考点巩固卷19直线与圆(十二大考点)（解析版）

考点巩固卷19直线与圆(十二大考点)考点01 直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设直线的倾斜角为.由已知，可推得.分两种情况时以及时，结合正切函数的性质求解即可得到结果.【详解】设直线的倾斜角为.因为，，，所以，.又，则.当时，单调递增，解，可得；当时，单调递增，解，可得.综上所述，.故选：B.2．已知点P，Q的坐标分别为，，直线l：与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围是.【答案】【分析】先求出的斜率，再利用数形结合思想，分情况讨论出直线的几种特殊情况，综合即可得到答案.【详解】如下图所示，

由题知，直线过点.当时，直线化为，一定与相交，所以，当时，，考虑直线的两个极限位置.（1）经过，即直线，则；（2）与直线平行，即直线，则，因为直线与的延长线相交，所以，即，故答案为：3．设直线与轴的交点为，求将此直线绕点逆时针旋转角后所得到的直线的方程．【答案】答案见详解【分析】根据题意可得点的坐标及直线的倾斜角为，从而可得所求直线与轴正方向的夹角为，再分和讨论即可求解．【详解】由直线与轴的交点为，且其斜率为1，所以直线的倾斜角为，即其与轴正方向的夹角为，所以将直线绕点逆时针旋转角后所得到的直线与轴正方向的夹角为，当时，所以所求直线的方程为；当时，所以所求直线的方程为．4．如图，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

【答案】，锐角；，钝角；，锐角【分析】通过两点求斜率的公式求得斜率，进而判断出倾斜角是锐角还是钝角.【详解】直线的斜率，直线的斜率，直线的斜率，由>及可知，直线与的倾斜角均为锐角；由可知，直线的倾斜角为钝角．5．已知点在函数的图象上，当时，求：(1)的取值范围；(2)的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）可看作过点与点的直线的斜率，结合图形分析求解；（2）整理得，可看作过点与点的直线斜率，结合图形分析求解.【详解】（1）因为点M在函数的图象上，且，记点，．由题意可知点在线段AB上移动．记点，则可看作过点与点的直线的斜率，又因为，，由于，可知线段AB上存在点与N点连线的斜率不存在，所以的取值范围为．

（2）因为，记点，则可看作过点与点的直线斜率，又因为，，所以的取值范围为．

考点02求直线的方程6.已知在中，点，的角平分线为，边上的中线所在直线的为，求边所在直线l的一般式方程.【答案】【分析】用待定系数法求出点，再利用点关于直线的对称求解，利用截距式方程求解化简即可.【详解】设，因为在角平分线上，①，因为、C中点在中线上，所以②，联立①②解得，，所以，设B点关于角平分线的对称点为，因为，所以③，因为B、N中点在上，所以④，联立③④解得，，所以，l即为，化简有，所以.

7．求满足题意的直线方程：(1)求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程；(2)求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）求出直线斜率根据斜截式可得直线方程.（2）当直线过原点时根据过点写出直线方程，当直线不经过原点时，设直线方程为将代入求得即可.【详解】（1）斜率是直线的斜率的的直线斜率，利用斜截式可得：，化为一般式：.（2）直线经过原点时满足条件，可得直线方程为：，即；直线不经过原点时，截距不为0，设直线方程为:，把点代入可得:，解得，化为一般式：；综上：所求直线为或.8．已知直线l经过点，且直线的倾斜角为，求直线l的方程，并求直线l在轴上的截距．【答案】；5【分析】计算出直线斜率，写出点斜式，再化简即可得到其截距.【详解】因为直线l的斜率，所以可知直线l的方程为，即．令，则，因此直线l在轴上的截距为5.9．已知直线，直线过点，__________．在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题．(1)求的一般式方程；(2)若与在轴上的截距相等，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）选择①：根据点斜式求解即可；选择②：设直线的截距式求解即可；（2）先求得直线在轴上的截距为，故直线过点，代入，求解即可.【详解】（1）选择①：由题意可设直线的方程为，因为直线的斜率是直线的斜率的2倍，所以，所以直线的方程为，即．

