2024届河北省石家庄市高三年级上册教学质量摸底检测数学试卷及答案

石家庄市2024届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测

数学

(时间120分钟，满分150分)

注意事项：

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答

案一律无效。不得用规定以外的笔和纸答题,不得在答题卡上做任何标记。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={x[04x<2},则408=

A.{0,1,2}B.{0,1}({-1,0,1,2}D.{-1,0,1}

2.已知复数z=:=,则彳=

1+21

21.„21.「12.12.

A.------1B.—1—1C■・------1Dn.—I—i

55555555

3.函数/(x)=sinxlnx2的图象大致为

i■,

-1-2Z1oK/i2-3-223^

二；\:

A.B.C.D.

4.已知向量。，4c满足同=J值,|b|=|c|=l,a+2b+3c=0,则=

1D百

A.0B.-C,—u.----

242

5.已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为

A.4兀B.8兀C.12nD.20n

6.已知数列(4)是等比数列，S.为其前〃项和，若q+,i2+a3=3,aA+as+a6=9,则Sn=

A.27B.39C81D.120

高三数学第1页(共4页)

7.巳知动点”到两个定点0(0,0),4(4,0)的距离之比为;，过点M作圆0:卜_3+('-3)'=4的切线，

切点为P,则|g|的最小值为

A.当B.45C.2D.-

222

8.已知tan(a+0,tan(a-p)是方程x、4x-3=0的两个实数根，贝IJ也生=

cos2夕

A.-2B.-1C.—D,2

3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是

A.y=x*B.y=2|x|C.y=x+—D.y=x~—

XX

10.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是

A.若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种

B.若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种

C.若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种

D.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种

11.已知一组样本数据x,(i=1,2,3,…,20),其中巧［=1,2,3,…,20)为正实数.满足再4。454…45。，下

列说法正确的是

A.样本数据的第50百分位数为再。

B.去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变

C.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数

120

D.样本数据的方差S2=-!-之＞；-16,则这组样本数据的总和等于80

20tr

12.已知正方体相8-48。山，直线均。।在平面a内，M,N分别是棱义与，CD上的两点，满足

AxM=2MBitCN=2ND,则下列说法正确的是

A.3M7/平面4D|N

B.异面直线AN与CD,所成角的余弦值为

C.三棱锥环的体积与三棱锥NdCR的体积之比为5：2

D.直线工坊与平面a所成角最大时，C?与平面a所成角的正弦值为季

6

高三数学第2页(共4页)

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（第16小题的第一个空2分，第二个空3分）.

13.（l-Zt尸的展开式中『的系数为

14.已知函数/（力=2""2.）XG,若函数/（x）的值域为［刊，贝%+".

15.已知E（0,+00）,且满足2x+4y-xy=0,则2x+y的最小值为.

16.综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜简可

以很短而观察天体运动又很清楚.例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为72cm的反射式望远镜，

其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示.其中，一个反射镜MOW弧所在的曲线为双曲线4的

一个分支，另一个反射镜P。©弧所在的曲线为抛物线8.已知昂玛是双曲线的两个焦点，且关于点。

对称，其中玛同时又是抛物线的焦点，若尺寸满足q玛=73cm,。出=72cm,O,F,=1cm,则双曲线

A的方程为抛物线B的方程为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知数列｛4｝为等差数列，S”为｛4｝的前〃项和，％=5,与=64.

（I）求数列｛.｝的通项公式；

（n）设数列｛」一｝的前〃项和为rn,求证：T„<~.

取“2

18.（本小题满分12分）

在△ZBC中，已知N/LBC=150。，AB=4,BC=2区

（I）求sinZ5/C;

（H）若。为/C上一点，且48。=90。,求△88的面积.

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19.(本小题满分12分)

如图.在三极锥尸一/BC中，PCJ.平而/8C,AB=BC=-PC=2,PA=246.

2

(I)求证：［〃，平而。8(：;

(n)若M是的中点，求CM与平面所成角的余弦值.

