第五章 三角函数（32类知识归纳+38类题型突破）（原卷版）

第五章三角函数（32类知识归纳+38类题型突破）题型一终边相同的角题型二象限角题型三角度与弧度的互化题型四扇形的弧长与面积公式题型五各象限角三角函数值的符号题型六三角函数求值题型七三角函数线的应用题型八平方关系的应用题型九与的关系题型十商数关系题型十一同角三角函数基本关系的综合应用题型十二诱导公式直接求值题型十三诱导公式化简求值题型十四正弦（型）函数的图象与性质题型十五余弦（型）函数的图象与性质题型十六正切（型）函数的图象与性质题型十七三角函数值的大小比较题型十八解三角不等式题型十九求参数及其范围综合题型二十三角函数图象与性质压轴题综合题型二十一两角和与差的余弦公式题型二十二两角和与差的正弦公式题型二十三两角和与差的正切公式题型二十四二倍角的正弦公式题型二十五二倍角的余弦公式题型二十六二倍角的正切公式题型二十七降幂公式题型二十八三角恒等变换的综合应用题型二十九三角恒等变换的实际应用题型三十三角恒等变换压轴题综合题型三十一确定三角函数的解析式题型三十二同名三角函数的伸缩平移变换题型三十三异名三角函数的伸缩平移变换题型三十四伸缩平移变换的参数求解题型三十五伸缩平移变换的综合应用题型三十六伸缩平移变换压轴题综合题型三十七三角函数的应用综合题型三十八三角函数新定义综合1.了解角的定义，会角的分类，熟悉象限角与轴线角，会表示终边相同的角．2.熟练掌握角度和弧度的互化，会求扇形的弧长、周长及面积．3.理解并掌握三角函数的定义，掌握各象限内三角函数值的符号，理解并会使用三角函数线．4.理解并掌握同角三角函数的基本关系，会给值求值及化简求值．5.熟练掌握三角函数的图象与性质，并会三角函数型函数的相关计算．6.熟练掌握三角恒等变换，并会公式变形及其计算．7.熟练掌握三角函数间的伸缩平移变换及相关计算求解．8.会三角函数的实际应用．角的定义平面内一条射线绕着端点从一位置旋转到另一个位置所形成的的图形叫做角；射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边角的分类按照角终边的位置可分为（象限角和轴线角）按照选择方向可分为（正角（逆时针选择）、负角（顺时针选择）和零角（不旋转））象限角第Ⅰ象限角：，或，第Ⅱ象限角：，第Ⅲ象限角：，第Ⅳ象限角：，或，轴线角终边落在轴正半轴上：，终边落在轴负半轴上：，终边落在轴正半轴上：，终边落在轴负半轴上：，终边落在轴上：，，终边落在轴上：，终边落在坐标轴上：，，终边落在上：，终边落在上：，或：，β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.终边相同的角与终边相同的角的集合为：，角度与弧度的关系，扇形的弧长、周长及面积公式角度制弧度制弧长公式面积公式周长公式是扇形的半径，是圆心角的度数是扇形的半径，是圆心角弧度数，是弧长三角函数的定义，正弦线：，余弦线：，正切线：三角函数在各象限内的符号三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．特殊角的三角函数值度弧度00100100101不存在0不存在0 两角互余的三角函数关系互余，，已知，则：两角互补的三角函数关系互补，，，已知，则：，常见三角不等式若，则；若，则..同角三角函数的基本关系平方关系：商数关系：推导公式：诱导公式诱导类型或，，或，，或，，诱导方法：奇变偶不变，符号看象限奇偶指的是或中的奇偶，若为奇数，变函数名；，若为偶数，不变函数名；，，象限指的是原函数名的象限，再判断符号规定：无论角多大，看作第一象限角（锐角）诱导公式，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，三角函数的图象与性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴三角函数型函数的图象和性质正弦型函数、余弦型函数性质，振幅，决定函数的值域，值域为决定函数的周期，叫做相位，其中叫做初相正切型函数性质的周期公式为：会用五代作图法及整体代换思想解决三角函数型函数的图象及性质正弦的和差公式余弦的和差公式正切的和差公式正弦的倍角公式 余弦的倍角公式升幂公式：，降幂公式：，正切的倍角公式半角公式(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2)).(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).以上称之为半角公式，符号由eq\f(α,2)所在象限决定．和差化积与积化和差公式推导公式辅助角公式，，其中，三角函数的伸缩平移变换伸缩变换（，是伸缩量）振幅，决定函数的值域，值域为；若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比决定函数的周期，若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比平移变换（，是平移量）平移法则：左右，上下伸缩平移变换①先平移后伸缩向左平移个单位→，横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍→②先伸缩后平移横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍→，向左平移个单位→三角函数图象的变换常用结论（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．题型一终边相同的角【例1】（1）（2023上·湖南邵阳·高一统考期末）下列各角中，与角终边相同的角为：（

）A． B． C． D．（2）（2023上·云南楚雄·高一统考期末）下列各角中，与角的终边相同的是（

）A． B． C． D．（3）（2023下·上海长宁·高一统考期末）与终边相同的角是（

）A． B． C． D．巩固训练：1．（2023上·山东临沂·高一校考期末）与角终边相同的最小正角是（

）A． B． C． D．120°2．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）下列各角中，与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．3．（2022上·山东青岛·高一校考期末）已知集合，则下列集合与P相等的是（

