2023-2024学年青海省西宁市九年级（上）期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年青海省西宁市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列四个图形中，是中心对称图形的是（）

A.B.

2.对于任意实数匕关于％的一元二次方程/一丘-1=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.无实数根

C.有两个相等的实数根D.无法确定

3.下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（）

A.黄河入海流B.大漠孤烟直C.手可摘星辰D.红豆生南国

4.在平面直角坐标系中，把点P（-3,2）绕原点。旋转180。后，所得到的对应点P'的坐标为（）

A.(3,2)B.(2,-3)C.(—3,—2)D.(3,-2)

5.如图,O。的半径为8,直角三角板30。角的顶点a落在O。上，两边与。。分别

交于8,C两点，则弦BC的长为（）

A.4

B.4<2

C.8

D.4AA3

6.如图,O。的弦力B垂直于CD,点E为垂足，连接OE.若力E=1,AB=CD=6,贝UOE

的值是（)

A.2AA2

B.3<2

C.472

D.5/2

7.如图,在A/IBC中，乙48c=150。，AB=1,BC=3,将△ABC绕点C逆时针旋转A

得到连接88',若以点A为圆心，AM长为半径的圆与BB'相切，则下列结

论错误的是（）

A.AA'B'B=90°

B.^ACA'=60°

C.△CBB'是等边三角形

D.A'B=2/2

8.抛物线y=a(久一2尸+k经过点4(5,0),且a<0,下列结论正确的是()

A.当x<2时，y随久的增大而减小

B.抛物线与y轴的交点坐标是(0,fc)

C.4a+k>0

D.函数值y<0口寸，自变量x的取值范围是—1<%<5

二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

9.正六边形的中心角是.

10.已知关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一个根是0,则a的值为.

11.八年级(1)班有40位同学，他们的学号是1-40,随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的

学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35淇中，发生可能性最小的事件为(填

序号).

12.关于x的一元二次方程久2一6久+c=0的两根分别为/=1,%2=-2，则b的值是.

13.将抛物线y=2/向右平移3个单位长度后得到的抛物线表达式为.

14.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图.已知抛物线的函数表达式为y=

-^x2+10,为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯，则这

两盏灯的水平距离EF是米.

15.某小区新增了一家快递店，每天的揽件数逐日上升，第一天揽件100件，第三天揽件144件，则该快递

店揽件的日平均增长率为.

16.如图，从一块直径是27n的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90。的扇形，再将剪下A

来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是m.

17.如图，乙4BC=70。，。为射线8C上一点，以点。为圆心，长为半径作圆.将

射线82绕点B顺时针旋转，使射线与。。相切，则旋转角的度数是.

18.如图，正方形208C的边。8,。4分别在x轴和y轴上，点4(0,4),点。(4,3)在BC

边上，将以点力为旋转中心，顺时针旋转90。得到△40。'，4M平分AD4D'交

OB于点M,则点M的坐标是.

三、解答题：本题共9小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题4分)

解方程：2/—4%=3-8%.

20.(本小题7分)

如图，在平面直角坐标系中，点2(3,3),C(0,-l).

(1)作出△4BC关于原点对称的小力/1。1；

(2)作出△4BC绕点C逆时针旋转90。后的△4B2C；

(3)点8的对应点4的坐标为.

21.（本小题7分）

双十一期间，某商场为了吸引顾客，一次购物满500元可获得一次转转盘抽奖金的机会.如图是一个可以自

由转动的转盘（转盘被等分成4个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向（指向分界线时重转，直到指向某

一扇形为止），参照如表获得对应的奖金.

颜色白色蓝色黄色红色

奖金（元）10205080

（1）甲顾客一次购物300元，他获得奖金的概率是；

（2）乙顾客一次购物1100元，可参加两次转转盘抽奖金的机会，请用列表法或画树状图的方法求乙顾客两

次共获得100元奖金的概率，并列出所有等可能的情况.

22.（本小题7分）

如图，A/IBC中，=90°,AB=5cm,BC=6cm,点P从点2开始沿AB向点B以lcm/s的速度移动，同

时点Q从点B开始沿BC向点C以2on/s的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止运动，经过多长时间

△PBQ的面积是4。62?

23.(本小题7分)

物理课上我们学习了物体的竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度y(单位：爪)与小球运

动的时间穴单位：s)之间的函数图象是如图所示的抛物线.

