考点巩固卷17 空间中的平行与垂直（八大考点）（解析版）

考点巩固卷17空间中的平行与垂直（八大考点）考点01 判断平行，垂直的有关命题1．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】对于A，根据可能平行、可能相交且不垂直判断；对于B，根据可能平行、可能相交且不垂直、异面且不垂直判断；对于C，根据线面垂直的性质定理判断；对于D，根据或异面判断．【详解】对于A，，则可能平行、可能相交且不垂直，故A不正确；对于B，，则可能平行、可能相交且不垂直、可能异面且不垂直，故B不正确；对于C，若，根据线面垂直的性质定理可知，故C正确；对于D，若，则或异面，故D不正确．故选：C．2．直线a，b互相平行的一个充分条件是（

）A．a，b都平行于同一个平面 B．a，b与同一个平面所成角相等C．a，b都垂直于同一个平面 D．a平行于b所在平面【答案】C【分析】根据各选项中的条件判断直线a，b的位置关系，可得出正确的答案.【详解】对于A：若a，b都平行于同一个平面，则a，b平行、相交或异面，故A错误；对于B：若a，b为圆锥的两条母线，它们与底面所成角相等，但它们是相交直线，即a，b与同一个平面所成角相等，不能得出直线a，b互相平行，故B错误；对于C：若a，b都垂直于同一个平面，则a，b互相平行，故C正确；对于D：若a平行于b所在平面，则a，b平行或异面，故D错误；故选：C3．已知平面，直线，若且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据线线垂直、线面垂直和面面垂直的相互转化和必要不充分条件的定义可得答案.【详解】如下图且，，则l//a，此时，，所以，充分性不成立；

若，因为，所以，必要性成立，

故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4．已知是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则有下列命题①，，；

②，，；③，，；

④，.其中正确命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用空间中直线、平面间的位置关系逐项判断即可.【详解】①若，，，则直线没有交点，异面或，故①不正确；②若，，，当均与，的交线平行时，可得，故②不正确；③若，，则，又，则，故③正确；④若，，则或，故④不正确.其中正确命题的个数为.故选：B.5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】由空间中的线面关系，结合特例法判断ABC，根据两平面的法向量的位置关系判断两直线的位置关系判断.【详解】对于A，若，则或，错误；对于B，若，的位置关系不确定，可以平行、相交、异面直线，错误；对于C，若，则或者相交，错误；对于D，若，可得的方向向量分别是的法向量，因为，所以的法向量垂直，所以的方向向量垂直，则，正确.故选：D.6．若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（

）A．内不存在与异面的直线 B．内存在与平行的直线C．内存在唯一一条直线与相交 D．内存在与垂直的直线【答案】D【分析】利用图形判断A选项；利用反证法可判断B选项；设，取内所有过点的直线可判断C选项；利用线面垂直的性质可判断D选项.【详解】因为直线不平行于平面，且，则直线与平面相交，对于B选项，若内存在与平行的直线，则，且，，则，与题设矛盾，B错；对于A选项，如下图所示：

设，设直线满足，且，在平面内存在直线，使得，且，由A选项可知，与不平行，若，则、，且、，从而有，与题设矛盾，故与异面，即在平面内存在直线与直线异面，A错；对于C选项，设，则平面内所有过点的直线均与直线相交，C错；对于D选项，设，在直线上取异于点的一点，设点在平面内的射影为点，连接，

在平面内存在直线，使得，因为，，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，故内存在与垂直的直线，D对.故选：D.考点02 平行的判定定理7．下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足平面MNP的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】由与平面MNP相交，判断A；由，结合不在平面判断B；由线面平行的判定判断C；由中位线定理判断D.【详解】对于A：连接，由图可知，与平面相交，故不满足平面，故A错误；

对于B：如图所示，分别是所在棱的中点，连接则平面MNP和平面为同一平面，因为，因为与平面相交，所以不满足平面，故B错误；

对于C：连接，交与点，连接，因为，分别为中点，所以，由线面平行的判定定理可知，平面，故C正确；

对于D：分别是所在棱的中点，连接，，平面与平面为同一平面，取的中点为，连接，由中位线定理可知，，因为与平面相交，所以不满足平面，故D错误；

故选：C8．如图，在直三棱柱中，D，F分别是的中点．

(1)若E为CD的中点，O为侧面的中心，证明：平面；(2)若，侧面为菱形，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，，证得，进而证得，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）根据题意，结合，利用锥体的体积公式，即可求解.【详解】（1）证明：连接，．因为O为侧面的中心，且侧面为矩形，所以O是的中点．因为为的中点，所以，因为分别是，的中点，且且所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为，所以，平面，平面，所以平面.（2）解：因为，且是的中点，且侧面为菱形，所以，因为，所以，所以的面积，在直三棱柱中，底面，所以.

