圆锥曲线中的范围与最值问题（解析版）-2023年高考数学三轮复习（解析几何篇）

圆锥曲线中的范围与最值问题

圆锥曲线中的范围、最值问题的求解常用的三种方法：（1）不等关系法：根据题意

建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围；（2）基本不等式法：根据题意将函数

变形为两项和或积的形式，利用基本不等式求范围；（3）函数法：用其他变量表示该参数，

建立函数关系，利用求函数的单调性求解.

考法1利用不等关系求最值（范围）

【例1】（2022•三明一中模拟预测）已知椭圆的一个顶点A（O,-1）,焦点在X轴上，离心

率螃.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线y=辰+皿%≠0）与椭圆交于不同的两点M,N.当HM=HNl时，求m的取值范围.

【解题指导】

储V2

【解析】（1）设椭圆的标准方程为示+/=1m>〃>0）,

7=1,

。=2,

联立解得＜b=1,

Ja2'

.c=√3.

222

^a=h+cf

故椭圆的标准方程为亍+9=1.

(2)设尸(Mbyo)为弦MN的中点，M(X1,ʃɪ),MX2,”).

y=kx+m1

2

联立＜√+得(4F+1)Λ+8%K+4(加2—1)=0.

—8km4(/层一1)

则Λj+X2-4^2,|_ɪ,XIX2—4⅛2+]∙

/=(8AM2—16(4A2+l)(^2-l)>0,

所以∕n2<1÷4Xr.①

“、，x↑+x24knι,,m

所以XO=W-=_/耳Pyo=H)+m=mγ∙

所以以P=岑1m+1+4⅛2

ɪo4km

又IAMl=HNI,所以APJLMN,

2

lm÷1÷4Λ1ʌ1

则一4km=一不，即3,"=4K+1∙②

2

把②代人①得m<3ιnf解得0V∕∕zV3.

3/27-11

由②得必=1—>°，解得胆

综上可知，成的取值范围为d,3).

3

【解题技巧】寻找不等关系的突破口

(1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围；

⑵利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立相

等关系;(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围；

(4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围;(5)利用函数值域的求法,确定所求范围.

【跟踪训练】

(2022•石家庄二中模拟预测)已知双曲线的焦点在X轴上，中心在原点，离心率为亚，

3

且过点(曲1)∙

⑴求双曲线的标准方程；

(2)双曲线的左右顶点为A,B,且动点C(m,"),ZXnT)在双曲线上，直线BC与直线A£>

交于点尸，M(-√2,0),∕V(√2,O),求前,而的取值范围.

2-)

［解析】⑴设双曲线的标准方程为5-£=1(a>0,b>0),

6ɪ

/一”1

联立C?="?+/,得02=3,i所以双曲线的标准方程%干

c2√3

a~~Γ,

(2)已知C(m,"),D(∕n-n),λ(-√3,θ),s(√3,θ).

当加=土石时，动点尸与点A,3重合,

当机H±时,直线AD:y=H+G),直线BC:y=/后(X-⑹,

联立两直线方程得V=占('J3)∙

又因为]一/=1,即一3"2=3-/，所以y2=-g(f-3),即1+y2=l.

→→

又PM-PN=PO+OM∖∖PO-OMOM=PO-2,

且「。e(l,百],所以前.而e(-l,l].

考法2利用基本不等式求最值

【例2】(2022•全国甲(理)T)20.设抛物线Uy2=2PX(P>0)的焦点为F,点。(〃,0),

过尸的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于X轴时，∣ME∣=3.

(I)求C的方程；

(2)设直线NO与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为

a,β.当取得最大值时，求直线A8的方程.

【解题指导】(1)由抛物线的定义—IM尸I=P+§—解方程求P；

(2)设点的坐标一直线MN：X=冲+1—韦达定理及斜率公式可得ZAW=2&加一*差角

的正切公式及基本不等式得心6=亭-设直线AB-.x=42y+n∙→代入抛物线方程，韦

达定理可解.

