0S6Z=-----,贝!|cos2a——；----=()

5sina

137131

A.一B.——C.—D.—

55510

a1

6.记S“为等比数列{4}(%>0)的前“项和，且q%=16,工，1邑，万S3成等差数列，则臬=

()

A.126B.128C.254D.256

7.直线无+y+2=0分别与尤轴，y轴交于A,8两点，点尸在圆(》-2)2+/=2上，则

一AB尸面积的取值范围是

A.[2,6]B.[4,8]c.[72,372]D.12拒，37rl

8.设a=21n0.99,Z?=ln0.98,。=而诟-1,则()

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

二、多选题

9.数列{q}的前兀项和为S“，已知'=-/+7〃，则下列说法正确的是()

A.{4}是递增数列B.%o=-14

C.当">4时，an<0D.当〃=3或4时，S”取得最大值

10.己知函数/（x）=（2-x）e，,则下列说法错误的是（）

A."X）的图象在x=2处的切线斜率大于0

B.“X）的最大值为e

C.在区间（1,也）上单调递增

D.若=a有两个零点，贝U"e

11.已知〃x）=sin[0x+m+9，0>O,|d<3为偶函数，g（x）=sin（69%+^）,则下列

结论正确的是（）

,兀

A.（P=~

6

B.若g（x）的最小正周期为3兀，则。=；

C.若g（x）在区间（0㈤上有且仅有3个最值点，则。的取值范围为

D.若g/=冬则0的最小值为2

12.如图，在ABC中，LB=三，43=6，BC=1,过AC中点M的直线/与线段A3

交于点N.将/UWN沿直线/翻折至△AMN,且点A在平面BCMV内的射影a在线段

3C上，连接交/于点。，。是直线/上异于。的任意一点，则（）

C.点。的轨迹的长度为£7T

6

D.直线A。与平面BQMN所成角的余弦值的最小值为8相-13

填空题

试卷第2页，共4页

13.已知向量a=（2,T）,b若°//6，贝心=..

14.写出一个圆心在尸了上，且与直线y=T和圆（尤-3丫+（卜3）2=2都相切的圆的

方程：.

15.表面积为100%的球面上有四点S、A、B、C,AABC是等边三角形，球心。到平面ABC

的距离为3,若面SA8L面A8C,则棱锥S-ABC体积的最大值为.

16.数列｛4｝满足％=9，a,+i=aj-a“+l(〃eN*),则,+，•++」一的整数部分

3。2〃2017

是.

四、解答题

A+C

17.在一ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且csin---=Z?sinC.

⑴求角B；

（2）设8。是AC边上的高，且BD=1,b=6，求ABC的周长.

18.如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面48C。是菱形，/ADC=60。，AC与BD

交于点。，EC,底面ABC。，尸为BE的中点，AB=CE.

⑴求证：DE〃平面ACF；

（2）求AP与平面所成角的正弦值.

19.已知数列｛%｝是各项都为正整数的等比数列，4=3,且%是电与的等差中项,

数列也｝满足瓦=1,%=2包+1.

(1)求数列｛4｝,也｝的通项公式;

b+5

(2)若八七一一%N8〃+2左一24对任意〃eN*恒成立，求实数上的取值范围.

20.己知点P到A(-2,0)的距离是点P到5(1,0)的距离的2倍.

⑴求点尸的轨迹方程；

⑵若点P与点Q关于点B对称，过8的直线与点。的轨迹「交于E,尸两点，探索

尸是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

21.已知函数〃x)=e"—asinx—l(aeR).

⑴当°=1时，讨论函数g(x)=g在［4功上的单调性；

⑵当°=一3时，证明：对Vxe(O,心)，有〃x)<e'+x+l—2e-".

22.如图①，在ABC中，BC=4,AB=g,cosB=巫,分别为BC,AC的中点,

13

以DE为折痕，将△OCE折起，使点C到G的位置，且BG=2,如图②.

⑴设平面GAOc平面5石G=/,证明：/_/.平面ABC一

⑵若尸是棱G。上一点(不含端点)，过R8后三点作该四棱锥的截面与平面所成

的锐二面角的正切值为正，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比.

2

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】直接利用集合的交运算法则进行运算即可.

【详解】因为集合4={引-1(尤<1},3={川0«尤W2},

故AcB={%|O〈x<l},

故选：A.

2.D

【分析】由直线垂直的充要条件列出关于。的方程，解方程即可.

【详解】因为直线6：ox+y—3=0和直线a3x—2y+3=0垂直，

所以ax3+lx(-2)=0,解得a=(.

