核心考点04向量的数量积（解析版）

核心考点04向量的数量积目录一．平面向量数量积的性质及其运算（共16小题）二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共5小题）三．向量的投影（共5小题）四．数量积表示两个向量的夹角（共13小题）五．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共9小题）考点考向考点考向一．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的知识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：（1）＝＝||cosθ；（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；（3）分配律：（）•≠•（）【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识点的知识】1、向量的夹角概念：对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做即：＝||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．注意：①表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．三．向量的投影【知识点的知识】1、两个向量的数量积及其性质：（1）•＝||||cos＜，＞；（2）⊥⇔•＝0（，为非零向量）；（3）||2＝2，||＝．2、向量的投影：||cosθ＝∈R，称为向量在方向上的投影．四．数量积表示两个向量的夹角【知识点的知识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．五．数量积判断两个平面向量的垂直关系【概念】向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．考点精讲考点精讲一．平面向量数量积的性质及其运算（共16小题）1．（2022春•闵行区校级月考）下列说法正确的是（）A．若，则 B．若非零向量与满足，则 C．若∥，∥，则∥ D．若，则与夹角为必为锐角【分析】根据向量的运算法则依次判断即可．【解答】解：对于A选项：当＝时，不一定等于，A错误．对于B选项：因为，所以左右两边加平方得到：＝0，又因为与是非零向量，所以，B正确．对于C选项：若＝，则与不一定平行，C错误．对于D选项：也可能为0°，D错误．故选：B．【点评】本题主要考查向量的线性运算和运算法则，属于基础题．2．（2022春•长宁区校级期末）设向量、满足，则＝2．【分析】根据平面向量的数量积求模长即可．【解答】解：因为||＝1，||＝2，＜，＞＝，所以＝4+4•+＝4×1+4×1×2×cos+4＝4，所以|2+|＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长计算问题，是基础题．3．（2022春•闵行区校级期末）已知△ABC中，，，求的值﹣25．【分析】易求得cosA＝，cosC＝，再根据平面向量的数量积的运算法则，得解．【解答】解：由题意知，△ABC为直角三角形，且∠B＝90°，cosA＝，cosC＝，所以＝0+||•||cos（π﹣C）+||•||cos（π﹣A）＝4×5×（﹣）+5×3×（﹣）＝﹣25．故答案为：﹣25．【点评】本题考查平面向量的数量积，需注意平面向量的夹角的概念，考查运算求解能力，属于基础题．4．（2022春•浦东新区校级期中）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．（）2＝||2 B．（）（）＝22 C．||≤||•|| D．||≤|||﹣|||【分析】通过向量的数量积，以及向量的运算法则，判断选项的正误即可．【解答】解：因为，所以（）2＝||2正确，所以A正确；（）（）＝22，满足向量的运算法则，所以B正确；||＝||•||cos≤||•||，所以C正确；如果两个向量是相反向量，||≤|||﹣|||，不正确，所以D不正确；故选：D．【点评】本题考查向量的数量积以及向量的运算法则的判断，是基本知识的考查．5．（2022春•长宁区校级期末）下列命题中，真命题的个数是（）（1）若数列{an}是等比数列，则数列{an+an+1}也是等比数列．（2）若，则或．（3）．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】举反例即可判断各个命题．【解答】解：当数列{an}的通项公式为：an＝（﹣1）n时，数列{an+an+1}各项均为0，不是等比数列；若，则或或⊥；••表示与共线的向量，而•（•）表示与共线的向量，故••＝•（•）不一定成立，故真命题的个数为0个．故选：A．【点评】本题主要考查命题的真假判断，考查逻辑推理能力，属于基础题，也是易错题．6．