20.(本小题满分12分)

某单位组织“乡村振兴”知识竞赛，有甲、乙两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类

并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该选手比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随

机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分.

否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分.巳知选手张某能正确回答甲类问题

的概率为0.9,能正确回答乙类问题的概率为07且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

(I)若选甲、乙两类问题是等可能的，求张某至少答对一道问题的概率；

(D)如果答题顺序由张某选择，以累计得分多为决策依据，说明张某应选择先回答哪类问题.

21.(本小题满分12分)

已知椭圆E经过8(0,2)两点.

(I)求椭圆E的标准方程；

(D)设过点C(0,-4)且斜率为4的直线交E于不同的两点M,N,过点“且斜率为-2的直线与直线

»=-1交于点0,延长线段M0到点使得|同。|=|。冏，证明：直线枷与直线)，=-1交点为定点•

22.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=ac，T-Q-0)x(a>0).

(I)讨论函数/(x)的单调性；

(H)已知函数g(x)=/(D+lnx-x-。，若函数g(x)有三个极值点，求g(x)的所有极值之和的取

X

值范围.

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石家庄市2024届高中毕业年级教学质量摸底检测

（数学答案）

（一、-）选择题

123456789101112

BACBCDADABDBDBCDAC

(三)填空题

13.-16014.2-73

22

15.1816.—.........匕=1,/=292(%+

1225144

（四）解答题（阅卷过程中发现的其他解法参照本答案的评分细则，教研组研讨决定）

17.【解析】（1）设等差数列的公差为d,

%+2d=5

%=5

由＜，可得《.....................................................................2分

应=648x7,..

8oaH-------d=64

12

%=1

解得《......................................................................4分

d=2

所以％=2〃-1,...........................................................................5分

1(2)因为=--------------——(--------------)

anan+i(2n-l)(2n+l)22n-l2〃+l

所以北=」(1—』+』一'+J—』+•.•+1

2〃+l?.........................................................................7分

2335572n—l

一(1----------).........................................................................9分

22n+l

因为“eN*，所以《（1——；）＜:，即北＜1

......................................................................10分

22n+l22

18.【解析】（1）由余弦定理可得:

AC?=/="+。2—2accos5=16+12—2x4x2/xcosl50°=52.

则AC=2V13，.........................................................................2分

又因为工bm2732V13

,即-----------------.........................................................................4分

smAsin5sinAsin150°

所以........................................5分

26

（2）因为sin/A4C=亘，所以cos/B4C=辿3

2626

从而tan/BAC=——，.............................................7分

7

在RtAABZ）中，BD=ABtanZBAC=4x—=—^......................................................................9分

77

.-.S.ricn=~BDBC-smZDBC=-x^-x—....................................................................11分

2272

19.【解析】⑴因为PC，平面ABC,47<=平面45。，所以？。，4。，又尸。=4,PA=2底

所以AC=20.............................................................................................................................................2分

在AABC中，因为AB=3C=2,所以4笈+5。？=AC?,所以AB,3c

因为PC,平面ABC,ABu平面ABC,所以PCLAB,...................................................4分

又因为PCBC=C,

所以A3,平面尸BC....................................................................................5分

（2）（方法一）由（1）知A3L3C,以3为坐标原点，3C3A所在直线分别为X。轴，过点8且与平面ABC

垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

x

C

B

则3（0,0,0）,4（0,2,0）,尸（2,0,4）,C（2,0,0）,M（l,l,2）,

所以CM=（—1,1,2）,BA=（0,2,0）,BP=（2,0,4）..............................................................6分

,、n-BA=02y=0

设平面PAB的法向量为“=（x,y,z）,则＜即:

n-BP=Q2x+4z=0

令x=2,则z=—1,所以〃=（2,0,—1）..........................................................................................8分

设CM与平面PAB所成角为6,

\CMn-2-2-2730

则costCM,n）=।----i-r-r=---；==----------,

\/|画WV6xV515...................................................................10分

sin，=cos（CAf,〃）=-----,，cos6=--------

\/1515

即CM与平面PAB所成角的余弦值为边叵.