）A． B．C． D．或题型二象限角【例2】（1）（2023上·江苏苏州·高一统考期末）已知角，那么的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（2）（2023上·山东·高一山东师范大学附中校考期末）（多选）下列说法正确的是（

）A．钝角大于锐角B．时间经过两个小时，时针转了60°C．三角形的内角必是第一象限角或第二象限角D．若是第三象限角，则是第二象限角或第四象限角（3）（2023上·广东广州·高一校考期末）（多选）下列四个角为第三象限角的是（

）A．2 B． C． D．（4）（2022上·安徽阜阳·高一界首中学校考期末）（多选）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角巩固训练1．（2023上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）已知为第三象限角，则为第（

）象限角.A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三2．（2023上·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）（多选）若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（

）A． B． C． D．3．（2023上·山东临沂·高一校考期末）（多选）已知为第四象限角，则可能为（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角题型三角度与弧度的互化【例3】（1）（2023上·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）（

）A． B． C． D．（2）（2023上·山西太原·高一太原市进山中学校校考期末）把弧度化成角度：巩固训练1．（2023上·浙江杭州·高一校考期末）将化成弧度为．2．（2023下·上海长宁·高一统考期末）将弧度化为角度：弧度=°．题型四扇形的弧长与面积公式【例4】（1）（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）扇形的圆心角为1，半径为1，则扇形的面积为．（2）（2023上·山东枣庄·高一统考期末）已知弧长为的弧所对圆心角为，则这条弧所在圆的半径为cm．（3）（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（

）A． B． C． D．2（4）（2023上·江苏泰州·高一统考期末）中国的扇文化有着极其深厚的人文底蕴，折扇从明代开始流行，扇面书画、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜爱（如图1）.制作折扇的扇面时，先从一个圆面中剪下扇形，再从扇形中剪去扇形（如图2）.记圆面面积为，扇形的面积为，把满足且的扇面称为“完美扇面”，现有用半径为的圆面制作而成的“完美扇面”，则弧的长为（

）.A． B． C． D．（5）（2023上·广东清远·高一统考期末）《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来.轻袖佛华妆，窈窕登高台､诗里的叠扇，就是折扇.折扇展开后可看作是半径为的扇形，是圆面的一部分，如图所示.设某扇形的面积为，该扇形所在圆面的面积为，当与的比值为时，该扇面为“黄金美观扇面”.若某扇面为“黄金美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为.（6）（2023下·山东威海·高一统考期末）古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城记为，测得立杆与太阳光线所成的角约为.他又派人测得，两地的距离km，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为（

）（）A．km B．km C．km D．km巩固训练1．（2022上·广东汕尾·高一统考期末）已知扇形的面积为9，圆心角为2rad，则扇形的弧长为．2．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）设r为圆的半径，弧长为的圆弧所对的圆心角为（

）A． B． C． D．3．（2023上·山东聊城·高一校联考期末）《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长60步，直径32步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（

）A． B． C． D．1204．（2023上·湖南永州·高一统考期末）玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为（

）A． B． C． D．5．（2023上·浙江宁波·高一统考期末）炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC面积为，则当该纸叠扇的周长最小时，的长度为cm.6．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为．

题型五各象限角三角函数值的符号【例5】（1）（2023上·山东枣庄·高一枣庄八中校考期末）若，且，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角（2）（2023上·浙江杭州·高一校考期末）若，且，则角是第（

）象限角．A．二 B．三 C．一或三 D．二或四（3）（2023上·安徽安庆·高一统考期末）“角是第三象限角”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件（4）（2022上·江苏南通·高一江苏省南通中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四巩固训练1．（2022上·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）已知是第四象限的角，则点在（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．（2023上·广东·高一统考期末）已知为第二或第三象限角，则（

）A． B．C． D．3．（2023上·广东佛山·高一统考期末）已知，则“”是“点在第一象限内”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023上·浙江衢州·高一统考期末）（多选）若，，则可以是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角题型六三角函数求值【例6】（1）（2023上·云南楚雄·高一统考期末）已知角的终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．（2）（2023上·山东枣庄·高一山东省滕州市第五中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则.（3）（2023上·四川眉山·高一校考期末）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，则（

）A． B． C． D．（4）（2023上·湖北十堰·高一统考期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．若角终边上一点的坐标为，则（

）A． B．1 C． D．（5）（2023上·江苏南京·高一统考期末）（多选）已知角的终边经过点，则（

）A． B．C． D．巩固训练1．（2023上·山东济宁·高一统考期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．2．（2023上·山东德州·高一统考期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（

）A．2 B． C．或2 D．或3．（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．4．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）已知角终边经过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．5．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）（多选）在直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．题型七三角函数线的应用【例7】（1）函数的定义域为（

）A． B．C． D．（2）已知，那么下列命题成立的是（

）A．若，是第一象限角，则B．若，是第二象限角，则C．若，是第三象限角，则D．若，是第四象限角，则（3）若0<α<2π，且sinα<，cosα>，则角α的取值范围是（

