阶段性检测1.2（中）（范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数）（解析版）

阶段性检测1.2（中）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解法求得，结合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，即，又由，所以.故选：A.2．已知为函数图象上一点，则曲线在点处切线斜率的最小值为（

）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】求出函数的导函数，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】函数定义域为，，当且仅当，即时取等号，所以曲线在点处切线斜率的最小值为.故选：C3．关于的不等式在上恒成立，则的最大值为（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】先由不等式在上恒成立，可求出，再用不等式性质，用表示出，即可求解.【详解】设，因为不等式在上恒成立，所以令，则，解得，所以，故选：B.4．已知常数，直线：，：，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可.【详解】因为直线：，：，当时，解得，所以是的充分不必要条件.故选：A5．直线与两条曲线和均相切，则的斜率为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】设两个曲线的切点坐标，由切线斜率相等，利用导数列出方程，再利用两点斜率公式化简即可．【详解】由，可得；由，可得，设两个切点分别为和，直线l的斜率，故，由，所以，即直线l的斜率为1.故选：B6．“”是“对任意，恒成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分别求出两条件所对应的的取值范围，再根据集合的包含关系及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由，即，所以，由，恒成立，即在上恒成立，所以，又，当且仅当，即时取等号，所以，因为真包含于，所以“”是“对任意，恒成立”的充分不必要条件.故选：A7．已知函数，，若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判断出函数是偶函数，且在区间上单调递增，然后比较、、三个数的大小，由此可得出、、的大小关系.【详解】因为，该函数的定义域为，，所以函数为偶函数，故，当时，，任取，，则，，所以，所以，，即，所以函数在上单调递增，又，由可得，故，则，即.故选：A.8．，，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】注意到常见的导数构造的形式：导数的结果，结合题干条件，可联想到构造：，结合，然后可求出表达式.【详解】设，则，根据题干条件，，即，故，为常数，即，于是，整理可得，令，整理可得，解得.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（

）A． B．A的不同子集的个数为8C． D．【答案】ABC【分析】根据题意利用韦恩图逐项分析判断.【详解】由题意可知：，，所以，故A正确；集合A有3个元素，所以A的不同子集的个数为，故B正确；，故C正确；因为，所以，故D错误；故选：ABC.

10．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的等腰直角三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则下列说法中正确的有（

）

A．冰块最大体积为B．冰块的最大体积为C．冰块体积达到最大时，冰块的高度为D．冰块体积达到最大时，冰块的高度为【答案】BC【分析】求出该圆锥的轴截面三角形的边长，设圆柱的底面半径为r，高为h，建立出体积的函数，利用导数求出最大值．【详解】由圆锥的轴截面为面积是的等腰直角三角形，可算出该三角形直角边长为，斜边长为，如图所示，

即圆锥母线长，高和底面半径，设冰块的底面半径为，高为，由，冰块体积要最大，此时冰块的高度，故圆柱的体积为，其中；则有，，解得；，解得，则在区间单调递增，在区间单调递减，所以当时，冰块的体积最大，最大值为，此时冰块高度.故选：BC.11．下列说法正确的有（

）A．设函数的定义域为，则“关于原点对称”是“具有奇偶性”的必要条件B．已知是可导函数，则“”是“是的极值点”的充分不必要条件C．“是函数的一个周期”的一个充分不必要条件是“对，都有”D．“函数与函数的图象关于轴对称”的充要条件是“”【答案】AC【分析】根据奇偶性的定义及必要条件的定义判断A，根据极值点的定义判断B，根据函数的周期性的定义判断C，利用特殊值判断D.【详解】对于A：函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称；则函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，故A正确；对于B：由得不到是的极值点，如，则，此时，但是函数在定义域上单调递增，所以不存在极值点，故充分性不成立，若是的极值点，则，故必要性成立，故“”是“是的极值点”的必要不充分条件，故B错误；对于C：若对，都有，则，所以是的一个周期，故充分性成立，若是函数的一个周期，不一定得到“对，都有”，如对满足时，此时，即是的一个周期，故必要性不成立，故C正确；对于D：设，所以，，此时与的图象关于轴对称，但是不一定成立，故D错误；故选：AC12．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，设函数（其中），则下列说法正确的是（

）A．函数关于点中心对称B．函数是以4为周期的周期函数C．当时，函数恰有2个不同的零点D．当时，函数恰有3个不同的零点【答案】BCD【分析】利用递推关系得，结合奇函数性质易得，即可判断A、B；对于的零点，转化为研究与的交点，数形结合法判断零点的个数即可判断C、D.【详解】由，即，则关于对称，A错；又是定义在上的奇函数，则，而，则，故，所以，即是以4为周期的周期函数，B对；当，对于的零点，只需研究与的交点，若，则，显然，，且在上递增，上递减，结合对称轴、周期性、奇函数，的图象及部分图象如下：

