2024年新高考数学名校重难点练习：第2练 复数-2023年新高考数学一轮复习小题必刷(解析版)

第02练复数

刷基础

愉题方向1复数的运算

例1.(1)若复数Z满足则z=(

4+3i

A.—3+3i-3-3iC.3+3i

【答案】A

【解析】

得z=i(4+3i)—i=—3+3i

故选A

(2)若复数Z满足z(l+i)=2i,其中i为虚数单位，则2=()

A.1—iB.1+iC.-1+iD.—1—i

【答案】B

【解析】复数Z满足z(l+i)=2i,

故本题选B.

命题方向2复数的概念

例2(1)设复数z满足(l+i)z=/s9,则复数1的虚部为()

111.

A.B.—C.-ID.

222

【答案】B

【解析】•••产=1,.；2。19=(j4)504.9=-i.

.,=T_TOTJ].

,,_l+z_(l-/)(l+z)-22；-

z----1—i,其虚部为一.

222

故选B.

(2)复数2=二(其中，是虚数单位)，则z的共辗复数5=()

13.

—+—i

22

【答案】C

故选C.

(3)若a,b均为实数，且空色=2+i3,则出?=()

1-1

A.-2C.一3

【答案】c

【解析】因为竽"=2+/=2—i,

所以a+初=(l_/)(2_i)=l_3i,

因此a=1,Z?=-3,则次?=一3.

故选C.

(4)若复数2=黄/(。€/?)为纯虚数，则|1+4=()

A.V5B.5C.V2D.2

【答案】A

【解析】根据复数的运算，化简可得

a+22_(a+2i)(l+i)(a+2i)(l+i)a—22+a.

z=i-i-(i-z)(i+/)一(i-z)(i+/)=~T~+F'

n—2

因为复数z为纯虚数，所以——=0,解得a=2所以z=2i

2

则|l+z|=|l+2i|=V^

故选:A.

命题方向3复数的几何意义

例3(1)已知i是虚数单位，若2+i=z(l—i),则z的共辗复数彳对应的点在复平面的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

2+z（l+/）（2+z）13.

【解析】由2+i=z（1-/）,得z=「=}含《=彳+/,

1-z（1一叭1+，）22

.__13.

••z-----1,

22

13

则Z的共辗复数Z对应的点的坐标为（一,一-）,在复平面的第四象限.

22

故选D

⑵在如图所示的复平面内，复数z，%内对应的向量分别是以，OB，OC，则复数谷；对

应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

Z,l-2i11.

【解析】由题图知4=3+21,z=-2+2i,Z3=1-2I,则~『="^1=一£一右］，

2ZZj+3z?luz31U

所以其在复平面内对应的点为［-（，-2）,在第三象限.

故选C.

（3）在复平面内，。为原点，向量对应的复数为—l+2i,若点A关于直线丁=一》的对称点为点5,

则向量OB对应的复数为（）

A.-2+iB.-2—i

C.1+2zD.—1+2z

【答案】A

【解析】复数—l+2i对应的点为4-1,2）,

点A关于直线＞=-%的对称点为5（-2,1）,

所以向量OB对应的复数为—2+九

故选A.

『解题思路』

1.复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看

作另一类同类项，分别合并即可;复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共枕复数，解题中要注意

把i的暴写成最简形式.

2.复数的几何意义，向量运算遵循平行四边形法则、三角形法则、以及坐标的运算法则.

h刷能力一U

1.若复数Z满足(l+2i)z=3-4i,则Z的实部为

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【解析】由(l+2i)z=3—4』・得

2

__3—4i_(3-4z)(l-2z)_3-10/+8z_-5-10/__,_?.

l+2z-(l+2z)(l-2z)--l-4z2---5-一—一''

所以复数z的实部为一1，

故选区

2.设复数z满足z(2-i)=l+i(,•为虚数单位)，则z的共辄复数的虚部为

333.3.

A.-B.--C.-1D.——i

5555

【答案】B

【解析】因为z(2-z)=l+i,

1+z(1+0(2+i)l+3z13.

・.Z————+I9

2-z(2-Z)(2+Z)555

133

所以复数Z的共筑复数为——i,所以复数Z的共跳复数的虚部为•「♦

555

故选B.

已知复数(2+'"〃是纯虚数,其中。

3.z=是实数，则z等于()

A.2iB.-2zC.iD.-i

【答案】A

(2+az);-a+2i(-a+2z)(l-z)2-aa+2.

【解析】Z----=---=-------=---1---I

1-z1+z(1+z)(l-z)22

2—ci

因为Z为纯虚数，所以——=0,得。=2

2

所以z=2i.

故选A项

4.若复数z满足z(l+i)=|l+J5i|,则在复平面内z的共枢复数对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

22(1-i)

【解析】由题得z==l-z所以z=1+i，

17r(l+z)(l-z)

所以在复平面内z的共轨复数对应的点为(1,1),在第一象限.

故选：A.

5.已知复数z满足(l+2i)z=-3+4i,则|z|=()

A.72B.5

C.V5D.更

2

【答案】C

【解析】V(l+2i)z=-3+4i,

，|l+2iHz|=|—3+4i|,

则比"之二

故选：C.

6.已知复数z满足|z『-2忖-3=0的复数Z的对应点的轨迹是()

A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆

【答案】A

【解析】因为|2|2-2回一3=0,所以忖=3,忖=3(负舍)

因此复数z的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆，选A.

7.已知（l+ai）（2-i）=x+yi（a、x、yeR,i是虚数单位），则（）

A.x-2y=0B.2x+y-3=0

C.2x-y-5=0D.2x+y+2=0

【答案】C

x-a+2

【解析】（l+az'）（2—i）=（a+2）+（2。-l）i=x+yi,,

消去参数〃得y=2（x—2）—l=2x—5,即2x-y-5=0.