【解析】(1)抛物线的准线为％=-§,当MD与X轴垂直时，点M的横坐标为p,

此时∣Λ∕∕7∣=p+∙^=3,所以〃=2,

2

所以抛物线C的方程为y=4χi

(2)设的3,y,Nɪ,ʃ,∖,A，8£»4,直线MN:X=my+1,

[4)14)∖k4J4)

X=∕ny+1

由《9可得y2-4my-4=0,Δ>O,y1y,=-4,

y=4x

k「）L%=4,=4

由斜率公式可得MN*+%，λb货_£为+%，

4444

直线MO:X=上2,y+2t代入抛物线方程可得/-：玉--2）∙y一8=O,

ʃɪX

△>°，弘为=一8，所以为=2%，同理可得”=2y.

44_."N

所以原8

%+为2(y+%)2

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，

_,,,Ck..tana

所以Ks=tan/=或&=下一,

若要使α-尸最大，则A∈(θ,'

设liMN=2阳8=2A>0,则

tan_tan«-tan£

1+tanσtan/?

当且仅当工=2女即Z=也时，等号成立,

k2

所以当a一4最大时，］（AB=4,设直线A8:x=&y+〃,

代入抛物线方程可得y2-4√2y—4a=0，

△>0,%%=-4"=4y∣%=-16,所以〃=4,

所以直线ΛBιx=√2y+4.

（2022•河南焦作•三模）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为尸，直线y=8与抛物线C交

于点尸，且∣p∕rrgp.

⑴求抛物线C的方程；

⑵过点/作抛物线C的两条互相垂直的弦AB,DE,设弦A3,DE的中点分别为P,Q,

求IP。的最小值.

【解题指导】方程H与抛物线方程联立IT根与系数的关系I-IP点坐标ITll'比Q点坐标I-

两点间距离1∣⅞本不尊小求最阈^

【解析】1）依题意，设尸（如8）.

由抛物线的定义得IP尸I=XO+号=∣p,解得：Xo=2p,(2分)

【技巧】实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线

的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.

因为尸(j⅞,8)在抛物线Uy?=2px(p>0)上，

所以82=2PX0,所以G=2p∙2p,解得：p=4.

故抛物线C的方程为V=8x.(4分)

⑵由题意可知F(2,0),直线A8的斜率存在，且不为0.

设直线A3的方程为x=my+2("?H0),Aa,y∣),8(孙必)・(6分)

【技巧】直线过X轴上定点(”,0)),可巧设为X=阳+f(m≠0).

联立｛；：工+2,整理得：/-8WJ>-16=0,

则X+%=8，"，从而与+毛=，Myl+%)+4=8〃?2+4.

因为尸是弦AB的中点,所以尸(4病+2,4〃7),(8分)

同理可得Q(3+2,-9].

∖ma^m)

当且仅当/=」T且疝=」T，即机=±1时等号成立,

mtn~

故|/'。|的最小值为8.(12分)

【解题技巧】巧用基本不等式求最值问题

利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不

等式求出最值。

基本不等式求最值的五种典型情况分析

【跟踪训练】

(2022•江苏淮安・模拟预测)椭圆C5+£=1伍乂>0)的离心率为普，短轴一个端点到右

焦点的距离为√5.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设斜率存在的直线/与椭圆C交于A,B两点,坐标原点。到直线/的距离为坐,^AOB

面积的最大值.

【解析】（1）设椭圆的半焦距为C,依题意知-3,

.α=√3,

Λc=√2,Q1,.•.所求椭圆方程为各）2=1.

(2)设Agʃl),β(X2,>2),

设直线AB的方程为y=⅛x+m.

由已知借=坐，得疗=条2+i)∙

把y=fcv+m代入椭圆方程，整理，得(3⅛2+l)x2+6hnx+3w2-3=0.

Δ=36必机2-火3F+1)(3W2-3)=36⅛2—IInv+12>0.

.~6km3(ffl2-1)

ΛX∣+X2=3Λ2+1,MX2=3必十].