9．在直三棱柱中，是的中点．

(1)求证：//平面；(2)求三棱锥的体积；【答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）借助题设条件运用线面平行的判定定理；（2）依据题设运用体积转换法进行探求．【详解】（1）设，连接，由直三棱柱性质可知，侧面为矩形，

∴为中点，又∵为中点，∴在中，，又∵平面，平面，∴平面．（2）由题，∴，即，又由直三棱柱可知，侧棱底面，∴.所以三棱锥的体积为510．如图，在直三棱柱中，，，.

(1)求三棱柱的侧面积；(2)设为的中点，求证：平面.【答案】(1)48(2)证明见解析【分析】（1）由题意直三棱柱侧面都为矩形，分别求其面积即可；（2）连接交于点，连接，由三角形中位线定理可得，从而由线面平行的判定定理可证.【详解】（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴侧面均为矩形，∵，所以底面均为直角三角形，又∵，，∴，∴三棱柱的侧面积为.∴三棱柱的侧面积为.（2）连接交于点，连接，∵四边形为矩形，

∴为的中点，∵D为的中点，∴.∴平面，平面，∴平面.

11．如图，在几何体中，已知四边形是正方形，，分别为的中点，为上靠近点的四等分点.

(1)证明：//平面；(2)证明：平面//平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）令与的交点，利用平行公理及线面平行的判定推理作答.（2）取的中点，根据给定的条件结合平行四边形的性质证明线线平行，再利用线面平行、面面平行的判定推理作答.【详解】（1）如图，连接，设与相交于点，连接，因为四边形是正方形，则为的中点，又为的中点，于是，，即四边形为平行四边形，则，而平面，平面，所以平面.

（2）取的中点，连接，因为，且，则四边形都为平行边形，有，于是四边形为平行四边形，即有，而为上靠近点的四等分点，则为的中点，又为的中点，则，因此，又平面，平面，则平面，显然，又平面，平面，则平面，而平面，所以平面平面.12．如图：在正方体中，为的中点.

(1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；(2)若为的中点，求证：平面平面.【答案】(1)直线平面，理由见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可证得结论；（2）根据四边形为平行四边形可得，由线面平行判定可得平面，结合（1）中结论，由面面平行的判定可证得结论.【详解】（1）直线平面，理由如下：连接，交于点，连接，

四边形为正方形，为中点，又为中点，，平面，平面，平面.（2）分别为中点，，又，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，由（1）知：平面，又，平面，平面平面.考点03 补全平行的条件13．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，.

(1)求点到平面的距离.(2)若是的中点，是上靠近点的三等分点，棱上是否存在一点使平面？证明你的结论并求的长.【答案】(1)；(2)存在满足条件的点，且点为线段上靠近点的三等分点.证明见解析，.【分析】（1）法一：根据垂直关系分别求出以及，利用等体积转化法可求出点到平面的距离；法二：由条件可证明平面，从而点到平面的距离即为所求，在等腰直角中可求出结果；（2）取点为线段上靠近点的三等分点，可证明平面平面，从而平面，结合三等分点即可求出结果.【详解】（1）方法一：如图，连接，因为平面，所以.因为平面，平面，所以，又平面PCD，所以平面，平面，所以.设点到平面的距离为，则.又因为，所以可得，得，即点到平面的距离为.方法二：因为平面，所以平面，所以点到平面的距离即点到平面的距离.作，垂足为.同方法一可知平面，所以平面平面，且交线为，又平面，所以平面，点到平面的距离即.在等腰直角中，，所以，即点到平面的距离为.

