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文档简介
专题16二次函数的存在性问题
【考点1】二次函数与相似三角形问题
【例1】(2020•湖北随州•中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线丁=。/+辰+1的对称轴为直线
3
x=-,其图象与x轴交于点Z和点8(4,0),与N轴交于点C.
2
(1)直接写出抛物线的解析式和/C4。的度数;
(2)动点M,N同时从Z点出发,点M以每秒3个单位的速度在线段N8上运动,点N以每秒0个
单位的速度在线段ZC上运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为
W>0)秒,连接再将线段绕点M顺时针旋转90°,设点N落在点。的位置,若点。恰好落
在抛物线上,求f的值及此时点。的坐标;
(3)在(2)的条件下,设尸为抛物线上一动点,。为N轴上一动点,当以点C,P,。为顶点的三角形
与相似时,请直谈写出点P及其对应的点。的坐标.(每写出一组正确的结果得1分,至多得4分)
【答案】(1)丁=一;/+1》+1,/C4O=45°;(2)t=3,。点坐标为(2,39v;
53257
小,-1),2g,2碍;尸5g,*,以。,
22呼}7T
1151
1/引,&。,--Q9-;A『歌,。7
25141394139
4TTFT。心翳
251711613
0,2,20,
TT'E363
【分析】
(1)根据抛物线的对称轴以及点B坐标可求出抛物线表达式;
(2)过点N作于E,过点。作。尸,46于R证明△NEA/gZU/ED,得到
NE=MF,EM=DF,从而得到点D坐标,代入抛物线表达式,求出t值即可;
(3)设点P(m,--m2+-m+l),当点P在y轴右侧,点Q在y轴正半轴,过点P作PRJ_y轴于点R,
44
CPPR
过点D作DS±x轴于点S,根据△CPQs/\MDB,得到,从而求出m值,再证明△CPQs/xMDB,
求出CQ长度,从而得到点Q坐标,同理可求出其余点P和点Q坐标.
【详解】
3
解:(1):抛物线夕=。^+队+1的对称轴为直线x=],
b3
----=—,贝!Jb=-3a,
2a2
•・•抛物线经过点B(4,0),
16a+4b+l=0,将b=-3a代入,
13
解得:a=---,b=一,
44
13
抛物线的解析式为:y=一一x72+-x+l,
44
令y=0,解得:x=4或・1,
令x=0,则y=l,
AA(-1,0),C(0,1),
CO
/.tanZCAO=---=I1,
AO
:.ZCAO=45°;
(2)由(l)易知4(一1,0),
过点、N作NEtAB于E,过点。作于E,
,/ZDMN=90°,
JNNME+NDMF=90。,又NNME+NENM=90。,
AZDMF=ZENM,
•/NM=DM,NDMN=90。,
:.ANEM汜AMFD(AAS),
:.NE=MF,EM=DF,
由题意得:ZCAO=45°,AN=®,AM=3t,
AE=CE=t,EM=AM-4E=2t,
:.DF=2t,MF=t,OF=4t—l,
D(4/—1,,
1,3
一一(4r-l)2+-(4/-l)+l=2z,又。>0,
44
3
故可解得:t=一或0(舍),
4
3
经检验,当t=±时,点均未到达终点,符合题意,
4
此时。点坐标为〔21
(3)由(2)可知:D(2,3],t=3时,M(-,0),B(4,0),C(0,I),
I2j44
1,3
设点P(m,—m+一加+1),
44
如图,当点P在y轴右侧,点Q在y轴正半轴,
过点P作PRJ_y轴于点R,过点D作DSJ_x轴于点S,
3
则PR=m,DS=-,
2
若△CPQS^MDB,
,金二驾则”=驾,
MDDSMD'DS2
123丫
nr+
44;
—,解得:m=0(舍)或1或5(舍),
459
164
故点P的坐标为:
VACPQ^AMDB,
.CPCQPR
MDMBDS
当点p(i,(1111,17
时,n-3,解得:CQ=—,---F1=—
666
42
,17、
.•.点Q坐标为(0>—),
6
P|L3=,。]。,!);
27\
493
pu
标CD62:
心吟;小3如3
2571151759
;兄存一沙;A
A学得”也-IF-Q9-318
25141394139
兄吁-用,Q。i%册。「嘴
2517125171
耳TTTIT旦°黑;%TT,T2i
【点睛】
本题是二次函数综合题,考查了二次函数的图像和性质,二次函数表达式,全等三角形的判定和性质,相
似三角形的性质,难度较大,计算量较大,解题时注意结合函数图像,找出符合条件的情形.