Λ∣AB∣2=(1+⅛2)(Λ2-ɪi)2

36k2m212(m2-l)

=(l+⅛2)[

(3p^+l)3⅛2+l

12(⅛2+1)(3⅛2+1-^2)^3(⅛2+1)(9⅛2+1)

(3⅛2+l)2=~(3⅛2+l)2

i?P12

≤3÷————=4

2X3+6

当且仅当9标=表，即《=等时等号成立.

当Z=O时，HBl=√5,综上所述IABlmax=2.

当|4阴最大时，AAOB的面积取得最大值

S=ZX∖AB∖ma>iy.^2~=^2^.

考点3利用函数性质求最值（范围）

【例3】（2022•湖北武汉•二模）已知抛物线E:y2=2px（p>0）,点机）为E上一点，且

Q到E的准线的距离等于其到坐标原点。的距离.

⑴求E的方程；

⑵设AB为圆*+2）2+V=4的一条不垂直于y轴的直径，分别延长AO,8。交E于C,力两

点，求四边形AfiC。面积的最小值.

【解题指导】

IAC方程

【解析】(1)设抛物线焦点F多。,

由题意IQOl=I。尸I,

故f=2x!，解得：P=L

24

故抛物线的标准方程为∕=2x.

(2)由题意，直线AC斜率存在且不为0,

y=kx

设直线AC的方程为：y=kx,设点A(Xl,y),C(x2,%),'

(x+2)2+y2=4'

联立得：,2+1)/+4^=0,由x∣≠0,得芭=I≤.

KI1

V=kχ2

∕=2x)联立得：人Fx=°'⅛¾≠0.得W=记

MCI=炉TTH-XJ=∣⅛=7∙

Ar√∕+1

2(公+3悯

因为AC犯用T弋替％,

√⅛2+l

【技巧】运用类比思想，代替3求得|比>|

K

926

2(3⅛2+l)(⅛2+3)6k+；+20

故四边形ABDC面积S=5∣AC∣∙∣BZ)∣=

k"+ι)l'l+⅛

ʌ,1、小6r2+8N8

令阳ll+阿=f(zf≥2),Sc=1-=6/+：.

设函数f(∕)=6f+3(∕≥2),/«)=6_A=>0,故/(，)单调递增.

故当/=2,即阂=1时，S取到最小值16,所以四边形ABC。面积的最小值是16.

【技巧】利用换元,转化为函数问题，利用求函数的值域的方法将待求量表示为

其他变量的函数，求其值域，从而确定最值.

【解题技巧】利用函数求最值、范围的方法

根据己知条件设出自变量,构造目标函数,利用二次函数或函数求导等可分析函数的单调性,

从而确定的最值或范围。

【跟踪训练】，，

(2022・绍兴一中模拟预测)如图所示，点A,8分别是椭圆旅+导=1长轴的左、右端点，

点尸是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于X轴上方，PALPF.

(1)求点P的坐标；

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于∣M8∣,求椭圆上的点到点M

的距离d的最小值.

【解析】(1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0),

设点P的坐标是(X,y),

则Q=(X+6,y),FP=(χ-4,y),

,JPAVPF,：.APFP=O,

⅛+⅛=1∙

则

.(x+6)(χ-4)+y2=0,

3

可得2x2÷9χ-18=0,得X=I或x=-6.

由于y>0,故x=∣,于是y=可&

ɔC/ɜ

**•点P的坐标是(―9.

(2)由(1)可得直线AP的方程是x—/)，+6=0,

点8(6,0).

设点M的坐标是(肛0),则点M到直线AP的距离是吟包

_n∖m+6∖,

于是一2一=1加一6|,

又一6W"zW6,解得m—1.

由椭圆上的点(X,y)到点M的距离为"，

得J2=(χ-2)2+γ2=x2-4x+4+20-^x2

0

4^

-/

92

由于一6WxW6,

49

由y(x)=g(尤一/)-9+15的图象可知，

当X=/时，d取最小值，且最小值为JB.