(1)小球从抛出到落地经过的路程是m；

(2)求y与尤(0<%<6)之间的函数关系式.

24.(本小题7分)

某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为60元,通过调查发现，若每箱降价1元，每天可

多售出2箱.

(1)若将这种饮料每箱降价x元，每天可售出______箱；(用含x的代数式表示)

(2)如果要使每天销售饮料的利润w(元)最大，每箱应降价多少元？最大利润是多少？

25.(本小题7分)

如图，ATIBC为等腰三角形，点。是底边BC的中点，腰2B与O。相切于点。.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)若NB4C=120°,AD=，多求图中阴影部分的面积.

A

D

26.(本小题8分)

在学习了胭》以后，我们发现作辅助圆，利用圆的基本性质可以帮助我们解决一些求角度的问题.

例：如图①，在AaBC中，^BAC=90°,AB=AC,点D是△4BC外一点，S.AD=AC,求NBDC的度

数.

(将下列解题过程补充完整)

(1)1?：以点a为圆心，48长为半径作04

7AB=AC,AD=AC,

C,。两点都在上.

BC=BC，^BAC=90°,

.­.乙BDC=°().

【初步应用】

(2)如图②，在四边形4BCD中，ABAD=Z.BCD=90°,NBDC=24。，求NBAC的度数.

【方法迁移】

(3)如图③，已知线段4B和直线/,在直线I上求作一点P,使NAPB=30°,用直尺和圆规在I上作出所有符

合条件的点P.(不写作法，保留作图痕迹)

图①图②图③

27.(本小题10分)

如图，抛物线y=a/+b久一3与％轴交于4(一1,0),B(3,0)两点，点C为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求抛物线的顶点C的坐标，并直接写出抛物线在直线下方时自变量x的取值范围；

(3)过4B两点的OM与抛物线在第一象限交于点D,且NDMB=90。，求点M的坐标.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4图形不是中心对称图形，不符合题意；

8图形是中心对称图形，符合题意；

C.图形不是中心对称图形，不符合题意；

D图形不是中心对称图形，不符合题意；

故选：B.

根据中心对称图形的定义：平面内一个图形绕某点旋转180。后与初始图形重合，这个图形叫做中心对称图

形；对所给选项进行判断即可得解.

此题考查中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答此题的关键.

2.【答案】A

【解析】解：•••4=(-fc)2-4x1x(-1)

=fc2+4>0,

••.方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

先计算根的判别式的值得到4=/+4,根据非负数的性质得到4>0,然后根据根的判别式的意义判断方

程根的情况.

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax?+治；+c=0(a力0)的根与4=炉一4四有如下关系：当/〉。

时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当4<0时，方程无实数根.

3.【答案】C

【解析】解：4“黄河入海流”是必然事件，因此选项A不符合题意；

A”大漠孤烟直”是随机事件，因此选项2不符合题意；

C.“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项C符合题意；

D“红豆生南国”是必然事件，因此选项。不符合题意；

故选：C.

根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可.

本题考查必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是正确判断的

前提.

4.【答案】D

【解析】解:根据题意得，点P关于原点的对称点是点P',

P点坐标为(-3,2),

.・.点P'的坐标(3,—2).

故选：D.

将点P绕原点。顺时针旋转180。，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标.

本题考查了坐标与图形的变换-旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：如图所示，连接。C,OB,

BC=BC，zX=30°,[ZS

.­•乙COB=2"=60°,\、

又•：OC=OB=8,

•l'A0cB是等边三角形，

BC=8,

故选：C.

连接。C,OB,根据圆周角定理得出NCOB=2/2=60。，继而得出△OCB是等边三角形，即可求解.

本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆

心角的一半是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：过。点作OH14B于H点，OF1CD于尸点，连接。8、0C,如图，则DF=彳:

CF="=3,AH=BH=^AB=3,(与炉

A\FH~/E

■.AE=1,D--

EH=AH-AE=2,

在RtAOBH^RtAOCF中，

(OB=OC

iBH=CF'

•••Rt△OBH=RtAOCF(HL),

OH=OF,

CD1AB,

・•・乙HEF=90°,

•••Z.OHE=乙OFE=90°,

.•.四边形。为正方形，

OE=y[2EH=242.

故选：A.

