清单01 直线的倾斜角与斜率、直线方程问题(7个考点梳理+题型解读+提升训练)(解析版)_第1页
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清单01直线的倾斜角与斜率、直线方程问题(7个考点梳理+考点解读+提升训练)【知识导图】【考点分布图】【知识清单】1、倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定.(2)倾斜角α的取值范围:.当直线l与x轴垂直时,.(3)直线的斜率:一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是①当直线l与x轴平行或重合时,,;②当直线l与x轴垂直时,,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.(4)直线的斜率公式:给定两点,用两点的坐标来表示直线的斜率:2、两条直线的平行与垂直(1)两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果,那么一定有(2)两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即3、直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表:名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式是直线上一定点,k是斜率不垂直于x轴斜截式k是斜率,b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式,是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式a是直线在x轴上的非零截距,b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴,且不过原点一般式A、B、C为系数任何位置的直线【考点精讲】考点1:倾斜角与斜率例1.(2023·浙江台州·高二统考期中)直线的倾斜角是(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线的倾斜角为,,直线可化为,所以直线的斜率,,故选:D.例2.(2023·云南昆明·高二校考期中)若直线l经过点,,则直线l的斜率为(

)A.-4 B.4 C.-3 D.3【答案】A【解析】直线l的斜率为.故选:A.例3.(2023·海南·高二统考期末)若过点,的直线的斜率等于1,则的值为(

)A.1 B.4 C.1或3 D.1或4【答案】A【解析】由题意得,解得.故选:A.变式1.(2023·高二课时练习)直线经过第二、四象限,则直线的倾斜角范围是()A. B.C. D.【答案】C【解析】直线倾斜角的取值范围是,又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角范围是.故选:C变式2.(2023·内蒙古包头·高二统考期末)三条直线,,的位置如图所示,它们的斜率分别为,,,则,,的大小关系为(

A. B.C. D.【答案】B【解析】设三条直线,,的倾斜角为,由图可知,所以.故选:B.考点2:直线与线段的相交问题例4.(2023·江西赣州·高二阶段练习)设点、,若直线l过点且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是(

)A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】如图所示:依题意,,要想直线l过点且与线段AB相交,则或,故选:A例5.(2023·福建福州·高二福建省连江尚德中学校考阶段练习)设点,,若点在线段上(含端点),则的取值范围是(

)A. B.C. D.以上都不对【答案】A【解析】如图,令,则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围,点,,点是线段(含端点)上任一点,,,或,的取值范围是.故选:A.例6.(2023·江西抚州·高二统考期末)已知坐标平面内三点,为的边上一动点,则直线斜率的变化范围是(

)A. B.C. D.【答案】D【解析】如图所示,,因为为的边上一动点,所以直线斜率的变化范围是.故选:D.变式3.(2023·福建南平·高二统考期末)已知点.若直线与线段相交,则实数的取值范围是(

)A. B.C. D.【答案】A【解析】即,又因为,所以直线恒过定点,画图得直线要想与线段有交点,就需要绕着点,从直线开始逆时针旋转到直线,则,所以直线斜率故选:A变式4.(2023·辽宁大连·高二统考期末)已知,直线过点且与线段相交,那么直线的斜率的取值范围是(

