湖南省衡阳市祁东县育贤中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题

2023年下期育贤中学九年级期中考试数学试题

考试时间：100分钟总分：120分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（共36分）

1.（本题3分）下列方程属于一元二次方程的是（）

A.（x2-2）x=^B.ax2+Z>x+c=0C.3x+^-=5D.^=3x

X

2.（本题3分）下列根式中与6是同类二次根式的是（）

A.JiB.V32C.V12D.V18

3.（本题3分）J（3—％尸=久一3成立的条件是（）

A.x>3B.x>3C.烂3D.x<3

4.（本题3分）一元二次方程/一2久+4=0的根的情况是（）

A.有一个实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.没有实数根

直线/8IIC0IIER若403,CE=4,则鬟的值是（)

6.（本题3分）下列方程中，两根之和为2的是（）

A./+2%—3=0B.X2+2%4-3=0

C.x2—2,x—3=0D.4%2—2x—3=0

7.（本题3分）实数a在数轴上的位置如图所示，则J（a-4）2-—

化简后为（）।।一

05。10

A.2a-15B.-7C.7D.无法确定

8.（本题3分）若关于x的一元二次方程（1-m）x2+2x-7=0有两个不相

等的实数根，则m的取值范围是（）

试卷第1页，共4页

A.m<-B.mW2且mH1C.m>-D.m<勺且?n羊1

7777

9.(本题3分)已知a,夕分别是方程％2-4x-1=0的两个根，则代数式小+

外的值为()

A.16B.18C.20D.22

10.（本题3分）如图，已知，△/BC中，P为上一点，在下列四个条件

中：⑴zACP=zB；（2）zAPC=ZACB；（3）/1C2=AP-AB；（4）715•CP=

AP•CB,能满足△力PC与△ACB相似的条件是（）.

A.(1)(2)(4)B.(1)(3)(4)

C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)

11.（本题3分）三角形的一边长为10,另两边长是方程/一14%+48=0的

两个实数根，则这个三角形是（）

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

12.（本题3分）某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票

房持续增长，三天累计票房10.82亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，

设平均每天票房的增长率为x,则根据题意，下列方程正确的是（）

A.3（1+%）=10.82

B.3（1+%）2=10.82

C.3（1+%）+3（1+%）2=10.82

D.3+3（1+x）+3（1+x）2=10.82

第II卷（非选择题）

二、填空题（共18分）

13.（本题3分）如果±则二的值为

y2x+y

14.若7^不工在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

15.（本题3分）若％=1是一元二次方程（m+3）/—mx+m2-12=0的

其中一个解，则机的值为—.

16.（本题3分）如图，在A4BC中，点0、E分别在边/B、4c上，DE\\BC,

如果告=：,BC=10,那么DE的长是.

EC2

试卷第2页，共4页

A.V

BCB

17.（本题3分）若关于x的方程（m-3）xlm-i+2x-7=0是一元二次方程,

则m=

18.（本题3分）如图，在正方形4BCD中，点P是AB上一动点（不写/、B重

合），对角线/C、BO相交于点0,过点P分别作AC、BD的垂线，分别交

AC.BD于点E、F,交/D、BC于点M、N,下列结论：@AAPEsAAME-,

②PM+PN=AC；③4P0F-ABNF；④当/PMN-d力MP时，点P是

的中点，其中一定正确的结论有X填上所有正确的序号）

三、解答题（共66分）

19.（本题9分）解方程：（1）4（X+1）2=16（2）2（x-3）=3x（x-3）

计算：（3）VT^x£+—3|+（遥-1）；

20.（本题6分）先化简，再求值：含-3其中x=«

21.(本题6分)若实数x,歹满足42%-1+(y—I)2+|z+3|=0,求4+y—z

的值.

22.（本题8分）已知关于x的一元二次方程K2一（由一3）%-6=0.

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两实根为%1，%2，且优+据-%小2=7,求加的值.

23.（本题8分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，MN1AM,MN

交CD于点N.

(1)求证：△ABMs^MCN；

(2)若AB=6,BM=2,求DN的长.

试卷第3页，共4页

24.(本题8分)有长为30米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10

米)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边48为

x米.

«------------10m-------------►

.////<//////、//////〈///，

AD

B'------------'C

(1)如果要围成面积为63平方米的花圃，那么的长是多少米？

(2)能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出的长，若不能，请说明

理由.

25.(本题9分)杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江

南忆”，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件.