（2022春•宝山区校级月考）已知G为△ABC的重心（三条中线的交点），∠BAC＝，•＝﹣2，则||的最小值为（）A． B． C． D．【分析】取BC的中点为D，由重心的性质可知，再根据已知条件可知||||＝4，结合||＝，利用基本不等式求解即可．【解答】解：取BC的中点为D，连接AD，如图所示：因为G为△ABC的重心，所以．因为，＝﹣2，所以，所以||||＝4，又||＝＝＝≥＝．当且仅当||＝||＝2时取等号，所以||的最小值为．故选：C．【点评】本题主要考查向量的数量积公式和三角形重心的性质，属于基础题．7．（2022春•嘉定区校级期末）设为任意非零向量，且相互不共线，则下列命题中是真命题的有（）（1）；（2）；（3）不与垂直；（4）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】由平面向量数量积运算，结合向量模的运算及共线向量逐一判断即可得解．【解答】解：对于（1），当⊥，与不垂直时，则，，即（1）为假命题；对于（2），因为为任意非零向量，且相互不共线，则，即（2）为真命题；对于（3），＝，即与垂直，即（3）为假命题；对于（4），，即（4）为真命题，即命题中是真命题的有2个，故选：C．【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了命题的真假的判断，属基础题．8．（2022春•徐汇区期末）已知、为非零向量，则“”是“为锐角”的（）条件．A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要【分析】先求出非零向量数量积大于零的充要条件，然后利用直接法判断充分性和必要性．【解答】解：易知，若，则＞0，故，结合，故，或，反之，，必有，故“”是“为锐角”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查数量积的定义与条件的充分性、必要性的判断，属于基础题．9．（2022秋•静安区校级期中）若向量、、满足，且，则•、•、•中最大的是（）A． B． C． D．不能确定【分析】根据向量数量积的定义与性质即可求解．【解答】解：∵，∴，，，∴，，，又，∴＜＜，∴，∴，，，∴，∴•、•、•中最大的是，故选：A．【点评】本题考查向量数量积的定义与性质，属基础题．10．（2022春•宝山区校级月考）在边长为3的菱形ABCD中，，，则＝（）A． B．﹣1 C． D．【分析】画出图形，根据条件得，然后由＝，进行数量积的运算即可．【解答】解：如图，∵，∴，∴＝，且，又，∴＝＝．故选：C．【点评】本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．11．（2022春•长宁区校级期末）在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝3，则的取值范围是．【分析】设|OM|＝x，则|AO|＝3﹣x，且0≤x≤3，把向量的数量积转化为二次函数在闭区间上求最值，进而求解结论．【解答】解：设|OM|＝x，则|AO|＝3﹣x，且0≤x≤3，∵＝•2＝﹣2x（3﹣x）＝2x2﹣6x，开口向上，对称轴为x＝，而0≤x≤3，∴当x＝0和x＝3时，函数值最大，最大为0，当x＝时，函数值最小，最小为：﹣．故答案为：[﹣，0]．【点评】本题主要考查数量积的求解以及二次函数的性质应用，考查计算能力，属于基础题．12．（2022春•普陀区校级期末）如图，设Ai（i＝1，2，3，…，n）是△AOB所在平面内的点，且，给出下列说法：（1）|；（2）|的最小值是；（3）点A和点Ai共线；（4）向量及在向量方向上的数量投影必定相等．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据向量的数量积公式，结合图形即可判断．【解答】解：由，可得，故有，即和在上的投影相等，即点A、Ai在同一条垂直于直线OB的直线l上，如图所示，故（3）（4）正确，（1）不正确．当恰好为，模长最小，此时，（2）正确．故选：C．【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算法则，平面向量数量积的投影的运算，向量的模的最值等知识，属于中等题．13．（2022春•浦东新区校级月考）平面直角坐标系中，，，，△ABC为等腰直角三角形，且A、B、C按顺时针排列，则B点的坐标为（，﹣）．【分析】设B（x，y），结合，，可得，由向量的模相等结合数量积为0列方程组求解．【解答】解：设B（x，y），∵，，∴，，∵，∴，①又△ABC为等腰直角三角形，∴，即，②联立①②解得或．∵A、B、C按顺时针排列，∴（，﹣）．故答案为：（，﹣）．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，考查运算求解能力，是基础题．14．（2022春•宝山区校级月考）已知向量、，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值为（）A． B． C．