2024版高考复习A版数学考点考法练习题：平面解析几何

平面解析几何

一、单项选择题

1.(2022山西晋城重点中学4月月考,6)以&1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2方广

6=0同时相切的圆的标准方程为()

A.(x-l)2+(y-1尸=5

B.(x+l)2+。+1/=5

C.(%-1)2+9=5

D.%2+(y-1)2=5

答案A由已知得圆心到两直线的距离公股芦=笑|m,解得4=1,上店所以半

V5V5

径所以圆的标准方程为a-l)2+(y-1)2=5.

22

2.(2023届广西桂林月考，11)已知椭圆E套+-1(。>6>0)的右焦点为尸(4,0),过点F

的直线交椭圆于A、8两点，若”(1,-1),且成+砺=2丽，则E的方程为()

%2y2比2丫2

A.-+匕=1B.-+匕=1

48323620

C.—+—=1D.—+—=1

248204

答案C•；就+赤=2而，为AB的中点.

•过点P的直线交椭圆于A、8两点，且M(l,-1),均产三J=

1—43

设A(xi,yi),B(%2,竺)，其中则

^i，yi

22L

ab由点差法得一_月一为%+。2

2

磅遐a%i-%2Xr+x2

二L

.a2b2

.b2_1

1•^=?

221

又a=b+c,c=4f

22

.../=8,/=24,的方程为二+匕=1.故选C.

248

3.(2020课标〃5,5分)设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:/=2^(p>0)交于D,E

两点，若O"OE,则C的焦点坐标为()

A.g.o)B.Q,O)C.(l,o)D.⑵0)

答案B由抛物线的对称性不妨设。在x轴上方、E在x轴下方.由［2=2；得

0(2,27P),£(2,-27P),'：OD1OE,：.OD-OE=4-4p=0,：.p=l,：.C的焦点坐标为©,0),

故选B.

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22

4.（2023届南宁三中摸底，10）已知椭圆C:^+1=1（°>6>0）的右焦点为F,右顶点为A,

上顶点为5点尸（。,6）满足N08F=NBP0（0是坐标原点），则椭圆C的离心率是（）

A①B..C.辿D立

2224

答案B依题意可得8（0,6）,尸90）,4（。,0）,「Q,6）,所以03,8己又/。8产=/

BPO,ZBOF=ZOBP=90°,所以△。"。△取。,所以竺=—,即2=£，所以b2=ac,又

BPOBab

b2=a2-c2,所以a2-c2=ac,所以l-e2=e,解得e二二^或e二三立（舍去）.故选B.

22

5.（2023届山西大同调研一，12）已知Fi,尸2为双曲线Eg—^=1（a>0,b>0）的左、右焦

azbz

点，点P在E上，的平分线交x轴于点D,若甘,|叨|+|尸/2|=8,且PD=<3,

则双曲线的方程为（）

比2丫2比2丫2

A.--匕=1B,--匕=1

2882

6446

答案B不妨设点尸在双曲线的右支上，设|P/i|=〃,|P/2|=加,则n-m=2a,又加+行8,所以

n=a+4,m=4-a.

由NHPB胃,平分NHPB,得NFTPD=/F2PD=/又尸缶旧石.通=5APF1D+

SAP4D，•|PF1|•|PF2|•sin曰=?|PF1|­|PD|-sinJ+；\PF2\-\PD\-sing整理得

4ZDzozo

m-n=m+n,即（4-〃）（4+〃）=8,解得H=8.在尸i尸2中，由余弦定理得（2c）?二疗+庐

22

2m/tcos-=（m+n）2-3m^=40./.c2=10则Z?2=c2-a2=2,故所求的双曲线方程为^—匕=1.故选

3f82

B.

6.（2023届山西大学附中9月诊断,4）若直线x=4y+l与双曲线C:取2-产之仿>。）的一条渐

近线平行，则a的值为（）

A.—B.-C.4D.16

164

答案A由题意可得双曲线C的渐近线方程为y=±^x,直线x=4y+7的斜率为点

•直线x=4y+7与双曲线C的一条渐近线平行，=:解得。=已故选A.

7.（2023届河南洛阳期中,9）已知抛物线C:/=4x的焦点为F,其准线与无轴的交点为A,

点P在抛物线C上，且PALPF,则依|=（）

A.-B.V5-2C.V5-1D.3-V5

2

答案c因为点P在抛物线C:y2=4x上，所以设尸（9,打）.

由抛物线C:/=4x可得焦点F（l,0）,准线方程为A-1,故A（-l,0）.因为尸ALPR所以

E41PF.