(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；

(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采

用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20

件，当该吉祥钧售价为多少元时，月销售利润达8400元？

26.(本题12分)如图所示，AABC中NC=90。,BC=8cm,AC:AB=3:5,点

P从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向

点A以lcm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发：

(1)求线段AC的长度

(2)经过多少秒后，4CPQ的面积能否为8cm?请说明理由。

(3)经过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与AABC相似?

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】根据一元二次方程定义，逐项判定即可.

【详解】解：A.整理得：X3-X2-2X=0,不是一元二次方程，故此选项错

误，

B.当。=0时，不是一元二次方程，故此选项错误，

C.左边不是整式方程，故不是一元二次方程，故此选项错误，

D.是一元二次方程，故此选项正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题

的关键.

2.C

【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可.

【详解】解：4、£=孚，不符合题意；

755

B、府=3,不符合题意；

C、V12=2V3,与旧的被开方数相同；S泛与百是同类二次根式是符合题意;

D、V18=3^2,不符合题意，

故选：C.

【点睛】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键.

3.A

【分析】根据二次根式的性质和绝对值的意义进行化简，即可得到答案

【详解】解：□J(3—％)2=|3-%|=%—3,

x—3之0,

解得：%>3.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及二次根式非负的知识.熟练掌握

二次根式的性质是解决此类问题的关键.

4.D

答案第1页，共14页

【分析】根据根的判别式□=b2-4ac进行计算判断即可.

【详解】原方程为x2—2x+4=0,则其□=(-2)2-4xlx4=-12<0；

由此可得原方程x2-2x+4=0无实数根.

故答案选D.

【点睛】本题考查根的判别式，看到此类题目要首先想到□=b2—4ac,根据判别

式判断根的个数.

5.C

【分析】由平行线分线段成比例直接得到答案.

【详解】解：^AB^CD^EF

BDAC

..——

BFAE

HAC=3,CE=4

BD3

,—=一，

BF7

故选C.

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行

线分线段成比例.

6.C

【分析】由根与系数的关系逐项判断各项方程的两根之和即可.

【详解】解:在方程x2解x-3=0中,两根之和等于-2,故A不符合题意;

2

在方程x2+2x+3=0中，□=2-4xlx3=-8<0,则该方程无实数根，故B不符合题

思；

在方程x2-2x-3=0中，两根之和等于2,故C符合题意；

在方程4x2-2x-3=0中，两根之和等于一3=；,故D不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于-2,

a

两根之积等于£是解题的关键.

a

7.A

【分析】由数轴可知，5<a<10,可得a-4>0,a-11<0,再化简即可.

【详解】解:由数轴可知,5<a<10,

答案第2页，共14页

CL-4>0,CL—11<0,

d(a-4)-J(a-11/，

=CL—4—(11—a),

=a—4—11+a,

=2a—15,

故选:A.

【点睛】本题考查了二次根式的化简和绝对值的意义，熟练掌握数轴上的点的特

征，注意字母的取值范围是解答本题的关键.

8.D

【分析】根据一元二次方程根的判别式大于零构建不等式，求解即可.

【详解】解：由题意得2\=2?-4(1一zn)x(-7)>0,且1一7nH0,

解得zn<且mH1,

7

故选：D.

【点睛】此题考查了利用一元二次方程根的情况求参数，熟记一元二次方程根的

三种情况并应用是解题的关键.

9.B

【分析】由根与系数的关系得到a+。=4,a/?=-1,再把式子变形代入求值

即可.

【详解】解：口访6分别是方程/一4%-1=0的两个根，

□a+/?=—^=4,邓=三=一1,

□a2+=(a+0)2_2aB=42—2x(-1)=18,

故选B.

【点睛】此题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和完全平方式是解答

此题的关键.

10.D

【分析】根据相似三角形的判定条件分析即可；

【详解】(1)中，ZACP=NB,又有一公共角乙4,故△APC〜△ACB,故(1)

正确；

答案第3页，共14页

(2)中，^APC=^.ACB,又有一公共角乙4,故△APC〜△4CB,故(2)正确；

(3)中，爷=条乙4为其夹角，故(3)正确；

(4)中不是对应边成比例，故(4)不正确；

故正确的是(1)(2)(3)；

故选D.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定条件，准确分析判断是解题的关键.

11.C

【分析】解方程/-14%+48=0,求得方程/-14%+48=0的两个根，再利

用勾股定理的逆定理即可判定这个三角形是直角三角形.

【详解】设三角形的另外两边分别为a、b,

□另两边是一元二次方程的x2-14x+48=0的两个根，

□解方程得到a=6,b=8,

□62+82=102,

□此三角形是直角三角形.