选择②：由题意可设直线的方程为，，因为直线过点，所以，解得．所以直线的方程为，即．（2）由（1）可知直线的方程为，令，可得，所以直线在轴上的截距为，所以直线在轴上的截距为．故直线过点，代入，得，解得．10．写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式：(1)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍；(2)经过两点，；(3)经过点，平行于x轴；(4)在x轴，y轴上的截距分别为，．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，求出所求直线的斜率，再利用直线点斜式求出方程作答.（4）根据给定条件，利用直线方程的截距式方程求解作答.【详解】（1）直线的斜率为，其倾斜角为，因此所求直线的倾斜角为，斜率为，所以所求直线的方程为，即.（2）直线的斜率，所以直线的方程为，即.（3）经过点，平行于x轴的直线斜率为0，所以经过点，平行于x轴的直线方程为.（4）在x轴，y轴上的截距分别为，的直线方程为，即.11．写出满足下列条件的直线的方程，并画出图形：(1)在x轴上的截距是3，在y轴上的截距是2；(2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等；(3)经过点，且直线在x轴上的截距是其在y轴上截距的2倍．【答案】(1)，图象见解析(2)或，图象见解析(3)或，图象见解析【分析】（1）根据截距直接列出直线的截距式方程；（2）当截距为0时，设直线的方程为；当截距不为0时，根据截距之间的关系，设出直线的截距式方程.最后根据直线经过的点求出直线方程；（3）方法同（2）；【详解】（1）直线在x轴上的截距是3，在y轴上的截距是2，直接列出直线的截距式方程，整理为，直线的图象如下：（2）①当直线的截距为0时，设直线方程为，代入点，得到，即，故直线方程为，即，直线的图象如下：②当直线的截距不为0时，设直线的方程为，代入点，得到，解得，故直线的方程为，即，直线的图象如图：综上，直线的方程为或.（3）①当直线的截距为0时，此时满足直线在x轴上的截距是其在y轴上截距的2倍，设直线方程为，代入点，得到，故直线方程为，即，直线的图象如下：②当直线的截距不为0时，设直线的方程为，代入点，得到，解得，故直线的方程为，即，直线的图象如图：综上，直线的方程为或.考点03两直线的位置关系12．设，，，，若，那么直线和直线的关系是.（

）A．直线直线 B．直线直线C．直线与直线重合 D．直线直线或直线直线【答案】B【分析】由直线的点斜式方程求出直线与直线的方程，即可得出答案.【详解】当时，，，，，所以，又因为，两点的直线方程为即，又因为，两点的直线方程为即，所以直线直线.故选：B.13．已知，，三点，试判断的形状.【答案】直角三角形.【分析】分别计算出和边所在直线的斜率，利用斜率成绩为即可判断的形状.【详解】如图所示，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率.由，得，即，所以是直角三角形.

14．已知直线.(1)若，求实数的值；(2)当时，求直线与之间的距离.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用直线垂直的公式列式计算即可.（2）先利用直线平行求出a，然后代入平行直线距离公式求解即可.【详解】（1）因为直线，且，所以，所以所以.（2）当时，，解得，此时，所以与的距离.15．如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.

【答案】平行四边形，证明见解析.【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状.【详解】由已知可得边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率.因为，，所以，.因此四边形是平行四边形.16．分别求过直线和的交点，且与直线垂直或平行的直线方程.【答案】答案见解析【分析】求出直线、的交点坐标，求出直线的斜率，结合所求直线与直线平行、垂直，结合点斜式可得出所求直线的方程.【详解】解：联立，解得，即直线、的交点为，因为直线的斜率为，所以，过点且与直线垂直的直线的方程为，即，过点且与直线平行的直线的方程为，即.17．已知平行四边形中，边所在直线方程为，边所在直线方程为．(1)求点的坐标；(2)若点的坐标为，分别求与边所在直线的方程．【答案】(1)(2)所在直线方程为，所在直线方程为.【分析】（1）直接联立方程组即可得到的坐标；（2）根据，，设平行一般式，解出其中未知数即可.【详解】（1）联立，解得，所以.（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以，设所在直线的方程为：，代入点C的坐标，得，所以所在直线的方程为：，同理，设所在直线的方程为：，代入点C的坐标，得，所以所在直线的方程为：.考点04 距离问题18．已知点在线段上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将问题化为求原点到线段上点距离的平方的范围，进而求目标式的距离.【详解】由的图象如下，

又是上图线段上的一点，且为原点到该线段上点距离的平方，上述线段端点分别为，到原点距离的平方分别为，由图知：原点到线段的距离，则，综上，，故.故选：B19．已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先对所求式子配方整理，把问题转化为，求直线上一点，到直线同侧的两点间的距离之和的最小值，就是将军饮马求最值问题，先对其中一点作关于直线的对称点，进一步把问题转化为，求两点间的距离，求解即可.【详解】该式子是表示点到点、点的距离之和，又，上述式子表示直线上的点到点、点的距离之和的最小值（如图）.