故选：C.

8.设Z1,z2eC,则“Z|、Z2中至少有一个数是虚数”是“Z1—Z2是虚数”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】若4、Z2皆是实数，则4—Z2一定不是虚数，因此当Z|一Z2是虚数时，则“Z「Z2中至少有一个

数是虚数”成立，即必要性成立；

当Z|、Z2中至少有一个数是虚数，Z1-Z2不一定是虚数，如Z]=Z2=i,即充分性不成立，故选B.

9.已知i是虚数单位，Z是复数，则下列叙述正确的是（）

A.zi是纯虚数B.z2n^0（/?eZ）

C.对于任意的zeC,|z|=，|D.满足!=-z的z仅有一个

【答案】C

【解析】当z=0时，Z-Z=0GR,所以选项A错误；

当z=i,〃=1时，z2/,=/2=-1<0，所以选项B错误；

设z=x+y《x,y€R）,则]=x—yi,则同=&+/=同,所以选项C正确；

由，=—z得z2=—i，解得z=±i,故选项D错误.

z

故选：C.

10.设有下面四个命题

片：若Z满足ZGC,则Z.文£R;

P2:若虚数a+hi（awR,bwR）是方程V+/+%+1=。的根，则。一次也是方程的根：

6:已知复数Z1,Z2则Z,=Z的充要条件是Z,Z2eR：

乙;若复数4>Z2,则4，Z2€R.其中真命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】对于回：中若zeC,设z=a+4（a,/?eR）,则z•彳=〃+〃eR，所以是正确的；

对于P2：中，若虚数。+万3，0eR）是方程的根，则。一方也一定是方程的一个根，所以是正确的；

对于。3：中，例如z=i则==7,此时zi=l，所以不正确；

对于PJ中，若Z|>Z2,则4*2必为实数，所以是正确的，

综上正确命题的个数为三个，故选C.

11.已知复数z=-3+2i（i为虚数单位）是关于x的方程2/+/+4=0（p,〃为实数）的一个根，则〃+4

的值为（）

A.22B.36C.38D.42

【答案】C

【解析】将复数z=-3+2i代入方程2f+px+q=0,

所以2（-3+2i）12+p（—3+2i）+q=0,即10—3〃+q+（2〃-24）/=0,

10-3〃+q=0,P=12,

所以《解得：\

2p-24=0,q-26.

所以，+4=38.

故选：C

刷真题-.

1.（2018•全国高考真题（文））^z=—+2i,则|z|=

1+1

1L

A.0B•一C.1D.yb

2

【答案】c

【解析】z土+2i(IT)")

+2i

(j)(l+i)

=—i+2i=i,

则忖=1,故选c.

2.(2017•全国高考真题(文))复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

z=i(-2+i)=-l-2i,则表示复数z=i(-2+i)的点位于第三象限.所以选C.

3.(2018•北京高考真题(理))在复平面内，复数一匚的共躯复数对应的点位于

1-z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

1+；11.11

【解析】匚7=5+5,的共忱复数为一—-i

(1-0(1+/)2222

对应点为(；,一；)，在第四象限，故选D.

4.(2019•全国高考真题(理))设复数z满足|z-i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),则

A.(x+1)2+y2=lB.(x-l)2+y2=1C.x2+(y-l)2=1D.x2+(y+l)2=1

【答案】C

【解析】z=x+yi,z-i=x+(y-1»,|z-i|=Jx2+(y-i)2=1,则f+(y_炉=i.故选c.

5.(202()•海南省高考真题)()

1+21

A.1B.-1

C.iD.-i

【答案】D

【解析】

1+2/(14-2Z)(1-2Z)5

故选：D

6.（2020•北京高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2）,贝心々=（）.

A.l+2zB.—2+iC.1—2zD.—2—i

【答案】B

【解析】由题意得z=l+2i,.■.iz=i—2.

故选：B.

7.（2020•浙江省高考真题）已知aGR,若a-l+（a-2）i（i为虚数单位）是实数，则a=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【解析】因为3-1）+3-2"为实数，所以。一2=0,，。=2,

故选：C

2

8.（2018•浙江省高考真题）若复数z=—其中i为虚数单位，则2=

1-1

A.1+iB・1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】B

22(1+i),.,.

【解析】z=「-,.、八-1+1,2-11,选B-

1-i（l-i）（l+i）,

9.（2020•全国高考真题（文））若工（1+，）=1一，则z=（）

A.1-iB.1+iC.-iD.i

【答案】D

上=上匕=一所以

【解析】因为』=0z=i.

1+z(l+i)(l-02

故选：D

10.（2020•全国高考真题（理））复数一二的虚部是（）

1-31

31八13

A.——B.——C.—D.—

10101010

【答案】D

1l+3z13.

【解析】因为z=

'l-3z-(1-3z)(l+3z)-1010,

13

所以复数2=——的虚部为士.

1-3/10

故选：D.

11.(2020•全国高考真题(文))(1-i)4=()

A.-4B.4

C.-4iD.4i

【答案】A

［解析］(1_i)4=［(1-z)2F=(1—2z+/)2=(-202=-4.

故选：A.

12.(2020•全国高考真题(理))若z=l+i,则|Z2-2Z|=()

A.0B.1C.V2D.2

【答案】D

【解析】由题意可得：Z2=(1+/)2=2Z,则z2-2z=2i-2(l+i)=—2.

故归-2z|=V=2.

故选：D.

13.(2020•全国高考真题(文))若z=l+2i+i3,则0=()

A.()B.1

C.V2