2024河北高考数学模拟试题及答案

数学

(时间120分钟，满分150分)

注意事项：

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答

案一律无效。不得用规定以外的笔和纸答题,不得在答题卡上做任何标记。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合/={-2,-1,0,1,2},8={x[04x<2},则=

A.{0,1,2}B.{0,1}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1}

2.已知复数z=「=r,则彳=

1+21

21.21.012・「1」_2.

A.-------1DB.—+—1C.——1D・­—+—1

55555555

3,函数/(x)=sinx-lnx2的图象大致为

4.已知向量0,b,c满足同=,|b|=|c|=l,a+2b+3c=0,贝ljb.e=

A.0B.-C.-D.李

242

5.已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为

A.4nB,8兀C.12nD.2(ht

6.已知数列(an)是等比数列，S,为其前n项和，若q+4+%=3,4+%+4三9,则Sn=

A.27B.39C.81D.120

7.巳知动点M到两个定点0(0,0),4(4,0)的距高之比为过点M作吻C:(x-g)+("3)'=4的切线，

切点为P,贝U|MP|的最小值为

A.率B.V5C.-D.-

222

8.已知tan(a+0,tan(a-/?)是方程W+4x-3=0的两个实数根，贝I］包生=

cos2/7

A.—2B.—1C.——D.2

3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列函数中.在区间(0,+⑼上单调递增的是

A.y=xAB.、=/C.y=x+-

Xx

10.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是

A.若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12利।

B.若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种

C.若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种

D.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种

11.已知一组样本数据x,(i=l,2,3,…,20),其中的。=1,2,3「、20)为正实数.满足x1Mx241y4…沁,下

列说法正确的是

A.样本数据的第50百分位数为七。

B.去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变

C.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数

120

D.样本数据的方差S2=-?-£X：-16,则这组样本数据的总和等于80

20G

12.已知正方体直线8A在平面a内，M,N分别是棱4向，CD上的两点，满足

AiM=2MBltCN=2ND,则下列说法正确的是

A.BM•〃平面AD"

B.异面直线回与CD,所成角的余弦值为当

C.三极锥M-ACR的体积与三棱锥N-ACD,的体积之比为5：2

D.直线/劣与平面a所成角最大时，CR与平面a所成角的正弦值为咯

6

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（第16小题的第一个空2分，第二个空3分）.

13.（l-2r尸的展开式中M的系数为

14.巳知函数/（力=2««6-2，］,.女-去,，若函数/（x）的值域为［*,则a+&=.

15.已知x,ye（O,+<»）,且满足2x+4），-.0=0,则2x+y的最小值为.

16.综合应用抛物线和双曲线的光学性质,可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜简可

以很短而观察天体运动又很清楚.例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为72cm的反射式望远镜，

其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示,其中，一个反射镜M。声弧所在的曲线为双曲线力的

一个分支，另一个反射镜Pg。弧所在的曲线为抛物线8.已知％玛是双曲线的两个焦点，且关于点。

对称，其中耳同时又是抛物线的焦点,若尺寸满足。£=73cm,。/；=72cm,0M=lcm,则双曲线

A的方程为,抛物线B的方程为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知数列应｝为等差数列，S.为｛%｝的前〃项和，%=5,5=64.

（I）求数列｛4｝的通项公式；

（口）设数列｛」一｝的前〃项和为7；,求证：Tn<-.

4—2

18.（本小题满分12分）

在△ZSC中，已知4SC=150。，AB=4,BC=2^3.

(I)求sinZ&4C;

(口)若。为/C上一点，且ZABD=90°,求aBCD的面积.

19.(本小题满分12分)

如图,在三校推P-48C中，PCJL平而/8C,AB=BC=LPC=2.PA=2s[6.

2

(I)求证：4BJL平而PBC;

(n)若”是4的中点，求CM与平而48所成角的余弦代.

20.(本小题满分12分)

某单位组织“乡村振兴”知识竞赛，有甲、乙两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类

并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该选手比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随

机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分.