故选：D.

3.B

【分析】由圆锥的侧面展开图扇形基本量与圆锥基本量间的关系可得.

【详解】已知圆锥的底面半径r=2,高/i=4四，

则母线长/=M+/=百+(4近丫=6，

圆锥的侧面展开图为扇形，且扇形的弧长为圆锥底面圆周长2a,

扇形的半径为圆锥的母线长/,

则圆锥侧面积S=：x2近-x6兀“联

故选：B.

【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义计算得解.

答案第1页，共16页

【详解】定义在R上的奇函数/(尤)，当xNO时，/(x)=x(l+x),

所以"-1）=一/（1）=-2.

故选：B

5.B

【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式化简求值.

【详解】因为a是第一象限角，"=述

5

所以sincr=Vl-cos2a-

~5

2A/5

COS6Z31cosa八行二7

所以cos2&_-------=2cos2a-\----------=2x

sinasinaA/55

V

故选：B.

6.A

CI3==]6

a、—4©=：，结合等比数列

【分析】根据可得1i3，整理得一。。，进而可得

q=2

^+-S3=-S2a3=2%=o

的求和公式运算求解.

【详解】设等比数列｛七｝的公比为q,则％>0,4>。,

=a,—162二4

由题意可得13，即’_

ai+/（。1+。2+〃3）=|（。1+%）

dry—4a.q=4%=2

整理得…2=8,则"2。，解得

axq=Xq=2

由22x(l-26

所以Ss=—-------^=126.

61-2

故选：A.

7.A

【详解】分析：先求出A,B两点坐标得到|AB|,再计算圆心到直线距离，得到点P到直线

距离范围，由面积公式计算即可

详解：直线x+y+2=0分另IJ与x轴，y轴交于A,B两点

答案第2页，共16页

A(-2,0),B(0,-2),则|AB|=20

点P在圆(x-2T+y2=2上

，圆心为(2,0),则圆心到直线距离&=匕詈4=2应

故点P到直线x+y+2=0的距离4的范围为［8,3忘］

则S拗必=0%42,6］

故答案选A.

点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档

题.

8.D

【分析】根据对数的运算法则及对数函数的单调性，直接比较a和b的大小；构造函数

/(x)=ln(l-x)-7T2^+l,求导判断其单调性，进而比较6和。的大小.

【详解】tz=21n0.99=ln0.992=In0.9801>In0.98=Z?,

令％=0.02,b=ln(l-x),c=Jl-2x-l,

令/(x)=ln(l2x+l(%<g),

"x)=(一)CP

(1—x)2=1—2X+X2>1—2x>0,

所以即/'(X)20,故/(x)在［-巩j上单调递增，

所以“0.02)>"0)=0,即6>c,综上，a>b>c.

故选：D.

9.CD

【分析】根据S,表达式及〃22时，a“=S“-S,i的关系，算出数列｛4｝通项公式，即可判断

A、B、C选项的正误.S“=-/+7"的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.

【详解】当"22时，a“=S"—S"_|=-2〃+8,又/=S]=6=-2义1+8,所以。“=一2〃+8,

则｛%｝是递减数列，故A错误;

答案第3页，共16页

%o=T2,故B错误;

当〃>4时，a〃=8—2〃<0,故C正确；

7

因为S"=-1+7”的对称轴为〃=5,开口向下，而〃是正整数，且〃=3或4距离对称轴一

样远，所以当〃=3或4时，5.取得最大值，故D正确.

故选：CD.

10.ACD

【分析】利用函数的导数逐项判断求解即可.

【详解】由题得尸(x)=Y+(2—x)e'=(l-x)e",则/(2)=-e2<0,故A错误；

当x<1时，尸(x)>0,在区间(-8,1)上单调递增；

当x>1时，1f(x)<0J(x)在区间(1,+«>)上单调递减,

所以f(x)的极大值即最大值为/(l)=e,故B正确，C错误；

令g(x)=/(x)-。，则g〈x)=(l—x)e，，

由B知g(x)在区间(7,1)上单调递增，在区间(L")上单调递减，

所以g(x)的极大值为g#=e-。，且当x趋向于-oo时，g(x)趋向于-。，当x趋向于+co时，

g(x)趋向于-8,

/、fe—<2>0

所以若/(力=。有两个零点，贝1J，即。<a<e,故D错误.

故选：ACD

11.ABC

【分析】先求出函数/(%)的解析式，然后逐项判断即可求解.