【变式1-1](2019•湖南娄底•中考真题)如图,抛物线y=ax?+以+c与x轴交于点Z(-1,0),点5(3,0),
与y轴交于点C,且过点。(2,-3).点P、。是抛物线y=ax?+bx+c上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P在直线。。下方时,求APOD面积的最大值.
(3)直线与线段8c相交于点E,当A06E与A48c相似时,求点。的坐标.
149
【答案】(1)抛物线的表达式为:y=x2-2x-3;(2)SAP。。有最大值,当加=一时,其最大值为一;(3)
416
0(62向或(-6,2扬或.
【分析】
(1)函数的表达式为:y=a(x+1)(x-3),将点D坐标代入上式,即可求解;
(2)设点尸(加,加2一2机—3),求出OG=3+2m,根据
S&POD=;xOG(巧,—4)=;(3+2机)(2—加)=—/??+;机+3,利用二次函数的性质即可求解;
(3)分NACB=/BOQ、ZBAC=ZBOQ,两种情况分别求解,通过角的关系,确定直线OQ倾斜角,进而
求解.
【详解】
解:(1)函数的表达式为:_y=a(x+l)(x-3),将点D坐标代入上式并解得:。=1,
2
故抛物线的表达式为:y=x-2x-3...®i
(2)设直线PD与y轴交于点G,设点一2加-3卜
图1
将点P、D的坐标代入一次函数表达式:V=M+f并解得,直线PD的表达式为:y=mx-3-2m,则
0G=3+2m»
2
S"OD=;xOG(x。-xP)=;(3+2m)(2一切)=-m+;m+3,
149
V-1<0,故“POQ有最大值,当加=一时,其最大值为一;
416
口丫:OB=OC=3.:・NOCB=/OBC=4S,
•;AABC=/OBE,故A08E与A48C相似时,分为两种情况:
①当NACB=NBOQ时,AB=4,BC=342•
过点A作AH1BC与点H,
图2
S》BC=;x/"x8C=5/8x°C,解得:AH=26.
ACH=V2
则tanNJC6=2,
则直线0Q的表达式为:y=-2x...@,
联立①②并解得:x=±6,
故点。(石26)或(-V3,273);
②/从iC=N8O。时,
OC3
tanNBAC=—=-=3=tanZBOQ,
OA1
则直线OQ的表达式为:y=-3x...③,
联立①③并解得:x=T土旧
2
也上JT+A3-3付"-1-e3+3付
故点4一y—,-^产[一^,二一『
综上,点0(6,-2百)或(一6,2折或(士普匕普)或「普,三普
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用,涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等,其中(3),要注意
分类求解,避免遗漏.
【变式1-2】(2019•辽宁盘锦・中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+6x+c经过点”(-
1,0)和点C(0,4),交x轴正半轴于点8,连接/C,点E是线段。8上一动点(不与点O,8重合),
以OE为边在x轴上方作正方形OE/G,连接川8,将线段尸8绕点尸逆时针旋转90。,得到线段尸P,过点。
作尸4〃y轴,尸目交抛物线于点,,设点£(a,0).
(1)求抛物线的解析式.
(2)若△ZOC与AFEB相似,求a的值.
(3)当尸H=2时,求点尸的坐标.
【答案】(1)y=-x2+3x+4;(2)a=?或g;(3)点尸的坐标为(2,4)或(1,4)或(驾亘,4).
