清单01 直线的倾斜角与斜率、直线方程问题（7个考点梳理+题型解读+提升训练）（解析版）

清单01直线的倾斜角与斜率、直线方程问题（7个考点梳理+考点解读+提升训练）【知识导图】【考点分布图】【知识清单】1、倾斜角和斜率（1）直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定．（2）倾斜角α的取值范围：．当直线l与x轴垂直时，．（3）直线的斜率：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是①当直线l与x轴平行或重合时，，；②当直线l与x轴垂直时，，k不存在．由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在．（4）直线的斜率公式：给定两点，用两点的坐标来表示直线的斜率：2、两条直线的平行与垂直（1）两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果，那么一定有（2）两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3、直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式k是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式，是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式A、B、C为系数任何位置的直线【考点精讲】考点1：倾斜角与斜率例1．（2023·浙江台州·高二统考期中）直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，，直线可化为，所以直线的斜率，，故选：D．例2．（2023·云南昆明·高二校考期中）若直线l经过点，，则直线l的斜率为（

）A．－4 B．4 C．－3 D．3【答案】A【解析】直线l的斜率为．故选：A.例3．（2023·海南·高二统考期末）若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（

）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4【答案】A【解析】由题意得，解得.故选：A.变式1．（2023·高二课时练习）直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】直线倾斜角的取值范围是，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是.故选：C变式2．（2023·内蒙古包头·高二统考期末）三条直线，，的位置如图所示，它们的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】设三条直线，，的倾斜角为,由图可知,所以.故选：B.考点2：直线与线段的相交问题例4．（2023·江西赣州·高二阶段练习）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【解析】如图所示：依题意，，要想直线l过点且与线段AB相交，则或，故选：A例5．（2023·福建福州·高二福建省连江尚德中学校考阶段练习）设点，，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（