）A． B．C． D．∪（4）设a=sin1,b=cos1,c=tan1,则a,b,c的大小关系是（

）A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a巩固训练1．如果，那么下列不等式成立的是A． B．C． D．2．在上，满足的的取值范围是.3．已知是的一个内角，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型八平方关系的应用【例8】（1）（2022上·浙江杭州·高一统考期末）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．（2）（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·广东广州·高一校考期末）已知为第二象限角,且,则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）已知，，则．题型九与的关系【例9】（1）（2023上·山东枣庄·高一统考期末）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．或（2）（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知，则的值为（

）A． B． C． D．不存在（3）（2023上·海南·高一海南华侨中学校考期末）若，且满足，则（

）A． B． C． D．（4）（2023上·河北保定·高一统考期末）已知，则.（5）（2023上·山东德州·高一统考期末）（多选）已知，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·广东肇庆·高一统考期末）已知，，则．2．（2023上·江苏连云港·高一校考期末）已知，则.3．（2023下·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）已知，，则的值为．4．（2023下·江西上饶·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．5．（2023上·山东济南·高一济南三中校考期末）（多选）已知，且，则（

）A． B．C． D．题型十商数关系【例10】（1）（2023上·海南海口·高一海口一中校考期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，点是角终边上一点，则.（2）（2023上·广东肇庆·高一统考期末）已知是第二象限的角，，则的值是（

）A． B． C． D．（3）（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）已知，且为第二象限角.(1)求的值；(2)求的值.巩固训练1．（2023上·广东深圳·高一深圳第二实验学校校考期末）已知，则.2．（2023上·山东枣庄·高一枣庄八中校考期末）若，则．3．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，则.题型十一同角三角函数基本关系的综合应用【例11】（1）（2023上·重庆·高一统考期末）（多选）已知，，则下列结论正确的是（

）A．为第二象限角 B．C． D．（2）（2023上·重庆·高一统考期末）已知角满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．条件①：角的终边与单位圆的交点为；条件②：角满足；条件③：角满足．(1)求的值；(2)求的值．（3）（2023上·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）(1)已知角终边上一点，求的值；(2)已知关于x的方程的两根为和，.求实数b以及的值.巩固训练1．（2023上·山东德州·高一统考期末）已知角的值点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若角的终边落在直线上，则的值等于（

）A．3或-3 B．或 C．3或 D．-3或2．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知、是关于的方程的两个根.(1)求实数的值，(2)求的值.3．（2023上·湖北十堰·高一统考期末）已知角满足.(1)若，求的值；(2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.题型十二诱导公式直接求值【例12】（1）（2023上·广东梅州·高一统考期末）（

）A． B． C． D．（2）（2023上·重庆·高一统考期末）（

）A． B． C． D．（3）（2023上·广东清远·高一统考期末）已知，则.（4）（2023上·广东梅州·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．（5）（2023上·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期末）已知角的终边经过点，则（）A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·江苏无锡·高一统考期末）的值为（

）A． B． C． D．2．（2023上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）的值为（

）A． B．C． D．3．（2023上·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）（

）A． B． C． D．4．（2023上·安徽马鞍山·高一统考期末）已知，则.5．（2023上·山东泰安·高一泰山中学校考期末）若，则等于（

）A． B． C． D．题型十三诱导公式化简求值【例13】（1）（2023上·浙江宁波·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．（2）（2023上·江苏徐州·高一统考期末）已知，且.求下列各式的值：(1)：(2).（3）（2023上·广东汕尾·高一统考期末）已知，且为第三象限角.(1)求和的值；(2)已知，求的值.（4）（2023下·江苏镇江·高一统考开学考试）已知，.(1)求的值；(2)若角的终边与角关于轴对称，求的值.（5）（2023上·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）已知关于的方程的两根为和，其中，(1)求的值；(2)求的值．（6）（2023上·福建漳州·高一统考期末）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点，点的纵坐标为(1)求和的值；(2)若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求．巩固训练1．（2023上·天津静海·高一静海一中校考期末）已知，则.2．（2023上·山西太原·高一统考期末）已知，.(1)求的值；(2)求的值.3．（2023上·江苏苏州·高一统考期末）已知．(1)若角的终边过点，求；(2)若，分别求和的值．4．（2023上·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）在平面直角坐标系中，角，的顶点与坐标原点重合，始边为的非负半轴，终边分别与单位圆交于，两点，点的纵坐标为，点的纵坐标为.(1)求的值；(2)化简并求值.5．（2023上·山东菏泽·高一统考期末）已知．(1)化简；(2)若为第四象限角且，求的值；(3)若，求．6．（2023上·江苏常州·高一统考期末）已知角是第二象限角，其终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点．(1)求，，的值；(2)求的值．题型十四正弦（型）函数的图象与性质【例14】（1）（2023下·重庆·高一校联考期末）函数的单调减区间是（

）A． B． C． D．（2）（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（

）A． B． C． D．（3）（2022上·江苏连云港·高一校考期末）（多选）关于函数有如下四个命题，其中正确的是（

）A．的图象关于y轴对称 B．的图象关于原点对称C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点(π，0)对称（4）（2023上·广东深圳·高一统考期末）（多选）已知函数，下列说法正确的是（

）A．的定义域是 B．的图象关于原点对称C． D．当时，的最小值为（5）（2022上·湖北十堰·高一统考期末）（多选）已知函数，则（）A．的最小正周期为 B．的图象关于点中心对称C．的图象关于直线对称 D．在上单调递增（6）（2022上·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）（多选）已知函数的图象关于点对称，则（