（2）存在满足条件的点，且点为线段上靠近点的三等分点.证明如下：连接交于点，连接.因为点是的三等分点，所以为的中点，为的中点.在矩形中，为的中点，所以，平面，所以平面，因为点为的中点，所以，平面，所以平面DEF，又因为平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面，因为，所以.14．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点为线段上的点，且.(1)证明：平面；(2)若，且在线段上存在一点，使得平面.请确定点的位置.并证明你的结论.【答案】(1)证明见解析；(2)为线段上靠近的三等分点，证明见解析.【分析】（1）证明，，从而可证明；（2）取四等分点，使得，延长交于点，由即可证明.【详解】（1）为矩形,.又平面,平面.平面，.,平面,平面.（2）取四等分点，使得，连接平面平面，则平面.延长交于点，，即,为三等分点,.15．如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由．【答案】存在为中点使面面，理由见解析【分析】取的中点，连接，由面面平行的判定定理即可证明平面平面．【详解】存在为中点，使得平面平面，理由如下：当为中点，连接，又是的中点，是的中点，所以，，而平面，平面，所以平面，同理可证面，又，即平面平面，综上，为中点时平面平面．16．如图：在正方体中，M为的中点.

(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析【分析】（1）连接BD交AC于O，连接MO，通过证明可证明结论；（2）上的中点N即满足平面平面，通过证明平面结合平面可证明结论.【详解】（1）连接BD交AC于O，连接MO.∵为正方体，底面为正方形，∴O为BD的中点.∵M为的中点，在中，OM是的中位线，所以.又平面，平面，∴平面；（2）上的中点N即满足平面平面，∵N为的中点，M为的中点，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；由（1）知平面，又∵，∴平面平面.

17．如图，ABCD为直角梯形，∠C＝∠CDA＝90°，，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD．(1)求证：PA⊥BD；(2)若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD；(3)若直线l过点P，且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC∥平面EBD．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）要证PA⊥BD，只需证明AB⊥BD、PB⊥BD（因为PA、PB是平面PAB内的两条相交直线）；（2）利用反证法证明，推出CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾，可证：；（3）在上l取一点E，使PE＝BC，利用直线l∥直线BC，推出PC∥BE，可以证明直线PC∥平面EBD．【详解】（1）∵ABCD为直角梯形，过点作，因为，所以四边形为正方形，则为等腰直角三角形，则，所以，∴AB⊥BD，又PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PB⊂平面PAB，所以BD⊥平面PAB，PA⊂面PAB，∴PA⊥BD．（2）假设，如图连接PN，则PN⊥AD，BN⊥AD，AD⊥平面PNB，得PB⊥AD，又PB⊥BD，得PB⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PB⊥CD又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面PBC，平面PBC，∴CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾，∴.（3）在上l取一点E，使PE＝BC，∵PE∥BC，∴四边形BCPE是平行四边形，∴PC∥BE，平面EBD，BE⊂平面EBD，∴PC∥平面EBD．18．如图1，已知菱形的对角线交于点，四边形是平行四边形.将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示.(1)求证：；(2)在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，分别是的中点，证明见解析【分析】对于（1），证明平面即可.对于（2），使即可.【详解】（1）证明：折叠前，四边形是菱形，，折叠后.平面，又平面.（2）在线段上分别存在点，且分别是的中点时，平面平面.证明如下：如图，分别取的中点，连结，在中，分别是的中点，.分别是的中点，四边形是平行四边形，平行且等于四边形是平行四边形，.又平面平面，平面平面.考点04 平行的性质定理19．设是两条直线，是两个平面，若，，则下列说法一定正确的是（

）A． B．C．是两条异面直线 D．【答案】B【分析】ACD可举出反例，D选项，可根据面面平行得到线面平行.【详解】ACD选项，如图1和图2，，，则或是两条异面直线，故ACD错误.B选项，，，根据面面平行的性质可知，故B正确；故选：B20．如图，是棱长为1正方体的棱上的一点，且平面，则与的位置关系为；线段的长度为.