【详解】
(1)点C(0,4),则c=4,
二次函数表达式为:y=-x2+bx+4,
将点A的坐标代入上式得:0=-1-b+4,解得:b=3,
故抛物线的表达式为:y=-x2+3x+4;
,、AO1
(2)tan/ACO----——,
CO4
△AOC与aFEB相似,则NFBE=NACO或NCAO,
即:tan/FEB=』x^4,
4
,/四边形OEFG为正方形,则FE=OE=a,
EB=4-a,
,,a1a“
则----=一或-----=4,
4-a4A-a
164
解得:a=一或一;
55
(3)令y=-X2+3X+4=0,解得:x=4或-1,故点B(4,0);
分别延长CF、HP交于点N,
VZPFN+ZBFN=90°,NFPN+NPFN=90°,
,NFPN=NNFB,
:GN〃x轴,;.NFPN=/NFB=/FBE,
VZPNF=ZBEF=90°,FP=FB,
.,.△PNF^ABEF(AAS),
;.FN=FE=a,PN=EB=4-a,
.•.点P(2a,4),点H(2a,-4a2+6a+4),
:PH=2,
即:-4a2+6a+4-4=|2|,
解得:a=l或4或上叵或三叵(舍去),
244
故:点P的坐标为(2,4)或(1,4)或(如叵,4).
2
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用,其中(2)、(3),要注意分类求解,避免遗漏.
【考点2】二次函数与直角三角形问题
【例2】(2020•湖北咸宁•中考真题)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-^x+2与工轴交于点4
2,5
与y轴交于点儿抛物线N=+bx+c过点8且与直线相交于另一点C5a
(1)求抛物线的解析式;
(2)点尸是抛物线上的一动点,当NR4O=ZS4O时,求点尸的坐标;
(3)点N(〃,0)在x轴的正半轴上,点M(0,m)是y轴正半轴上的一动点,且满足
NMNC=90".
①求加与〃之间的函数关系式;
②当用在什么范围时,符合条件的N点的个数有2个?
【答案】(1)y=--x2+—x+2;(2)或(3,--)或(-2,-3);(3)®m=--n2+—/?;
36k24j233
,-、25
②0<m<—
12
【分析】
(1)利用一次函数求出A和B的坐标,结合点C坐标,求出二次函数表达式;
(2)当点P在x轴上方时,点P与点C重合,当点P在x轴下方时,AP与y轴交于点Q,求出AQ表达
式,联立二次函数,可得交点坐标,即为点P;
(3)①过点C作CD,x轴于点D,证明△MNOs^NCD,可得——=——,整理可得结果;
NDCD
②作以MC为直径的圆E,根据圆E与线段OD的交点个数来判断M的位置,即可得到m的取值范围.
【详解】
解:(1):直线y=—+2与x轴交于点4,与'轴交于点8,
令x=0,则y=2,令y=0,则x=4,
AA(4,0),B(0,2),
2(53、
:抛物线歹=+bx+c经过B(0,2),CI,
2=cbJ
32255,解得:6,
—=——x—+L—b+c
〔4342c=2
27
抛物线的表达式为:y=一一X2+-X+2;
36
(2)当点P在x轴上方时,点P与点C重合,满足4>40=NA40,
当点P在x轴下方时,如图,AP与y轴交于点Q,
,/ZPAO=ZBAO,
AB,Q关于x轴对称,
.♦.Q(0,-2),又A(4,0),
设直线AQ的表达式为y=px+q,代入,
1
-2=qp=—
j+/解得:2,
q=-2
直线AQ的表达式为:y=联立得:
1c
y=—x-2
J2r,解得:x=3或-2,
27c
y=—x2H-x+2
"36
•••点P的坐标为(3,----)或(-2,-3),
2
53
综上,”1NR40=ABAO与,点P的坐标为:或(3,----)或(-2,-3);
2542
(3)①如图,NMNC=90。,过点C作CD_Lx轴于点D,
.".ZMNO+ZCND=90°,
ZOMN+ZMNO=90°,
NCND=NOMN,又NMON=NCDN=90。,
/.△MNO^ANCD,
n
MONO-^—
:.——=——.即un57,
NDCD
4
4jo
整理得:m-——n24-一n;
・・・N(〃,0)0<n<-1j,
点N在线段0D上(不含O和D),即圆E与线段OD有两个交点(不含O和D),
:点M在y轴正半轴,
当圆E与线段OD相切时,
有NE’MC,即NE2='MC2,
当点M与点O重合时,如图,
此时圆E与线段OD(不含O和D)有一个交点,
25一
.•.当0cm<—时,圆E与线段OD有两个交点,
12
25
故m的取值范围是:0<m<—.
12
【点睛】
本题是二次函数综合,考查了求二次函数表达式,相似三角形的判定和性质,圆周角定理,一次函数表达
式,难度较大,解题时要充分理解题意,结合图像解决问题.