）A．B．直线是曲线的一条对称轴C．D．在区间上单调递增（7）（2023上·山东聊城·高一统考期末）已知函数的最小正周期为．(1)求的单调递增区间；(2)当时，求的值域．（8）（2023上·宁夏银川·高一银川二中校考期末）已知.(1)求函数的周期和对称中心；(2)求函数的单调递增区间；(3)若，求函数的值域.巩固训练1．（2023上·安徽黄山·高一统考期末）已知是定义在上的偶函数，且最小正周期，则（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知（为常数），若在上单调，且，则的值可以是（

）A． B． C． D．3．（2023上·广东梅州·高一统考期末）已知函数，.(1)求的最小正周期及单调增区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.4．（2022上·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）（多选）已知函数,下列结论中正确的是（

）A．函数的周期是B．函数的图象关于直线对称C．函数的最小值是D．函数的图象关于点对称5．（2023下·江苏南通·高一统考期末）（多选）关于函数，下列说法正确的是（

）A．最小正周期为 B．C．图象关于点对称 D．在上的最大值为16．（2023上·安徽合肥·高一校联考期末）（多选）下列关于函数说法正确的是（

）A．周期为 B．单调递增区间是C．图象关于直线对称 D．图象关于点对称7．（2023上·广东云浮·高一统考期末）已知函数(1)求的单调递减区间；(2)求在上的值域.8．（2023上·山东临沂·高一统考期末）已知函数（）的图象关于直线对称，且函数的最小正周期为.(1)求；(2)求在区间上的最大值和最小值.题型十五余弦（型）函数的图象与性质【例15】（1）（2023下·辽宁丹东·高一统考期末）已知函数，且，则（

）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增（2）（2023上·天津河西·高一统考期末）函数在的值域是.（3）（2023下·广东深圳·高一统考期末）（多选）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于对称C．的图象关于对称 D．在上单调递减（4）（2023上·广东深圳·高一统考期末）（多选）已知函数，下列选项正确的有（

）A．的最小正周期为B．函数的单调递增区间为C．在区间上只有一个零点D．函数在区间的值域为（5）（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知函数，.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最小值.（6）（2023上·山东聊城·高一校联考期末）已知函数，．(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)求方程在区间上有解，求的范围，并求出取得最小值时的值．巩固训练1．（2023上·甘肃天水·高一校联考期末）函数，的值域为．2．（2023上·山东·高一山东省实验中学校考期末）函数的最大值和最小值分别是（

）A． B． C． D．3．（2023·山东临沂·高一校考期末）（多选）设函数，则关于函数说法正确的是（

）A．函数是偶函数，且函数的对称轴是y轴B．函数的最大值为2C．函数在单调递减D．函数图象关于点对称4．（2023上·浙江宁波·高一统考期末）（多选）关于函数，下列说法正确的是（

）A．函数定义域为 B．函数是偶函数C．函数是周期函数 D．函数在区间上单调递减5．（2022上·黑龙江哈尔滨·高一尚志市尚志中学校考阶段练习）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求此时x的值．6．（2023上·江苏无锡·高一统考期末）已知函数．(1)求函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值；(2)求函数在区间上的单调递增区间．题型十六正切（型）函数的图象与性质【例16】（1）1．（2023上·浙江宁波·高一统考期末）函数的定义域是（

）A． B．C． D．（2）（2023上·云南昆明·高一统考期末）已知，且，则x的取值范围是（

）A． B．C． D．（3）（2022上·陕西榆林·高一校考期末）（多选）已知函数，则下列命题中正确的有（

）A．的最小正周期为B．的定义域为C．图象的对称中心为，D．的单调递增区间为，（4）（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）（多选）关于函数，下列选项正确的是（

）A．的定义域为 B．是奇函数C．的最小正周期是 D．（5）（2023下·江苏镇江·高一统考开学考试）（多选）已知函数，下列结论正确的是（

）A．函数恒满足B．直线为函数图象的一条对称轴C．点是函数图象的一个对称中心D．函数在上为增函数（6）（2023上·江苏苏州·高一统考期末）（多选）已知函数，则下列结论中正确的有（

）A． B．的定义域为C．在区间上单调递增 D．若，则的最小值为（7）（2023下·江西抚州·高一统考期末）（多选）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于原点对称C．有最小值 D．在上为增函数巩固训练1．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数，的值域为.2．（2023上·福建漳州·高一统考期末）函数的单调区间是（

）A． B．C． D．3．（2023上·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）（多选）已知函数，则（

）A．B．的最小正周期为C．把向左平移可以得到函数D．在上单调递增4．（2023上·山东烟台·高一统考期末）（多选）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．的定义域为C．若，则（） D．在其定义域上是增函数5．（2023上·广东江门·高一统考期末）（多选）已知函数，则下列判断正确的是（

）A．的定义域是 B．的值域是RC．是奇函数 D．的最小正周期是π6．（2023上·贵州安顺·高一统考期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的值域是R B．在定义域内是增函数C．的最小正周期是 D．的解集是7．（2023上·安徽安庆·高一统考期末）（多选）已知函数，则下列叙述中，正确的是（

）．A．函数的图象关于点对称 B．函数在上单调递增C．函数的最小正周期为 D．函数是偶函数题型十七三角函数值的大小比较【例17】（1）（2023上·浙江·高一期末），则（