模拟训练

22

1.(2023・河南・统考模拟预测)已知椭圆。:£+今=13八0)的右焦点厂(1,0),点

M在椭圆C上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点尸(2,1)的直线/与椭圆C交于A,B两点、.若PA=2PB，AQ=λQB(λ>0),求IOQl

的最小值(。是坐标原点).

【分析】(1)根据椭圆定义求出“，再由焦点得c,即可得解;

(2)设出点的坐标，利用向量得坐标间关系，代入点差法所得等式，可求出/+%=l,即

。是直线χ+y-i=0匕动点，再由点到直线距离求最小值即可.

【详解】(1)由题意，椭圆的焦点为(±1,0),c=l,

由椭圆定义知2α=-I)2+(1-0)2+Jg+If+(g-O)?=2√2.

所以α=∖∣2,h=c=l,

所以椭圆的标准方程为］+V=1.

(2)由题意知入Hl,设A(XQl),8(.马,%),。(%,%).

x-Ax=2(1-Λ),Jx÷λx=(1+Λ)x,

由PA=λPB^AQ=λQB{λ>Q),得l2120

yl-∕ly2=1-Λ'lyl+∕ly2=(l+∕l)%.

5+4=1,

又A,8都在椭圆上，所以〈小….

)

两式作差，得(XiX2学+〃2+(yτ%)(y+Λγ2)=l-r∙(*)

xl-Ax7=2(1-λ)

把IJ10代入(*)式，得(％+川)+(凹+4%)=1+2

X+λx-.=(1+2)xn

又由广,-1,°,得(χ∣+M)+(y+∕t%)=(l+㈤(%+%)・

[%+0=(1+㈤％

所以XO+%=L

所以。到直线x+y—1=0的距离"=/1=也.

√12+122

经检验，此时垂足吗3)在椭圆内部.

所以|。。|的最小值为

ɪ22

2∙(2023∙湖南•模拟预测)已知椭圆C：十→3v=l(α>h>0)的上顶点为8,。为坐标原点，

PW,0)为椭圆C的长轴上的一点，若N3PO=45。，且AOPB的面积为g

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)椭圆C与X轴负半轴交于点A,过点A的直线AM,AN分别与椭圆C交于M,N两点，

直线AM,AN的斜率分别为七M,kM,,且原K,=-5，求证：直线MN过定点，并求出

该定点坐标，求出aAMN面积的最大值.

【分析】(1)根据题意得到α=2⅛与而=2,从而求得由此得解：

(2)结合题意设直线MN的方程为X=阳+〃，联立椭圆C的方程得到y+%X%,进而得

到％+x2,x,x2,结合L仆=-'即可得到关于〃的方程，从而证得直线MN过定点(LO),

再利用Sλmn=^∖AD∖-∖yl-y2∖,结合对勾函数的单调性即可得解.

【详解】⑴由已知B(0,b),P(g,0),N8PO=45。，得台方，即α=2Z>,

又因为S=g,所以;χg岫=；,即M=2,

,(ab=2

解方程组“得α=2/=l,

[a=2b

所以椭圆。的方程为X+V=l.

4

(2)由题意可知,直线MN的斜率不为0,设M(AI,y),N(j⅛,%)，直线MN的方程为X=Sy+〃,

X=my÷n

联立《X22_，消去X，得(>+4)V+2,咋+/-4=0,

,τ+∙v=

2

所以△=4m2〃2一4("?2+4)(〃2—4)=i6m2-I6n2+64>O,χ+必=-2mnπ-4

〃r+4m~+4

则χ∣+%=My+必)+2"=舄，—=*M+MM+%)+"2=⅛⅛1

..................Ii,M必ɪMy2_ɪ

因为&"%，=一透所以消.彳一工，π即rι:+2&+用+4一一透

H2-4

所以_—/¢+4----------=------------2f~z⅜—.—=__=

4n2-4∕n216〃.4H2-4∕π2+16/7+4∕zz2+164n2+167:+1612

——-------+——+4

加-+4"T+4

即〃2+〃_2=0,解得〃=1或〃=一2,

因为当W=-2时，直线MN的方程为X=阳-2,则直线MV经过A(-2,0),不符合题意,

所以〃=1，满足A〉。，此时直线MN的方程为x="V+l,所以直线MN过定点(1,0),

记直线MN与X轴的交点为O,则。点坐标为(LO),

当〃T时,"Y悬W2=/'