【答案】/【分析】根据线面平行性质定理，结合中位线定理以及勾股定理，可得答案.【详解】连接，交与，连接，则为的中点，

因为平面，平面，平面平面，所以，故为的中点，所以，在中.故答案为：；.21．如图，空间几何体中，四边形是矩形，平面，平面平面．

(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先证明线面垂直，再根据线面垂直得出线线垂直即可；（2）先证明证明线面平行，再应用线面平行性质定理即可证明；【详解】（1）由四边形是矩形，得，由平面，又平面，得,，平面ADE，平面ADE，平面ADE，又平面ADE，；（2）因为四边形是矩形，所以．又平面，且平面，所以平面，而平面，且平面平面，所以．22．在四棱锥中，平面，点分别为的中点．

(1)求证：平面；(2)过点的平面交于点，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明和，证明平面（2）通过证明所以，得是中点，可求的值.【详解】（1）证明：因为是中点，，则有，所以四边形是平行四边形，有．因为，所以，因为平面，平面，所以．因为，平面，，所以平面．因为平面，所以．因为是中点，所以，所以．因为平面，，所以平面．（2）取中点，连接，如图所示，

因为是中点，所以，．因为，所以．所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．因为平面平面，平面，所以．因为是中点，所以是中点，所以．23．在平面四边形中（如图1），，，，E是AB中点，现将△ADE沿DE翻折得到四棱锥（如图2），

(1)求证：平面平面；(2)图2中，若F是中点，试探究在平面内是否存在无数多个点，都有直线平面，若存在，请证明．【答案】(1)证明见解析(2)存在，证明见解析【分析】（1）由，，可得平面，进而得出结论；（2）延长ED与BC交于点G，在平面AED内过G作GH∥AD，且GH＝AD，可证得AD∥平面CGH，DF∥平面CGH，从而平面ADF∥平面CGH，由题意，可得点P在直线GH上，可求得结论．【详解】（1）∵，，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）延长ED与BC交于点G，在平面AED内过G作GH∥AD，且GH＝AD，连接AH，CH，AD平面CGH，GH平面CGH，则AD∥平面CGH，

若F是EB中点，则DC∥FB，且DC＝FB，则BCDF为平行四边形，故DF∥BC，即DF∥CG，DF平面CGH，CG平面CGH，则DF∥平面CGH，又AD,DF平面ADF，AD∩DF＝D，则平面ADF∥平面CGH，由题意，可得点P在直线GH上，CP平面CGH，则CP∥平面ADF，满足题意，所以，在平面AED内存在无数多个点，都有直线CP∥平面ADF．24．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，M为PA的中点，E是PC靠近C的一个三等分点．

(1)若N是PD上的点，平面ABCD，判断MN与BC的位置关系，并加以证明．(2)在PB上是否存在一点Q，使平面BDE成立？若存在，请予以证明，若不存在，说明理由．【答案】(1)，证明见解析(2)存在，证明见解析【分析】（1）．利用线面平行的性质定理可得答案；（2）当Q是PB的中点时，平面BDE成立．由线面平行的判定定理可得平面BDE、平面BDE，再由面面平行的判定定理和性质定理答案.【详解】（1），理由如下，因为平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴．又因为，∴；（2）当Q是PB的中点时，平面BDE成立，理由如下，取PE的中点F，连接QF，又Q为PB的中点，∴．∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE，连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，又E是PC靠近C的一个三等分点，∴E为CF的中点，∴，∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE，又，∴平面平面BDE，∵平面AQF，∴平面BDE．

考点05 垂直的判定定理25．如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点.

(1)求证：平面；(2)求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用中位线定理证得，从而利用线面平行的判定定理即可得证；（2）利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得，面，，再结合题设条件证得，从而得证.【详解】（1）连接，如图，

因为在直三棱柱中，侧面是矩形，又是的中点，则是的中点，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为在直三棱柱中，底面，又底面，所以，因为，所以，又，面，所以面，又面，所以，因为侧面是矩形，，所以侧面是正方形，则，又，面，所以面，因为面，所以.26．如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．

(1)求证：∥平面;(2)求证：平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取的中点，连接，，则由三角形中位线定理得∥，∥，再结合正方形的性质可得∥，则∥平面，由理∥平面，从而可证得平面∥平面，进而可证得结论；（2）由已知面面垂直可得平面，则，再由结合勾股定理逆定理可得，再由面线垂直和面面垂直的判定定理可证得结论.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，．，分别是和的中点，∥，∥．又四边形为正方形，∥，从而∥．平面，平面，∥平面，同理∥平面，又，平面，平面∥平面，平面，则∥平面;

（2）为正方形，．又平面平面，且平面平面，面，平面，∵平面，∴，设，，，∴，∴．又，，平面，平面，而平面，∴平面平面．27．如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.