）A． B．C． D．以上都不对【答案】A【解析】如图，令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，点，，点是线段（含端点）上任一点，，，或，的取值范围是．故选：A．例6．（2023·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如图所示，，因为为的边上一动点，所以直线斜率的变化范围是.故选：D.变式3．（2023·福建南平·高二统考期末）已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】即，又因为，所以直线恒过定点，画图得直线要想与线段有交点，就需要绕着点，从直线开始逆时针旋转到直线，则，所以直线斜率故选：A变式4．（2023·辽宁大连·高二统考期末）已知，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C．， D．【答案】A【解析】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或，即，或，或，所以直线的斜率的取值范围是故选：A.考点3：两直线平行问题例7．（2023·全国·高二专题练习）已知四边形的顶点，则四边形的形状为.【答案】矩形【解析】，且不在直线上，.又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又.平行四边形为矩形.故答案为：矩形.例8．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是．【答案】平行或重合【解析】由已知，得，，，但直线在y轴上的截距不确定，直线与的位置关系是平行或重合．故答案为：平行或重合．例9．（2023·湖南长沙·高二雅礼中学校考期末）已知集合，．若，则实数．【答案】3【解析】因为，所以直线与直线没有交点，所以直线与直线互相平行，所以，解得或，当时，两直线为：，，此时两直线重合，不满足；当时，两直线为：，，此时两直线平行，满足，所以的值为3.故答案为：3.变式5．（2023·上海浦东新·高二上海市进才中学校考阶段练习）已知集合、，若，则．【答案】1【解析】依题知两直线平行，则，解得，经验证时，两直线不重合，所以.故答案为：1变式6．（2023·陕西延安·高二校考期末）已知两直线方程分别为，若，则．【答案】2【解析】因为，且，所以，得，故答案为：2变式7．（2023·浙江台州·高二温岭中学校考期末）已知直线和直线，若，则【答案】－1【解析】时，两直线显然不平行，因此，所以由得，解得，故答案为：．考点4：两直线垂直问题例10．（2023·高二单元测试）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是【答案】【解析】因为两直线互相垂直，所以，解得，又垂足既在前一条直线上，也在后一条直线上，所以，解得，所以.故答案为：.例11．（2023·贵州黔东南·高二统考期末）若直线l1与l2的斜率k1、k2是关于k的方程的两根，若l1⊥l2，则b=．【答案】【解析】因为斜率k1、k2是关于k的方程的两根，所以，因为l1⊥l2，所以，即，故答案为：例12．（2023·天津滨海新·高二校考开学考试）已知定点，点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是.【答案】【解析】当直线AB与直线x+y=0垂直时，此时AB最短，设B的坐标为，则，解得：，所以B的坐标为故答案为：变式8．（2023·甘肃武威·高二统考期末）若直线与互相垂直，则实数的值为.【答案】或【解析】因为直线与互相垂直，所以，即，解得：或，故答案为：或变式9．（2023·山东菏泽·高二山东省郓城第一中学校考开学考试）已知三点，则△ABC为三角形.【答案】直角【解析】如图，猜想是直角三角形，由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，由，得即，所以是直角三角形.故答案为：直角.考点5：五种直线方程例13．（2023·安徽六安·高二校联考期末）已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】由题意设直线与x轴交点为，则与y轴交点为，当时，直线过原点，斜率为，故方程为；当时，直线的斜率，故直线方程为，即，故选：D例14．（2023·安徽铜陵·高二铜陵一中开学考试）在等腰三角形中，，、，点在轴的正半轴上，则直线的点斜式方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】设线段的中点为，连接，，则轴，则点，故点，所以，直线的斜率为，所以直线的点斜式方程为．故选：D．例15．（2023·黑龙江鹤岗·高二统考期中）已知的三个顶点分别为为的垂直平分线，求：(1)边所在直线的方程；(2)边的垂直平分线的方程.【解析】（1）因为直线经过和两点，由两点式得的方程为，即.（2）由（1）知直线的斜率，则直线的垂直平分线的斜率.易得中点的坐标为.可求出直线的点斜式方程为，即.变式10．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）已知、在直线上.(1)求直线的方程；(2)若直线倾斜角是直线倾斜角的2倍，且与的交点在轴上，求直线的方程.【解析】（1）因为、在直线上，所以，所以直线的方程为，即.（2）设直线的倾斜角为，则，所以，所以直线的斜率，对于，令得，即直线与轴交于点，所以直线的方程为.变式11．（2023·高二课时练习）已知的三个顶点分别为、、．求：(1)边所在直线的方程；(2)边上的高所在直线的方程；(3)边上的中线所在直线的方程．【解析】（1）因为、，故，边AC所在直线的方程为：，即为：，（2）由（1）知，故所以AC边上的高所在直线的斜率为，又，故为：，即；（3）设AC边上的中点为D，则，即，故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为，故为：，即.