过。点作。H1AB于H点，。尸，CD于F点，连接。B、OC,如图，先根据垂径定理得到DF=CF=3,

AH=BH=3,则£7/=2,再证明Rt△OBHmRt△OCT得至I]。//=OF,然后证明四边形。HEF为正方形，

从而得到。E=

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

7.【答案】D

【解析】解:•••以点4为圆心，4B'长为半径的圆与BB'相切，

A'B'1BB',

NAB'B=90。，所以a选项不符合题意；

•■•A4BC绕点C逆时针旋转得到△4B'C,

•••CA=CA',CB=CB'=3,A'B'=AB=1,^ACA'=乙BCB',AA'B'C=^ABC=150°,

.­.ACB'B=WB'C-乙A'B'B=150°-90°=60°,

；.△C8B'为等边三角形，所以C选项不符合题意，

.­.BB'=CB=3,Z.BCB'=60°,

^ACA'=60°,所以B选项不符合题意；

在RtAA'B'B中，A'B=A'B'2+BB'2=VI2+32=710-所以。选项符合题意.

故选：D.

先根据切线的性质得到AB'IBB',则可对力选项进行判断；再根据旋转的性质得到CA=C4,CB=

CB'=3,A'B'=AB=1,/.ACA'=乙BCB',乙A'B'C=乙ABC=150°,则可计算出NCB'B=60°,于是可

判断△CBB'为等边三角形，则可对C选项进行判断；接着根据等边三角形的性质得到BB'=CB=3,

Z.BCB'=60°,所以乙4cA=60°,于是可对8选项进行判断；然后在&△中利用勾股定理计算出

A'B,从而可对D选项进行判断.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理

和旋转的性质.

8.【答案】C

【解析】解：y=a(x-2)2+匕且a<0,

.,・当x<2时，y随x的增大而增大，

故A错误；

令x=0,贝！Jy=4a+fc,

.,.抛物线与y轴的交点坐标是(0,4a+k),

故2错误；

抛物线y=a(x-2)2+k经过点2(5,0),

9a+fc=0,

4a+k=—5a,

a<0,

4a+fc>0,

故C正确；

•••抛物线经过(5,0),对称轴为直线x=2,

••・抛物线与x轴的另一交点为(-1,0),

•••抛物线开口向下，

.•・函数值y<0时，自变量x的取值范围是尤>5或比<一1,

故。错误.

故选：C.

根据抛物线开口向下，对称轴为直线％=2,由函数的性质可以判断4令x=0,求出y,即可得出抛物线

与y轴的交点坐标，从而可以判断8；根据抛物线经过点4(5,0)得出9a+k=0,再根据a<0,从而可以判

断C；根据抛物线与x轴的交点以及函数的性质可以判断，

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，解答此题的关键熟练掌握二次函数

的对称轴、与x轴的交点，函数的增减性.

9.【答案】60°

【解析】解：正六边形的中心角是：360°4-6=60°.

故答案为：60°.

根据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：360。+6=60°.

此题考查了正多边形的中心角.此题比较简单，注意准确掌握定义是关键.

10.【答案】-2

【解析】解：把0代入方程有：

a2-4=0,

a2=4,

•••a=+2；

。-2W0,

•••a=-2,

故答案为：—2.

方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方

程，从而求得a的值.

本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值.根据根与系数的关系，由

两根之和可以求出方程的另一个根.

11.【答案】③

【解析】解：①抽到的学号是奇数的可能性为案=全

②抽到的学号是个位数的可能性为。；

③抽到的学号不小于35的可能性为亮=畀

391

<<

2-

2050

・•.发生可能性最小的事件为为③.

故答案为：③.

分别求出3个事件的概率即可求解.

本题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之

比.

12.【答案】—1

【解析】解：•.・关于X的一元二次方程久2-+C=0的两根分别为=1,x2——2,

■•■%1+%2=/)=1­2=-1,

b=-1.

故答案为：-1.

由关于工的一元二次方程/-bx+c=0的两根分别为/=1,不=-2,利用根与系数的关系，即可求得

b的值.

此题考查了根与系数的关系.此题比较简单，注意掌握若二次项系数为1,%1，%2是方程/+px+q=O

的两根时,则％]+久2=_mxlx2=Q.

13.【答案】y=2(x—3)2

【解析】解：将抛物线y=2/向右平移3个单位长度后得到的抛物线表达式为：y=2(%-3)2,

故答案为：y=2(%—3)2.

