2023年中考数学几何模型-几何图形的平移变换（讲+练）（解析版）

专题08几何图形的平移变换

知识点：（1）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的

线段平行且相等

（2）平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）

（3）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化

（4）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等

（5）多次连续平移相当于一次平移

（6）偶数次对称后的图形等于平移后的图形

（7）平移是由方向和距离决定的

题型一、函数图像的平移

例.在平面直角坐标系中，若将抛物线g=2/-4立+3先向右平移3个单位长度，再向上

平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）

A.（-2,3）B.（-1,4）C.（1,4）D.（4,3）

【答案】D

【详解】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加，上下平移只

改变点的纵坐标，下减上加，因此，将抛物线沙=2①2_4,十3先向右平移3个单位长度，

再向上平移2个单位长度，其顶点也同样变换，•••g=2/—4t+3=2（；r—l）2+l的

顶点坐标是（1,I）,

.••点（1,I）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得点（4,3）,即经过

这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（4,3）,故选D.

【变式训练1】在平面直角坐标系中，将抛物线？/=—一/—6向上（下）或向左（右）

平移了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|皿|的最小值为（）

【答案】B

【解析】计算出函数与x轴、y轴的交点，将图象适当运动，即可判断出抛物线移动的距离

及方向：

当x=0时，y=-6,故函数与y轴交于C(0,—6),

当y=0时，X2—x—6=0,解得x=—2或x=3,即A(—2,0).B(3,0),

由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2,

故选B.

【变式训练2】如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D—E上

移动，若点C、D、E的坐标分别为(-1,4)、(3,4)、(3,1),点B的横坐标的最小值

为1,则点A的横坐标的最大值为()

【解析】•••抛物线的点P在折线C-D—E上移动，且点B的横坐标的最小值为1,

观察可知，当点B的横坐标的最小时，点P与点C重合，

VC(-1,4),.•.设当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为0=a0+1)2+4,

B(1,0))，0=a(l+1)'+4,解得a=-1,

当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为y=-O+1)2+4,

•••观察可知，当点A的横坐标的最大时，点P与点E重合，E(3,1),

当点A的横坐标的最大时抛物线的解析式为沙=-Q—3)2+1,

令0=0,即-(工一3)2+1=0,解得立=2或:r=4,

•.•点A在点B的左侧，，此时点A横坐标为2,

...点A的横坐标的最大值为2.

模型二、几何图形的平移

例1.如图，已知△ABC的面积为16,fiC=8.现将AABC沿直线向右平移。个单位到

△DEF的位置.

(1)当。=4时，求ZVIBC所扫过的面积；

(2)连结他、AD,设4?=5,当AWE是以上为一腰的等腰三角形时，求“的值.

【答案】见解析

【详解】（1）设AC与上交于点G,•••他〃£氏，£为3c中点=G为AC中点.

乂丁AD〃EC，；・SAAGD=S“GE川〃I过面积=SAASC+SACO=2S△即0=32.

（2）①当AD=£）E时，a=5.

②当AE=r>E时，取应;中点M，则AW_L3c.,.,52陵=16,gx8CxAM=16.

，；x8xAM=16.，AW=4.在RtZWAffi中，BM=-JAB2-AM2=752-42=3-

此时，a=IBM=6,综上可知，a=5或。=6.

例2.如图所示，在AABC中，ZB=90°,M为AB上的一点，且AM=8C；N为BC上的

一点，且CN=BM.连接4V、CM交于点P,求证：ZAPM=45°.

【答案】见解析

【详解】如图所示，过点。作或〃加4且使CK=M4.连接AK,则4支”为平行四边形,

所以NKCV=NB=90°,CK=AM=BC.

乂因为CN=BM,连接KN,则A/VCK/AM8C,故KN=CM=KA.

而ZMCB=ZNKC,因此ZNKC+ZMCK=ZMCB+2MCK=90°,

则MVLCM,KNX.KA,所以AARV为等腰直角三角形.

因为NK4P=45。，故NAPM=NK4P=45。.

【变式训练1】如图，将AABC沿BC方向平移得到ADEF,若NB=90。，AB=6,BC=8,

【答案】10.5

【详解】:△ABC沿BC方向平移得到AAEF,；.DE=AB=6,

VDH=1.5,/.HE=DE-DH=6-1.5=4.5,

ZB=90°,四边形ABEH是梯形，Swas—S&DEF-SACKH-SAABC—SACEH-Sw®ABEH

••・s阴影=J(48+HE)-BE=1x(6+4.5)X2=10.5.

【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线9=-3/+3与①轴、沙轴分别交于A、

B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD,点D在双曲线g=&(卜/0)上，将正方

3

形沿工轴负方向平移a个单位长度后,点C恰好在该双曲线上，请求出a的值?

【答案】2

【解析】如图，作CE_Ly轴于点E,交双曲线于点G,作DFJ_7轴丁点F.