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因为24=（一1一3，一Vo）,PF=（1-y,-yo）＞

所以丽•丽=空—1+羽=0,解得羽=4V5-8（舍负），所以尸的横坐标为遍2

由抛物线的定义可得|尸网=逐-2+1=通-1.故选C.

8.（2022安徽安庆二模,4）抛物线y2=4x的焦点为F,点、A在抛物线上.若[4用=3,则直线

AF的斜率为（）

A+V2B+2V2C.V2D.2V2

答案B设点4（沏,刈），则|”|=尤（）+1=3,故沏=2,所以加=±2近,故点A的坐标为（2,2鱼）

或（2,-2鱼），又尸（1,0）,所以直线A尸的斜率为±271故选B.

一题多解:设直线"'的倾斜角为。（0＜也吟，点公/在抛物线准线/：户-1上的射影分

别为R,4,则|M|=l^l+IAF\Icos6|=2+3|cos。|,又|M|=|朋，所以2+31cos

,=3,得cos所以tang吗=互誓=±2/.故选B.

3cosOcosO

二、多项选择题

9.（2022江苏阜宁中学期中，10）已知圆。:%2+丁2-4%=0和直线/:"-丁+1-2七0,贝!]（）

A.直线/与圆C的位置关系无法判断

B.当k=l时，圆C上的点到直线I的最远距离为2+日

C.当圆C上有且仅有3个点到直线I的距离等于1时,k=0

D.如果直线/与圆C相交于M,N两点,那么弦MN的中点的轨迹是一个圆

答案BCD圆C：j（2+y2-4x=Q的圆心为C（2,0）,半径r=2,直线I:kx-y+1-2k=k（x-2）+（1-

y）=0,故直线/过定点尸（2,1）.对于A,由于点尸（2,1）在圆C:f+y2-4x=o内，故直线/与

圆。相交,A错误；

对于B,当k=l时,直线l:x-y-l=0,圆心C（2,0）到直线的距离公专=y,故圆C上的点

到直线I的最远距离为2吟,B正确;对于C,当圆C上有且仅有3个点到直线I的距离

等于1时，圆心到直线的距离d=』=l,解得Q0,C正确;对于D,由于直线/过定点

V1+/C2

P（2,1）,设弦MN的中点为Q（x,y）,则CQLPQ,即点。的轨迹是以CP为直径的圆，故

D正确，故选BCD.

22

10.（2022福州一模,9）已知椭圆C:-+5=l的左、右焦点分别为产为C上一点，

43

则（）

A.C的离心率为了

B.APE尸2的周长为5

C.ZFIPF2＜90°

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D.l<|PFi|<3

答案CD对于A,因为a=2,c=V¥=^=l,.•.离心率e=-=；,A错误;对于B,由椭圆的

a2

定义知|尸碎+|尸巳|=2a=4,又尸面|=2—2,二APF1F2的周长为4+2=6,B错误;对于C,当P

为椭圆短轴端点时,tan^==

2tan如合也L口

.,.tanZFiPF=-----=』=电：.NF"=60°,即（NFiPF2）max=60°,二Z

2l-tan2—/上1--

凡?歹2<90。"正确;对于D,

•••|PFi|min=a-c=l,|PFi|max=a+c=3,•••归尸分区3,D正确，故选CD.

22

11.（2022山东烟台、德州一模，12）已知双曲线C《—5=1,巳为C的左、右焦点，

45

则（）

22

A.双曲线」----乙-=1（加>0）和C的离心率相等

4+m5+m

B.若P为C上一点，且二尸1尸民=90。,则△KP巳的周长为6+2V14

C.若直线y=tx-l与C没有公共点，则t滞或吟

D.在C的左、右两支上分别存在点M,N,使得4m=F^N

答案BC对于A,双曲线C:^—《=1的离心率e==双曲线上—>=1（加>0）的离心

4524+m5+m

率e=1+：：5+m=等，它们的离心率不相等,A错误;对于B,有

74+m'4+m

+Ior2||2=『6,整理得呐+|p尸2|=2旧,则△尸i尸尸2的周长为6+2V14,B正确;对

lllPFil-|PF2||=4,

（无_竺=

于C,由｛45—（5-4/2）x2+8rx-24=0,由题意知方程G/Bf+gtr-ZdR无解，当

ly=tx—1

5-4金=0时，方程（5-4』）f+8比-24=0有解；当5-4»力0时，贝U有£。二、及：*.2..W

l（8t）z+96（5-4tz）<0,

之得仁年或吟,故C正确;对于D,当直线MN不与x轴平行时,设直线MN的方程为

___金_之=1

x=Zy-3,N（%2,竺），由4^3?=可得〉2=4州，由｛45—'可得（5»-4）y2-

Vx=ty—3,

,30t（「30t

12~^2-4'即11-5t2-4'整理得19?+100=0,显然不成立，当过双

｛y，2=R,=-j-）

曲线C的左焦点Fi的直线MN与x轴重合时,方程为y=0,

则M（-2,0）,N⑵0）,瓦标=（1,0）,F^N=（5,0）,即5瓦标=询,D错误.故选BC.