)A. B.C., D.【答案】A【解析】如图所示:由题意得,所求直线的斜率满足或,即,或,或,所以直线的斜率的取值范围是故选:A.考点3:两直线平行问题例7.(2023·全国·高二专题练习)已知四边形的顶点,则四边形的形状为.【答案】矩形【解析】,且不在直线上,.又,且不在直线上,,四边形为平行四边形.又.平行四边形为矩形.故答案为:矩形.例8.(2023·江苏·高二专题练习)已知直线的倾斜角为,直线经过点,,则直线与的位置关系是.【答案】平行或重合【解析】由已知,得,,,但直线在y轴上的截距不确定,直线与的位置关系是平行或重合.故答案为:平行或重合.例9.(2023·湖南长沙·高二雅礼中学校考期末)已知集合,.若,则实数.【答案】3【解析】因为,所以直线与直线没有交点,所以直线与直线互相平行,所以,解得或,当时,两直线为:,,此时两直线重合,不满足;当时,两直线为:,,此时两直线平行,满足,所以的值为3.故答案为:3.变式5.(2023·上海浦东新·高二上海市进才中学校考阶段练习)已知集合、,若,则.【答案】1【解析】依题知两直线平行,则,解得,经验证时,两直线不重合,所以.故答案为:1变式6.(2023·陕西延安·高二校考期末)已知两直线方程分别为,若,则.【答案】2【解析】因为,且,所以,得,故答案为:2变式7.(2023·浙江台州·高二温岭中学校考期末)已知直线和直线,若,则【答案】-1【解析】时,两直线显然不平行,因此,所以由得,解得,故答案为:.考点4:两直线垂直问题例10.(2023·高二单元测试)已知直线与互相垂直,垂足为,则的值是【答案】【解析】因为两直线互相垂直,所以,解得,又垂足既在前一条直线上,也在后一条直线上,所以,解得,所以.故答案为:.例11.(2023·贵州黔东南·高二统考期末)若直线l1与l2的斜率k1、k2是关于k的方程的两根,若l1⊥l2,则b=.【答案】【解析】因为斜率k1、k2是关于k的方程的两根,所以,因为l1⊥l2,所以,即,故答案为:例12.(2023·天津滨海新·高二校考开学考试)已知定点,点B在直线x+y=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是.【答案】【解析】当直线AB与直线x+y=0垂直时,此时AB最短,设B的坐标为,则,解得:,所以B的坐标为故答案为:变式8.(2023·甘肃武威·高二统考期末)若直线与互相垂直,则实数的值为.【答案】或【解析】因为直线与互相垂直,所以,即,解得:或,故答案为:或变式9.(2023·山东菏泽·高二山东省郓城第一中学校考开学考试)已知三点,则△ABC为三角形.【答案】直角【解析】如图,猜想是直角三角形,由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率,由,得即,所以是直角三角形.故答案为:直角.考点5:五种直线方程例13.(2023·安徽六安·高二校联考期末)已知直线过点,且纵截距为横截距的两倍,则直线l的方程为(