【变式2-1】如图,抛物线歹=0?+公—4经过A(-3,6),B(5,-4)两点,与y轴交于点C,连接
AB,AC,BC.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求证:AB平分NC4。;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得A48V是以AB为直角边的直角三角形.若存在,求出点M
的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)y=-x2--x-4;(2)详见解析;(3)存在,点M的坐标为(工,-9)或(之,II).
6622
【分析】
(1)将A(-3,0),B(5,-4)代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组,从而可求得a、b的值;
(2)先求得AC的长,然后取D(2,0),则AD=AC,连接BD,接下来,证明BC=BD,然后依据SSS
可证明△ABCZ/\ABD,接卜来,依据全等三角形的性质可得到NCAB=NBAD;
(3)作抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F,作点A作AMUAB,作BM_LAB,分别交抛物线的
对称轴与M\M,依据点A和点B的坐标可得到tanZBAE--,从而可得到tanZM(AE=2或tan/MBF=2,
2
从而可得到FM和M,E的长,故此可得到点M,和点M的坐标.
【详解】
解:(1)将A(-3,0),B(5,-4)两点的坐标分别代入,
9"3b—4=0,
25a+5b—4=—4,
1
解得J
故抛物线的表达式为y=_y=」x2—3x—4.
66
(2)证明:VA0=3,0C=4,
.♦.AC=力:+42=5.
由两点间的距离公式可知BD=7(5-2)2+(-4-0)2=5.
VC(0,-4),B(5,-4),
二BC=5.
/.BD=BC.
在AABC和AABD中,AD=AC,AB=AB,BD=BC,
.♦.△ABCdABD,
.*.ZCAB=ZBAD,
AAB平分/CAO;
(3)存在.如图所示:抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F.
抛物线的对称轴为x=-,则AE=—.
22
VA(-3,0),B(5,-4),
/.tanZEAB=—.
2
VZM,AB=90°.
/.tanZM,AE=2.
.*.M,E=2AE=11,
5
.♦.M'(—,11).
2
同理:tanNMBF=2.
r5
又:BF一,
2
;.FM=5,
5
AM(一,-9).
2
...点M的坐标为(二,11)或(*,-9).
22
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用,主要应用了待定系数法求二次函数的解析式,全等三角形的性质和判定、
锐角三角函数的定义,求得FM和M,E的长是解题的关键
【变式2-2](2019・甘肃兰州・中考真题)二次函数歹=族2+笈+2的图象交工轴于/(一1,0),8(4,0)两
点,交N轴于点C.动点M从点/出发,以每秒2个单位长度的速度沿48方向运动,过点"作
轴交直线8C于点N,交抛物线于点。,连接4C.设运动的时间为/秒.
(1)求二次函数夕+bx+2的表达式:
(2)连接6。,当f时,求AONS的面积:
(3)在直线上存在一点P,当AP8C是以/8PC为直角的等腰直角三角形时,求此时点。的坐标;
(4)当/=*时,在直线上存在一点Q,使得N/QC+NO4C=90°,求点。的坐标
4
1Q(35、
【答案】(1)y=一一x12+-X+2(2)2(3)。(1,3)(4)。一,一或
22122J
【解析】
【分析】
(1)直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可;
(2)根据题意得出AM,OM,设3C的解析式为:y=kx+b(kw。),将点C(0,2),8(4,0)代入求出解析式,
然后将尤=2分别代入_)/=一;x2+^x+2和丁=一;x+2中,得:0(2,3),N(2,l),再根据三角形面
积公式,即可解答
(3)过点P作x轴的平行线,交N轴于点E,过点8作歹轴的平行线,交EP的延长线于点尸,设
。(加(加2+|加+2),£(0,〃),尸(私〃),产(4,〃),根据题意得出"ECMA5EP,根据
PE=BF,CE=PF,即可解答
(4)当时,//=2,此时A/点在二次函数的对称轴上,以〃点为圆心,4〃长为半径作圆,交
42
MN于。2。2两点,得出/。力8+/。巳4=90°,再根据NC0/=NC48,ZCQ,A=ZCAB(同弧所
对圆周角),即可解答
【详解】
(1)将点力(-1,0),4(4,0)代入y=。氏2+&+2,得:
a—6+2=0
16。+4b+2=0
1
a=—
解得:\?2
b=>
2
1,3
所以,二次函数的表达方式为:y=--X2+-X+2
22
3、
(2)t=—AM=3
2
乂..OZ=1:.OM=2
设5C的解析式为:y=kx+b(k^Q),将点。(0,2),8(4,0)代入,得:
-
b=2k=
\=>s2
4攵+6=0LC
、b=2
所以,直线3c的解析式为:y--x+2.