设点关于直线的对称点为，则有，解得，即，所以，所以直线上的点到点、点的距离之和的最小值为.故选：D.20．（多选）若点在直线上，且点到直线的距离是，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】设出点的坐标为，利用点到直线的距离公式表示出到已知直线的距离，让等于列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，再写出点的坐标即可.【详解】解：设点坐标为，点到直线的距离为：，解得或，∴点坐标为或.故选：AC.21．两条平行直线与之间的距离为．【答案】【分析】根据两直线平行可求得，由平行直线间距离公式可求得结果.【详解】，，解得：，，即，之间的距离.故答案为：.22．等腰直角三角形ABC的直角顶点B和顶点A都在直线上，顶点C的坐标是，直线AC的倾斜角是钝角.(1)求直线BC，AC在x轴上的截距之和；(2)平行于AC的直线l与边AB，BC分别交于点D，E，若的面积等于，求直线l与两坐标轴围成的三角形的周长.【答案】(1)3(2)【分析】（1）根据互相垂直的两直线斜率间的关系，结合等腰直角三角形的性质、点到直线距离公式进行求解即可；（2）根据互相平行的两直线斜率间的关系，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】（1）因为直线AB的方程为，所以直线BC的斜率为，直线BC的方程为，即，令，得，所以直线BC在x轴上的截距为4.设，由知点A到直线BC的距离等于点C到直线AB的距离，即，解得或，当时，即，，不符合题意舍去，当时，即，，符合题意，所以直线AC的方程为，令，得，所以直线AC在x轴上的截距为，所以直线BC、AC在x轴上的截距之和为3.（2）设直线l的方程为，由可得，则.的面积为，而的面积为，所以点B到直线AC的距离是点B到直线l的距离的2倍，即，解得或.因为直线l与边AB，BC分别交于点D，E，所以，即直线l的方程为，所以所求三角形的周长为.23．已知的边所在直线方程为，边所在直线方程为，边的中点为.求：(1)求点坐标；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用中点坐标公式及点在直线上即可求解；（2）根据（1）的结论及直线的斜率公式，利用直线的点斜式方程和两点间的距离公式，结合点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）设，根据中点公式结合点在直线上，点在直线上，则有，解得，所以点坐标为.（2）由（1）知，，所以,所以直线方程为，即.所以.由，解得，所以.点到直线的距离为，所以的面积为考点05直线的对称问题24．（多选）已知点，，且点在直线：上，则（

）A．存在点，使得 B．存在点，使得C．的最小值为 D．最大值为3【答案】BCD【分析】设，利用斜率公式判断A，利用距离公式判断B，化折线为直线，利用两点之间线段最短判断C，根据几何意义判断D.【详解】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，，与不垂直，同理时与不垂直，当且时，，若，则，去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误；对于B：设，若，则，即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确；对于C：如图设关于直线的对称点为，则，解得，所以，所以，当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；

对于D：如下图，，当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确.

故选：BCD25．将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则．【答案】1【分析】根据直线对称的性质，结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可.【详解】设点为点，点为点，所以线段的中点为.设点为点，设点为点，所以线段的中点为，由题意可知，于是有：，故答案为：1【点睛】关键点睛：本题的关键是根据直线对称，得到斜率之间的关系.26．光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为．【答案】【分析】分别求点关于轴和直线的对称点，再根据几何关系求得直线的方程.【详解】点关于轴的对称点为，设点关于的对称点为，则，解得：，即,由对称性可知，点在直线上，所以，直线的方程为，即.