）A． B．C． D．（2）（2023·北京朝阳·二模）已知，，，则（

）A． B． C． D．（3）（2023上·湖南娄底·高一校考期末）若，则（

）A． B． C． D．（4）（2023上·云南楚雄·高一统考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．（5）（2021上·江西宜春·高一统考期末）设，，，则下列结论成立的是（

）A． B． C． D．（6）（2023上·山东济宁·高一曲阜一中校考期末）下列选项中大小关系正确的是（

）A． B．C． D．（7）（2023下·江苏盐城·高一统考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．（8）（2023上·山东滨州·高一统考期末）已知，记，则x，y，z的大小关系正确的是（

）A． B．C． D．巩固训练1．（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）已知，则有（

）A． B．C． D．2．（2023下·江西九江·高一统考期末）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．3．（2023上·河北保定·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．4．（2022上·江苏南通·高一江苏省南通中学校考期末）设，，，则（

）A． B．C． D．5．（2023下·山西·高一统考期末）已知，，，则（

）A． B．C． D．6．（2023下·江苏苏州·高一统考期末）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．7．（2023上·甘肃酒泉·高一统考期末）（多选）下列大小关系中正确的是（

）A． B．C． D．8．（2023上·山东泰安·高一泰山中学校考期末）（多选）已知，则下述正确的是（

）A． B． C． D．题型十八解三角不等式【例18】（1）（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知函数，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．（2）（2023上·山东济宁·高一曲阜一中校考期末）不等式的解集是．（3）（2023下·贵州遵义·高一统考期末）不等式的解集为．（4）（2022上·江苏常州·高一统考期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请根据上表数据，求函数的解析式；(2)关于的方程区间上有解，求的取值范围；(3)求满足不等式的最小正整数解．（5）（2023上·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）已知函数，(1)求函数在上的单调递增区间；(2)求不等式的解集；(3)若方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．巩固训练1．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．2．（2022下·江西抚州·高一统考期末）函数的定义域为.3．（2023上·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023上·贵州黔东南·高一统考期末）已知函数．(1)求的对称轴和单调递增区间；(2)求不等式的解集．5．（2023上·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求的解析式；(2)求不等式的解集.题型十九求参数及其范围综合【例19】（1）（2023上·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．（2）（2023下·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（

）A． B． C． D．（3）（2023上·广东广州·高一广州大学附属中学校联考期末）已知曲线C：，，若关于轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．（4）（2023上·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）已知函数在区间上单调递减，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．（5）（2023上·江苏·高三统考期末）若在区间上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．（6）（2023上·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．（7）（2023下·湖南·高一校联考阶段练习）记函数的最小正周期为，若，且，则（

）A． B． C． D．（8）（2023下·浙江衢州·高一统考期末）函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（

）A． B． C． D．（9）（2023下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知函数，（）在区间上恰好有两条对称轴，则的取值范围是（

）A． B．.C． D．（10）（2022上·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（

）A． B．1 C．1或-1 D．（11）（2021上·江苏·高一专题练习）若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（

）A． B．C． D．（12）（2023上·江苏盐城·高一江苏省上冈高级中学校联考期末）已知函数，若为偶函数，在区间内单调，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6（13）（2023上·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（

）A． B． C． D．（14）（2023上·江苏扬州·高一校考期末）已知满足，且在上单调，则的最大值为（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2022下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）若函数在上单调，且在上存在最值，则的取值范围是（

）．A． B．C． D．2．（2021上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）已知函数，对于，，且在区间上单调递减，则的最大值是（

）A． B． C． D．3．（2023下·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知函数，对于，，且在区上单调递增，则的最大值是（

）A． B． C． D．4．（2023上·云南楚雄·高一统考期末）已知函数，若在区间上为单调函数，则的取值范围是．5．（2022上·浙江杭州·高一统考期末）若是偶函数，则．6．（2023上·北京·高一清华附中校考期末）设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为．7．（2023上·江苏扬州·高一校考期末）已知在区间上既有最大值又有最小值，则的取值范围为．8．（2023上·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是.9．（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知函数在上单调递增，则取值范围是.10．（2023下·辽宁·高一校联考期末）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为．11．（2023上·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期末）若，函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是.12．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）已知函数，，满足，，且在区间上有且仅有一个使，则的最大值为.13．（2023上·广东深圳·高一统考期末）（多选）函数在区间上单调递增，则的取值可能为（

）A． B． C． D．14．（2023上·吉林通化·高一梅河口市第五中学校考期末）（多选）已知函数在区间内有唯一的最值，则的取值可能是（

）A． B． C． D．题型二十三角函数图象与性质压轴题综合【例20】（1）（2023下·安徽滁州·高一统考期末）已知函数的图象和函数的图象有唯一交点，则实数m的值为（

）A．1 B．3 C．或3 D．1或3（2）（2023下·北京海淀·高一统考期末）已知函数，给出下列四个结论：①存在无数个零点；②在上有最大值；③若，则；④区间是的单调递减区间．其中所有正确结论的序号为．（3）（2022上·广东江门·高一统考期末）已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围为．（4）（2023上·山东青岛·高一统考期末）已知函数，若在时恒成立，则的取值范围是.（5）（2023上·山东临沂·高一校考期末）若定义在上的函数满足：当时，，且，则.（6）（2022下·江苏盐城·高一统考期末）（多选）已知定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，，若函数是偶函数，则下列结论正确的有（