﹣1 D．2【分析】依题意，，两边平方后即可得到答案．【解答】解：∵，∴，∴，即，∴，即的最大值为﹣1．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积及其性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．15．（2023春•松江区校级月考）已知平面向量，，且，向量满足，则的最小值为．【分析】由题意设，由数量积求得θ，设，已知条件可得点（x，y）的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，而表示圆上的点到直线上的点的距离，由圆心到直线的距离减去半径可得最小值．【解答】解：由题意设，，所以，，设，，由得，即点（x，y）的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，，点在直线上，所以的最小值是圆心到直线的距离减去圆的半径2，即．故答案为：．【点评】本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题．16．（2022春•松江区校级期末）已知向量、、满足||＝||＝1，＝，＝x（x、y∈R，y≥0），则下列四个命题中，所有正确命题的序号是①②③④．①若x＝1，则||的最小值为；②若x＝1，则存在唯一的y，使得＝0；③若||＝1，则x+y的最小值为﹣1；④若||＝1，则+的最小值为﹣．【分析】根据向量数量积的定义与性质，函数思想，基本不等式即可求解．【解答】解：∵||＝||＝1，＝，＝x（x、y∈R，y≥0），∴对①，若x＝1，则＝＝y2﹣y+1＝≥，当且仅当y＝时，取得等号，∴的最小值为，∴||的最小值为，∴①正确；对②，若x＝1，由＝0得，∴，∴y＝2，∴存在唯一的y＝2，使得＝0，∴②正确；对③，若||＝1，则＝x2+y2﹣xy＝（x+y）2﹣3xy≥，当且仅当x＝y＝1时，（y≥0）取得等号，∴，∴x+y≤2，又y≥0，∴x+y≥x≥﹣1，当且仅当y＝0，x＝﹣1时取得等号，∴③正确；对④，若||＝1，则+＝x﹣y+（）x+y＝，由③知x+y≥﹣1，∴，∴④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查向量数量积的定义与性质，函数思想，基本不等式，属中档题．二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共5小题）17．（2022春•黄浦区校级期中）设，为单位向量，且|+|＝，则|﹣|＝1．【分析】根据条件对两边平方即可求出，然后根据即可求出答案．【解答】解：∵，，∴，∴，∴．故答案为：1．【点评】本题考查了向量数量积的运算，单位向量的定义，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．18．（2022春•浦东新区校级期中）已知向量＝（2，﹣6），＝（3，m），若|+|＝|﹣|，则m＝1．【分析】由题意可得•＝0，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出m的值．【解答】解：∵向量，，若，则•＝0，即2×3﹣6m＝0，则m＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．19．（2022春•闵行区校级期中）已知向量＝（2，1），•＝10，|+|＝5，则||＝5．【分析】设＝（x，y），则有2x+y＝10，且＝5，解方程组求得x、y的值，即可求得||的值．【解答】解：∵向量＝（2，1），＝10，||＝5，设＝（x，y），则有2x+y＝10，且＝5，即2x+y＝10，且（2+x）2+（1+y）2＝50，解方程组，求得，故＝（3，4），∴||＝5，故答案为5．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．20．（2022春•徐汇区期末）已知向量，．（1）求；（2）当k为何实数时，与平行？【分析】利用向量的坐标运算以及向量共线定理化简即可求解．【解答】解：（1）由已知可得＝（1，0）﹣2（2，1）＝（﹣3，﹣2），所以||＝|（﹣3，﹣2）|＝＝；（2）由已知可得k＝k（1，0）﹣（2，1）＝（k﹣2，﹣1），＝（1，0）+3（2，1）＝（7，3），因为与平行，所以﹣7＝3（k﹣2），解得k＝﹣，即当k＝﹣时，与平行．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，涉及到向量共线定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．21．（2022春•奉贤区校级期中）已知向量，满足||＝1，||＝2，且与不共线．（1）若向量+k与k+2为方向相反的向量，求实数k的值；（2）若向量与的夹角为60°，求2+与﹣的夹角θ．