故答案为：27．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光从点P出发经反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR经过的重心，则.【答案】/【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出点P的坐标，再求出点P关于的对称点坐标，借助三点共线列式求解作答.【详解】依题意，以点A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴建立平面直角坐标系，如图，

则，，，的重心G的坐标为，设点P的坐标为，，则点P关系y轴对称点，设点P关于直线对称点，显然直线BC的方程为，于是，解得，即点，由光的反射定律知，光线过点，也过点，而光线经过的重心，因此点共线，则有，整理得，解得，所以.故答案为：28．某地两村在一直角坐标系下的位置分别为，，一条河所在直线l的方程为．在河边上建一座供水站分别向两镇供水，若要使所用管道最省，则供水站应建在什么地方?【答案】供水站应建在处【分析】根据两点间的距离以及点关于直线的对称性建立方程组求解即可.【详解】如图，作点关于直线l的对称点，连接交l于，

若（异于）在直线l上，则，因此供水站建在处，才能使得所用管道最省．设，则的中点在l上，且，即，解得，即，又因为，则直线的方程为：，则化简为，所以直线的方程为．解方程组，得．所以点P的坐标为．故供水站P应建在处．29．三角形的顶点，边上的中线所在直线为，A的平分线所在直线为．(1)求A的坐标和直线的方程；(2)若P为直线上的动点，，，求取得最小值时点P的坐标．【答案】(1)，直线的方程为(2)【分析】（1）设点A坐标并表示中点D坐标，由点在直线方程建立方程求解即可得A，利用角平分线的性质可得点B关于直线的对称点，从而求方程；（2）由两点之间的距离公式结合二次函数求最值计算即可.【详解】（1）由题意可设，则，由直线，的方程可知：，即，设点B关于直线的对称点，则中点坐标为，，依题意有，解之得，即，易知在直线上，故由两点式可得，化简得；

（2）由（1）所得方程，不妨设，则，由二次函数的性质可知当，上式取得最小值，此时.考点06 圆的方程30．已知点四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为.【答案】【分析】运用待定系数法求得过A、B、C的圆的方程，由点D在此圆上可求得的值，再根据两点间距离公式即可求得结果.【详解】设过A、B、C的圆的方程为：（），则，解得，所以过A、B、C的圆的方程为：，又因为点D在此圆上，所以，解得，所以点D到坐标原点O的距离为.故答案为：.31．的三个顶点的坐标分别为，求的外接圆的方程.【答案】【分析】利用待定系数法或几何法求解即可.【详解】解法一（待定系数法）设所求圆的标准方程为，则解得所以外接圆的方程为．解法二（几何法）

,易知，是直角三角形，，所以圆心是斜边的中点，半径是斜边长的一半，即，所以外接圆的方程为．32．求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程．【答案】【分析】法一：联立直线与圆的方程求交点，根据三点在圆上，应用待定系数法求圆的方程；法二：设所求圆的方程为，由点在圆上求得，即可得方程.【详解】法一：解方程组，得或，∴直线与圆交于点．设所求圆的方程为()，将A，B，P的坐标代入，得，解得，满足，故所求圆的方程为．法二：设所求圆的方程为，又在圆上，则，解得，故所求圆的方程为，即．

33．已知直线与轴交于点，直线与交于点，点在轴的正半轴上，且，求外接圆的方程．【答案】【分析】先求得点的坐标，根据求得点的坐标，设出外接圆的一般方程，代入的坐标，从而求得外接圆的方程．【详解】根据直线，令，得，所以的坐标为．由与的方程联立方程组，得，解得，所以的坐标为．设点的坐标为，因为，所以．解得，所以的坐标为．设外接圆的方程为，则，解得，所以外接圆的方程为．34．已知圆经过点和，该圆与两坐标轴的四个截距之和为，求圆的方程.【答案】.【分析】利用待定系数法设出圆的方程，然后利用圆与两坐标轴的四个截距之和为，即可求解.【详解】设圆的一般方程为，由圆经过点和，代入圆的一般方程，得(*)设圆在轴上的截距为、，则它们是方程的两个根，得.设圆在轴上的截距为、，则它们是方程的两个根，得.由已知，得，即.③由(*)③联立解得.故所求圆的方程为.考点07 点、直线与圆位置关系的判断35．若点在圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.【详解】依题意，方程可以表示圆，则，得；由点在圆的外部可知：，得.故.故选：C36．直线与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定【答案】C【分析】观察直线方程，得直线过定点，判断该点与圆的位置关系，得直线与圆的位置关系【详解】直线过定点，由圆的方程为，所以点A在该圆内，则过该点的直线一定与圆相交，故选：C37．在两坐标轴上的截距相等，且与圆相切的直线有（

）条A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】分截距为零和截距不为零两种情况结合点到直线的距离公式求解即可【详解】圆的圆心为，半径，由题意可知切线的斜率存在，当截距为零时，设切线方程为，即，所以，化简得，因为，所以方程有两个不相等的根，所以过原点的切线有两条，当截距不为零时，设切线方程为，即，所以，解得或，所以不过原点的切线为或，有2条，综上，在两坐标轴上的截距相等，且与圆相切的直线有4条，故选：D38．（多选）已知点在圆上，点，，则（