故选C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法及勾股定理的逆定理的应用，正确求得

方程/-14x+48=0的两个根是解决问题的关键.

12.D

【分析】根据“三天累计票房10.82亿元”求解即可得出答案.

【详解】解:设平均每天票房的增长率为x,则根据题意可列方程为3+3(1+%)+

3(1+%)2=10.82,

故选：D.

【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握理解

题意，找到其中蕴含的相等关系.

13.--3

【分析】根据题意，设x=k,y=2k,代入求解即可.

【详解】解：□.=；,

y2

□设％=k,y=2k,

答案第4页，共14页

代入二得：=

x+yk+2k3k3

故答案为：-

【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握“设左值法”，将两

个字母统一为一个字母.

14.%>-5

【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解.

【详解】解：根据题意得：5+x>0,

□%>—5,

□实数x的取值范围是久2-5.

故答案为：x>—5.

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数

为非负数是解题的关键.

15.3

【分析】把％=1代入方程+3)%2—mx+m2-12=0,可得m=+3,再由

m+3=0,即可求解.

【详解】解：把％=1代入方程(zn+3)/-mx+机2一12=0,得

m+3—m+m2—12=0,

解得m=±3,

□m+3H0,

□mH—3,

□m=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根就是一元二

次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知

数所得式子仍然成立是解题的关键.

16.6

【分析】根据芸=5可求得*=：，再根据平行线分线段成比例定理得到啜=答，

EC2AC5ABDC

即可求得DE的长.

答案第5页，共14页

【详解】解：；芸="AE+EC=AC,

EC2

AE_3

,,AC~~59

・・・DE\\BC,

.DE_AE_3

-BC-4c-5’

・・・BC=10,

.•・DE=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应

线段成比例.

17.-3

【详解】□（m-3）%|rn|-1+2x-7=0是关于％的一元二次方程，

{[mj-3l=°2，解得m=-3.

点睛：解这道题需注意两点：（1）一元二次方程中，二次项系数不能为0；（2）

一元二次方程中未知数的最高次数为2.

18.□□□

【分析】□根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得□PAE=DMAE=45。，然

后利用“角边角”证明DAPE和DAME全等；□根据全等三角形对应边相等可得

PE=EM=ipM,同理，FP=FN」NP,证出四边形PEOF是矩形，得出PF=OE,证

22

得L1APE为等腰直角三角形，得出AE=PE,PE+PF=OA,即可得到PM+PN=AC；

□判断出UPOF不一定等腰直角三角形，DBNF是等腰直角三角形，从而确定出

两三角形不一定相似；□证出DAPM和DBPN以及DAPE、1BPF都是等腰直角

三角形，从而得出结论.

【详解】□□四边形ABCD是正方形，

□□BAC=DDAC=45°,

□PMQAC,

□□AEP=DAEM=90°,

在DAPE和DAME中，

答案第6页，共14页

DABAC=^DAC,

AE=AE,

乙AEP=^AEM,

□□APEQUAME(ASA),

故□正确；

□□□APEQQAME,

□PE=EM-PM,

2

同理，FP=FN=|NP,

□正方形ABCD中，ACDBD,

XQPEQAC,PFDBD,

□□PEO=□EOF=QPFO=90°,且EJAPE中AE=PE

□四边形PEOF是矩形.

□PF=OE,

□在^APE中，□AEP=90°,□PAE=45°,

□□APE为等腰直角三角形，

□AE=PE,

□PE+PF=OA,

XDPE=EM=1PM,FP=FN=1NP,OA=|AC,

口PM+PN=AC,

故□正确；

□□□APEDDAME,

□AP=AM

□BNF是等腰直角三角形，而DPOF不一定是，

□□POF与DBNF不一定相似，

故□错误；

□□□APEDDAME,

□AP=AM,

□□AMP是等腰直角三角形，

答案第7页，共14页

同理，DBPN是等腰直角三角形，

当□PMNUDAMP时，DPMN是等腰直角三角形.

□PM=PN,

又□DAMP和EJBPN都是等腰直角三角形，

□AP=BP,即P是AB的中点，

故口正确；

故答案为□□□.

【点睛】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的判定

与性质、勾股定理的综合应用、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判

定与性质等知识；熟记各性质并准确识图是解决问题的关键.

19.(1)xi=l,X2=-3；(2)(2)xi=3»X2=^

【详解】试题分析：(1)两边先除以4,再直接开方，可得方程的解；

(2)移项后提取公因式x-3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可.