SAMN=；|40卜加一必|='>/()1+)'2)2_4>/，2=,曰"+^1^=6JI,

2

222L+4)m+4V(m+4)

令f=疝+3,r≥3,

令y=r+jt≥3),则y'=l-">0,故y=f+；在［3,+∞)上单调递增,

当且仅当r=,∕+3=3,即加=0时，AAMN面积取得最大值更.

2

【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定

理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.

3.(2023•云南玉溪•统考一模)如图，已知尸(1,0),直线/：x=-l,P为平面上的动点，过

点P作/的垂线，垂足为点Q,S.QPQF=FP-FQ.

⑴求动点尸的轨迹C的方程；

(2)过点尸的直线与轨迹C交于4,3两点，与直线/交于点M,设M4=4AF,MB=λ1BF,

证明4+4定值，并求|44|的取值范围.

【分析】(1)设出点的坐标，运用数量积运算可得结果.

(2)设直线A8的方程，求出点M的坐标，联立直线AB与轨迹C的方程后由韦达定理得

22

X+%、％%,由已知向量关系式可得4=T-加ɔΛ=-ι--,进而求得4+4的值

与1441的范围.

【详解】(1)设点P(χ,y),则Q(Ty),且尸(1,0).

由0尸。尸=尸。尸。得(》+1,0>(2,一日=(》-1,丫>(-24),

即2(x÷l)=-2(x-l)÷√,化筒得/=4x.

故动点尸的轨迹C的方程为：V=4x.

(2)设直线AB的方程为：x=myr+l(m≠0),则M(T

V2=4χ

联立直线AB与轨迹C的方程得,消去X得-4=0,

X=my+1

则A=(Tm)2+16>0.

j+y=477?

设AaM,β(∙x2>¾)-由韦达定理知,12

22

由M4=4A/7,MB=ABF得:X-I—=y»y—=一4%，

ml2m

22

整理得4=τ------，否=T-------.

^yl^y2

y+y2

βJ↑∖^λ,+λ2=-2--[-+^-]=-2---'=-2----=0.

m4

>n∖yly2)机y>y2-

故4+4为定值0.

0m≠O,

_2_--、上加%必+2%(弘+必)+4]

团pΛ∣=-12

m∙∖yly2∖

I∕n^×(-4)+2∕H∙4∕M+4∣1

=-------------ʒ-----------------=1■<-->1，

wr∙∣T∣m^

创44|的取值范围是(ι,+∞)∙

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

(1)设直线方程，设交点坐标为(％,χ),(χ2,%);

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X(或V)的一元二次方程，必要时计算△；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为王+々、占々(或X+%、y%)的形式；

(5)代入韦达定理求解.

22

4.(2023・辽宁沈阳•统考一模)已知双曲线后东-方=1(4>0力>0)的离心率为2,右焦点

F到渐近线的距离为石，过右焦点F作斜率为正的直线/交双曲线的右支于A,8两点，交

两条渐近线于C,。两点，点A,C在第一象限，。为坐标原点.

⑴求双曲线E的方程；

(2)设一Q4C,ΛOAD,OAB的面积分别是S(M「，5ΔOΛO,S0λk,若不等式

^ΔOAC・S^OAD'S4OAB恒成立，求2的取值范围.

【分析】(1)根据离心率和焦点到渐近线的距离，列出”,6,c的方程组，解得结果即可.

S

(2)设出直线方程与双曲线方程联立，根据题目条件，写出—,根据，的范围即

可求出结果.

2*>

【详解】⑴设双曲线⅞-⅞=l的右焦点F(c,0),渐近线方程为bx+Q=0,

a^b^

则右焦点尸到渐近线的距离

又£=2,02=/+",则α=ι,c=2,

a

回双曲线的方程为x2-^=l.