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12.（2022辽宁名校联盟3月联考，⑵已知抛物线C:f=2py（p>0）的准线I的方程为y=-l,

过C的焦点F的直线与C交于A,8两点，以A,8为切点分别作C的两条切线,且两切线

交于点M则下列结论正确的是（）

A.C的方程为*=2y

B.ZAMB=90°

CJW恒在/上

D.\MF^=\AF\-\BF\

答案BCD由题意得£=-1,所以p=2,因此C的方程为父=4y,A项错误；由题意可知直

线AB的斜率存在,R（0,1）,设A3的方程为y=kx+l,A（孙力）,Ba,竺），由\2之；得

^-4fcr-4=0,所以xi+x2=4k,为念=-4.由尸学得y-^x,所以AM的斜率为心”=；羽，所以AM

的方程为y-y尸;%1（%-为），即=；沏（%-制）①，同理BM的斜率为kBM《x）,所以BM的

方程为y-^%2=32（%-%2）②,所以kAMkBM=^xiX2=-l,即AM±BM,所以NAMB=90。,B项正

确；由①②得（、2-沏）广，1%2（%2-即），因为所以产-1,将尸1代入①②得1=2左,

所以点M的坐标为（2左,-1）,又C的准线I的方程为产-1,所以M恒在I上,C项正确；当

1

AB的斜率左不为零时,如产三=一3所以kAB,kMF=-l,所以AB±MFf当AB的斜率k=0

时，点M的坐标为（0,-1）,显然ABLMF,由尸得器=^,所以

\MF^=\AF\-\BF\,D项正确，故选BCD.

三、填空题

13.（2022全国乙，14,5分）过四点（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三点的一个圆的方程

为.

答案（x-2）2+（>-1）2=5（或x2+y2-4x-6y=0或x^+y2-^x—~^y=0或x^+y2--^x—2y—£=0）

解析选取（0,0）,（4,0）,（4,2）时,不妨设这三点分别为O,A,B,则线段OA的垂直平分

线的方程为尸2,线段A3的垂直平分线的方程为尸1,所以经过这三点的圆的圆心坐标

为（2,1）,记为C,圆的半径r=\CO\=y/22+I2=V5,所以所求圆的方程为（+2）2+（广1）2=5.

选取（0,0）,（4,0）,（-1,1）时，设所求圆的方程为x1+y1+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）,则

F=0,（D=-4,

16+40+F=0,解得'E=一6,所以所求圆的方程为x2+y2-4x-6y=0.

,l+l-D+E+F=0,{F=0.

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选取(0,0),(-1,1),(4,2)时,设所求圆的方程为x2+/+D%+Ey+F=0(D2+E2-4f>0),则

F=0,(D=

1+1-D+E+F^O,解得，5=_己

,16+4+4D+2E+F=0,3'

IF=0.

所以所求圆的方程为犬+泻x-yy=0.

选取(4,0),(-1,1),(4,2)时,设所求圆的方程为^+yz+Dx+Ey+F=Q(£>2+E2-4F>0),则

16+4D+F=0,D=一工，

E所以所求圆的方程为炉+

l+l-D+E+F=0f解得=-2,y2Tx-2y_

、16+4+4D+2E+F=0,

-=0.

5

22

14.(2022贵阳五校联考，15)设尸1,尸2分别是椭圆■+¥=1的左、右焦点，尸为椭圆上任

2516

一点，点M的坐标为(6,4),则|PM+|PH|的最大值为.

答案15

解析如图所示.

22

在椭圆a+9=1中,4=5,6=4,c=3,所以焦点坐标分别为F1(-3,0),巳⑶0).

2516

\PM\+\PFi\=\PM\+(2a-|PF2|)=10+(|PA/|-|PF2|).

■：\PM\-\PF2\<\MF2\,当且仅当P在MF2的延长线上(P与尸0重合)时取等号，

22

(|PM|-|PF2|)max=|MF2|=V(6-3)+(4-0)=5,故的最大值为10+5=15.

解后反思:解题关键是转化为一动点到两定点距离之和或距离之差的最值问题,可以结

合图形利用三角形三边的关系解决.