(1)证明：平面；(2)若，，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)18【分析】（1）由平面，得，再由，能证明平面；（2）根据棱锥的体积公式即可求解四棱锥的体积．【详解】（1）证明：在长方体中，平面，由于平面，，，，平面，平面，平面；（2）长方体的底面是正方形，取中点，连接，，则；平面，四棱锥的体积为．

28．如图，中，，四边形是正方形，平面平面，若G，F分别是，的中点.

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）取的中点，连接，，则由三角形中位线定理得，，再结合正方形的性质可得，则平面，由理平面，从而可证得平面平面，进而可证得结论；（2）由已知面面垂直可得平面，则，再由结合勾股定理逆定理可得，再由面线垂直和面面垂直的判定定理可证得结论.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，．，分别是和的中点，，．又四边形为正方形，，从而．平面，平面，平面，同理平面，又，平面，平面平面，平面，则平面.

（2）为正方形，．又平面平面，且平面平面，面，平面，∵平面，∴，设，，，∴，∴．又，，平面，平面，而平面，∴平面平面．29．如图，是棱长为4的正方体，E是的中点.

(1)证明：;(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意可得，，从而平面，再利用线面垂直的性质证明即可；（2）设与交于点，连接，首先证明平面，再利用顶点转化法即可求出三棱锥体积.【详解】（1）连接，∵四边形是正方形，.在正方体中，平面，又平面，.又平面，平面，平面.又平面，.

（2）设与交于点F，连接.在正方体中，.又分别是的中点，，∴四边形是平行四边形，.平面平面，平面.又正方体的棱长为4，.30．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面ABCD，，点M是SD的中点，且交SC于点N.

(1)求证：平面ACM；(2)求证：；(3)求证：平面平面AMN.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）连结交于，连结，由的中位线定理，得，由此能证明结论；（2）由线面垂直的判定定理可得平面，由线面垂直的性质可证得结论；（3）由，，得平面，从而，由等腰三角形性质得，从而平面，进而，由证得面面垂直．【详解】（1）连结交于，连结，

是正方形，是的中点．是的中点，是的中位线．．又平面，平面，平面．（2）是正方形，底面，底面，，又平面，平面平面，（3）底面，底面，，由正方形可得，又平面平面，且平面，．又，是的中点，．又平面，平面．平面，．由已知，又平面，平面．又平面，平面平面．考点06 补全垂直的条件31．已知平面，和直线，给出以下条件：①；②；③；④.要想得到，则所需要的条件是．（填序号）【答案】②④【分析】由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，由此能求出结果．【详解】解：平面，和直线，给出条件：①；②；③；④，由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的选项，故由②④可推出．即②④是的充分条件，满足条件②④时，有．故答案为：②④．32．在四棱锥中，是等边三角形，且平面平面，，．

(1).在AD上是否存在一点M，使得平面平面，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2).若的面积为，求三棱锥的体积．【答案】(1)存在；证明见解析(2)【分析】（1）由题可得，即在上找一点M，使平面即可；（2）设，由题目条件及的面积为，可得，即可得三棱锥的体积.【详解】（1）存在，当M为的中点时，平面平面．证明：取AD的中点M，连接，由是等边三角形，可得，由平面平面，平面，平面平面，可得平面，由平面，可得平面平面．（2）设，可得，则，由，可得，由.所以三棱锥P－ABC的体积为．

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33．如图，在正方体中，分别是棱的中点.