3

(2)设直线/的方程为X=ty+2,t>0,设A(Xl,y∣)BO⅞,y2)

联立方程得，

½丫2_..2_0

•y=>(3产-1)/+12)+9=0

%=/>+2

129

3∕2-l≠0

=>,Δ>On/<?=o<r<立

33

渐近线方程为y=±Gx则A到两条渐近线的距圈4,出满足,

_I瓜「)[IIJirI+Xl_13x；-y：I3

2244,

2

y=6X:遍

联立方程得

X=X+2

2

y=-y∕3x

联立方程得;却如扃+就=Γ⅛Γ

X=»+2

%二F

1114143

SOkS(W)=k"I4WIW=]χ匚石万4%=匚犷

2

SOΛB^SOFA+SOFB=；|0Flly_%1=+必)—4乂必=61：；

ZL-Jl

——=2√1T?.

SAOa'SRODA

0<r<-^,.∙e(2,⅛),

73%oCA2AODA3

4SziQAC，^∆OAD—SZkOAB恒成立

即2≥7区簧一=2√1T?恒成立，

^ΔOCA,3AODA

团所求4的取值范围为g石，+∞)

5.(2023•四川泸州•统考二模)已知椭圆C：J+V=l(α>∕,>0)的焦点F(T,0),点

(1)求椭圆C的方程；

⑵若过点尸的直线/与C交于A,B两点,过点尸与/垂直的直线与C交于M,N两点，求

AM∙BN的取值范围.

【分析】（I）将点代入椭圆方程，结合c=l,//得出椭圆。的方程;

（2）讨论直线/的斜率存在和为O的情况，联立直线和椭圆方程，由韦达定理结合数量积

弘

运算得出AM∙5N=-∣3+尉2再由基本不等式得出所求范围.

【详解】（1）由题意可知,

故椭圆C的方程为]+V=i;

(2)当直线/的斜率不存在时，A(-l,--),B(-1,-),M(-√2,0),7V(√2,0).

22

AM∙βjv=(1-√2)(1+√2)+^×-ɪ=_|,

当直线/的斜率为O时，N(-1,M(-1,—),A(-√2,0),B(√2,0),

22

当直线I的斜率存在且不为0时，设其方程为y=kx+k,则直线MN的方程为y=-ʌɪ-ʌ

κk

厂2_]

+y2222

⅛∙~2=,W(1+2k)x+4kx+2k-2=0,

y=kx+k

Ab22A?_2

设4和％），8。2，孙），Μ（“3，%），阳4以），则王+%=-

∖+2k2∖+2k'

同理可得三+匕=一i⅛4,Xg=7⅛—⅛'

因为AΛ∕=(X3一苔,，3_X)，BN=(X4-W,”_%)，

所以AM∙BN=(玉4一々毛一中4+不9)+(%%-%%-乂％+yly2)

2

=(1+⅛)(Λ⅛X2+x1+x2+1)

2⅛2-24我24

=(l+⅛2)(+1)+(1++1)

↑+2k2l+2⅛22+V

22422

=---∖-----k--+---∖-----k--=---3--⅛---+--6--⅛----+--3--=----3--1---------3-k---------

l+2⅛22+k22/+5公+224k4+∖0k2+4

0<―M—=―ɜ——L3_一」

因为4/+收+44^÷∣÷10^2tΓT+106(当且仅当心1时，取等号)，

所以AMBN《一|,-g,

^34^

综上，AMBNW.

【点睛】关键点睛：在解决问题二时，关键是将向量的数量积转化为韦达定理的形式，再由

基本不等式得出范围.

22

6.(2023•辽宁•校联考模拟预测)已知双曲线C:三一S=l(a>0,⅛>0)的右焦点为F(2,0),

过点厂的直线/与双曲线C的右支相交于M,N两点，点M关于y轴对称的点为P.当

MN∙MP=0时，IMM=半.