15.(2021新高考I,14,5分)已知O为坐标原点,抛物线C:/=2px(p>0)的焦点为F,P为

C上一点,P尸与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQLOP.若|FQ|=6,则C的准线方程

为.

答案x=-|

解析I•点P在抛物线上且PFlxtt,不妨设点P位于无轴上方，•••OP_LPQ,

,由平面几何知识可得呐2=|0日MQI,又：FQ|=6,.”=3或0=0(舍)，；.C的

准线方程为x=-|.

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22

16.(2019课标/,16,5分)已知双曲线C:[—3=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为后、

azbz

尸2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若干=AB,F^B-F^B=0,则C的

离心率为.

答案2

解析解法一:如图，由无？=同知A为线段尸出的中点,

为线段吊尸2的中点,

：.OA//F2B,

-0=0,：.FIB.LF2B,

：.OA±FiA5.ZFiOA=ZOF2B,

"：ZBOF2=ZAOFI,:.ZBOF2=ZOF2B,

又易知。为=QB|=c,，回般为上簸,

可知.=tan60°=V3,

1+5=2.

az

解法二：如图，设NAOy=a,则N3O产a,

•.•瓦5=而，.'A为线段-3的中点,

又为线段的中点，

：.OA//BF2,：.N0B3=2a.过B作BHlOF2,垂足为H,则BH//y^,则有NO3”=a,

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Z.ZHBF2=a,

易得40BH注△FzBH,

:.\OB\=\BF2\,

;亭•亭=0,

BF1±BF2,又。为F1F2的中点，

：.\OB\=\OF，\=c,

...△03^2为正三角形.

Z.ZB(9F=60O,贝心=tan60°=V3,

2a

：.e=-=卜+容2.

a7a2

四、解答题

17.(2021全国甲,20,12分)抛物线C的顶点为坐标原点焦点在x轴上,直线/:x=l交

C于P,Q两点，且OP，已知点M⑵0),且与/相切.

(1)求C,的方程；

⑵设Ai,A2,A3是C上的三个点,直线AA,A曲均与OM相切.判断直线A2A3与的

位置关系，并说明理由.

解析⑴由题意可设抛物线C的方程为V=2px(p>Q),则P,Q的坐标为(1,士历)，•；

。尸_LOQ,，市•丽=1-20=0,.•.片”.抛物线C的方程为y2K

,.•OM的圆心为(2,0),OM与直线Al相切，；.的半径为1,；.OM的方程为(x-

2)2+/=1.

(2)直线AR3与相切.理由如下：

设Ai(端yo),A2(yf,yi),A3(修以)，

,/直线AIA2,A1A3均与。M相切，

yi#±l,竺#±1,

373

由Ai,A的坐标可得直线AIA的方程为丁-州二；—1(犬-犬),整理，得x-(yo+yi)y+yoyi=O,由

22y。~y1

于直线A1A2与相切，

到直线Am的距离仁/：如加=1,整理得(无-1).赤+2yoy1+3-诏=0,①

Jl+(yo+yi)2八

同理可得，(%-1)%+2yoy2+3-羽=0,②

观察①②,得yi,m是关于x的一元二次方程(羽-l)f+2yox+3-羽=0的两根，

j2°(*)同理,得直线A2A3的方程为x-(yi+y2)y+yiy2=0,

[2=涓・

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|2+^Zo|

则点M（2,0）到直线A2A3的距离优二彳学%,把（*）代入,得=

|2（yg-l）+3-yg^=龙+"=售号=].二直线4^3与OM相切.

J（%T）2+（-2yo）2]羽+2%+1仇+”

22

18.（2020课标II,19,12分）已知椭圆G++标=1（介6>0）的右焦点/与抛物线G的焦

点重合,G的中心与C2的顶点重合.过尸且与x轴垂直的直线交G于A,8两点,交C2于

C,D两点，且|。£>|=引酣

⑴求Ci的离心率；

⑵设M是Ci与C?的公共点.若瞅川=5,求Ci与C2的标准方程.

2

解析⑴由已知可设C2的方程为y=4cx,

其中c=7a2一炉.

不妨设A,C在第一象限，

由题设得A,B的纵坐标分别为纥--;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,

aa

ot）2

^\AB\=—,\CD\=4c.

CL

由ICDlWlABI得4c=字,即3x£=2—2①丫.解得£=2（舍去）或£=1

33aa\ajaa2

所以G的离心率为:

22

（2）由⑴知a=2c,Z?=V3c,故G：弓+3=L

4cz3cz

设M（沏,yo）,则含+券=1,yo=4cxo,故含+空=1.①

由于Q的准线为x=-c,所以照尸|二%（）+（7,

而尸|=5,故%o=5-c,

代入①得智+『=1,

4cz3c

即C2-2C-3=0,解得c=-l（舍去）或c=3.