(1)求证：；(2)若点分别在上，且.求证：；(3)棱上是否存在点，使平面平面？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，点P为棱CC1的中点【分析】（1）根据正方体的特征得到AB1⊥B1A和BC⊥平面，进而得到，利用线面垂直的判定得到AB1⊥平面A1D1CB，从而得到；（2）连接DE，CD1，利用三角形全等得到DE⊥AF，然后根据正方体的特征得到DD1⊥平面ABCD，进而得到AF⊥DD1，利用线面垂直的判定得到AF⊥平面D1DE，从而得到AF⊥D1E，结合（1）的结论和线面垂直的判定得到D1E⊥平面AB1F和MN⊥平面B1AF，进而得到；（3）连接FP，AP，利用中位线定理得到FP∥C1D，再利用正方体的特征得到FP与AB1共面于平面AB1PF.结合（2）的结论，利用面面垂直的判定即可求证.【详解】（1）如图，

连接A1B，CD1∵正方体∴四边形为正方形，∴AB1⊥A1B，又∵正方体，∴BC⊥平面，AB1⊂平面，所以BC⊥AB1，又BC∩A1B＝B，平面∴所以AB1⊥平面A1D1CB，又∵D1E⊂平面A1D1CB，∴AB1⊥D1E；（2）如图，连接DE，CD1在正方形ABCD中，E，F分别为棱的中点∴AD＝DC，DF＝EC，∠ADF＝∠DCE，∴△ADF≌△DCE，∴∠DAF＝∠CDE.∵∠CDE+∠ADE=，所以∠DAF+∠ADE=，即DE⊥AF.又∵正方体中，DD1⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，∴AF⊥DD1，∵DD1∩DE＝D，D1D，DE⊂平面D1DE∴AF⊥平面D1DE.又∵D1E⊂平面D1DE，∴AF⊥D1E.由（1）可知AB1⊥D1E又∵AB1∩AF＝A，AB1，AF⊂平面AB1F

∴D1E⊥平面AB1F.又∵，AB1//C1D∴MN⊥AB1，又∵MN⊥AF

AB1∩AF＝A，AB1，AF⊂平面AB1F所以MN⊥平面B1AF，所以.（3）存在.如图，当点P为棱CC1的中点时，平面平面.连接FP，AP，∵点P，F分别为棱CC1，CD的中点∴FP∥C1D，∵正方体，∴AD∥B1C1，∴，∴C1D∥AB1，∴FP∥AB1，∴FP与AB1共面于平面AB1PF.由（2）知D1E⊥平面B1AF，即D1E⊥平面AFP.又因为D1E⊂平面CD1E.∴平面平面.34．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为，是的中点.(1)请在棱与上各找一点和，使平面平面，作出图形并说明理由；(2)求异面直线与所成角的正切值；(3)问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)(3)答案见解析【分析】（1）根据三角形中位线可得线线平行，进而可得线面平行，由线面平行可证明面面平行，（2）利用线线平行，即可找到异面直线所成的角，进而在三角形中进行求解即可，（3）根据线线垂直，可得线面垂直，即可找到的位置.【详解】（1）分别取AB，BC的中点M，N，连接MN，NE，则平面MNE//平面PAC证明：在中，M，E分别为AB，PB的中点，所以ME//AP，同理，NE//PC，又平面平面所以ME//平面PAC，同理NE//平面PAC又ME，所以平面MNE//平面PAC