2
1,31
将x=2分别代入^=一]工2+5工+2和y=+2中,得:0(2,3),N(2,l).
DN=2
・••SAPNB=;x2x2=2.
(3)假设过点尸作x轴的平行线,交N轴于点E,过点8作歹轴的平行线,交加的延长线于点厂,
设£>(加,-3加2+|_”?+2),£(0,〃),尸(加,〃),;?(4,〃),由题意得:
APEC三ABFP
:.PE=BF,CE=PF
-
4-m=2-nm-1
.I=〈
—n=m[〃=_]
所以,点。的坐标为:。(1,3)
(4)当,=3时,AM=),此时〃点在二次函数的对称轴上,
42
以M点为圆心,ZM长为半径作圆,交于两点
•••0(0,2),呢,0)
.-.CM=-=R
2
;.C点在该圆上
:.ZACB=90。
:.ZCAB+ZCBA=9Q°
•;NCQiA=NCAB,NCQ]A=NCAB(同弧所对圆周角)
ZCQtA+ZCBA=90°
ZCQ2A+ZCBA=90°
【点睛】
此题考查二次函数的综合应用,解题关键在于将已知点代入解析式
【考点3】二次函数与等腰三角形问题
【例3】(2020•山东济南•中考真题)如图1,抛物线y=-x2+6x+c过点/(-1,0),点B(3,0)与y
轴交于点C.在x轴上有一动点E(加,0)(0<w<3),过点E作直线/_Lx轴,交抛物线于点
(1)求抛物线的解析式及C点坐标;
(2)当m=l时,。是直线/上的点且在第一象限内,若△/CO是以为底角的等腰三角形,求点。
的坐标;
(3)如图2,连接8M并延长交y轴于点N,连接4",OM,设△N期的面积为S,△MON的面积为
若S=2S2,求机的值.
【答案】(1)>=一/+28+3,。(0,3);⑵(1,1)或(1,痛);(3)77-2
【分析】
(1)用待定系数法即可求解;
(2)若△/CD是以为底角的等腰三角形,则可以分8=/。或/C=/。两种情况,分别求解即可;
(3)S\=-AEX,2SI=ON-X,即可求解.
2VMM
【详解】
-l-b+c=0
解:(1)将点4、8的坐标代入抛物线表达式得《八八,
-9+3b+c=0
故抛物线的表达式为y=-『+2x+3,
当x=0时,y=3,故点C(0,3);
(2)当加=1时,点E(l,0),设点。的坐标为(1,a),
由点4、C、。的坐标得,4C=0+1/+(3-0/:如,
同理可得:/0=信+4,C£>=Jl+(a-3)2,
①当CZ)=Z。时,即Ja?+4=Jl+(a-3)2,解得a=l;
②当/C=4)时,同理可得a=±JZ(舍去负值);
故点。的坐标为(1,1)或(1,76):
(3)VE(/w,0),则设点M(w,-加2+2根+3),
-m+2m+3=sm+t
设出线BM的表达式为y=sx+b贝",
0=3s+t
1
s=----
m+1
解得:
3
t=---
m+1
13
故直线6M的表达式为歹=------x+——
m+1m+1
3
当x=0时,y=----,故点N(0,——),则ON=——;
m+1m+1m+1
(加+1)X
S}=-xAEXyM=^-X(-加+2加+3),
31
2SI=ON-XM=----X〃?=$=—X(m+1)X(-w2+2w+3),
m+12
解得力=-2±五(舍去负值),
经检验也=近-2是方程的根,
故加=J7-2.
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等,其中(2),
要注意分类求解,避免遗漏.
【变式3-1】(2020•贵州黔东南•中考真题)已知抛物线、="2+公+。(“wo)与x轴交于48两点(点N
在点8的左边),与y轴交于点C(0,-3),顶点。的坐标为(1,-4).