【详解】对A：若/(%)=$抽"+三+,(0>0,何苦)为偶函数，则]+0=]+

|夕|<[,所以o=5，A选项正确；

26

对B：若g(x)的最小正周期为3无，则7=臼=3无，所以。=，故B正确；

CD3

对C:由xe(o,7i),得8+师+£),若g(x)在区间(0,兀)上有且仅有3个最值点，

答案第4页，共16页

rr57171,7兀/口7,1°।/-

则三-〈(OT+7V：；-,得三＜04下，故C正确；

26233

MD：因为g(x)=sin(0x+e[,若g]£j=sin(0：+6j=?,

贝二+工=&+2阮或g工+工="+2E,

463463

2

得。=§+8%或G=2+8NRGZ,

又切〉0,所以①的最小值为|,故D错误.

故选：ABC.

12.BCD

【分析】A、B选项结合线面角最小，二面角最大可判断;对于C,先由旋转，易判断出

MNLAO,故其轨迹为圆弧，即可求解.对于D求直线与平面所成角的余弦值，即求

空，=用。表示AO,OH,再结合三角恒等变换求出函数的最

AOAO\32J

依题意，将AW沿直线/翻折至“'MN,连接A4',由翻折的性质可知，关于所沿轴对称

的两点连线被该轴垂直平分，

故A4'，MN,又A在平面3c肱V内的射影H在线段2C上，

所以A”_L平面3cMV,MNu平面3cMV,所以AH_LA£V,

A4'cA'”=A,A4'u平面AAH,AH平面AAEf

所以AW_L平面AAH.

AOu平面AAH,A’Ou平面A'AH,A'〃u平面A'AH，

AO±MN,A'O_LMN,A!H±MN,

:.ZAOM=90,且NA'O"即为二面角A-MN-8的平面角

对于A选项，由题意可知，ZA'DH为AD与平面BCMV所成的线面角，故由线面角最小可

知NA'DHWNA'DC,故A错误；

对于B选项，NAOH即为二面角A'-MV-3的平面角，故由二面角最大可知

答案第5页，共16页

ZADH<ZAOH,故B正确；

对于C选项，MN±AO恒成立,故。的轨迹为以AM为直径的圆弧夹在.ABC内的部分,

易知其长度为=故C正确；

236

对于D选项，如下图所示

“LDHc

在.AOM中，ZAOM=90,AO=AMsin8=sin夕，

AB6

.,7iAH=

在.一ABH中，/B=m，cosZBAH(八九)，

cos0——

I3j

OH=AH-AO=­U—万、sin。，设直线AO与平面5cMV所成角为a,

所以(n

COSu——

I3j

73-A

---7------sin6

,cos|6>--|厂

则。“I3JV31二2班]

A。如夕sindcos,-3sin(2"；]+f

>^^-1=873-13

1+3

2

jrjr

当且仅当26-9=《=>6=59TF时取等号，故D正确.

3212

故选：BCD.

13.-5

【分析】根据向量平行关系得到方程，求出答案.

【详解】因为a//6,所以Tx左=2x：,故％=—5.

故答案为：-5

14.(x-l)2+(y-l)2=2(答案不唯一)

答案第6页，共16页

【分析】由题设，设圆心为(〃?,，”)，则半径「=应|刈，讨论所求圆与圆(x-3『+(y-3)2=2

外切、内切，分别求出对应机即可得结果.

【详解】设圆心为(九㈤,贝|J半径r=""二"=夜|加|,

72

假设与圆(x-3y+(y—3)2=2外切，则+(加—3)2=母+垃\加\,

所以|加―31=1+1川，故病一6m+9=苏+21川+1,则3根+|川二4,

若机〉0,则4m=4=＞根=1,则圆心为(1/)，半径为厂=0,故+(＞-1)2=2；

若相＜0,则2m=4=＞帆=2,不满足前提；

假设与圆(x-3)2+(y-3)2=2内切，又(3,3)与尸T的距离为美=3员夜，

此时，圆(冗-3)2+(丁-3)2=2内切于所求圆，则3『+(m-3)2=gm；

所以|相—31=|m|一1,故/-6根+9=苏一21川+1,贝U3加一|相|=4,

若加〉0,则2m=4=帆=2,则圆心为(2,2),半径为r=2后，故(％-2)2+(＞—2)2=8；

若加＜0,则4%=4=机=1,不满足前提；

综上，(x-l)2+(j-l)2=2^(x-2)2+(y-2)2=8.