)A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】由题意设直线与x轴交点为,则与y轴交点为,当时,直线过原点,斜率为,故方程为;当时,直线的斜率,故直线方程为,即,故选:D例14.(2023·安徽铜陵·高二铜陵一中开学考试)在等腰三角形中,,、,点在轴的正半轴上,则直线的点斜式方程为()A. B.C. D.【答案】D【解析】设线段的中点为,连接,,则轴,则点,故点,所以,直线的斜率为,所以直线的点斜式方程为.故选:D.例15.(2023·黑龙江鹤岗·高二统考期中)已知的三个顶点分别为为的垂直平分线,求:(1)边所在直线的方程;(2)边的垂直平分线的方程.【解析】(1)因为直线经过和两点,由两点式得的方程为,即.(2)由(1)知直线的斜率,则直线的垂直平分线的斜率.易得中点的坐标为.可求出直线的点斜式方程为,即.变式10.(2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末)已知、在直线上.(1)求直线的方程;(2)若直线倾斜角是直线倾斜角的2倍,且与的交点在轴上,求直线的方程.【解析】(1)因为、在直线上,所以,所以直线的方程为,即.(2)设直线的倾斜角为,则,所以,所以直线的斜率,对于,令得,即直线与轴交于点,所以直线的方程为.变式11.(2023·高二课时练习)已知的三个顶点分别为、、.求:(1)边所在直线的方程;(2)边上的高所在直线的方程;(3)边上的中线所在直线的方程.【解析】(1)因为、,故,边AC所在直线的方程为:,即为:,(2)由(1)知,故所以AC边上的高所在直线的斜率为,又,故为:,即;(3)设AC边上的中点为D,则,即,故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为,故为:,即.考点6:直线与坐标轴围成三角形问题例16.(2023·湖北武汉·高二统考期末)已知直线方程为.(1)若直线的倾斜角为,求的值;(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点,为坐标原点,求面积的最小值及此时直线的方程.【解析】(1)由题意可得.(2)在直线的方程中,令可得,即点,令可得,即点,由已知可得,解得,所以,,当且仅当时,等号成立,此时直线的方程为,即.例17.(2023·全国·高二专题练习)已知直线.若直线交轴负半轴于,交轴正半轴于,的面积为为坐标原点),求的最小值并求此时直线的方程.【解析】直线:,当时直线:,显然不满足题意,所以,令得,令得,即,.依题意得,解得.因为,当且仅当,即时取等号,所以,此时直线的方程为.例18.(2023·内蒙古呼和浩特·高二统考期末)已知一条动直线,(1)求证:直线l恒过定点,并求出定点的坐标;(2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点,为坐标原点,是否存在直线l同时满足下列条件:①的周长为;②的面积为.若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)证明:将直线方程变形为,由,可得,因此,直线恒过定点.(2)设点A的坐标为,若,则,则、,直线的斜率为,故直线的方程为,即,此时直线与轴的交点为,则,,,此时的周长为.所以,存在直线满足题意.变式12.(2023·江苏南通·高二阶段练习)已知直线经过点,求:(1)直线在两坐标轴上的截距相等的直线方程;(2)直线与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程.【解析】(1)若直线的截距为,则直线方程为;若直线的截距不为零,则可设直线方程为:,由题设有,所以直线方程为:,综上,所求直线的方程为或.(2)设直线方程为:,则,所以,面积,又由得,当且仅当成立,即当时,面积最小为6所以,所求直线方程为变式13.(2023·江苏·高二专题练习)已知直线l:.(1)若直线不经过第二象限,求k的取值范围;(2)若直线l交x轴正半轴于A,交y轴负半轴于B,的面积为S,求S的最小值并求此时直线l的方程.【解析】(1)由方程可知:时,直线在x轴与y轴上的截距分别为:,.直线不经过第二象限,,解得当时,直线变为满足题意.综上可得:k的取值范围是;(2)由直线l的方程可得,.由题意可得,解得.当且仅当时取等号.的最小值为4,此时直线l的方程为.考点7:直线过定点问题例19.(2023·安徽宿州·高二校联考期中)不论取何值,直线恒过一定点,该定点坐标为.【答案】【解析】由,令,即该直线过定点.故答案为:例20.(2023·山东聊城·高二校考期中)直线恒过定点【答案】【解析】直线方程化简为,即,当,解得:,所以直线恒过定点.故答案为:例21.(2023·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习)无论实数λ取何值,直线恒过定点.【答案】【解析】由,可得,令,解得,所以直线恒过定点.故答案为:.变式14.(2023·浙江宁波·高二校联考期中)已知,过定点M的动直线与过定点N的动直线相交于点P,则的最大值是.【答案】4【解析】直线的方程变形为,由,得,所以,动直线过定点,同理可知,动直线过定点,由题意可知,且为与的交点,所以,由勾股定理可得,由重要不等式可得,当且仅当时,等号成立,因此,的最大值为.故答案为:.变式15.(2023·福建龙岩·高二福建省永定第一中学校考阶段练习)已知动直线和,是两直线的交点,是两直线和分别过的定点,则的最大值为.【答案】10【解析】因为直线的方程可化为,所以直线过定点,因为直线的方程可化为,所以直线过定点,又因,所以直线与直线垂直,即,所以,故,所以,当且仅当时等号成立,则的最大值为.故答案为:.变式16.(2023·高二课时练习)不论a为何实数,直线恒过一定点,则此定点的坐标为.【答案】【解析】将直线整理为;直线过定点与无关,所以,且;联立解方程组可得;可得定点坐标为.故答案为:【提升练习】1.(2023·河南开封·高二统考期中)经过点作直线l,若直线l与连接,两点的线段总有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(