(1)求抛物线的解析式.
(2)在y轴上找一点E,使得△口(7为等腰三角形,请直接写出点E的坐标.
(3)点尸是x轴上的动点,点。是抛物线上的动点,是否存在点尸、Q,使得以点P、0、B、。为顶点,
8。为一边的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P、。坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(l)y=x2-2x-3;(2)满足条件的点E的坐标为(0,3)、(0,-3+如)、(0,-3-屈)、(0,
4
--);(3)存在,P(-1+272>0)、Q(1+2&,4)或P(-1-272,。)、2(1-272-4).
【分析】
(1)根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式,再将点C坐标代入求解,即可得出结论;
(2)先求出点4C坐标,设出点E坐标,表示出4E,CE,AC,再分三种情况建立方程求解即可;
(3)利用平移先确定出点。的纵坐标,代入抛物线解析式求出点。的横坐标,即可得出结论.
【详解】
解:(1)I•抛物线的顶点为(1,-4),
•••设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4,
将点C(0,-3)代入抛物线y=a(x-1)2-4,得a-4=-3,
・'・a=1,
;•抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4=/-2x-3;
(2)由(1)知,抛物线的解析式为丁=(-2.3,
令y=0,则X2-2X-3=0,
Ax=-1或4=3,
:.B(3,0),力(-1,0),
令x=0,贝Uy=-3,
:.C(0,-3),
••AC—J10,
设点E(0,m),则/£=,/+1,CE=|"?+3|,
•••△/CE是等腰三角形,
,①当AC=AE时,yjlO=J"J+1>
,m=3或/n=-3(点C的纵坐标,舍去),
:.E(3,0),
②当/C=CE时,川=|小+3],
.,.附=-3+y/w,
:.E(0,-3+布)或(0,-3-V10)«
③当NE=CE时,J他2+1=|加+3],
4
.*./«=---,
3
4
..E(01—-),
3
即满足条件的点E的坐标为(0,3)、(0,-3+)记)、(0,-3-J16)、(。,-1
(3)如图,存在,川。(1,-4),
,将线段8。向上平移4个单位,再向右(或向左)平移适当的距离,使点8的对应点落在抛物线上,这
样便存在点Q,此时点D的对应点就是点P,
.,.点0的纵坐标为4,
设Q(t,4),
将点Q的坐标代入抛物线夕=/-2x-3中得,1-2L3=4,
.1=1+2④或f=l-272,
:.Q(1+272-4)或(I-272-4),
分别过点。,。作x轴的垂线,垂足分别为凡G,
•.,抛物线y=x2-2x-3与x轴的右边的交点8的坐标为(3,0),且。(1,-4),
:.FB=PG=3-1=2,
二点P的横坐标为(1+2正)-2=-1+2&或(1-2贬)-2=-1-272)
即尸(-1+2正,0)、。(1+2血,4)或尸(-1-2血,0)、Q(1-272-4).
此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合,熟练掌握二次函数的图象和性质是解
题关键.
4
【变式3-2】(2019・四川眉山・中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=——V+bx+c经过点
9
Z(-5,0)和点6(1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)点尸是抛物线上工、。之间的一点,过点P作尸EJ_x轴于点E,PG,夕轴,交抛物线于点G,过点
G作GELx轴于点当矩形尸跖G的周长最大时,求点尸的横坐标;
(3)如图2,连接Z0、80,点加■在线段上(不与4、8重合),作NDMN=/DBA,交线段
于点N,是否存在这样点",使得ADAW为等腰三角形?若存在,求出ZN的长;若不存在,请说明理
由.
【答案】⑴夕=->-胃+当。(-2,4):(2)点尸的横坐标为-*(3叱1或||.
【分析】
(1)根据幺(一5,0)和点5(1,0)可得抛物线的表达式为y=—(x+5)(x-l),可知对称轴为x=-2,代入解析
式即可得出顶点坐标;(2)设点-空加+”],则尸£1=一9掰2-3掰+竺,
<999J999
PG=2(-2-m)=-4-2m,可得矩形PEFG的周长=2(PE+PG),即可求解;(3)由D为顶点,A、B
为抛物线与x轴的交点可得AD=BD,即可证明ZDAB=NDBA,根据NDMN=/DBA,利用角的和差关
系N得NNMA=NMDB,即可证明~,可得生=生;分MN=DM、NM=DN、
BMBD
DN=DM,三种情况分别求解即可.