否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分.巳知选手张某能正确回答甲类问题

的概率为0.9,能正确回答乙类问题的概率为0.7,且他正确回答问题的概率与回答次序无关.

(I)若选甲、乙两类问题是等可能的，求张某至少答对一道问题的概率；

(H)如果答题顺序由张某选择，以累计得分多为决策依据，说明张某应选择先回答哪类问题.

2L(本小题满分12分)

已知椭圆E经过呜，T),8(0,2)两点.

(I)求椭圆E的标准方程；

(n)设过点C(0,T)且斜率为A的直线交E于不同的两点M,N,过点M且斜率为-2的直线与直线

、=-1交于点0,延长线段朋2到点H,使得|MQ|=|W|,证明：直线与直线)，=-1交点为定点.

22.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=a?i-(1-耽(a>0).

(I)讨论函数/(x)的单调性；

(H)已知函数g(x)=』a+lnx-x-a,若函数g(x)有三个极值点，求g(x)的所有极值之和的取

X

值范围.

（一、-）选择题

123456789101112

BACBCDADABDBDBCDAC

(三)填空题

13.-16014.2-73

15.18/=292(%+36)

1225144

（四）解答题（阅卷过程中发现的其他解法参照本答案的评分细则，教研组研讨决定）

17.【解析】（1）设等差数列的公差为d,

%+2d=5

%=5

由＜，可得《分

8x7」.......................................................................2

[S8=648oaH-------d=64

12

ax—\

解得《......................................................................4分

d—2

所以％=2〃-1,...........................................................................5分

(2)因为=--------------——(--------------)

aa

nn+i(2〃-1)(2〃+1)22n-l2n+l

所以北=」（1—』+』一』+』一!+•••+1

2〃+1?.........................................................................7分

2335572n—l

一(1----------).........................................................................9分

22n+l

因为“cN*，所以《（1——；）＜:，即北＜《

......................................................................10分

22n+l22

18.【解析】（1）由余弦定理可得:

22220

AC=Z?=a+c-2occosJB=16+12-2x4x2V3xcosl50=52-

则AC=2V13，.........................................................................2分

又因为三bm2732V13

,即-----------------.........................................................................4分

smAsin5sinAsin150°

所以........................................5分

26

（2）因为sin/A4C=亘，所以cos/B4C=辿3

2626

从而tan/BAC=——，.............................................7分

7

在RtAABZ）中，BD=ABtanZBAC=4x—=—^......................................................................9分

77

.-.S.ricn=~BDBC-smZDBC=-x^-x—....................................................................11分

2272

19.【解析】⑴因为PC，平面ABC,47<=平面45。，所以？。，4。，又尸。=4,PA=2底

所以AC=20.............................................................................................................................................2分

在AABC中，因为AB=3C=2,所以4笈+5。？=AC?,所以AB,3c

因为PC,平面ABC,ABu平面ABC,所以PCLAB,...................................................4分

又因为PCBC=C,

所以A3,平面尸BC....................................................................................5分

（2）（方法一）由（1）知A3L3C,以3为坐标原点，3C3A所在直线分别为X。轴，过点8且与平面ABC

垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

x

C

B

则3（0,0,0）,4（0,2,0）,尸（2,0,4）,C（2,0,0）,M（l,l,2）,

所以CM=（—1,1,2）,BA=（0,2,0）,BP=（2,0,4）..............................................................6分

,、n-BA=02y=0

设平面PAB的法向量为“=（x,y,z）,则＜即:

n-BP=Q2x+4z=0

令x=2,则z=—1,所以〃=（2,0,—1）..........................................................................................8分

设CM与平面PAB所成角为6,

\CMn-2-2-2730

则costCM,n）=।----i-r-r=---；==----------,

\/|画WV6xV515...................................................................10分

sin，=cos（CAf,〃）=-----,，cos6=--------

\/1515

即CM与平面PAB所成角的余弦值为边叵.