)A. B.C. D.【答案】C【解析】如图,当公共点在AO之间(不含O)时,直线l的斜率为负,当公共点在A时,斜率有最大值,为,则此时斜率范围为;当公共点在OB之间(不含O)时,直线l的斜率为正,当公共点在B时,斜率有最小值,为,则此时斜率范围为;当公共点在O点时,直线l的斜率不存在.综上,直线l的斜率的取值范围是.故选:C2.(2023·全国·高二专题练习)已知,满足,则直线必过定点(

)A. B.C. D.【答案】D【解析】由,得,代入直线方程中,得,即,令,解得,所以该直线必过定点.故选:D3.(2023·河南·高二校联考期中)“”是“直线和直线平行”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时,,,两直线斜率都为且不重合,所以两直线平行;当两直线平行时,由,即,解得,经检验时,两直线平行,故.综上可知,“”是“直线和直线平行”的充要条件.故选:C4.(2023·河北石家庄·高二石家庄一中校考期中)不论k为任何实数,直线恒过定点,若直线过此定点其中m,n是正实数,则的最小值是(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】由直线,得:,即恒过点,因为直线过此定点,其中m,n是正实数所以,则,,当且仅当时取等号;故选:B5.(2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考期中)直线(为常数)的倾斜角的取值范围是(

)A. B.C. D.【答案】D【解析】设直线的倾斜角为,则,直线的斜率为,当时,则;当时,则.综上所述,该直线的倾斜角的取值范围是.故选:D.6.(2023·重庆·高二重庆十八中校考期中)已知直线,.则下列说法中正确的有(

)①存在实数,使,②存在实数,使;③对任意实数,都有,④存在点到四条直线距离相等A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】当时,,故,①对;由,故不成立,②错;由恒成立,即,③对;由各直线方程知:坐标原点到各直线距离均为,④对.所以共有3个正确.故选:C7.(2023·江苏苏州·高二统考期中)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的外心(三边中垂线的交点)、重心(三边中线的交点)、垂心(三边高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为,,,则该三角形的欧拉线方程为(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】由重心坐标公式可得:重心,即.设外心,因为,所以,解得,即:.,故欧拉线方程为:,即:,故选:A.8.(多选题)(2023·贵州遵义·高二校考阶段练习)下列结论中正确的有(

)A.过点且与直线平行的直线的方程为B.过点且与直线垂直的直线的方程为C.若直线与直线平行,则的值为3D.过点,且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为【答案】ABC【解析】对于A,过点且与直线平行的直线的方程为,化简得,故A正确;对于B,过点且与直线垂直的直线的方程为,化简得,故B正确;对于C,因为直线与直线平行,所以,解得或,注意到当时,两直线重合,所以,故C正确;对于D,注意到点在直线上,且该直线在两坐标轴上的截距均为0,即该直线截距相等,故D错误.故选:ABC.9.(多选题)(2023·安徽宿州·高二校联考期中)下列结论正确的是(

)A.直线的倾斜角越大,其斜率就越大B.若直线与直线垂直,则C.过点的直线的倾斜角为D.点关于直线的对称点的坐标为【答案】BD【解析】A:倾斜角为锐角,斜率为正;倾斜角为钝角时,斜率为负,故A错误;B:由题意若直线与直线垂直,则,解得,故B正确;C:由题意过点的直线的斜率为,故其倾斜角为,故C错误;D:由于点与点的中点坐标为即,满足,即点在直线上,又直线的斜率为,过两点、的直线斜率为,所以,即直线(即直线)垂直直线,综上所述:点关于直线的对称点的坐标为,故D正确.故选:BD.10.(多选题)(2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中)在平面直角坐标系中,已知点,,直线,其中,则下列结论正确的是(

