人教版高中数学必修三 《古典概型》要点梳理与考点探究

人教版高中数学必修三第三章统计

321《古典概型》要点梳理与考点探究

【学习目标】

1.了解基本事件的特点.

2.理解古典概型的定义.

3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题.

【要点梳理•夯实知识基础】

1.基本事件

(1)基本事件的定义：

一次试验中可能出现的试验结果称为一个基本事件.基本事件是试验中不能

再分的最简单的随机事件.

(2)基本事件的特点：

①任何两个基本事件是;

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.

［答案］⑵①互斥的②基本事件

2•古典概型

如果某类概率模型具有以下两个特点：

(1)试验中所有可能出现的基本事件.

(2)每个基本事件出现的.

将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型.

有眼存)-：试验中所有可能出现的星本事件只花有限个)

"口［等可能性H捂个基本事件出现的可姮相等)

［答案］(1)只有有限个(2)可能性相等

3•古典概型的概率公式

对于任何事件A，P(A)=.

A包含的基本事件的个数

借词一基本事件的总数一

［常用结论］

确定基本事件个数的三种方法

(1)列举法：此法适合基本事件较少的古典概型.

(2)列表法(坐标法)：此法适合多个元素中选定两个元素的试验.

(3)树状图法：适合有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求.

［学练结合］

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三

个结果是等可能事件.()

(2)从一3,-2,—1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能

性相同.()

(3)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正

方形中心距离小于或等于1”的概率.()

［答案］(1)X(2)V(3)X

2.从1,2,345中随机取出三个不同的数，则其和为偶数的基本事件个数为()

A.4B.5C.6D.7

答案:C

解析:任取三个数和为偶数共有：(1,2,3),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,5),(2,3,5),(3,4,5)

共6个，选C.

3.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率

为()

2432

A-5Bl5C5D-3

答案:A

解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概

率为。=2=*

4.一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下,

再摸出1个白球的概率是.

答案：|

解析：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到

2

白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为予

5.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为

答案：-

3

解析：从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，有甲乙，甲丙，乙丙三

2

种可能，则甲被选中的概率为

3

【考点探究・突破重点难点】

考点一：基本事件的计数问题

1.在1,2,3,4,5这5个数字中，同时任取两个数，则有个基本事件，其中“两

数都是奇数”有个基本事件.

答案：103

解析:一共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)

共10个基本事件，两数都是奇数包含(1,3),(1,5),(3,5)密基本事件

考点二：古典概型的概率求法

【例1】(1)从分别写有1,2,3,4,珀勺5张卡片中随机抽取1张，放回后再随

机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()

A志B.1C-D,

(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，

从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为.

(1)D(2)|[⑴从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况

如图：

第很

第二张1234512345123451234512345

基本事件总数为25,第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为

10,

……102

•.所求概率尸=芯=亍

故选D.

(2)设取出的2个球颜色不同为事件A,基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，

黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，共6种，事件A包含5种，故P(A)=得.]

(3)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A2,&和3个欧洲国家与，约，

吗中选择2个国家去旅游.

①若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

②若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括AJ旦不包括

片的概率.

［解］①由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的

基本事件有：{A_&},{4,&},⑸,Bx},{A［,B2},{A,,0},{4,&},

{4,BJ,{A2,2},{&，J},{4,BJ,%，B2},外，B3},{与，B,},{B},

J},{吗，吗},共15个.

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{&,A2},

31

--

A},{A,A3},共3个，则所求事件的概率为5

3215

②从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件

有：{A1,Bx},{A『B2},{ApB3},{a,BJ,{A2,B2},{A2,J},{&,片},

{a,B2},{A3,吗},共9个.

包括&但不包括名的事件所包含的基本事件有：{A1，吗},{A』B3},共

2

2个，则所求事件的概率为P=3.

［拓展探究］（1）本例⑵中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4

的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率.

（2）本例（2）中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同

的概率.