根据“左加右减”的原则进行解答即可.

此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.

14.【答案】8A/-5

【解析】解：令y=8,即丫=一白％2+1。=8,

4U

解得：x=+4V-5，

・•・EF=4/5-(-4<5)=84.

令y=8,即y=+io=8,求出无值，进而求解.

4(J

本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是弄懂题意，该题比较简单.

15.【答案】20%

【解析】解：设该快递店揽件的日平均增长率为X,

根据题意得：100(1+久/=144,

解得：%1=0.2=20%,%2=一2.2(不符合题意，舍去)，

•••该快递店揽件的日平均增长率为20%.

故答案为：20%.

设该快递店揽件的日平均增长率为x,利用该快递店第三天的揽件数量=该快递店第一天的揽件数量X(1+

该快递店揽件的日平均增长率)2,可列出关于X的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结

论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

16.【答案】，

4

【解析】解：:BC=2m,ABAC=90°,

•••AB—

设圆锥的底面圆的半径为rm,

根据题意得2w=驾著，

180

解得丁=

4

即圆锥的底面圆的半径为WTH.

4

故答案为：C.

4

先利用等腰直角三角形的性质得到4B=，1根，设圆锥的底面圆的半径为rm,利用弧长公式得到2“=

当萨,然后解方程即可・

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径

等于圆锥的母线长.

17.【答案】40°或100°

【解析】解：如图:

①当B4与。。相切，且B4'位于BC上方时，设切点为P,连接。P,贝吐。PB=

90°,

RtAOPB中，OB=20P,

乙A'BO=30°,

•••/.ABC=70°,

^ABA'=40°；

②当B4与。。相切，且B4位于BC下方时,

同①，可求得N&B。=30°；

此时乙484'=70°+30°=100°,

故旋转角a的度数为40。或100。.

故答案为：40。或100。.

当BA与。。相切时，可连接圆心与切点，通过构建直角三角形，求出N&B。的度数，然后再根据B4的不

同位置分类讨论.

此题主要考查的是切线的性质以及旋转的性质，需注意切线的位置有两种情况，不要漏解.

18.【答案】(2.4,0)

【解析】解：连接DM,

•.・将△"D以点4为旋转中心，顺时针旋转90。得到△AOD',

AD'=AD,D'O=CD,

•••AM平分ND4D'交。B于点M,

.­•4D'AM=/.DAM,

■.AM=AM,

.­.AD'AM=ADAM,

D'M=DM,

•・•点力(0,4),点D(4,3),四边形力。BC是正方形，

OA=BC=4,BD=3,CD=1,

设OM=x,则D'M=DM=l+x,BM=4—x,

DM2=BM2+BD2,

(1+%)2=32+(4—x)2,

解得x=2.4,

M的坐标为(2.4,0),

故答案为：(2.4,0).

连接DM,证明△D'AM^ADAM,得出D'M=DM,设。M=x,则D'M=DM=l+x,然后根据勾股定理

即可解答.

本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键.

19.【答案】解：2久2—4%=3—8x,

整理得：2/+4%=3,

x2+2x=|,

配方，得久2+2%+1=,+1,

(%+I)2=|，

开方得：％+1=±5

解得：=笞型，%2=弓包

【解析】整理后方程两边除以2,再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可.

本题考查了解一元一次方程，能正确配方得出。+1)2=|是解此题的关键.

20.【答案】(-1,3)

【解析】解：（1）如图，△&B1G即为所求.

（2）如图，A&B2c即为所求.

（3）点8的对应点B2的坐标为（—1,3）.

故答案为：（-1,3）.

（1）根据中心对称的性质作图即可.

（2）根据旋转的性质作图即可.

（3）由图可得答案.

本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键.

21.【答案】0

【解析】解：（1）300元＜500元，

•••甲顾客不能获得转转盘抽奖金的机会，

・•.他获得奖金的概率是0.

故答案为：0.

（2）列表如下：

白蓝黄红

白（白，白）（白，蓝）（白，黄）（白，红）

蓝（蓝，白）（蓝，蓝）（蓝，黄）（蓝，红）

黄（黄，白）（黄，蓝）（黄，黄）（黄，红）

红（红，白）（红，蓝）（红，黄）（红，红）

由表格可知，共有16种等可能的结果，获得的奖金分别为：20元，30元，60元，90元，30元，40元，70

元，100元，60元，70元，100元，130元，90元，100元，130元，160元.