（2）连接，，因为分别是的中点，所以，故为异面直线与所成的角或其补角．因为，，平面，所以平面．又平面，所以．设四棱锥的底面边长为，取中点为,连接由于,故为侧面与底面所成的二面角的平面角，故，在中,，所以，所以；（3）存在点F符合题意，且AF=AD，证明：取OB得中点Q，连接，在中，Q，E分别为BP，BO的中点，所以QE//PO，所以QE⊥平面ABCD，因为BC平面ABCD，所以QE⊥BC,又在中，，,所以QF//AB，所以QF⊥BC，又,所以BC⊥平面QEF，所以BC⊥EF在，PF==,BF==所以，故又所以平面PBC,所以存在点F符合题意。所以存在这样的F点，且35．如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，与相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点．又．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求二面角的大小；(3)设点M在棱上，且，问为何值时，平面．【答案】(1)；(2)45°；(3)见解析.【分析】（1）由已知得到PO⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质得到PO⊥BD，过D做DE∥BC交于AB于E，连接PE，则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，利用平面几何即可得解；（2）连接OE，由为等腰梯形，所以，且为中点，所以，又平面，∠PEO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，然后求值即可；（3）连接MD，MB，MO，利用PC⊥平面BMD，得到PC⊥OM，Rt△POC中求的PM＝，MC＝．【详解】（1）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD又，由平面几何可得：，过D做DE∥BC交于AB于E，连接PE，则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴OC＝OD＝1，OB＝OA＝2，OA⊥OB∴又AB∥DC∴四边形EBCD是平行四边形．∴∴E是AB的中点，且，又，∴PEA为直角三角形，∴在△PED中，由余弦定理得故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为；（2）连接OE，由为等腰梯形，所以，且为中点，所以，又平面，∠PEO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，∴sin∠PE0＝，∴∠PEO＝45°，∴二面角P﹣AB﹣C的平面角的大小为45°；（3）连接MD，MB，MO，∵PC⊥平面BMD，OM⊂平面BMD，∴PC⊥OM，在Rt△POC中，PC＝PD＝，OC＝1，PO＝，∴PM＝，MC＝，∴，故λ＝时，PC⊥平面BMD．36．如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形，，，AE＝AC，点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点．(1)证明：∥平面CEG．(2)点H为线段BD上一点，设，若AH⊥平面CEG，试确定t的值．【答案】(1)证明见解析；(2)0.【分析】（1）取AG的中点Ⅰ，记，连接FⅠ，DⅠ，GO，由三角形中位线定理可得∥，∥，然后先证得线面平行，再可证得面面平行；（2）由已知可得△ABC≌△ABE，则GC＝GE，得OC⊥OG，结合已知可得OC⊥平面ABD，则OC⊥AG，利用余弦定理求出，再由勾股定理的逆定理可得BG⊥OG，由线面垂直的判定可得AG⊥平面CEG，从而可得H与B重合，进而可求得结果.【详解】（1）证明：如图，取AG的中点Ⅰ，记，连接FⅠ，DⅠ，GO．在△ACG中，F，Ⅰ分别为AC，AG的中点，所以∥，同理，在△BDⅠ中，有∥，因为平面，平面，所以∥平面，∥平面，因为，平面，所以平面∥平面，又平面ⅠFD，所以∥平面CEG．（2）解：因为底面BCDE是菱形，所以OC⊥OD．因为AE＝AC，BC＝BE，所以△ABC≌△ABE，则GC＝GE，又因为点O是EC的中点，所以OC⊥OG．因为，平面ABD，所以OC⊥平面ABD，因为平面ABD，所以OC⊥AG．因为，，所以，则，则，所以BG⊥OG．又因为，平面CEG，所以AG⊥平面CEG．若AH⊥平面CEG，则H与B重合．故．考点07 垂直的性质定理37．如图，四边形是边长为2的正方形，平面，且为的中点．

(1)求证：；(2)设平面平面与直线所成的角为，求．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）过作交于，连接，然后利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边形为平行四边形，则，由已知线面垂直可得，从而可证得结论；（2）延长和交于点，连接和，则可得与重合，证得，从而可得为与直线所成的角，进而可求得结果.【详解】（1）过作交于，连接，

为的中点，为的中点，，且，∴四边形为平行四边形，

平面，面，，∴

（2）延长和交于点，连接和，∵平面平面，与重合，，∴∽，从而，∵四边形是正方形，，从而为平行四边形，

由（1）可知，，为与直线所成的角，即，

在边长为2的正方形中，，38．如图，和都垂直于平面，且，是的中点

(1)证明：直线//平面；(2)若平面平面，证明：直线平面.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）取中点，连接，由中位线定理可得，，进而可得为平行四边形，由线面平行的判定定理，即可证明；（2）过作于，利用面面垂直的性质可得，结合垂直于平面即可证明．【详解】（1）证明：取中点，连接，，因为为的中点，所以，，因为，均垂直面，所以，因为，所以且，所以为平行四边形，所以，面，面，所以面．（2）如图，过作于，平面平面，且两平面的交线为,平面,平面，由平面，．平面，平面，，又平面，平面．.

39．如图，在六面体中，，平面菱形ABCD.证明：

(1)B，，，D四点共面；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先证明线面平行，得出线线平行，进而得到四点共面；（2）利用面面垂直得出线面垂直，从而得到线线垂直.【详解】（1）证明：由，平面，平面，所以平面.又因为平面，平面平面，所以.同理：，所以，所以B，，，D四点共面.（2）证明：菱形ABCD中，又因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD，所以平面.因为平面，所以，由（1）有，所以.