12分

15

（2）（方法二）过点C作CNLPB,垂足为N,连接触V,6分

由（1）知A3,平面PBC,ABGPAB,TffiPAB±nPBC,

1•平面PA8平面PBC=PB,OVu平面PBC,CN±PB,

CN，平面PAB,

/CMN为CM与平面PAB所成角,8分

在RtAPAC中，CM=—PA=V6,

2

在…IP上考10分

222V70

在放ACAW中，MN=yJCM-CN=（V6）-

、5,~1~

MNV105

故cos/CMN=-----=--------

CM15

即CM与平面PAB所成角的余弦值为1二..........................................12分

15

20.【解析】（1）设4="张某选择甲类问题"，8="张某答对所选问题”,

M="张某至少答对一道问题”，

则入="张某选择乙类问题"，石="张某未答对所选问题”

必="张某一道问题都没答对”...........................................................1分

由题意得，P（2）=P（1）=0.5,

P（B|A）=0.9,网司A）=0.1,P（B|A）=0.7,P（B|A）=0.3,................................2分

由全概率公式，得

P（M）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=0.5X0.1+0.5x03=0.2................................................4分

P（M）=1-P（M）=1-0,2=0.8...................................................................................................5分

（2）根据条件可知：若张某先回答甲类问题，

则张某的累计得分X的可能值为0,30,80,.................................................................................6分

•••张某能正确回答甲类问题的概率为0.9,能正确回答乙类问题的概率为0.7,

P（X=0）=1-0.9=0.1；P（X=30）=0.9x（l-0.7）=0.27；P（X=80）=0.9x0.7=0.63,

则X的分布列为

X03080

P0.10.270.63

当张某先回答甲类问题时，累计得分的期望为

E（X）=0x0.1+30x0.27+80x0.63=58.5,.............................................................................8分

若张某先回答乙类问题，则张某的累计得分y的可能值为0,50,80,..............................................9分

同理可求p（y=o）=1-0.7=0.3；P（Y=50）=0.7x（1-0.9）=0.07；P（y=80）=0.7x0.9=0.63,

则此时累计得分的期望为石（丫）=0x0.3+50x0.07+80x0.63=53.9............................................11分

因为E（x）＞E（y）,

所以，以累计得分多为决策依据，张某应选择先回答甲类问题.................................12分

21.【解析】（1）设E的方程为机工2+“y2，..................................1分

代入A［，T，口8（0,2）两点得机=；,〃=（）.............................................2分

22

所以E的方程为土+乙=1..........................................................................................................4分

34

(2)设过点C的直线方程为丁=丘-4,

y=Ax-4

2

<xy2消去y得（3左2+4）d-24西+36=0,

互+了一

A=（24Zr）2-4x36x（3^2+4）=144（^2-4）>0,解得左>2或左<—2,................................5分

94“36

设"（七,%）（，），则%+玉=27，），短”分

NX2%3Z+4./=3k+4......................................................6

设过点M且斜率为-2的直线为丁一%=-2(x-xl),令y=—l,

所以Q(23/I+1,-1),8(西+%+1,_2-％),

,,%+必+2

所以直线的斜率为•'--——7,

“WIT

X+%+2/、

直线NH为y—%=——7（x—%），...............................................................................8分

令y=一1,

_（Tf）®一.一%）上%玉+%々+必％+%+々-①

人v——1I人v？1।]

X+%+2%+为+2'

将％=质］一4,%=3一4代入①式，得

%_2kxix?-3（%1+%2）+%%—1+1_（2左+左之）%%—（4左+3）（%+x）+15

2+1，②

%+为+2%（玉+12）—6

10分

244

将Xj+x2=X/,=——代入②式，得

3r+4-3产+4

（2"）口一*+3）（邕）+15—]找+6。-3

24k②46/—24+5

所以直线MV与直线y=-1交点为定点g,-11........................................................................12分

22.【解析】⑴f\x）=aex-'-（l-a）,......................................................................................1分

1—a

当0<〃<1时，令尸（力=0,得犬=l+ln——

a

当―^时，f'(x)<0；当xe1l+ln^~~^,+co1寸，f'(x)>0.

故/(x)在1―8,1+In宁]上单调