【分析】（1）根据题意即可得出，存在实数λ＜0，使得，然后根据平面向量基本定理得出，然后解出λ，从而得出k的值；（2）根据题意即可得出，然后即可求出，，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cosθ的值，进而得出θ的值．【解答】解：（1）∵向量与的方向相反，∴存在实数λ＜0，使，且不共线，∴，解得或（舍去），∴；（2）∵，∴＝，＝，，∴，且θ∈[0，π]，∴．【点评】本题考查了共线向量基本定理，平面向量基本定理，向量数乘的几何意义，向量的数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．三．向量的投影（共5小题）22．（2022春•长宁区校级期末）若，则在上的数量投影为6．【分析】根据向量的数量投影定义计算即可．【解答】解：因为，所以在上的数量投影||cos＜，＞＝＝＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了平面向量数量投影的计算问题，是基础题．23．（2022春•青浦区校级期末）若，，则在上的投影数量是．【分析】根据向量的数量投影的定义，计算即可．【解答】解：因为，，所以在上的投影数量是||cos＜，＞＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量投影定义与计算问题，是基础题．24．（2022春•浦东新区校级期末）已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为．【分析】根据平面向量的数量投影定义，计算即可．【解答】解：因为、的夹角为，，所以在上的数量投影为||cos＜，＞＝cos＝×＝．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量投影计算问题，是基础题．25．（2022春•徐汇区期末）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影为．【分析】根据向量的投影定义计算即可．【解答】解：向量与的夹角为，且，，所以在方向上的投影为||cos＜，＞＝4cos＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了向量的投影定义与计算问题，是基础题．26．（2022春•奉贤区校级期中）若向量，，则向量在向量的方向上的投影为．【分析】根据给定条件，求出，再利用投影的定义计算作答．【解答】解：因向量，则，所以向量在向量的方向上的投影为．故答案为：．【点评】本题考查了向量的投影，属于基础题．四．数量积表示两个向量的夹角（共13小题）27．（2022春•杨浦区校级期中）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC的关系为（）A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部 C．P在AB边所在直线上 D．P是AC边的一个三等分点【分析】利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论．【解答】解：∵，∴，∴，∴P是AC边的一个三等分点．故选：D．【点评】本题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件．28．（2022春•浦东新区校级期末）平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（）A． B． C． D．【分析】利用三角形的面积公式表示出面积；再利用三角函数的平方关系将正弦表示成余弦；再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦化简即得．【解答】解：＝＝•＝；故选：C．【点评】本题考查三角形的面积公式；同角三角函数的平方关系，利用向量的数量积求向量的夹角．29．（2022春•徐汇区校级期中）在△ABC中，若且，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【分析】通过向量的运算律：分配律得到，据向量的运算法则得三角形的三边对应的向量和为0即，代入得向量的平方相等，据向量的平方等于向量模的平方得出三角形的三边相等．【解答】解：因均为非零向量，且，得⇒，又⇒，∴[﹣（）]•（）＝0⇒，得||＝||，同理||＝||，∴||＝||＝||，得△ABC为正三角形．故选：D．【点评】本题考查向量的运算律；向量的运算法则；及向量的平方等于向量模的平方．30．（2022春•浦东新区校级月考）已知＝（1，﹣2），＝（﹣1，λ），与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（，2）∪（2，+∞）．【分析】要使与的夹角为钝角，则且≠﹣，可解．【解答】解：∵＝（1，﹣2），＝（﹣1，λ），与的夹角为钝角，∴且≠﹣，∴1×（﹣1）﹣2λ＜0且λ≠2，∴实数λ的取值范围为λ＞且λ≠2，故答案为：（，2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了平面向量坐标运算与向量夹角的关系．