40．如图，已知在三棱锥中，，点分别为棱的中点，且平面平面.

(1)求证：平面；(2)求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）要证平面，只需证明；（2）要证，只需利用面面垂直的性质证明平面.【详解】（1）因为点分别为棱的中点，所以.又平面平面，所以平面.（2）因为，点为棱的中点，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.41．如图，在三棱柱中，，分别为棱BC，的中点.

(1)求证:∥平面；(2)若平面平面，，，点满足，且，求实数的值.【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）连接MN，则可得为平行四边形，再结合棱柱的性质可得四边形为平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可得结论；（2）取AB的中点，连接，则，再由面面垂直的性质可得平面ABC，则，连接，则，由线面垂直的判定可得平面，则，从而可得∥，进而可得结果.【详解】（1）连接MN，因为，分别为棱BC，的中点，所以，因为∥，，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，，又∥，，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，又因为平面，平面，所以∥平面.（2）解：取AB的中点，连接，因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面ABC.因为平面ABC，所以.连接，因为∥，，所以.又，平面，所以平面.因为平面，所以.又因为，所以，所以∥，所以为MB的中点，即，所以.

42．如图，四棱锥的底面为梯形，，，底面，平面平面，点在棱上，且.

(1)证明：平面；(2)证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）过作交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明即可.（2）利用线面垂直的性质定理，面面垂直的性质定理证明即可.【详解】（1）在平面中，过作交于点，连接，因为，所以.又，所以.又，所以，所以四边形为平行四边形.所以，又平面，平面，所以平面.

（2）因为底面，平面，所以.在平面中，过点作，交于点，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以.又平面，平面，，所以平面.又平面，所以.考点08 平行，垂直的综合应用43．下列命题正确的是（

）（1）已知平面和直线m，n，若，，则；（2）已知平面，和直线m，n，且m，n为异面直线，，．若直线满足，，，，则与相交，且交线平行于；（3）已知平面，和直线m，n，若，，，，则；（4）在三棱锥中，，，，垂足都为P，则P在底面上的射影是三角形的垂心A．（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（3）（4） D．（1）（2）【答案】A【分析】举反例可判断（1）；过直线m上点A作，记所在平面为，然后证明，即可判断（2）；根据面面平行的判定定理可判断（3）；作平面，结合已知证明平面，然后可得，然后可判断（4）.【详解】对于（1）：在正方体中，平面，平面，显然与异面，故（1）错误；

对于（2）：假设，因为，所以，又，所以（矛盾），故与相交，记交线为.过直线m上点A作，记所在平面为，因为，，，所以，又，所以，因为，所以.因为，所以，又，，所以，所以，（2）正确；

对于（3）：由面面平行判定定理可知（3）错误；对于（4）：作平面，因为平面，所以，因为，，平面，所以平面.又平面，所以.因为平面，所以平面，因为平面，所以，即点O在的BC边的高上.同理，点O在的AB边和AC边的高上，所以点O为高的交点，即O为的垂心，（4）正确.

故选：A.44．（多选）在正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（

）A．B．存在点使得平面C．存在点使得平面D．平面截正方体所得的两部分体积比为7：17（或17：7）【答案】AC【分析】根据直线与所成的角为，可判定A错误；取的中点，取的中点，分别证得平面和平面，得到平面，可判定B正确；取的中点，连接和，证得平面，得到，结合与不垂直，可判定C错误；求得截得的棱台的体积，进而可判定D正确.【详解】对于A中，连接，在正方体中，可得，所以异面直线与与所成的角即为直线与所成的角（或其补角），不妨设正方体的棱长为2，则，则为平行四边形，则，所以A错误；对于B中，取的中点，连接，因为为的中点，可得，又因为，所以，所以平面即为平面，再取的中点，分别连接，在正方体中，由为的中点，且为的中点，可得，因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，又因为且平面，所以平面平面，所以只需点在线段上，则平面，所以B正确；对于C中，取的中点，连接和，可得，若存在点使得平面，且平面，所以，因