）A．的图象关于对称 B．C． D．有100个零点（7）（2023上·湖北襄阳·高一襄阳四中校考期末）（多选）存在函数满足：对于任意都有（

）A． B．C． D．（8）（2023上·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）（多选）已知函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．取值范围为（9）（2023上·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）（多选）记函数的最小正周期为T，若，在区间恰有三个零点，则关于下列说法正确的是（

）A．在上有且仅有1个最大值点 B．在上有且仅有2个最小值点C．在上单调递增 D．的取值范围为巩固训练1．（2023上·江苏连云港·高一校考期末）设函数（是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则函数是的最小正周期是（

）A． B． C． D．2．（2022下·河南·高一校联考阶段练习）若函数在内恰有3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023下·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）已知函数，且，都有，则的取值范围可能是（

）A． B． C． D．4．（2023上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）已知函数，则下列结论正确的有（

）A．的一个周期是 B．在上单调递增C．最大值为 D．方程在上有7个解5．（2023下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）设R，用表示不超过的最大整数，则函数被称为高斯函数；例如，，已知，，则下列说法正确的是（

）A．函数是偶函数B．函数是周期函数C．函数的图像关于直线对称D．方程只有1个实数根6．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（

）A．的最小正周期是B．若，则C．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个D．若，则的取值范围是7．（2023上·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期末）已知函数，若存在实数a使得方程有五个互不相等的实数根分别为，，，，，且，则下列说法正确的有（

）A． B．C． D．的取值范围为8．（2023上·福建宁德·高一统考期末）已知函数，其中a为常数.(1)若对，恒成立，求实数a的取值范围；(2)若方程在内有且只有三个互异实数解，求实数a的取值范围.9．（2023下·江西萍乡·高一统考期末）已知函数，．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若，关于x的方程有三个不等的实根，求a的取值范围．题型二十一两角和与差的余弦公式【例21】（1）（2023上·河南·高一校联考期末）（

）A． B． C． D．（2）（2023上·广东云浮·高一统考期末）（

）A． B． C． D．（3）（2023上·福建南平·高一统考期末）若是第二象限角，，则.（4）（2023上·广东广州·高一统考期末）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·广西防城港·高一统考期末）.2．（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）（

）A． B．C． D．3．（2023上·江苏无锡·高一统考期末）已知，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2023上·陕西渭南·高一统考期末）已知,都是锐角,,,则（

）A． B． C． D．题型二十二两角和与差的正弦公式【例22】（1）（2023上·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）（

）．A． B． C． D．（2）（2022上·河南郑州·高一郑州四中校考期末）已知，，，，则（

）A． B． C． D．（3）（2023上·广东广州·高一校联考期末）已知与都是锐角，且，,则.（4）（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若，且，，则.（5）（2022上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知为第一象限角，为第三象限角，且，则的值可以为（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023上·广西贵港·高一统考期末）的值为．2．（2023上·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）化简的值为（

）A． B． C． D．3．（2023上·广东广州·高一校考期末）若，且，则．4．（2023上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）已知，则的值为（

）A． B． C． D．5．（2023上·陕西西安·高一西安市第六中学校考期末）已知，满足，，，，则．题型二十三两角和与差的正切公式【例23】（1）（2022下·甘肃兰州·高一统考期末）（

）A． B．1 C． D．（2）（2023上·广东广州·高一校考期末）若是方程的两个根，则（

）A． B．1 C． D．2（3）（2023上·广东广州·高一统考期末）已知是第四象限角，且，则（

）A． B． C． D．7巩固训练1．（2023上·广东云浮·高一统考期末）已知，则．2．（2023上·福建宁德·高一统考期末）若，则为（

）A． B． C． D．23．（2023上·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）设，若，，则的值为题型二十四二倍角的正弦公式【例24】（1）（2023上·重庆北碚·高一统考期末）计算：.（2）（2023上·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知，则的值是．（3）（2023下·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）已知，为锐角，则．巩固训练1．（2022上·宁夏银川·高三校考期中）的值是（

）A． B． C． D．2．（2022上·天津河北·高一统考期末）计算：．3．（2023上·湖南郴州·高一统考期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，则（

）A． B． C． D．题型二十五二倍角的余弦公式【例25】（1）（2021上·新疆阿克苏·高二校考期末）．（2）（2023下·安徽亳州·高一涡阳县第二中学校联考期末）计算的值是．（3）（2023下·安徽滁州·高一统考期末）若，则（

）A． B． C． D．（4）（2022·河南·高三校联考阶段练习）已知，则.巩固训练1．（2023上·陕西宝鸡·高一统考期末）（

）A． B． C． D．2．（2023上·河南新乡·高一校联考期末）若，则（

）A． B． C． D．3．（2022下·江苏南京·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．4．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知，则（

）．A． B． C． D．题型二十六二倍角的正切公式【例26】（1）（2023·陕西宝鸡·统考一模）已知，则（

）A． B． C． D．（2）（2023下·广东揭阳·高一统考期末）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．（3）（2023下·湖南益阳·高一统考期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．（4）（2023上·安徽黄山·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023下·江西南昌·高一统考期末）已知，则（