故答案为：(x-l)2+(y-l)2-2(答案不唯一)

15.12(4+我

【分析】求出球半径及球心到平面ABC的距离，进而求出ABC外接圆半径，利用面面垂

直结合球的截面小圆性质，求出ASAB的外接圆半径，确定点S到平面A3C的最大距离即

可作答.

答案第7页，共16页

【详解】依题意，球0的半径R=5,令正，ABC的中心为O',则OO'=3,且00」平面ABC,

ABC外接圆半径r=CO'=VF=5万7=4,连接CO'并延长交A8于。，则。为A3的中点，

且。'。=工厂=2,

2

显然CD_LAB,而平面SW_L平面ABC,平面&15平面=有CD_L平面SAB,

令ASAB的外接圆圆心为E,则OEL平面&4S,有OE//O7）,

又OO'_L平面ABC，ABu平面ABCD,所以00,_LAB,

由OO，cCD=。,所以AB2平面OO'DE,所以ED，的，

而平面SAB_L平面ABC,平面SAB平面=EDu平面SAB,则EDJ_平面ABC,

即有ED//。。'，因此四边形OO'DE为平行四边形，则ED=OO'=3,OE=O'D=2,

△SAB的外接圆半径/=，&-0宫=厅,ASAB的外接圆上点S到直线A3距离最大值为

r'+ED=y/21+3,

而点S在平面ABC上的射影在直线A2上，于是点S到平面ABC距离的最大值/?=5+3,

又正ASC的面积SABC=3X”3X¥x4』25

所以棱锥S-ABC的体积最大值匕-=g5ABe帝=gx12岔x（扃+3）=12（近+6）.

故答案为：12（近+收）

【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球

的截面小圆性质求解.

16.2

【详解】因为q=§,%+[=3,2-a“+l（〃eN*）,所以。用-a“=（a“-1）>O^an+1>an,

数列｛4｝单调递增，

答案第8页，共16页

1111

所以a“+T=a"(a“T)>。，所以——.(n,

«K+i-la“(a“T)«„-1an

C111111111

所以S〃=—+—++—+(■+(-

dy^^2丫

1

所以加=02017=3-

%017-1

413.13।133133，1331。

因为q=§，所以％=上+l=ua=(―)2——+1=——，&=(——)-------+1>2,

393998148181

所以的017>“2016>%015>>〃4>2，

11

所以的。广1>1,所以0<<1,所以2<3—<3,

“2015—1

因此加的整数部分是2.

点睛：本题考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项公式，数列的裂项求

和，数列的单调性的应用等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,

以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的借助数列递推关系，化简数列

111

为——7=-7-一，再借助数列的单调性是解答的关键.

4+1-14Tan

Tl

17.⑴B=m

(2)3+4

【分析】(1)利用正弦定理边化角以及诱导公式化简已知等式，可得sing的值，即可求得

答案；

(2)根据三角形面积相等可推出ac=2,再利用余弦定理即可求得a+c的值，即可得答案.

44-C

【详解】(1)因为csin——=bsinC,

所以sinCsin怎-?=sinBsinC,

因为。£(0,兀),sinCwO,

匚匚〜目口

所以cos—B=s•mn3,即cosB—=c2s.inB—cosB—.

2222

因为cos^wO,

所以sing：，解得8=

(2)因为B=b=A/3f

答案第9页，共16页

所以s4廿=,。,8。=’'k百=走,

ABC222

又由S=!4欧111殳=走祀，可得^-ac=^~,所以〃c=2.

23442

2

由余弦定理。2=a+(?-2QCCOS],可得3=/+o2一如，即(Q+C)?=3+3〃°,

即(〃+c)2=3+6=9,

所以a+c=3,

所以ABC的周长为3+g.

18.(1)证明见解答

⑵日

【分析】(1)通过证明。///DE,得证DE//平面ACB

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.

【详解】(1)证明：如图，连接。尸，

因为底面ABCD是菱形，AC与比＞交于点0,可得。点为8。的中点，

又尸为8E的中点，所以O/为△血汨的中位线，可得OF7/DE,

又5u平面ACV,W平面Ab,

可得OE7/平面ACF；

(2)以CB,CE所在直线为＞,z轴，过C作CB的垂线所在直线为x轴，建立如图所示

的坐标系，

因为A8CD是菱形，/ADC=60。，AWC为等边三角形，

答案第10页，共16页

不妨设AB=CE=2,则5(0,2,0),£(0,0,2),刀隔叫,F(0,1,1),

可得。8=(-6,3,0),BE=(0,-2,2),

rz、DB-n=—V3x+3y=0

设平面EfiD的一个法向量为〃=(x,y,z),可得，

BE-n=-2y+2z=0

不妨取y=i,贝UX=6,2=I,可得〃=(代,1,1).