）A．直线与圆相交 B．直线与圆相离C．点到直线距离大于0.5 D．点到直线距离小于5【答案】BCD【分析】根据圆心到直线的距离判断AB，再由圆上点到直线距离的最值判断CD即可.【详解】由知，圆心为，半径，直线，则圆心到直线距离.所以直线与圆相离，故A错B对；由圆心到直线的距离知，圆上点到直线距离的最大最小值分别为，，故CD正确.故选：BCD39．（多选）已知圆M：，直线：，则（）A．恒过定点 B．若平分圆周M，则C．当时，与圆M相切 D．当时，l与圆M相交【答案】BC【分析】令即可判断A，将圆心坐标代入直线方程即可判断B，利用圆心到直线的距离与半径的大小关系即可判断CD.【详解】对A，直线：，令，则，则l恒过定点，选项A错误；对B，若l平分圆周M，则l经过圆M的圆心，代入直线方程得，解得，选项B正确；对C，圆心到l的距离，当时，，l与圆M相切，选项C正确；对D，若l与圆M相交，则，即，即，即，故选项D错误．故选：BC.

40．已知实数、满足，求的取值范围．【答案】【分析】表示圆上的点与原点所在直线的斜率，求出过原点与圆相切的切线的斜率，即可得解.【详解】表示圆上的点与原点所在直线的斜率，设为，故此圆的切线方程为，再根据圆心到切线的距离等于半径，可得，解得，所以的取值范围为．考点08 切线和切线长问题41．已知点是圆上的动点，直线与轴、轴分别交于两点，当最小时，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出示意图之后，结合图形可知，与圆相切时，切线长取到最小值.【详解】圆化成标准形式为，故圆心为，半径为，直线与坐标轴交于点，点，如图所示：

则当最小时，与圆相切，连接，可知，由勾股定理可得.故选：A42．（多选）若与y轴相切的圆C与直线也相切，且圆C经过点，则圆C的直径可能为（

）A．2 B． C． D．【答案】AB【分析】由分析知，圆C的圆心在两切线所成角的角平分线上，设圆心，即可表示出圆C的方程，又因为圆C经过点，代入解得即可得出答案.【详解】因为直线的倾斜角为30°，所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线上.设圆心，则圆C的方程为，将点的坐标代入，得，解得或.故圆C的直径为2或.故选：AB.43．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足(1)求动点P的轨迹C的方程(2)若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）设，根据动点满足，再用两点间距离公式列式化简作答.（2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答.【详解】（1）设，由，得，化简得，所以P点的轨迹的方程为.（2）由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2的圆，当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切；当直线l的斜率存在时，设，即，

于是，解得，因此直线的方程为，即，所以直线l的方程为或.

44．求经过点且与圆相切的直线的方程．【答案】或【分析】分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，再结合点到直线的距离公式即可得解.【详解】圆的圆心为，半径，当切线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离等于半径，符合题意，当切线斜率存在时，设方程为，即，则，解得，所以切线方程为，综上所述，切线方程为或.45．过原点O作圆的两条切线，设切点分别为P，Q，求线段PQ的长．【答案】【分析】由圆的方程确定圆心C、半径r，根据切线段长与半径r、OC的几何关系，求切线段长，利用等面积法求切点弦的长即可.【详解】

由题意，可化为，∴圆心，半径，则有，故切线段长，若线段的长为，则，得.46．已知点，则的内切圆的方程为．【答案】【分析】根据给定条件，确定内切圆的圆心位置，设出圆心坐标，再借助点到直线的距离公式求解作答.【详解】依题意，内切圆的圆心在第四象限，并且到x、y轴距离相等，令此圆半径为，则圆心，直线方程为：，即，直线是圆的切线，因此，解得或，显然，于是，圆心，所以内切圆的方程为.故答案为：考点09 弦长问题47．在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用点到直线距离公式表示出圆心到直线距离，并由的范围确定的范围；利用垂径定理表示出，由，根据基本不等式取等条件可构造方程求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径，则圆心到直线的距离，，，，，（当且仅当时取等号），则当的面积最大时，，又，解得：.故选：C.48．（多选）已知圆与直线，下列选项正确的是（