)A.直线恒过定点,且定点坐标为B.若直线在两坐标轴上的截距相等,则C.若直线过第一、三象限,则D.若直线和直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则【答案】ACD【解析】对于A,当时,,直线的方程为,即,即,令,即此时直线恒过定点,当时,,,直线的方程为也过点,即直线恒过定点,且定点坐标为,A正确;对于B,直线在两坐标轴上的截距相等,显然时,直线的方程为不合题意;故,此时直线的方程,令,则,令,则,令,即,解得或,B错误;对于C,若直线过第一、三象限,则直线的斜率一定存在且为正数,即,C正确;对于D,若直线和直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆,即该四边形对角互补,而直线恒过定点,故需满足直线,则,D正确,故选:ACD11.(多选题)(2023·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习)下列说法正确的是(

)A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B.直线的倾斜角的取值范围是C.过点,且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为D.己知,若直线与线段有公共点,则【答案】BD【解析】对于A,当时,两直线分别为和,此时两直线垂直,充分性成立,若两直线垂直,则,解得或,必要性不成立,所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件,故A错误;对于B,由直线,得,所以斜率,设倾斜角为,则,又,所以,故B正确;对于C,若直线过原点,则方程为,若直线不过原点,设直线方程为,代入,得,所以直线方程为,综上,直线的方程为或,故C错误;对于D,若直线,得:,所以直线恒过定点,因为,,结合图象可知直线的斜率,即,故D正确.故选:BD.12.(2023·全国·高二专题练习)直线与互相垂直,则这两条直线的交点坐标为.【答案】【解析】易知直线的斜率为,由两直线垂直条件得直线的斜率,解得;联立,解得;即交点为故答案为:13.(2023·江苏苏州·高二统考期中)设,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则的最大值为.【答案】【解析】直线可得,直线可整理为,令,解得,所以,因为,所以直线与直线垂直,则,所以点的轨迹为以为直径的圆,,所以,所以,当且仅当时等号成立.故答案为:.14.(2023·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习)已知直线和以为端点的线段相交,则实数的取值范围为.【答案】【解析】直线,过定点,则,直线和以为端点的线段相交,由图可知,或,所以实数的取值范围为.故答案为:.15.(2023·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中)在平面直角坐标系xOy中,的顶点的坐标为,边上的中线所在的直线方程为,的角平分线所在的直线方程为,则直线的方程为.【答案】【解析】设,因为点的坐标为,所以中点,又所在的直线方程为,所以,即,又点在直线上,所以,由解得,所以,设点关于直线的对称点为,则,解得,所以,所以直线的方程为,即.故答案为:16.(2023·福建厦门·高二福建省厦门第六中学校考期中)如图,已知平行四边形的三个顶点的坐标为,,.

(1)求平行四边形的顶点的坐标;(2)在中,求边上的高线所在直线方程.【解析】(1)设线段中点为,则点坐标为,设点坐标为,由平行四边形性质得为线段中点,有,解得,所以;(2)因为直线的斜率为,所以边上的高线所在直线的斜率为,又,故边上的高线所在直线的方程为,即为.17.(2023·江苏徐州·高二统考期中)已知直线的方程为,若直线过点,且.(1)求直线的方程;(2)已知直线经过直线与直线的交点,且在轴上截距是在轴上截距的倍,求直线的方程.【解析】(1)由已知以及直线的方程,可设直线的方程为.直线过点,所以有,解得,所以,直线的方程为.(2)联立直线与直线的方程,可得,所以,直线与直线的交点为.当直线过原点时,设方程为,代入点可得,所以,直线的方程为,即;当直线不过原点时,由已知可设直线方程为,代入点可得,,解得,代入直线方程,整理可得.综上所述,直

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