）A． B．C． D．2．（2023下·江苏南京·高一统考期末）已知，则（

）A． B．2 C． D．73．（2023下·江西新余·高一统考期末）若，则（

）A． B． C． D．4．（2022下·云南曲靖·高三统考阶段练习）若是第二象限的角，且，则.题型二十七降幂公式【例27】（1）（2023下·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．（2）（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知，则（

）A． B． C． D．（3）（高考真题）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．（4）（2023下·云南保山·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知，则的值是.2．（2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知，则（

）A． B．1 C． D．3．（2023下·高一课时练习）的值是（

）A． B． C． D．14．（2023下·甘肃·高一统考期末）已知函数在上的最小值为，则的值为．题型二十八三角恒等变换的综合应用【例28】（1）（2023上·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）已知．(1)求的周期；(2)求在区间上的最小值；（2）（2023上·广东·高一统考期末）已知函数在区间上的最大值为3．(1)求使成立的x的取值集合；(2)将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值．（3）（2023下·北京海淀·高一清华附中校考期末）已知函数，其中，有如下三个条件：条件①：；条件②：；条件③：.从以上三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题.(1)求的单调递增区间；(2)若在区间上的最大值为1，求实数m的最小值.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.（4）（2023下·云南·高一校联考期末）已知函数的最小正周期为，且图象关于直线对称.(1)求的解析式；(2)设函数，求的单调增区间.（5）（2023上·福建南平·高一统考期末）已知函数.(1)求的最小正周期及单调递增区间；(2)求在上最大值和最小值，并求出取得最值时x的值.巩固训练1．（2023上·河南·高一校联考期末）已知函数的最小正周期为．(1)求的解析式；(2)若关于x的方程在区间上有相异两解求：①实数a的取值范围；②的值．2．（2023上·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）已知函数(1)求函数的最小正周期及函数的单调递减区间；(2)求函数在上的值域．3．（2023上·广东广州·高一统考期末）已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)在中，若，求的最大值．4．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知函数.(1)求函数取最大值时的取值集合；(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值.5．（2023上·福建莆田·高一莆田一中校考期末）已知函数．(1)求的最小正周期和最大值；(2)设，求函数在单调递减区间．题型二十九三角恒等变换的实际应用【例29】（1）（2022下·山东淄博·高一统考期末）如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（

）A．千米 B．千米 C．千米 D．千米（2）（2022上·山东菏泽·高一统考期末）如图，扇形半径为1，圆心角为，过扇形弧上点分别向，作垂线，垂足为，，得到，当点（与，不重合）在扇形弧上从到运动时．(1)的面积是如何变化的？(2)求面积的最大值．（3）（2023上·广东东莞·高一统考期末）如图，已知一块足球场地的球门宽米，底线上有一点，且长米．现有球员带球沿垂直于底线的线路向底线直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线．(1)当球员运动到距离点为米的点时，求该球员射门角度的正切值；(2)若该球员将球直接带到点，然后选择沿其左后方向（即）的线路将球回传给点处的队友．已知长米，若该队友沿着线路向点直线运球，并计划在线路上选择某个位置进行射门，求的长度多大时，射门角度最大．（4）（2021下·江苏扬州·高一江苏省邗江中学校考期中）如图，风景区的形状是如图所示的扇形ABC区域，其半径为2千米，圆心角为，点P在弧BC上.现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直(垂足Q在AB上)，街道PR与AB平行，交AC于点R.（1）如果P为弧BC的中点，求三条商业街道围成的△PQR的面积；（2）试求街道RQ长度的最小值.巩固训练1．（2021上·吉林长春·高三长春十一高校考阶段练习）如图所示，有一半径为米的水轮，水轮的圆心与水面的距离为米，若水轮每分钟逆时针转圈，且水轮上的点在时刚刚从水中浮现，则秒钟后点与水面的距离是（结果精确到米）（

）（参考数据，）A．米 B．米 C．米 D．米2．（2022上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上，点在线段上，三角形木块选的面积记为S.(1)①设点到底边的距离为，将S表示为的函数；②设，将S表示为的函数；(2)从（1）中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点在何处时，三角形木块的面积S最大？并求出该最大值.3．（2022上·广东广州·高一广东实验中学校考期末）如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中.(1)将十字形的面积表示成的函数；(2)求十字形面积的最大值，并求出此时的值.4．（2023上·河北唐山·高一统考期末）如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令．(1)当时，求梯形BCNM的面积S；(2)求的周长l的最小值，并求此时角的值．题型三十三角恒等变换压轴题综合【例30】（1）（2023下·辽宁大连·高一大连二十四中校考期中）（多选）已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（

）A．在区间上单调递增B．不是的一个周期C．当时，的值域为D．的图像关于轴对称（2）（2023上·广东广州·高一华南师大附中校考期末）给定常数，定义在上的函数.(1)若在上的最大值为2，求的值；(2)设为正整数.如果函数在区间内恰有2022个零点，求的值.（3）（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）已知函数，其中.(1)当时，若，求的值；(2)记的最大值为，求的表达式并求出的最小值.（4）（2023下·江苏扬州·高一统考期末）已知函数，（，）(1)若，，证明：函数在区间上有且仅有个零点；(2)若对于任意的，恒成立，求的最大值和最小值.巩固训练1．（2023上·广东广州·高一铁一中学校考期末）（多选）已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．在上单调递减D．在上的零点个数是40412．（2023下·湖北十堰·高一统考期末）已知是定义在上的函数，且满足.(1)设，若，求的值域；(2)设，讨论（为常数，）在上所有零点的和.3．（2023上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设，函数.(1)讨论函数的零点个数；(2)若函数有两个零点，求证：.4．（2023上·吉林松原·高一松原市实验高级中学校考期末）已知函数(1)化简的表达式.(2)若的最小正周期为，求的单调区间(3)将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称.若对于任意的实数a，函数与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.题型三十一确定三角函数的解析式【例31】（1）（2023上·江苏常州·高一统考期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式可以是（