考点6：直线与坐标轴围成三角形问题例16．（2023·湖北武汉·高二统考期末）已知直线方程为．(1)若直线的倾斜角为，求的值；(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．【解析】（1）由题意可得.（2）在直线的方程中，令可得，即点，令可得，即点，由已知可得，解得，所以，，当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.例17．（2023·全国·高二专题练习）已知直线．若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程．【解析】直线：，当时直线：，显然不满足题意，所以，令得，令得，即，．依题意得，解得．因为，当且仅当，即时取等号，所以，此时直线的方程为．例18．（2023·内蒙古呼和浩特·高二统考期末）已知一条动直线，(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：将直线方程变形为，由，可得，因此，直线恒过定点.（2）设点A的坐标为，若，则，则、，直线的斜率为，故直线的方程为，即，此时直线与轴的交点为，则，，，此时的周长为.所以，存在直线满足题意.变式12．（2023·江苏南通·高二阶段练习）已知直线经过点，求：（1）直线在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程．【解析】（1）若直线的截距为，则直线方程为；若直线的截距不为零，则可设直线方程为：，由题设有，所以直线方程为：，综上，所求直线的方程为或．（2）设直线方程为：，则，所以，面积，又由得，当且仅当成立，即当时，面积最小为6所以，所求直线方程为变式13．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线l：．（1）若直线不经过第二象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．【解析】（1）由方程可知：时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，．直线不经过第二象限，，解得当时，直线变为满足题意．综上可得：k的取值范围是；（2）由直线l的方程可得，．由题意可得，解得．当且仅当时取等号．的最小值为4，此时直线l的方程为．考点7：直线过定点问题例19．（2023·安徽宿州·高二校联考期中）不论取何值，直线恒过一定点，该定点坐标为．【答案】【解析】由，令，即该直线过定点.故答案为：例20．（2023·山东聊城·高二校考期中）直线恒过定点【答案】【解析】直线方程化简为，即，当，解得：，所以直线恒过定点.故答案为：例21．（2023·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）无论实数λ取何值，直线恒过定点.【答案】【解析】由，可得，令，解得，所以直线恒过定点.故答案为：.变式14．（2023·浙江宁波·高二校联考期中）已知，过定点M的动直线与过定点N的动直线相交于点P，则的最大值是．【答案】4【解析】直线的方程变形为，由，得，所以，动直线过定点，同理可知，动直线过定点，由题意可知，且为与的交点，所以，由勾股定理可得，由重要不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为.故答案为：.变式15．（2023·福建龙岩·高二福建省永定第一中学校考阶段练习）已知动直线和，是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为.【答案】10【解析】因为直线的方程可化为，所以直线过定点，因为直线的方程可化为，所以直线过定点，又因，所以直线与直线垂直，即，所以，故，所以，当且仅当时等号成立，则的最大值为.故答案为：.变式16．（2023·高二课时练习）不论a为何实数，直线恒过一定点，则此定点的坐标为．【答案】【解析】将直线整理为；直线过定点与无关，所以，且；联立解方程组可得；可得定点坐标为.故答案为：【提升练习】1．（2023·河南开封·高二统考期中）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，当公共点在AO之间（不含O）时，直线l的斜率为负，当公共点在A时，斜率有最大值，为，则此时斜率范围为；当公共点在OB之间（不含O）时，直线l的斜率为正，当公共点在B时，斜率有最小值，为，则此时斜率范围为；当公共点在O点时，直线l的斜率不存在.综上，直线l的斜率的取值范围是.故选：C2．（2023·全国·高二专题练习）已知，满足，则直线必过定点（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得，代入直线方程中，得，即，令，解得，所以该直线必过定点.故选：D3．（2023·河南·高二校联考期中）“”是“直线和直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，，两直线斜率都为且不重合，所以两直线平行；当两直线平行时，由，即，解得，经检验时，两直线平行，故.综上可知，“”是“直线和直线平行”的充要条件.故选：C4．（2023·河北石家庄·高二石家庄一中校考期中）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由直线，得：，即恒过点，因为直线过此定点，其中m，n是正实数所以，则，，当且仅当时取等号；故选：B5．（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考期中）直线（为常数）的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，则，直线的斜率为，当时，则；当时，则.综上所述，该直线的倾斜角的取值范围是.故选：D.6．（2023·重庆·高二重庆十八中校考期中）已知直线，.则下列说法中正确的有（