⑴求双曲线C的方程；

IQFl

(2)若AMVP的外心为Q,求扁的取值范围.

【分析】(1)设双曲线的半焦距为c，由条件列关于。力，c的方程，解方程求Ac可得双曲线

方程；

∖QF∖

(2)设直线/的方程为X="+2,利用设而不求法求点。的坐标，利用f表示闹，再求其

范围.

【详解】(1)设双曲线的半焦距为c,

因为双曲线C的右焦点为F(2,0),所以c=2,

因为点M和点尸关于>轴对称，

所以当MN∙Λ∕P=O时，直线/的方程为X=c,

联立//可得y=±∙^,又IMNl=殁，

所以2匕逑，又。2=/+凡

a3

所以〃=y∕3,b=1,

故双曲线方程为

(2)若直线/的斜率为0,则直线/与双曲线右支只有一个交点，与已知矛盾,

所以可设直线/的方程为X=ty+2,

仅21

联立3\一，消X,得(产―3)y2+4<y+i=0,

X=ty+2

方程(产一3)〉2+4)+1=0的判别式公=16/一4(/-3)=12*+12>0,

设Ma，X)，N(W,%),P(f,χ)，

4t1

则X+%=Xy2=ʒ-7-

I—JL—J

]2—3t2—12

%+X?=r(X+y2)+4=-~7,XIX2=尸3%+2r(M+丫2)+4=-？-x，

7t—3I-Jττ

由已知-W->0,-3：T2>o,所以_后</<为，

r-3r-3

所以线段MN的中点坐标为F

V(-rJ-3,-∙rΛ-37J),

所以线段MN的垂直平分线方程为y+J∖=τ[+H

—

t—5∖κt3/

又线段MP的垂直平分线方程为X=0，

所以点Q的坐标为(0,片)

所以IQFI=J(2-θf+(θ+急j=占S4+*9,

IMNl=√iT7∣y2-y,∣=7iT7∙'y*=2*(/)

,,∖QF∖√f4+10∕2+9It2+9

所rr以丽=6(产+1)=7*7?’

所以图j邛卜三，一百<r<5

因为-垂t<t<ʌ/ɜ,所以l≤∕+lv4,

Q

所以3<l+k≤9,

厂+1r

所以1<陶≤6

∣Λ∕7√∣

所以粽⅛的取值范围为[百].

【点睛】直线与双曲线的综合问题，一般利用设而不求法解决；其中范围或最值问题，•般

利用设而不求法求出变量的解析式，再结合函数方法求其范围或最值.

7.(2023•河南•长葛市第一高级中学统考模拟预测)已知椭圆C：5■+£=l(a>b>0)的长轴

长为4,F1,乙为C的左、右焦点，点P(不在X轴上)在C上运动，且CoSNKP行的最小

值为

⑴求楠圆C的方程；

(2)过用的直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,记的内切圆的半径为r,求r的

取值范围.

2⅛21

【分析】(1)根据椭圆的几何性质可得α=2,再由余弦定理和基本不等式得出W-I=上，

a22

即可求出椭圆C的方程；(2)易知aEMN的周长为定值44=8,利用等面积法可求得内切

圆的半径与面积的表达式，联立直线/与椭圆C的方程写出△式MN面积的表达式再通过构

造函数利用函数单调性即可求得内切圆的半径为，•的取值范围.

【详解】(1)由题意得。=2,

设|尸用，IP用的长分别为"?，n,m+n-2a-4,

则在心中，由余弦定理可得

∕LCLm2+n2-4c2(∕tt+n)2-4c2-2mn2b22b2,2b2,

cosZ.F,PF、=----------=-------------------------=--------1>----------τ-1=-T--1

2mnImninnm+n

2

当且仅当故="时取等号，从而等-1=!，

a22

A23

得勺=2,回廿=3,

a14

所以椭圆的标准方程为片+亡=1.