其中乙顾客两次共获得100元奖金的结果有：（蓝，红），（黄，黄），（红，蓝），共3种，

•••乙顾客两次共获得100元奖金的概率为白.

1O

(1)由题意可知，甲顾客不能获得转转盘抽奖金的机会，则他获得奖金的概率是0.

(2)列表得出所有等可能的结果数以及乙顾客两次共获得100元奖金的结果数，再利用概率公式可得出答

案.

本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

22.【答案】解：5+l=5(s),6+2=3(s).

当运动时间为t(0<t<3)时，AP=tcm,BP=(5—t)cm,BQ=2tcm,

1

2-BP-BQ=4,

1

2-:=4,

整理得：t2-5t+4=0,

解得：q=1,t2=4(不符合题意，舍去).

答：经过Is△PBQ的面积是4cm2.

【解析】当运动时间为t(0WtW3)时，FP=(5-t)cm,BQ=2tcm,根据△PBQ的面积是4sH2,可列

出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

23.【答案】80

【解析】解：(1)由图象知小球在空中经过的路程是40x2=80m.

故答案为：80.

(2)由题意，设函数解析式为：h=a(t—3/+40,

又图象过(0,0),

•••a(0-3)2+40=0.

解得：a=

40c

/i=-y(t-3)2+40.

(1)依据题意，由图象知小球在空中经过的路程是40x2=80小，进而得解；

(2)依据题意，设函数解析式为：h=a(t-3)2+40,又图象过(0,0),从而列式计算可以得解.

本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键.

24.【答案】(100+2%)

【解析】解：(1)由题意可得，若将这种饮料每箱降价万元，每天可售出(100+2久)箱.

故答案为：(100+2%).

(2)由题意得，设每箱应降价x元，

二每天销售饮料的利润w=(60-%)(100+2x)=-2x2+20%+6000.

w=-2x2+20x+6000=—2(x—5)2+6050,

.•.当x=5时，w取得最大值，此时w=6050.

答:要使每天销售饮料的利润w(元)最大，每箱应降价5元，最大利润是6050.

(1)依据题意，由销量与降价的关系列式可以得解；

(2)依据题意，设每箱应降价万元，再将w与x的函数关系式化为顶点式，即可解答本题.

本题主要考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想

解答.

25.【答案】(1)证明：过点。作。E14C于点E,连接。D,OA,

•••2B与。。相切于点。，

4B1OD,

•••△ABC为等腰三角形，。是底边BC的中点，

4。是NBAC的平分线，Br__oJ-

OE=OD,即。E是。。的半径，

•••AC经过O。的半径。E的外端点且垂直于OE,

•・•4C是。0的切线；

(2)解：•••ABAC=120°,AD=<3,

.­•乙BAO=CAO=60°,

ZXOD=/-AOE=30。，

OA=2AD=2<3,

OD=OE=3,

OB=OC=6,

BC=2OC=12,

...CE=BD=3<3,

S阴影=ABC_S^BDO_S&ECO_S^DOE

7

1tcce1cce1c3e607rx3

=-x12x2V3_-x3x3V3--x3x3V3-----

ZZZooU

=1273-9AA3-y

=40-*

【解析】(1)过点。作。E12C于点E，连接。。，0A,根据等腰三角形的性质，证得2。平分NB4C,根据角

平分线的性质，即可证得0D=0E,即可证明4c是切线；

(2)根据阴影部分的面积=△ABC的面积-△0BD的面积-△0CE的面积一扇形DOE的面积，计算即可.

本题主要考查了切线的性质和判断、等腰三角形的性质、扇形的面积公式的综合运用.熟练掌握证明切线

的方法是解决此类问题的关键，证明切线的方法：连半径，证垂直；作垂直，正半径.

26.【答案】45一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

【解析】解：(1)以点4为圆心，48长为半径作04,如图，

AB=AC,AD=AC,

C,。两点都在O2上.

BC=BC，Z-BAC=90°,

^BDC=45。(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半).

故答案为：45；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;

(2)•••4BAD=4BCD=90°,

.­.4BAD+乙BCD=180°,

A,B,C,。四点在以BD为直径的圆上，

以BD为直径作出。0,如图，

.­./.BAC=KBDC=24°.

(3)①作出线段4