在沙=-3立+3中，令立=0,解得沙=3,「.3(0,3),令沙=0,解得4=1,「.4(1,0),

则OB=3,OA=1,

；/BAD=90°,ZBAO+/DAF=90°,

又；NBAO+NOBA=90。，NFAD=NOBA,

在RtZ\OAB与RtZXFDA中，ZOBA=ZFAD,ZAOB=ZDFA,AB=AD,.,.△OAB^A

FDA(AAS)

同理可得△OABgZkFDA畛△BEC,AF=OB=EC=3,DF=OA=BE=1,.*.OF=OE=

4,

4

，D(4,1),将点D的坐标代入反比例函数解析式中，解得k=4,即"=7，

4

由0E=4可以得到C的纵坐标为4,将沙=4代入〃=一中，得/=1,即G(l,4),

x

；.CG=2,即将正方形沿立轴负方向平移2个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上.

【变式训练3］已知NAfiC=90。，。是直线AB上的点，AD=BC.

(1)如图1,过点A作AFL4?，并截取=连接DC、DF、CF,判断人8F

的形状并证明：

(2)如图2,E是直线8C上的一点，直线他、ZX?相交于点£),ZAPD=45。,求证：

BD=CE.

图1却

【答案】见解析

【答案】（1）△€■£＞尸是等腰直角三角形.

证明：VZABC=90°,AF1,AB-：.ZFAD=ZDBC.

VAD=BC,AF=BD，A.FAD=/\DBC.：.FD=DC.Z1=Z2.

VZl+Z3=90°.AZ2+Z3=90°.即NCD尸=90°.

/.△€»尸是等腰宜角三角形.

（2）过点A作AFLAfi，并截取AF=8O，连接£）尸、CF.

VZABC=90°,AFA,AB,ZFAD=ADBC.

'：AD=BC,AF=BD，/^FAD=/\DBC.：.FD=DC,Z1=Z2.

：Zl+Z3=90°,；.Z2+Z3=90°.即ZCDF=90°.

：.ACDF是等腰直角三角形.NFCD=ZAPD=45°.FC//AE.

VZABC=90°,AF^AB,：.AF//CE.四边形AFCE是平行四边形.，AF=CE.

BD=CE.

【变式训练4】如图1,已知菱形ABCD的边长为26，点A在x轴负半轴上，点B在坐

标原点.点D的坐标为（-G，3）,抛物线y=ax?+b（a/0）经过AB、CD两边的中点.

（I）求这条抛物线的函数解析式；

（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2）,过点B

作BE_LCD于点E,交抛物线于点F,连接DF、AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒（0

<t<3）

①是否存在这样的t,使4ADF与4DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理

由；

②连接FC,以点F为旋转中心，将aFEC按顺时针方向旋转180。，得△FEC,当△FE，C

落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围.（写

出答案即可）

【答案】（1）y=-x?+3；（2）①存在t=l,使4ADF与4DEF相似，②后-半

【解析】（1）由题意得AB的中点坐标为（-3,0）,CD的中点坐标为（0,3）.

分别代入丫=2*?+3得]（一3]a+b=0,解得，,

b=32=3

这条抛物线的函数解析式为y=-x?+3；

（2）①存在，如图2所示，在RtZ\BCE中，ZBEC=90°,BE=3,BC=2石，

DCq1

•*.sinC==—产二—,；・NC=60°，/CBE=30°，>'•EC——BC=y/3,DE=>/3，

BC27322

又VADaBC,.,.ZADC+ZC=180°,AZADC=180°-60°=120°

要使4ADF与ADEF相似，则4ADF中必有一个角为直角，

(I)若/ADF=90。，ZEDF=120°-90°=30°,在RtZ\DEF中，DE=退，得EF=1,DF

又；E(t,3),F(t,-t2+3),.'.EF=3-(T+3)=t2,.*.t2=l,

Vt>0,；.t=l,此时处=¥=2,三=2=2,/.—,又•；NADF=NDEF,

DEV3EF1DEEF

.,.△ADF^ADEF,

(ID若/DFA=90。，可证得△DEFS/\FBA,则一=——，设EF=m,则FB=3-m,

FBBA

...I邑=jp产，即m2-3m+6=0,此方程无实数根，.•.此时l不存在，

3—m2V3

(III)由题意得,ZDAF<ZDAB=60°,/.ZDAF/9O0,此时t不存在，

综上所述，存在t=l,使4ADF与4DEF相似，

@V6'-/3<t<—.

2

课后训练

1.如图，在^ABC中，/AVB=90。，AB=8,D是AB的中点，现将ABCD沿BA方向平

移1个单位，得到△EFG,FG交AC于H,则GH的长等于.

【解析】I•在AABC中，ZACB=90°,AB=8,点D是AB的中点,

1

・・AD=BD=CD=—AB=4,

又•••△EFG由aBCD沿BA方向平移1个单位得到的,

，GH〃CD,GD=1,/.△AGH^AADC,

GHAGGH4-1回归

AO'即丁=解得GH=3.

2.如图，把抛物线y=；x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,

0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y='x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为.