试题解析：4(X+1)2=16,

(x+1)2=4,

x+l=±2,

解得：x=1或x=-3,

所以原方程的解为：Xi=1,x2=-3；

(2)2(x-3)=3x(x-3),

移项得：2(x-3)—3x(x—3)=0,

整理得：(x—3)(2—3x)=0,

x-3=0或2-3x=0,

解得：x=3或x=|,

所以原方程的解为：X|=3,X2=|.

.(3)4-V2

【分析】(1)根据二次根式的加减运算法则即可求出答案；

(2)原式利用二次根式的除法，绝对值的意义，以及0指数累的法则计算即可

答案第8页，共14页

的到结果.

(3)V12x

=V2+(3-2V2)+1

=V2-2V2+3+1

=4-V2；

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，以及0指数幕，解题的关键是熟练运用

二次根式的运算法则，本题属于基础题型.

20.占V2+1

【分析】先把分子、分母因式分解，再通分，然后把要求的式子进行化简，再代

入进行计算即可;

【详解】解：原式=立空手力

xz-l

X+1

(%+1)(%-1)

1

x-1

当％=加时，

原式==-7^—=V2+1；

x-lV2-1

【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是正确的因式分解期间注意符号的

选择.

(2x-l=0

【分析】根据非负性，可得y-l=0，求出x、y、z的值，代入计算即可求解.

.z+3=0

【详解】解：由题意得：

2%—1=0

y—1=0,

z+3=0

(x--1

解得：1j,

y—1

<z=-3

：・x+y—z

答案第9页，共14页

1,

=]+1-(-3)

_9

-2

【点睛】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，理解非负性是解题的关键.

22.(1)见解析

八、5+V175-V17

(2)租1=,m2=-^―

【分析】(1)由题意可得根的判别式A=b2-4ac20,即可得证

(2)由根与系数的关系可得%1+%2=m一3，=-血；然后代入后+%2-

%1%2=7求出租的值即可.

【详解】(1)解：□方程%2—(m—3)x—m=0

a=l,b=—(m—3),c=­m

□A=[—(m—3)]2—4x1x(—?n)

=m2—6m+9+4m

=m2—2m+9

=(zn-1)2+8>0,

□方程有两个不相等的实数根；

(2)解：由两根关系得％1+x2=m-3,xrx2--m,

□+x2—X1%2=7，

2

□(%!+X2)—,%2=7,

即(zn—3)2—(—m)=7

即—5m+2=0

AZJZB5+7175-x<17

解得：

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点,

熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键.

23.(1)详见解析；(2)g

【分析】(1)根据相似三角形的判定即可求出答案.

(2)根据△ABMD4MCN可知空=器,，由AB与BM的长度即可求出DN的

答案第10页，共14页

长度.

【详解】解：(1)•.•zB=ZC=Z.AMN=90°,

ZAMB+ZCMN=9O,

ZCMN+ZMNC=90°,

•••ZAMB=ZMNC,

.-.△ABMDAMCN；

(2)由(1)可知：△ABMOAMCN,

.AB_BM

**CM-CN,

VAB=BC=6,BM=2,

・・・CM=4,

.6_2

4CN

4

CN=

3

【点睛】本题考查相似三角形的综合，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定

与性质，本题属于中等题型.

24.(1)7米

⑵不能，理由见解析

【分析】(1)首先根据题意列出不等式组，可求得x的取值范围，再根据各边长度

间的关系可得出BC=AD=(30-3%)米，再利用矩形的面积计算公式及围成花

圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之并取其符合题意的

值，即可得出结论；

(2)首先根据围成花圃的面积为78平方米，即可得出关于x的一元二次方程，再

由一元二次方程根的判别式，即可判定能否围成面积为78平方米的花圃.

【详解】(1)解：：48=万米

•••BC=AD=(30-3%)米，

(30—3x>0

••130-3x<10

20

A—<X<10,

3

根据题意得:%(30-3%)=63,

答案第11页，共14页

解得=7,x2=3(不符合题意，舍去)，

答：如果要围成面积为63平方米的花圃，那么的长是7米；

(2)解：不能围成面积为78平方米的花圃；

理由如下：

根据题意得：%(30-3%)=78,

整理得：%2—10x4-26=0,

•••A=(-10)2-4xlx26=-4<0,

该方程没有实数根，

故不能围成面积为78平方米的花圃.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，解题的关

键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，灵活运用一元二次方程根的判别式.

25.(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%

(2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元

【分析】(1)设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x,可列出

关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；

(2)设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为(y-35)元，利用月销售利润

=每件的销售利润x月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意

的值，即可得出结论.

【详解】(1)解：设该款吉祥物4