［解］（1）基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件力，则A包含的基本事件

为（1,2）,（1,4）,（2,3）,（3,4）,共4种,

42

所以/5（A）=Z=T

（2）基本事件为（白，白），（白，红），（白，黄），（白，黄），（红，红），（红，白），

（红，黄），（红，黄），（黄，黄），（黄，白），（黄，红），（黄，黄），（黄，黄），（黄，

白），（黄，红），（黄，黄），共16种，其中颜色相同的有6种，

故所求概率P=-^=I.

IoO

［解题方法总结］

求古典概型概率的步骤

(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A;

(2)分别求出基本事件的总数〃与所求事件A中所包含的基本事件个数

"7；

(3)利用公式P(/1)-求出事件A的概率.

[跟踪练习]

1.小红打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是/,

N中的一个字母，第二位是123,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成

功开机的概率是()

811

・

8-

151530

2.从分别写有123,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1

张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()

A志B.1*D.|

l.C2.D[l.VQ={(M,l),(M,2),(M,3),(M4),(M5),(7,1),(1,2),(7,3),

(1,4),(/,5),(MD,(M2),(M3),(N,4),(N,5)},

，事件总数有15种.

•.•正确的开机密码只有1种，

2.如表所示

二次

第蕊、12345

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)

总计有25手，情况，满足务r件的彳T10种

102

所以所求概率为方=5.故选D.]

3.下列试验中是古典概型的是()

A.在适宜的条件下,种下一粒种子，观察它是否发芽

B.在一口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一

球

C.向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的

D.甲、乙两队进行一场足球赛，甲队比赛结果为甲队赢、平局、甲队输

答案:B

解析:对于A,发芽与不发芽概率不同；对于B,摸到白球与黑球的概率相同，均为1；

2

对于C,基本事件有无限个；对于D,由于受甲、乙两队运动员水平的影响，甲队

赢、输、平局的概率不相等，因而选B.

4.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是

()

A.lB.lC.lD.1

2346

答案:B

解析:由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),

满足条件的事件数是2,所以所求的概率为

3

5.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下

表：(单位：人)

参加书法社团未参加书法社团

参加演讲社团85

未参加演讲社团230

(1)从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率

为；

(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学

A.,A„AVA,,A5,3名女同学鸟耳鸟.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1

人,A1被选中且B1未被选中的概率为.

19

答案：(l)g(2)±

解析：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至

少参加上述一个社团的共有45-30=15人.

所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为

PC=一15=_1.

453

(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的

基本事件有：

{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},

1112132122

{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},

2331323341

{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},

4243515253

共15个.

根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.

事件”A被选中且B未被选中”所包含的基本事件有：{A,B},{A,B},共2

111213

2

因此A被选中且B未被选中的概率为P=±.

1115

考点三：古典概型与统计的综合应用

【例1】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况随机访问50名职工,

根据这50名职工对该部门的评分绘制频率分布直方图如图所示)，其中样本数

据分组区间为:[40,50),[50,60),...,[80,90),[90,100].

频率/组距

0.028-

0.022■

0.01»-

5060708090100分数

(1)频率分布直方图中a的值为;

(2)该企业的职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为;

(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，此2人的评分都在[40,50)的概

率为__________.

答案:(1)0.006(2)0.4(3)、

解析(1)因为(0.004+a+0.018+0.022<2+0.028)X10=1,所以a=0.006.

(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为

(0.022+0.01盼10=0.4,

所以该企业职工对该部门评分不低兆的概率的估计值切.4.

(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50X0.006X10=3(人)，记为A,A,A；

I23

受访职工中评分在[40,50)的有：50><0.004X10=2(人)，记为B.B.

12

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是

{A,A},{A,A},{A,B},{A,B},{A,A},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{B,B},

1213Jij2232122313212

又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B,B},故所求的概率为

12

p=~.

10

【例2】空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI)是定量描述空气质量

状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0-50为优；51〜100为良；101〜

150为轻度污染；151〜200为中度污染；201〜300为重度污染；大于300为严

重污染.一环保人士记录2018年某地某月10天的AQI的茎叶图如图所示.

45

60

754

35

1O

U78

I99

215

(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQIW100)的天数；(按这个月总

共30天计算)

(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中，随机地抽取两天深

入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.