27

【解答】T

【解析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过

点P作PM±y轴于点M,根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面

积，然后求解即可:

过点P作PMJ_y轴于点M,设PQ交x轴于点N,

•••抛物线平移后经过原点O和点A(-6,0),...平移后的抛物线对称轴为x=-3,

.•.平移后的二次函数解析式为：y=g(x+3)2+h,

1oo

将(-6,0)代入得出：0=-(-6+3)2+h,解得：h=--，，点P的坐标是(3,--),

222

根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积,

927

/.S=3x

22

3.如图，ZAPB=30°,圆心在边PB上的。O半径为1cm,0P=3cm,若。O沿BP方向移动,

当。O与PA相切时，圆心O移动的距离为cm.

【解答】1或5

【解析】如图，设。O移动到。Oi，002位置时与PA相切，

当。0移动到。0|时，ZO|DP=90°,VZAPB=30°,0iD=l,.\POi=2,V0P=3,.\00i=l,

()

当。O移动到。。2时，ZO2EP=90,VZAPB=30°,O2D=1,AZO2PE=30°,PO2=2,

：0P=3,，00|=5,综上所述，当。O与PA相切时，圆心0移动的距离为1cm或5cm.

4.如图，将等边4ABC沿BC方向平移得到△AiBCi.若BC=3,SAPBlC=＞则BBI

【解析】由等边4ABC中BC=3可求得高为竽,面积为?3.竽=竽,

.S&PB、CB,c\

由平移的性质，得△ABCsaPBiC,•

S&ABCBC)

BC=2,

，BBi=BC-BiC=l.

5.如图，ZAPB=30°,圆心在边PB上的。O半径为1cm,OP=3cm,若。O沿BP方向移动,

当。。与PA相切时，圆心O移动的距离为cm.

【解答】1或5

【解析】如图，设。。移动到。Oi，位置时与PA相切,

当。O移动到OOi时，ZOiDP=90°,VZAPB=30°,O|D=1,，POi=2,

；OP=3,.,.OOi=l,

当。O移动到时，ZO2EP=90°,VZAPB=30°,O2D=1,AZO2PE=30°,PO2=2,

；OP=3,OOi=5,

综上所述，当③。与PA相切时，圆心0移动的距离为1cm或5cm.

6.如图，将等边AABC沿BC方向平移得到△AiBCi.若BC=3,，则BB〕

【解答】1

【解析】由等边△ABC中BC=3可求得高为一--，面积为5•3•---=--z—，

由平移的性质，得△ABCs^PBC,.•.声6=(萼口2,即点=(¥):得

JI\ABC\/9"3\3/

B,C=2,

•,.BBi=BC-B|C=l.

7.在△ABC中，AB=AC,NA=30。，将线段8c绕点8逆时针旋转60。得到线段如，再

将线段BD平移到砂，使点E在上，点F在AC上.

(1)如图1,直接写出和NC/话的度数；

(2)在图1中，证明：AE=CF-,

(3)如图2,连接CE,判断AC即的形状并加以证明.

【答案】（1）ZABD=\50,ZCFE=45°.

（2）证明：连结8、DF.

•.•线段BC绕点5逆时针旋转60。得到线段BD，：.BD=BC,NCBZ）=60。.

ABCD是等边三角形.；.CD=BD.

,/线段BD平移到EF，,EF//BD.EF=BD.

；•西边形石是平行四边形，EF=CD.

'：AB=AC,ZA=30°,AZABC=ZACB=75°.

：.ZABD=ZABC-ACBD=\50=ZACD

：.ZDFE=ZABD=\5°,ZAEF=ZABD=\5°.：,ZAEF=ZACD=150.

,/NBE=ZA+ZA£F=300+15°=45°,

ZCFD=NCFE-NDFE=45。—15。=30°.ZA=ZCFD=30°.

AAEF三△尸CD.:.AE=CF.

（3）解：△€?£尸是等腰直角三角形.

证明：过点E作EGLCFfG,

•:ZCFE=45°,・,・ZfEG=45°.:.EG=FG.

,/ZA=30°,ZAGE=90°,/.EG=-AE.

2

VAE=CF,：.EG=-CF.：.FG=-CF.；.G为CF的中点.，EG为C尸的垂直平分

22

线.

:.EF=EC.：.Z.CEF=2Z.FEG=90°..,.△口，/是等腰直角三角形.

8.如图①,已知抛物线y=ax2+bx(a/))经过A(3,0)、B(4,4)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m

的值及点D的坐标；

(3)如图②，若点N在抛物线上，且/NBO=NA,BO,则在(2)的条件下，求出所有满足

△PODs^NOB的点P的坐标(点P、O,D分别与点N、0、.B对应).

345\„45

【答案】(1)y=x2-3x；(2)D点坐标为(2,-2)；(3)点P的坐标是-8,-32/^(32,

8)

【解析】(1)；抛物线y=ax2+bx(a/0)经过点A(3,0)、B(4,4).解得

抛物线的解析式是y=x