【详解】
(1)...抛物线歹=一3/+以+,经过点力(一5,0)和点6(1,0).
4
4216+
X9X20一
...抛物线的表达式为:y=—(x+5)(x-l)=9-9
-5+1
,对称轴为:x=-----=-2,
2
4
把x=-2代入y=-§(x+5)(x-l)得:y=4,
.••顶点。(—2,4).
」41620
(2)设点尸2-yw+—
则PE=——m2---w+—,PG=2(-2-tn)=-4-2m,
999')
矩形PEFG的周长=2(PE+PG)=2(—[加2—蔡加+?一4—2加)=一±(m+?)+得,
.•.当初=--17L时,矩形尸EEG周长最大,此时,点尸的横坐标为一1一7-
44
(3八•点D为抛物线顶点,A、B为抛物线与x轴的交点,
/.AD=BD,
/.ZDAB=ZDBA,
•••ADMN=ZDBA,/BMD+ABDM=1800-ZDBA,ANMA+ZDMB=1800-ZDMN-
二ANMA=4MDB.
\BDM〜\AMN,
.ANAM
VD(-2,4),A(-5,0),B(1,0)
AB=6,4)=8。="2+32=5,
①当A/N=£)忖时,
VZNAM=ZMBD,ZNMA=ZMBD,
\BDM=M.MN,
AM=BD—5,
AN=MB-AB-AM=1;
②壬NM=DN时,则ZNDM=/NMD,
VZDMN=ZDBA,
.,.ZNDM=ZDBA,
VZDAB是公共角,
\AMD〜\ADB,
,ADAM
••----=------,
ABAD
AD2=ABxAM>即:25=6x4",
…25
AM=—,
6
25
ANAMANT
V——=——,即an一,
BMBD6—255
6
A…N=—55:
36
③当ZW=Z)A/时,
ZDNM>NDAB,而ZDAB=ZDMN,
,ZDNM>4DMN,
:.DN片DM;
综上所述:AN=l或氾.
36
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点,其中(3),
要注意分类求解,避免遗漏.
【考点4]二次必教与平行四边形问题
【例4】(2020・四川绵阳•中考真题)如图,抛物线过点A(0,1)和C,顶点为D,直线AC与抛物线的
对称轴BD的交点为B(,0),平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E,与直线AC交于点F,点F的
横坐标为生叵,四边形BDEF为平行四边形.
3
(1)求点F的坐标及抛物线的解析式;
(2)若点P为抛物线上的动点,且在直线AC上方,当4PAB面积最大时,求点P的坐标及4PAB面积的
最大值;
(3)在抛物线的对称轴上取一点Q,同时在抛物线上取一点R,使以AC为一边且以A,C,Q,R为顶点
的四边形为平行四边形,求点Q和点R的坐标.
(备用图)
—);y=-x2+2百x+1(2)(—y/3,—);竺百
【答案】⑴
361224
f4/-37"、,厂、10r-37
一§“3,——I或Q(,3,-10),R(——)
【分析】
(I)由待定系数法求出直线AB的解析式为y=-»x+l,求出F点的坐标,由平行四边形的性质得出-
3
3a+l=—a-8a+l-(--求出a的值,则可得出答案;
33
(2)设P(n,-n2+2J3n+1),作PPJ_x轴交AC于点F,则F(n,-3n+1),得出PP=-M+Zjin,
33
由二次函数的性质可得出答案;
(3)联立直线AC和抛物线解析式求出C(-73,-设Q(、石,m),分两种情况:①当AQ为对
33
角线时,②当AR为对角线时,分别求出点Q和R的坐标即可.
【详解】
解:⑴设抛物线的解析式为y=ax?+bx+c(a#0),
VA(0,1),B(60),
设直线AB的解析式为y=kx+m,
.V3k+m=0
m=1
,一B
解得<3,
m=1
...直线AB的解析式为y=-3x+1,
3
..•点F的横坐标为生8,
3
.•.F点纵坐标为-也x勺8+1=-
3
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