［解］(1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1,空气质量良的天

42

数为3,故该样本中空气质量优良的频率为的=$估计该月空气质量优良的频

22

率为亍从而估计该月空气质量优良的天数为30X5=12.

(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为4,a2,av%；为中度污染的

共1天，记了b-,为重度污染的共1天，记为c.从中随机抽取两天的所有可能结

果有：(%,%)，(4，%)，(%，%)，(4，b),(%,c),(%，%)，(“2，%)，(%，

份，(电，C),(%,%)，(4，b),(%，c)，(«4>份，(。4，c),(b,c),共15个.

其中空气质量等级恰好不同的结果有(%,b),(4,c),(4,b),(a2,c),(a3,

b),(4,c),(%,b),(%,c),(b,c),共9个.

所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为9=|.

［解题方法总结］

求解古典概型与统计交汇问题的思路

(1)依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计

图表给出的信息，提炼出需要的信息.

(2)进行统计与古典概型概率的正确计算.

［跟踪练习］

交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险

第一年的费用(基准保费)统一为。元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制,

且保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系.发生交通事故的次数越

多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：

交强险浮动因素和费率浮动比率表

浮动因素浮动比率

A上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%

&上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%

/上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%

&上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%

上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10%

上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%

某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60

辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的

表格：

类型AA2&A’454

数量105520155

(1)求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；

(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费

高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事

故车盈利10000元.且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完

成下列问题：

①若该销售商店内有6辆(年龄已满三年)该品牌二手车，某顾客欲在店内随

机挑选2辆车，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；

②若该销售商一次购进120辆(年龄已满三年)该品牌二手车，求一辆车盈利

的平均值.

［解］(1)一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为

15+5_1

-60-=3-

(2)①由统计数据可知，该销售商店内的6辆该品牌(年龄已满三年)的二手车

有2辆事故车，设为由,a.4辆非事故车设为多,a,,%，%♦从6辆车中随机挑

选2辆车的情况有S],%）,（%,4）,（%,4），（%，%），（%，%），（4，％），色，

%）,（%，%），电,%），（%，%），（%，*（%，%），%。3），（%。4），（“3，

%）,共15种.

其中2辆车恰好有一辆为事故车的情况有（4,4）,（4,%），（4，%），（%，

%）,（b2,4）,（b2,%），（%，%），（%%），共8种.

所以该顾客在店内随机挑选2辆车，这2辆车恰好有一辆为事故车的概率为

8

访.

②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌（车龄已满三年）的二手

车有事故车40辆，非事故车80辆，

山（一5000）X40+10000X801=5000（元）.

【连线真题・提升解题能力】

1.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社会服务，则选中的2人都是女

同学的概率为（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

答案:D

解析:将2名男同学分别记为x,y3名女同学分别记为a,b,c.设“选中的2人

都是女同学”为事件A,则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情

况有（x,y）,（x,a）,（x,b）,（x,c）,（y,a）,。，b）,（y,c）,（a,b）,（a,c）,

S,c）,共10种，其中事件A包含的可能情况有（a,b）,（a,c）,（b,c）,共3

3

种，故尸（4）=记=0.3.故选DJ

2.一枚均匀的硬币连续掷三次，则至少出现一次正面向上的概率是（）

A.Z.B.2C.lD.1

8883

答案:A

解析:一枚均匀的硬币连续掷三次，出现的所有可能情况是（正，正，正），（正，正，

反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反,

反），共8种，至少出现一次正面的有7种，所以所求概率为1.

8

3.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,

余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

B.mC.3TD.z

A.,23o

答案:c

解析:从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花

种在另一个花坛的种法有：红黄一白紫、红白—黄紫、红紫一白黄、黄白—红

紫、黄紫一红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的

种法有：红黄一白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫一红黄，共4种，故所

42

求概率为尸=6=中故选C.

4.已知集合A={-l,0/},点P(x,y),其中x©A,yGA,记点P落在第一象限为事件

M,则P(M)=()

1cl八1一2

AA.—B.—C.—