）．A． B．C． D．（2）（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）已知点，，在函数的一个周期的图像上，其三个点的位置如图所示，则函数的单调递减区间为（

）A．， B．，C．， D．，（3）（2023上·江苏徐州·高一统考期末）（多选）若函数在一个周期内的图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为B．的增区间是C．D．将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象（4）（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）已知函数，，，的图象如图所示．

(1)求的解析式；(2)设若关于的不等式恒成立，求的取值范围．巩固训练1．（2023上·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．的单调减区间为C．图象的一条对称轴方程为D．点是图象的一个对称中心2．（2023上·福建南平·高一统考期末）（多选）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B．C．函数关于对称 D．函数在上是增函数3．（2023上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）（多选）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．的图象关于点中心对称B．在区间上单调递增C．的图象关于直线对称D．直线与图象的所有交点的横坐标之和为4．（2023上·湖南娄底·高一校考期末）（多选）函数的部分图像如图所示，则下列说法中错误的是（

）

A．的最小正周期是 B．是奇函数.C．在上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴题型三十二同名三角函数的伸缩平移变换【例32】（1）（2023上·湖南长沙·高一长沙市实验中学校考期末）已知函数.则能够使得变成函数的变换为（

）A．先纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再向左平移B．先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移C．先向左平移，再纵坐标不变，横坐标变为原来的倍D．先向左平移，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍（2）（2023上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（

）A．图象关于直线对称B．图象关于点成中心对称C．的一个单调递增区间为D．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为（3）（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知曲线，，则下面结论正确的是（

）A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线（4）（2023上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）（多选）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列叙述正确的是（

）A．函数是偶函数 B．函数的一个对称中心是C．若，则 D．函数的一个对称中心是（5）（2023上·山西太原·高一统考期末）（多选）要得到函数的图象，只要将函数图象上所有的点（

）A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位C．向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D．向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）（6）（2023上·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）（多选）已知函数，，要得到函数的图象可由函数的图象（

）A．先将横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度B．先将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度C．先向左平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变D．先向左平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变（7）（2023上·陕西渭南·高一统考期末）（多选）要得到的图象，可以将函数图象上所有的点（

）A．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位巩固训练1．（2023上·广东湛江·高一统考期末）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（

）A． B．C． D．2．（2023下·内蒙古巴彦淖尔·高一统考期末）已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．3．（2023上·北京通州·高一统考期末）将函数的图像向左平移个单位长度得到曲线，然后再使曲线上各点的横坐标变为原来的得到曲线，最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线对应的函数是（

）A． B．C． D．4．（2023上·广东广州·高一统考期末）已知曲线的周期为，，则下面结论正确的是（

）A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线5．（2023上·湖南娄底·高一校考期末）先将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．6．（2023上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）（多选）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（

）A．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）C．横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度D．横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度7．（2023上·河北唐山·高一统考期末）（多选）将函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变；再向右平移个单位长度，然后再向下平移2个单位长度，得到函数的图象，则（

）A． B．函数为奇函数C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称8．（2023上·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）（多选）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．关于点对称C．在上单调递增D．若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为题型三十三异名三角函数的伸缩平移变换【例33】（1）（2023上·江苏扬州·高一校考期末）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（

）A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度（2）（2023上·山东临沂·高一校考期末）为了得到函数的图像，只需将函数的图象（

）A．左移个单位长度 B．左移个单位长度C．右移个单位长度 D．右移个单位长度（3）（2023上·河南安阳·高一统考期末）为了得到函数的图像，只需将的图像（

）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度（4）（2023下·云南昆明·高一统考期末）（多选）函数图象上所有的点经过变换得到函数的图象，这种变换可以是（

）A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度巩固训练1．（2023下·辽宁丹东·高一统考期末）要得到的图像，只要将的图像（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度2．（2023下·北京顺义·高一统考期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度3．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（

）A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度B．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度4．（2023上·河北保定·高一统考期末）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度题型三十四伸缩平移变换的参数求解【例34】（1）（2023上·江苏泰州·高一统考期末）将函数（且）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，若所得函数的图象与函数的图象重合，则.（2）（2023下·北京怀柔·高一统考期末）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数图象关于原点对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．（3）（2023下·山西大同·高一校考阶段练习）将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的值可能是（

）A． B． C． D．（4）（2023上·安徽滁州·高一校考期末）已知函数的最小正周期为，其图像向左平移个单位长度后所得图像关于轴对称，则．（5）（2023下·江西上饶·高一统考期末）（多选）已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，函数为偶函数，则的值可以是（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2023下·辽宁沈阳·高一校联考期末）已知函数，若函数的图像关于轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2023上·江苏徐州·高一统考期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2023上·河南郑州·高一统考期末）将函数的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则．题型三十五伸缩平移变换的综合应用【例35】（1）（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）若函数的