）A．圆的圆心坐标为 B．直线过定点C．直线与圆相交且所截最短弦长为 D．直线与圆可以相切【答案】ABC【分析】根据圆的方程直接求出圆心判断A，直线恒过定点判断B，利用垂径定理结合圆的性质求出最短弦长判断C，利用直线恒过圆内定点判断D.【详解】对于A，圆的圆心坐标为，正确；对于B，直线方程即，由可得，所以直线过定点，正确；对于C，记圆心，直线过定点，则，当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时直线截圆所得的弦长最小，此时弦长为，正确；对于D，因为，所以点在圆内，直线与圆必相交，错误.故选：ABC49．点是直线上的动点，过点作圆的切线，分别相切于、两点，则的最小值为；四边形面积的最小值为；【答案】/【分析】由圆的几何性质可知，，分析可知，当与直线垂直时，取最小值，求出的最小值，结合勾股定理可求出的最小值，证明出，可得出，结合三角形的面积公式可求得四边形面积的最小值.【详解】圆的圆心为坐标原点，如下图所示：由圆的几何性质可知，，由勾股定理可知，，当与直线垂直时，取最小值，且，所以，，由切线长定理可得，又因为，，所以，，所以，，故四边形面积的最小值为.故答案为：；.50．已知圆C经过三点.(1)求圆C的方程；(2)经过点的直线l被圆C所截得的弦长为，求直线l的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）设出圆C的一般方程，再利用待定系数法求解作答.（2）由（1）求出圆C的圆心和半径，结合弦长及点到直线距离求解作答.【详解】（1）设圆C的方程为，由圆C经过三点，得，解得，所以圆C的方程为（2）由（1）知圆C：，即圆心，半径为5，由直线l被圆C所截得的弦长为，得圆心C到直线l的距离，而直线l经过点，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，于是，得或，所以直线l的方程为或

51．已知圆C经过两点，且与x轴的正半轴相切.(1)求圆C的标准方程；(2)若直线l：与圆C交于M，N，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）圆C经过两点，且与x轴的正半轴相切，可设圆心，即，可得半径．利用勾股定理、弦长公式计算进而得出答案．（2）求出圆心到直线l的距离d，即可得出弦长．【详解】（1）圆C经过两点，且与x轴的正半轴相切，

设圆心，即，故半径，则，∴圆C的标准方程为：．（2）圆心到直线l：的距离，∴弦长．52．已知以点为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点.(1)求证：的面积为定值；(2)设直线与圆C交于点M、N，若，求圆C的方程.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）确定圆方程，根据方程计算，，再计算面积得到证明.（2）确定，，根据斜率公式计算得到，得到圆方程.【详解】（1）圆方程为，取时，，解得或，即；取时，，解得或，即；，得证.（2），故在的垂直平分线上，且圆心在的垂直平分线上，故，，，解得或（舍）.圆方程为考点10 圆与圆的位置关系53．已知圆和两点，圆C上若存在点P，使得，则的最小值为（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】由题意可得在为直径的圆上，转化为两圆有公共点求解.【详解】，且存在点P，使得，点的轨迹为，点在圆上，两圆有公共点，两圆圆心分别为，，圆心距为5，半径分别为，，解得，故选：D54．已知圆的半径为，圆心在直线上．点，．若圆上存在点，使得，则圆心的横坐标的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆心，表示出圆，设，依题意可得，将问题转化为两圆有交点求出参数的取值范围.【详解】依题意设圆心，则圆：，设，由，则，即，依题意即圆与圆有交点，则，解得，即圆心的横坐标的取值范围为.故选：B55．“”是“圆与圆有公切线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由圆的方程可得两圆圆心和半径，由两圆有公切线时圆心距和两圆半径之间的关系可确定结果．【详解】由已知有，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为1，两圆圆心距，当两圆有公切线时，两圆的位置关系为：内切、相交、外切和相离，此时两圆的半径与圆心之间的距离满足，即，又，故解得，当时，两圆的位置关系可能为：内切、相交、外切和相离，此时两圆有公切线，所以圆与圆有公切线的充要条件为，所以“”是“两圆有公切线”的既不充分也不必要条件，故选：D．56．（多选）已知圆M：，圆N：，则下列选项正确的是（