由图知：与有且仅有2个交点，即恰有2个不同的零点，C对；若，则，如下图示，

由图知：与有且仅有3个交点，即恰有3个不同的零点，D对；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数是奇函数，则.【答案】/1.5【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称以及奇函数的性质即可求解.【详解】由于函数的定义域满足，故定义域为，根据奇函数的定义域关于原点对称可知，所以，，所以，故，故答案为：14．已知集合，，若，则m的取值范围是．【答案】【分析】因式分解求二次不等式可得，再根据二次函数的值域可得，进而根据求解即可.【详解】，，又，则，即.故答案为：15．正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】将问题转化为，利用基本不等式求出的最小值，再解一元二次不等式即可.【详解】因为不等式恒成立，所以，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号是成立的，所以，所以，即，解得.故答案为：16．若对任意，恒成立，则实数a的取值集合为．【答案】【分析】设函数，，则恒成立，由函数在处取得最大值，则，得出，再验证当时，符合题意．【详解】由题意设，，则恒成立，显然，函数在处取得最大值，，而，，即．当时，，当时，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减.，符合题意．故实数a的取值集合为．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．已知，(1)当时，求;(2)已知“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．【答案】(1)或(2)【分析】（1）先解分式不等式得到集合A，再解指数不等式得到集合，再求出集合的补集，从而可求出；（2）先求得集合，再由题设条件得到，列不等式可求出结果.【详解】（1）由，得，得，即，解得或，故或，当时，由，得，故，即，故，所以，所以或（2）由得，故，即，故，由“”是“”的必要条件得，所以，解得，即.18．已知命题：“，使得不等式成立”是真命题.(1)求实数m的取值集合A；(2)设不等式的解集为B，若是的充分条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）分离参数得，利用二次函数的图象与性质即可得到答案；（2）因式分解得，设，证明出，从而得到的解集，则得到不等式，解出即可.【详解】（1）由，使得不等式成立，所以

因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，且，，所以，当时，，

所以，.（2）由可得.

设，令，，单调递递减，，，单调递增，，所以，所以

从而或，因为是的充分条件，则，则，即；实数的取值范围是.19．设．(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）对进行分类讨论来分析恒成立问题.（2）解不等式时要对进行分类讨论.【详解】（1）不等式.当时，，即不等式仅对成立，不满足题意，舍.当时，要使对一切实数恒成立.则解得.综上，实数的取值范围为.（2）当时，解得.当时，.①若，的解为；②若，当即时，解得.当时，，的解为或.当时，，的解为或.综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为或.20．已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的m，，，都有．(1)若，求实数a的取值范围；(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)a的取值范围为；(2)a的取值范围为.【分析】（1）利用单调性的定义，证得在上递增，由此结合奇函数的性质化简不等式，求得的取值范围.（2）由（1）可得函数在上的最大值为，由条件可得，解不等式可得a的取值范围．【详解】（1）任取两个实数，满足，由题意可得，即，在定义域上是增函数.因为是定义在上的奇函数，所以当时，，所以，可化为所以所以，解得，a的取值范围为.（2）由（1）知函数在定义域上是增函数，所以当时，函数取最大值，最大值为，又是定义在上的奇函数，所以，又，所以函数在定义域上的最大值为，因为不等式恒成立，所以，所以，故不等式可化为，所以，解得或，所以a的取值范围为．21．已知函数且.(1)当时，求在点处的切线方程；(2)若函数在区间上为单调函数，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）把代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程作答.（2）求出的导数，在区间上由或,求出的取值范围作答．【详解】（1）当时，，，求导得，，于是，即，所以函数在点处的切线方程为．（2）函数，求导得，因为函数在区间上是单调函数，则当函数在上单调递增时，，，即在上恒成立，令，，显然函数在上单调递增，，因此，解得，当函数在上单调递减时，，，即在上恒成立，因此，解得或，所以的取值范围为.【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.22．已知函数，，是的导数.(1)讨论的单调性，并证明：；(2)若函数在区间内有唯一的零点，求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出导函数，根据，分类讨论即可，构造函数，利用导数法求解最值即可证明；（2）把问题转化为方程在区间内有唯一解，构造函数，利用导数研究单调性，数形结合即可求解.【详解】（1）因为，所以，当时，，则在上单调递增，当时，令得，令得，所以函数的增区间为，减区间为，令，则，令得，令得，所以函