43

(2)设M(Xl,yj,N[x2,y2),

由题意，根据椭圆的定义可得的周长为44=8,

SAVM6=g(∣隼W+山N∣+∣MW∣)r=4r,所以r=；SAM,

设/的方程为x=)+l,联立椭圆方程3∕+4y2=i2,

整理可得(4+3∕)y2+6(y-9=0,易知A>0

6r9

且π…=一向，》访=-』，

+

SANMR=ΔFiF2M^∆FiF2N=T*∣∙W+g∣∕M闻=MKHy2fI

=今耳用J(%+%2)-4yM

2

I2λ∕r+1

4+3”

所以'=；SANMA；3√r2+1

4+3/

令用l=k，则发≥ι,

3k

3⅛2+l

令函数f(x)=3x+g,x∈[l,+∞),∣⅛J∕'(x)=3-9,

当XWl,+8)时，/'(x)=3-5>0恒成立，所以"x)=3x+J在XW[l,+s)上单调递增，

33

则弘+:1≥4,所以OV<-..--1<--4，

k3k+-

K

3

即O<r≤工

4

3

故〃的取值范围为O<r≤?

4

【点睛】方法点睛：求三角形内切圆半径可利用等面积法，把整个三角形看成三个以内切圆

圆心为顶点的小三角形,根据三个小三角形面积之和与大三角形面积相等，建立三角形周长、

面积与内切圆半径之间的关系式即可求得结果.

，、,2

8.(2023・陕西安康,统考二模)设椭圆C：三+方=l(a>6>0)过点8(0,1),P为直线生

y=履(Z>0)上不同于原点。的任意一点，线段。P的垂直平分线为4,椭圆的两焦点K,F2

关于人的对称点都在以尸为圆心，G为半径的圆上.

⑴求椭圆C的方程；

(2)若直线4与椭圆交于M,N两点，A为椭圆的右顶点，求四边形AAWW的面积的取值范

围.

【分析】(1)根据垂直平分线性质可知两焦点”，B关于4的对称点距离等于线段内闾的

长度，艮对称点所连线段为圆户的直径，由此可得焦距长，继而求出椭圆C方程解析式；

(2)利用韦达定理，找出M,N两点坐标关系，根据弦长公式求出IMM长度，根据点到

直线距离公式求出A,B两点到IMNl的距离，列式即可得出四边形AMBN的面积表达式,

根据直线斜率范围即可得出面积范围.

【详解】(1)设"，8关于人的对称点分别为短，K，。为线段KK的中点，

晒耳是圆的直径,回|理用=恒耳|=2石,

13C=G

由已知b=l,所以椭圆C的方程为《+V=I

4

(2)设点Λ∕(x⅛,y),N(x2,y2),其中XIew

θɪl=

IMNl=∖Jl+k2IXI-X2∣=I：；）

,2k,1

点A、B到直线人的距离分别为4=乐声，4=为前

2

SAMBN=；IMM,(4+4)=B∙∙4===24k+4⅛A+l1—21+4

2

1+4Z:-+4k

团工+4%》2、?・软=4当且仅当衣=:时取等号.

k∖k2

0<!-≤ɪ1<1+

团1÷4⅛八团2+4女

kk

回SAMBN€(2,2夜］

9.(2023•全国•模拟预测)在平面直角坐标系中，圆4(x-3)2+y2=iθθ,B(-3,0),C为圆

A上一点，线段BC的垂直平分线与线段AC交于点P,记点P的轨迹为曲线E.

⑴求曲线E的方程;

(2)若过点。(g,8)且斜率存在的直线/交曲线E于点M,N,线段MN上存在点S使得

犒=畏，求∣S4∣+∣S3∣的最小值.

【分析】⑴由条件证明∣PB∣+∣R4∣=10,根据椭圆的定义结合待定系数法求轨迹方程;

(2)联立方程组，结合设而不求法表示己知关系，确定点S的轨迹，根据对称求+∣SB∣的最

小值.

【详解】(1)连接8P,回P在线段BC的垂直平分线上,

MPBI=IPq,回冏+∣∕¾∣=∣PC∣+∣∕¾∣=IAC∣=10,

乂10>∣A3∣=