）A．直线MN的方程为B．若P､Q两点分别是圆M和圆N上的动点，则的最大值为5C．圆M和圆N的一条公切线长为D．经过点M､N两点的所有圆中面积最小的圆的面积为【答案】AD【分析】根据题意求圆M、N的圆心与半径.对于A：根据两点式方程运算求解；对于B：根据圆的性质分析求解；对于C：根据切线的性质运算求解；对于D：当为直径的圆时，经过点M､N两点的所有圆中面积最小，运算求解即可.【详解】由题意可知：圆M：的圆心，半径，圆N：，的圆心，半径，对于选项A：直线MN的方程为，即，故A正确；对于选项B：因为，所以的最大值为，故B错误；对于选项C：因为，可知圆M与圆N外切，如图，直线为两圆的公切线，为切点坐标，过A作，垂足为，

则为矩形，可得，所以公切线长为，故C错误；对于选项D：当为直径的圆时，经过点M､N两点的所有圆中面积最小，此时圆的面积为，故D正确；故选：AD.57．已知圆的圆心在直线上，点与都在圆上，圆，则与的位置关系是.【答案】相交【分析】利用待定系数法求得圆的标准方程，求出圆心距，与两圆的半径和、差比较即可得出结论.【详解】设圆的标准方程为，因为圆心在直线上，且该圆经过与两点，列方程组，解得，即圆的标准方程为，圆心，半径，又圆，圆心，半径，∴，又，，而，∴与的位置关系是相交.故答案为：相交.考点11 圆的公共弦和公共切线58．已知圆与圆相交于两点，其中点是坐标原点，点分别是圆与圆的圆心，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直线的方程，继而可求得点到直线的距离，根据勾股定理可求得线段的长度，在中，利用余弦定理可求得所求.【详解】如图所示：过点,作,因为，则为线段的中点，联立，两式相减得，故直线的方程为，又化为，故,,则点到直线的距离为，则,则中，故选：59．圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圆与圆位置关系的判断可知两圆外离，得公切线条数；根据两圆半径相同可确定两条公切线过，两条公切线平行于，假设公切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得公切线.【详解】由两圆方程得：圆心，，半径，两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条；两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行，经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：，，解得：或，即公切线方程为：或；，与平行的公切线方程为，即，，解得：，即公切线方程为或；综上所述：两圆的公切线方程为：或或或.故选：C.60．已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，另两条切线与直线平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得解【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为圆的圆心坐标为，半径为如图所示，两圆相离，有四条公切线.

两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，设切线，则圆心到直线的距离，解得或，当时，切线方程为，A正确；当时，切线方程为，即，B正确；另两条切线与直线平行且相距为1，又由，设切线，则，解得，即切线方程分别为，；整理可得两切线方程为和，所以C正确，D不正确.故选：D.61．已知圆C的方程为，直线，点P是直线l上的一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判断出四边形PAOB的面积最小时点的位置，根据圆与圆的交线的求法求得正确答案.【详解】依题意可知，所以，所以最小时，最小，此时，的斜率为，所以此时直线的斜率为，也即此时直线的方程为，由解得，则，以为圆心，半径为的圆的方程为，即，与两式相减并化简得：.故选：A

62．（多选）圆和圆的交点为，则有（）A．公共弦所在直线方程为B．线段中垂线方程为C．公共弦的长为D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为【答案】ABD【分析】直接把两圆的方程作差判断A；利用直线方程的点斜式写出线段的中垂线方程判断B；求出公共弦长判断C；由到的距离加上的半径判断D．【详解】对于A，由与，两式作差可得，即，∴公共弦所在直线方程为，故A正确；对于B，圆的圆心为，圆的圆心，的中点坐标，，∴的中垂线的斜率为，可得的中垂线方程为，即，故B正确；对于C，圆心到直线的距离，半径为，则，故C错误；对于D，为圆上一动点，圆心到直线的距离为，半径，则到直线的距离的最大值为，故D正确．故选：ABD63．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，求直线的方程.【答案】【分析】法一：由点的特殊性，数形结合可得两切点坐标，由两点式方程可得；法二：利用相切性质，两直角互补，得四边形共圆，将直线转化为两圆相交弦方程求解即可.【详解】由，得，设圆心为，则，圆C半径为，已知，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，法一：如图可知，两切点分别为

由两点式可得直线方程为；法二：连接，则，则四边形有外接圆，且为直径，设中点为，为圆心，则，，则圆半径为，方程为：，化为一般方程为：①，又圆：②，②①得，，化简得.故两圆相交弦即的直线方程为.

考点12 与圆有关的最值问题64．已知，，若动点满足，直线与轴、轴分别