12分

15

（2）（方法二）过点C作CNLPB,垂足为N,连接触V,6分

由（1）知A3,平面PBC,ABGPAB,TffiPAB±nPBC,

1•平面PA8平面PBC=PB,OVu平面PBC,CN±PB,

CN，平面PAB,

/CMN为CM与平面PAB所成角,8分

在RtAPAC中，CM=—PA=V6,

2

在…IP上考10分

222V70

在放ACAW中，MN=yJCM-CN=（V6）-

、5,~1~

MNV105

故cos/CMN=-----=--------

CM15

即CM与平面PAB所成角的余弦值为1二..........................................12分

15

20.【解析】（1）设4="张某选择甲类问题"，8="张某答对所选问题”,

M="张某至少答对一道问题”，

则入="张某选择乙类问题"，石="张某未答对所选问题”

必="张某一道问题都没答对”...........................................................1分

由题意得，P（2）=P（1）=0.5,

P（B|A）=0.9,网司A）=0.1,P（B|A）=0.7,P（B|A）=0.3,................................2分

由全概率公式，得

P（M）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=0.5X0.1+0.5x03=0.2................................................4分

P（M）=1-P（M）=1-0,2=0.8...................................................................................................5分

（2）根据条件可知：若张某先回答甲类问题，

则张某的累计得分X的可能值为0,30,80,.................................................................................6分

•••张某能正确回答甲类问题的概率为0.9,能正确回答乙类问题的概率为0.7,

P（X=0）=1-0.9=0.1；P（X=30）=0.9x（l-0.7）=0.27；P（X=80）=0.9x0.7=0.63,

则X的分布列为

X03080

P0.10.270.63

当张某先回答甲类问题时，累计得分的期望为

E（X）=0x0.1+30x0.27+80x0.63=58.5,.............................................................................8分

若张某先回答乙类问题，则张某的累计得分y的可能值为0,50,80,..............................................9分

同理可求p（y=o）=1-0.7=0.3；P（Y=50）=0.7x（1-0.9）=0.07；P（y=80）=0.7x0.9=0.63,

则此时累计得分的期望为石（丫）=0x0.3+50x0.07+80x0.63=53.9............................................11分

因为E（x）＞E（y）,

所以，以累计得分多为决策依据，张某应选择先回答甲类问题.................................12分

21.【解析】（1）设E的方程为机工2+“y2，..................................1分

代入A［，T，口8（0,2）两点得机=；,〃=（）.............................................2分

22

所以E的方程为土+乙=1..........................................................................................................4分

34

(2)设过点C的直线方程为丁=丘-4,

y=Ax-4

2

<xy2消去y得（3左2+4）d-24西+36=0,

互+了一

A=（24Zr）2-4x36x（3^2+4）=144（^2-4）>0,解得左>2或左<—2,................................5分

94“36

设"（七,%）（，），则%+玉=27，），短”分

NX2%3Z+4./=3k+4......................................................6

设过点M且斜率为-2的直线为丁一%=-2(x-xl),令y=—l,

所以Q(23/I+1,-1),8(西+%+1,_2-％),

,,%+必+2

所以直线的斜率为•'--——7,

“WIT

X+%+2/、

直线NH为y—%=——7（x—%），...............................................................................8分

令y=一1,

_（Tf）®一.一%）上%玉+%々+必％+%+々-①

人v——1I人v？1।]

X+%+2%+为+2'

将％=质］一4,%=3一4代入①式，得

%_2kxix?-3（%1+%2）+%%—1+1_（2左+左之）%%—（4左+3）（%+x）+15

2+1，②

%+为+2%（玉+12）—6

10分

244

将Xj+x2=X/,=——代入②式，得

3r+4-3产+4

（2"）口一*+3）（邕）+15—]找+6。-3

24k②46/—24+5

所以直线MV与直线y=-1交点为定点g,-11........................................................................12分

22.【解析】⑴f\x）=aex-'-（l-a）,......................................................................................1分

1—a

当0<〃<1时，令尸（力=0,得犬=l+ln——

a

当