31．（2022春•嘉定区校级期末）若向量，，已知与的夹角为，则实数k是﹣2．【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：由已知有，故，故，解得：k＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，属于基础题．32．（2022春•宝山区校级期中）向量，的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是．【分析】根据已知条件，结合向量的数量积公式，即可求解．【解答】解：∵，，∴＝＝且，解得λ＜2且，故实数λ的取值范围是．故答案为：．【点评】本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题．33．（2022春•浦东新区校级期末）已知＝（λ，2），＝（3，﹣5），且与的夹角θ是钝角，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，） C．（﹣∞，）∪（，） D．（﹣∞，﹣）∪（，）【分析】由数量积小于零且不共线列出不等式组，求解可得实数λ的取值范围．【解答】解：＝（λ，2），＝（3，﹣5），且与的夹角θ是钝角，∴＜0，且，不共线，即，解得λ∈（﹣∞，﹣）∪（，）．故选：D．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力，需注意数量积小于0不一定能得出两向量夹角为钝角，是基础题．34．（2022春•浦东新区校级期末）如图，O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定﹣＝，判断与∠BAC的角平分线的关系推出选项．【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量，∴+的方向与∠BAC的角平分线重合，又∵可得到﹣＝＝λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合，∴一定通过△ABC的内心故选：B．【点评】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．35．（2022春•宝山区校级月考）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】“与的夹角为锐角”⇒“|+|＞||”，“|+|＞||”⇒“与的夹角为锐角”，由此能求出结果．【解答】解：点A，B，C不共线，＝，∴，当与的夹角为锐角时，＝＞0，∴“与的夹角为锐角”⇒“|+|＞||”，“|+|＞||”⇒“与的夹角为锐角”，∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的充分必要条件．故选：C．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．36．（2022春•浦东新区校级期末）若，，且，则与的夹角为．【分析】由题意利用向量的数量积的运算性质可求＝﹣1，然后代入平面向量的夹角公式即可求解．【解答】解：因为，，且，可得（+）2＝（）2，可得2+2•+2＝3，可得＝﹣1，所以cos＜，＞＝＝＝﹣，则与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的夹角和数量积的运算，属于基础题．37．（2022春•闵行区校级期中）如图所示，点O是△ABC所在平面上一点，并且满足＝m+n（m、n∈R），已知AB＝6，AC＝2，∠BAC＝60°．（1）若实数m＝n＝，求证：O是△ABC的重心；（2）若O是△ABC的外心，求m、n的值；（3）如果O是∠BAC的平分线上某点，则当达到最小值时，求．【分析】（1）将m＝n＝代入整理即可得证；（2）根据O是△ABC的外心，联立求解即可；（3）利用角平分线的向量表示结合基本不等式求解即可．【解答】证明：（1）时，，∴∴，∴O是△ABC的重心；解：（2）∵O是△ABC的外心，∴，∴，∴；（3）∵O是∠BAC的平分线上某点，∴，∴m＝，n＝，∴，当且仅当＝，即λ＝6时取最小值，所以，．【点评】本题考查了平面向量数量积的计算和基本不等式，属于中档题．38．（2022春•长宁区校级期末）（1）已知点A（2，4），B（﹣1，﹣6），点P是直线AB上一点，且，求点P的坐标；（2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数t的取值范围．【分析】（1）设出P的坐标，根据向量的坐标运算即可求解；（2）求出•，根据向量与的夹角为锐角，得到，进而求解结论．