又A尸=(一6,0,1),

+1X0+1X1

可得"与平面EBD所成角的正弦值为:~5~'

I(-73)2+O2+I2

n

19.(1)见=3X2"T,bn=2-l；(2)[4,+«).

【分析】（i）根据等比数列的性质求得公比，进而得到数列｛%｝的通项公式；由已知得到数

列｛2+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，求得其通项公式，进而得到数列｛2｝的通项

公式;

k_q17__ari_q

（2）等价转化为*2巴/对任意〃eN*恒成立，然后令/伍）=一，利用作差法研究单

1622

调性，得到最大值，进而求解得到％的取值范围.

【详解】⑴设数列｛%｝的公比为4,则”N*,

33

。3是〃2与Wa4的等差中项，•••2。3=%+［。4,

39

：.2q=l+-q2,解得4=2或4=舍去)，.•.%=3X2〃T

%=为+L%+1=2(d+1),

又4+1=2,.•.数歹!］电+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列,

答案第11页，共16页

.■.bn+l=2\:.bn=T-1.

b_i_5

（2）由人^^一见28〃+2左一24,

整理可得上（2"-1+2）-3x2"T28（〃一3）+2左，即化-3）-T-x>8（n-3）,

k—qH—Q

甯N寸对任意〃£N*恒成立,

n-2n-3_(n-2)-2(n-3)_4-n

令,贝IJ/(〃+l)-/(〃)=

2n2n+i2用

・・・当”W4时，/(n+l)>/(n),当时，/(«+1)</(«),

.・.当”=4或5时，/⑺取得最大值,

■■■/(nL=/(4)=16

k—315,日

2%.解侍人".

1616

故实数％的取值范围是［4,+8）.

20.(l)(x-2)2+y2=4

(2)是定值，BEBF=-3

【分析】（1）设点尸（x,y）,根据两点坐标求距离公式计算化简即可；

（2）设根据中点坐标公式代入圆尸方程中可得Q的轨迹方程，直线/的方程、

尸（马,%）,联立圆Q方程，利用韦达定理表示出玉+%,占々，结合向量数量积的

坐标表示化简计算即可；

【详解】（1）设点P（x,y）,由题意可得|PA|=2|P回，即J（x+2）2+y2=2而_1）2+y,

化简可得（尤-2）2+丁=4.

（2）设点由（1）尸点满足方程:（x-2）~+y2=4,{,

代入上式消去可得其+$=4,即。的轨迹方程为%2+/=4,

答案第12页，共16页

当直线/的斜率存在时，设其斜率为上,则直线/的方程为,=

由消去y,得(1+r)尤2-2左2%+左2-4=0,显然A>0,

设EQ,%),/伍,％)则%+X2=^y,中2=3^，

1।/C1।/C

又BE=(x1Tyj,BF=(x2-l,y2),

则BE-jBF=1-(%,+无2)+占*2+M%=1—(占+工2)+%々+左2(&-l)(x2-1)

左2-4

=(1+公)&彳2_(1+%2)(占+尤2)+(1+左2)=(1+后：!)

l+k2-1)4+D

女4一3左2—4一2%4—2左2+r)+2%2+l-3左2-3

1+Pl+k2

当直线/的斜率不存在时，£(1,V3),F(1,-V3),BEBF=-3.

故8足3歹是定值，即BE-8F=-3.

21.⑴g(x)在单调递减，在单调递增

(2)证明见解析

【分析】(1)由导函数符号变化，分区间讨论单调性;

(2)不等式等价变形，构造函数尸(x)=e2，(3sin尤-x-2),求解导函数并利用x>sinx放缩,

再结合辅助角公式转化利用有界性判断导函数符号，得到函数单调性证明不等式.

ex-sinx-1sinx+1

【详解】(1)当a=l时，g(尤)=---------------=1-------------

cosx+--1

cosx-sinx-1

g'(x)=-I4J

e'

答案第13页，共16页

当一]<x<0时，一(<x+:<：cosQ+£|>三，g'(x)<0,g(x)单调递减;

当0<x</时，:<x+：<?,cos(x+£|<¥，g'(x)>0,g(x)单调递增.

所以g(x)在(go]单调递减，在(0号]单调递增.

(2)要证〃x)<e*+x+l-2eT”,只要证3sinx-x-2<-2e⑶，

即证e2v(3sinx