）①存在实数，使，②存在实数，使；③对任意实数，都有，④存在点到四条直线距离相等A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】当时，，故，①对；由，故不成立，②错；由恒成立，即，③对；由各直线方程知：坐标原点到各直线距离均为，④对.所以共有3个正确.故选：C7．（2023·江苏苏州·高二统考期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由重心坐标公式可得：重心，即.设外心，因为，所以，解得，即：.，故欧拉线方程为：，即：，故选：A.8．（多选题）（2023·贵州遵义·高二校考阶段练习）下列结论中正确的有（

）A．过点且与直线平行的直线的方程为B．过点且与直线垂直的直线的方程为C．若直线与直线平行，则的值为3D．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为【答案】ABC【解析】对于A，过点且与直线平行的直线的方程为，化简得，故A正确；对于B，过点且与直线垂直的直线的方程为，化简得，故B正确；对于C，因为直线与直线平行，所以，解得或，注意到当时，两直线重合，所以，故C正确；对于D，注意到点在直线上，且该直线在两坐标轴上的截距均为0，即该直线截距相等，故D错误.故选：ABC.9．（多选题）（2023·安徽宿州·高二校联考期中）下列结论正确的是（

）A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大B．若直线与直线垂直，则C．过点的直线的倾斜角为D．点关于直线的对称点的坐标为【答案】BD【解析】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误；B：由题意若直线与直线垂直，则，解得，故B正确；C：由题意过点的直线的斜率为，故其倾斜角为，故C错误；D：由于点与点的中点坐标为即，满足，即点在直线上，又直线的斜率为，过两点、的直线斜率为，所以，即直线（即直线）垂直直线，综上所述：点关于直线的对称点的坐标为，故D正确.故选：BD.10．（多选题）（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，，直线，其中，则下列结论正确的是（

）A．直线恒过定点，且定点坐标为B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则C．若直线过第一、三象限，则D．若直线和直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则【答案】ACD【解析】对于A，当时，，直线的方程为，即，即，令，即此时直线恒过定点，当时，，，直线的方程为也过点，即直线恒过定点，且定点坐标为，A正确；对于B，直线在两坐标轴上的截距相等，显然时，直线的方程为不合题意；故，此时直线的方程，令，则，令，则，令，即，解得或，B错误；对于C，若直线过第一、三象限，则直线的斜率一定存在且为正数，即，C正确；对于D，若直线和直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，即该四边形对角互补，而直线恒过定点，故需满足直线，则，D正确，故选：ACD11．（多选题）（2023·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．直线的倾斜角的取值范围是C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为D．己知，若直线与线段有公共点，则【答案】BD【解析】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线垂直，充分性成立，若两直线垂直，则，解得或，必要性不成立，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故A错误；对于B，由直线，得，所以斜率，设倾斜角为，则，又，所以，故B正确；对于C，若直线过原点，则方程为，若直线不过原点，设直线方程为，代入，得，所以直线方程为，综上，直线的方程为或，故C错误；对于D，若直线，得：，所以直线恒过定点，因为，，结合图象可知直线的斜率，即，故D正确.故选：BD.12．（2023·全国·高二专题练习）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为.【答案】【解析】易知直线的斜率为，由两直线垂直条件得直线的斜率，解得；联立，解得；即交点为故答案为：13．（2023·江苏苏州·高二统考期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为．【答案】【解析】直线可得，直线可整理为，令，解得，所以，因为，所以直线与直线垂直，则，所以点的轨迹为以为直径的圆，，所以，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：.14．（2023·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为.【答案】【解析】直线，过定点，则，直线和以为端点的线段相交，由图可知，或，所以实数的取值范围为.故答案为：.15．（2023·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）在平面直角坐标系xOy中，的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为，则直线的方程为．【答案】【解析】设，因为点的坐标为，所以中点，又所在的直线方程为，所以，即，又点在直线上，所以，由解得，所以，设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，所以直线的方程为，即.故答案为：16．（2023·福建厦门·高二福建省厦门第六中学校考期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.

(1)求平行四边形的顶点的坐标；(2)在中，求边上的高线所在直线方程.【解析】（1）设线段中点为，则点坐标为，设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有，解得，所以；（2）因为直线的斜率为，所以边上的高线所在直线的斜率为，又，故边上的高线所在直线的方程为，即为.17．（2023·江苏徐州·高二统考期中）已知直线的方程为，若直线过点，且.(1)求直线的方程；(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上截距的倍，求直线的方程.【解析】（1）由已知以及直线的方程，可设直线的方程为.直线过点，所以有，解得，所以，直线的方程为.（2）联立直线与直线的方程，可得，所以，直线与直线的交点为.当直线过原点时，设方程为，代入点可得，所以，直线的方程为，即；当直线不过原点时，由已知可设直线方程为，代入点可得，，解得，代入直线方程，整理可得.综上所述，直