【解答】解：（1）设点P的坐标（x，y），由A（2，4），B（﹣1，﹣6），得，∵点P是直线AB上一点，且，∴或，即或，解得或，故P的坐标为或；（2）∵与的夹角为，且与的夹角为锐角，∴，而＝﹣2t2+15t﹣7，∵与的夹角为锐角，∴，即﹣2t2+15t﹣7＞0，解得，又当与共线时有2t2＝7，解得，所以，综上可得，实数t的取值范围是．【点评】本题主要考查向量的数量积以及运算能力，属于中档题目．39．（2022春•浦东新区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点An满足，且；点Bn满足，且，其中n∈N*．（1）求的坐标，并证明点An在直线y＝x+1上；（2）记四边形AnBnBn+1An+1的面积为an，求an的表达式；（3）对于（2）中的an，是否存在最小的正整数P，使得对任意n∈N*都有an＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用向量的运算法则、等差数列的定义及通项公式即可证明；（2）利用向量的运算法则和逐差累和即可求得点Bn的坐标，及﹣即可求出．（3）利用（2）的结论及作差法，求出an+1﹣an，进而即可判断出答案．【解答】解：（1）由已知条件得，，＝，∴，∵，∴设，则xn+1﹣xn＝1，yn+1﹣yn＝1∴xn＝0+（n﹣1）•1＝n﹣1；yn＝1+（n﹣1）•1＝n．即An＝（n﹣1，n）满足方程y＝x+1，∴点An在直线y＝x+1上．（2）由（1）得An（n﹣1，n），，设Bn（un，vn），则u1＝3，v1＝0，vn+1﹣vn＝0，∴vn＝0，，逐差累和得，，∴．设直线y＝x+1与x轴的交点P（﹣1，0），则an＝，n∈N*．（3）由（2）an＝，n∈N*，于是，a1＜a2＜a3＜a4＝a5，a5＞a6＞a7＞…数列{an}中项的最大值为，则，即最小的正整数p的值为6，所以，存在最小的自然数p＝6，对一切n∈N*都有an＜p成立．【点评】熟练掌握向量的运算法则、等差数列的定义及通项公式、逐差累和、及利用﹣求面积和作差法比较数的大小是解题的关键．五．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共9小题）40．（2022春•宝山区校级月考）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A． B．2+ C．﹣2 D．2﹣【分析】利用平面向量的数量积为0，即可判断两向量是否垂直．【解答】解：单位向量||＝||＝1，•＝1×1×cos60°＝，对于A，（+2）＝•+2＝+2＝，所以（+2）与不垂直；对于B，（2+）＝2•+＝2×+1＝2，所以（2+）与不垂直；对于C，（﹣2）＝•﹣2＝﹣2＝﹣，所以（﹣2）与不垂直；对于D，（2﹣）＝2•﹣＝2×﹣1＝0，所以（2﹣）与垂直．故选：D．【点评】本题考查了判断两向量是否垂直的应用问题，是基础题．41．（2022春•长宁区校级期末）若向量，且与垂直，则实数k＝﹣6．【分析】直接利用向量的数量积和向量垂直的充要条件的应用求出k的值．【解答】解：已知向量，且与垂直，则•＝0，整理得﹣6﹣k＝0，解得k＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．42．（2022春•浦东新区校级期末）已知向量，且，则λ的值是（）A．﹣3 B． C．3 D．【分析】直接利用向量的数量积和向量垂直的充要条件的应用求出λ的值．【解答】解：∵向量，且，∴•＝﹣6+2λ＝0，解得λ＝3，故选：C．【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．43．（2022春•虹口区校级期末）已知向量与，若，则k＝﹣．【分析】由两个向量垂直的坐标运算进行计算即可．【解答】解：因为，所以，所以﹣18k+3（k﹣7）＝0，解得．故答案为：．【点评】本题考查了向量垂直的坐标运算，属于基础题．44．（2022春•杨浦区校级期末）已知，向量与垂直，则实数λ＝．【分析】首先由向量坐标运算表示出λ与的坐标，再由它们垂直列方程解之即可．【解答】解：由题意知λ＝λ（﹣3，2）+（﹣1，0）＝（﹣3λ﹣1，2λ），＝（﹣3，2）﹣2（﹣1，0）＝（﹣1，2），又因为两向量垂直，所以（﹣3λ﹣1，2λ）（﹣1，2）＝0，即3λ+1+4λ＝0，解得λ＝．故答案为解得．【点评】本题考查向量坐标运算及两向量垂直的条件，是一道基础题．45．（2022春•长宁区校级期中）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝（，﹣1），＝（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA＝csinC，则角B＝．【分析】由向量数量积的意义，有，进而可得A，再根据正弦定理，可得sinAcosB+sinBcosA＝sinCsinC，结合和差公式的正弦形式，化简可得sinC＝sin2C，可得C，由A、C的大小，可得答案．【解答】解：根据题意，，由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA＝sinCsinC，又由sinAcosB+sinBcosA＝sin（A+B）＝sinC，化简可得，sinC＝sin2C，则C＝，则，故答案为．