22

所以G的标准方程为女+黑1,G的标准方程为y2=12x.

22

19.（2023届豫北调研,20）已知椭圆跖邑+3=1（a>6>0）的左、右焦点分别为

azbz

Fi,F2,|FIF2|=2,面积为T的正方形ABCD的顶点都在Mi上.

（1）求Mi的方程；

22

⑵已知尸为椭圆跖：3+与=1上一点,过点P作Ml的两条切线/1和/2,若h,h的斜

率分别为配fe,求证:上府为定值.

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22

解析⑴由椭圆及正方形的对称性,不妨设正方形的一个顶点为A（x,x）,畦+泊,

a2b2

得

a2+b2"

22

,：2x-2x=—,：.^=—,.12ab

777a2+b2

:1②，由①②解得a2=4,b2=3.

22

故所求椭圆方程为9+-=1.

43

22

⑵证明：由⑴得/=4,/=3,则M2的方程为？+《=1,设尸（配,科），

OO

则毛+鲁1,...九=6—那.

22

设过点P与椭圆Mi相切的直线1的方程为广质+。将直线方程与?+?=1联立,消去y

整理得（3+4M）/+8m+4己12=0,

；./=（8公）2-4（3+4^）（4r-12）=0,可得»=3+4合③,

•点P在直线/_t,.,.yo=kxo+t,.t=yo-kxo.^仁州-依）代入③得（yo-届）?=3+4既

整理得（%o-4）3-2日oyo+羽-3=0④.

依题意可知ki,左2为方程④的两根，

-|,即人饱为定值

好T

20.（2022河南安阳联考,21）已知抛物线C:/=29（p＞0）,过点R（2,0）作x轴的垂线交抛

物线C于G,H两点,且OGLOH（。为坐标原点）.

⑴求0

（2）过点Q（2,1）任意作一条不与x轴垂直的直线交抛物线C于A,B两点,直线AR交抛

物线C于不同于点A的另一点M,直线皮?交抛物线C于不同于点B的另一点N.求证：

直线MN过定点.

解析（1）由题意知,|RG=|OR|=2,不妨设G⑵2），代入抛物线C的方程可得p=l.

（2）证明：由⑴知，抛物线C的方程为y2=2x.

设a停，yj，8等为），M俘,火）”停,”）,

则叫==--—.所以直线AB的方程为产2・（X-9）+%,即2%-。1+?）丁+丁1丁2=0.

”y±节y?.71+7271+72\乙）

22

同理直线AM,BN的方程分别为2x-。1+券）丁+”丁3=0,2x-（/+%）y+y2y4=0.

由直线AB过。（2,1）及直线AM,BN过R⑵0）可得4-（6+、2）+%h=0,”乃二＞2'4=-4.

又直线MN的方程为2x-（券+必）y+y3y4=0,即2x+（｝+y+^-^-=0,

所以直线MN的方程为y\yix+2（%+m）＞8=0.

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把4-。什?)+,1)2=0代入yi”x+2(yi+y2)y+8=0,得yiy^+2(yi»+4)y+8=0,即

yiy2(%+2y)+8y+8=0.

由x+2y=0,8y+8=0可得42,y=-l.

所以直线MN过定点(2,-1).

22

21.(2021北京,20,15分)已知椭圆E京+左=1(a>6>0)过点A(0,-2),以四个顶点围成

的四边形面积为4遍.

(1)求椭圆E的标准方程；

⑵过点尸(0,-3)的直线I的斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB交产-3于点

M,直线AC交产-3于点N,若1PM+IPNW15,求k的取值范围.

解析(1)将A(0,-2)代入椭圆方程得尺2,由椭圆四个顶点围成的四边形面积为

2aZ?=4V5,解得a=y/S,

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所以椭圆E的标准方程为？+一=L

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⑵由题意得直线I的方程为y+3=%(x-0),即产履-3,将y=kx-3代入椭圆方程并化简得

(4+5S)P30fct+25=0,由/=(-30%)2-4x25(4+5於)>0,解得k<-l或Q4,设

(7(检,竺)，不妨设点8位于第一象限，点C位于第四象限,如图所示.

则为+彳42,直线AB的方程为上卷=土令产-解得X=-^-,得

2=4+警5/c*2,^2=4+5/C22%+2%i3-0,,3,丫1+2

M(—-二，一3),同理可得N(一二3),.•.『用+|尸,=二+上='呼+2y浮=

171+2)1m+2/71+2为+2(71+2)(72+2)

r,2530k

(k％2-1)+%2-1