【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．46．（2022春•徐汇区校级期末）已知a、b都是非零向量，且+3与7﹣5垂直，﹣4与7﹣2垂直，则与的夹角为60°．【分析】由+3与7﹣5垂直，﹣4与7﹣2垂直，我们不难得到（+3）•（7﹣5）＝0（﹣4）•（7﹣2）＝0，构造方程组，我们易得到2＝2＝2•，再结合cosθ＝，我们求出与的夹角．【解答】解：∵+3与7﹣5垂直∴（+3）•（7﹣5）＝72﹣152+16•＝0①又∵﹣4与7﹣2垂直，∴（﹣4）•（7﹣2）＝72+82﹣30•＝0②由①②得2＝2＝2•又由cosθ＝易得：cosθ＝则θ＝60°故答案为：60°【点评】若θ为与的夹角，则cosθ＝，这是利用向量求角的唯一方法，要求大家熟练掌握．47．（2022春•徐汇区校级期中）已知．（1）若∥，求实数x的值；（2）若，求实数x的值．【分析】（1）根据已知条件，结合向量的平行公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合向量的垂直公式，即可求解．【解答】解：（1）∵，，∥，∴1•x＝1×4，解得x＝4．（2）∵＝，＝，又∵，∴，（﹣3，﹣3）•（15，3+x）＝0，∴﹣45﹣9﹣9x＝0，解得x＝﹣6．【点评】本题主要考查向量的平行和垂直公式，属于基础题．48．（2022春•浦东新区校级期末）已知平面向量，．（1）当k为何值时，与垂直；（2）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．【分析】（1）可求出向量，，然后根据与垂直即可得出，然后进行向量数量积的坐标运算即可求出k的值；（2）根据与的夹角为锐角即可得出，然后求出λ的范围即可．【解答】解：（1），，且与垂直，∴，解得；（2），且与的夹角为锐角，∴，且与不共线，∴，解得且λ≠0，∴λ的取值范围为．【点评】本题考查了向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，共线向量的坐标关系，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题．巩固巩固提升一、单选题1．（2021春·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知向量，对任意的，恒有，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据数量积的运算律求得，再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】由可得，又，令则上式等价于，对任意的恒成立，故，解得，解得，即；对A：由，故不成立，A错误；对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误；对C：，故，C正确；对D：，不确定其结果，故不一定成立，D错误.故选：C.2．（2022春·上海闵行·高一校考期末）如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】D【分析】根据数量积的几何意义，即可判断结果【详解】根据向量数量积的几何意义可知，，，，所以所有中有3个数值.故选：D3．（2022春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）若向量、、满足，且，则、、中最大的是（

）A． B． C． D．不能确定【答案】A【分析】依题意可得，根据数量积的运算律得到，同理得到、，再作差判断即可；【详解】解：由，可得，两边平方，即．同理可得、，，所以，所以，所以，所以，即则、、中最大的值是．故选：A．4．（2021春·上海·高一专题练习）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值.【详解】如图:令，，则，故.因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.设，连接，因为，所以点在直线上.因为，所以，即，所以.结合图形可知，当时，即取得最大值，且.故选：D【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.二、填空题5．（2023春·上海青浦·高一校考阶段练习）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围是__________.【答案】【分析】根据结合数量积的运算性质及余弦函数的性质即可得解.【详解】，因为，所以，所以，所以.故答案为：.6．（2022春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）平面上的向量与满足，且