2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评五十五

核心素养测评五十五

直线与圆、圆与圆的位置关系

巩固提升练(25分钟50分)

一、选择题(每小题5分，共35分)

1.圆(x-2)2+y2=l与直线3x+4y+2=0的位置关系是()

A.相交

B.相切

C.相离

D.以上三种情况都有可能

【解析】选解圆(x-2)2+y2=l的圆心坐标是(2,0),半径是r=l,因为圆心⑵0)到

直线3x+4y+2=0的距离d」2x3+2|=色,满足d>r,所以圆&-2)2+丫2=1与直线

AK

3x+4y+2=0的位置关系是相离.

2.(2020•桂林模拟)已知圆C:(x+l)2+(y-l)2=l,圆C与圆C关于直线x-y-l=0

121

对称，则圆C的方程为()

2

A.(x+2)2+(y-2)2=l

B.(x~2)2+(y+2)2=1

C.(x+2)2+(y+2)2=1

D.(x-2)2+(y-2)2=1

-1-

【解析】选B.圆C:(x+l)2+(y-l)2=l的圆心坐标为(-1,1),关于直线x-y-l=O对

1

称的圆心坐标为(2,-2),所求的圆C的方程为(x-2)+(y+2)2=l.

22

3.过点(0,1)且倾斜角为三的直线I交圆X2+y2-6y=0于A,B两点，则弦AB的长为

a

()

A.vloB.2^,40C.2«2D.勾@

【解析】选D.过点(0,1)且倾斜角为三的直线I为y仁佟，即5_y+1=0,

因为圆X2+y2-6y=0,即X2+(y-3)2=9,所以圆心(0,3),半径r=3,圆心到直线

，：gx-y+1=0的距离d」-3+”=1,所以直线被圆截得的弦长1=2J32-12=4^2

4.若直线/:ax+by=l与圆C:x2+y2=l无交点,则点P(b,a)与圆C的位置关系是

()

A.点在圆上B.点在圆外

C.点在圆内D.不能确定

【解析】选C.直线/:ax+by=1与圆C:X2+y=1无交点，则1.即a+b2<1,

2.：,2

x'a24-fe2

所以点P(b,a)在圆C内部.

5.若圆C:X2+y2=l与圆C:X2+y2-6x-8y+m=0夕卜切，贝！!m=()

12

A.21B.19C.9D.-11

-2-

【解析】选解圆C的圆心是原点(0,0),半径r=l,圆C:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆

112

==

心C2(3,4),半径r=j25~m>由两圆相外切，得ICC21r+r=l+j25-m^>所以

m=9.

6.已知两点点-1,0),B(l,0)以及圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),若圆C上存在点

P,满足由5•则r的取值范围是()

A.[3,6]B.[3,5]

C.[4,5]D.[4,6]

【解析】选D.因为而•而=0,

所以点P在以A(7,0),B(1,0)两点为直径的圆上，该圆方程为：X2+y2=1,

又点P在圆C上，所以两圆有公共点.两圆的圆心距d=\/32+42=5,

所以|r-1|W5Wr+1,

解得4WrW6.

7.若直线Z:4x-ay+l=0平分圆C:(x+2)2+(y-2)2=4,则实数a的值为()

A.-lB.史

71A

C.-D.空或^

2152

【解析】选A.当直线经过圆心时平分圆，

所以，圆心C(-2,2)在直线/：4x-ay+1=0上,

所以4X(-2)-aX2+1=0,解得a=--.

二、填空题(每小题5分，共15分)

-3-

8.平行于直线2x+y+l=0且与圆X2+y2=5相切的直线的方程是.

n

【解析】切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(cH1),结合题

意可得回个写,解得c=±5.

<5

答案：2x+y+5=0或2x+y-5-0

9.圆x2+y2+2y-3=0被直线x+y-k=O分成两段圆弧,且较短弧长与较长弧长之比为

1：3,则k=.

【解析】由题意知，圆的标准方程为X2+(y+1)2=4.较短弧所对圆心角是90°,

所以圆心(0,-1)到直线x+y-k=0的距离为必即且坦二、，2解得k=1或-3.

答案：1或-3

10.(2020・合肥模拟)已矢口圆C:(x-a)+(y+2)=4与圆C:(x+b)+(y+2)2=l相夕卜

12222

切，则ab的最大值为.

【解析】由已知得圆C的圆心C(a,-2),圆C的圆心C(-b,-2),由两圆外切可知

1122

|a+b|=3,故a?+2ab+b2=9,所以4abW9,所以abWt

答案：2

综合运用练(15分钟35分)

1.(5分)已知k£R,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆X2+y2=k2-2k+3的公共点，贝!Jab

的最大值为()

A.15B.9C.1D.--

-4-

【解析】选B.由题意得，原点到直线x+y=2k的距离1%2-2卜+3,且

\2\

k2-2k+3>0,解得-3WkWl,因为2ab=（a+b）2-（a2+b2）=4k2-（k2-2k+3）=3k2+2k-3,

所以当k=-3时,ab取得最大值9.

2.（5分）（2019江西模拟）已知圆O:x2+y2=9,过点C（2,1）的直线/与圆0交于P,Q

两点，当△0PQ的面积最大时，直线/的方程为（）

A.x-y-3=0或7x-yT5=0

B.x+y+3=0或7x+yT5=0

C.x+y-3=0或7x-y+15=0

D.x+y-3=0或7x+yT5=0

【解析】选D.当直线/的斜率不存在时，/的方程为x=2,则P,Q的坐标为

（2,5），⑵-V号），

所以S=ix2X2v生2期.

△0P02

当直线/的斜率存在时，

设/的方程为y-仁k（x-程（k丰；）,

则圆心到直线PQ的距离

v'1+k7

由平面几何知识得|PQ|二2,9-42,

S=1•|PQ|•d=l・2.d

△OPQ

-5-

=；19_d2|)d2W(二吐正)=?,当且仅当9-d2=ch,即ch=2时,S0用取得最大值

9

7

因为2\尺<2,所以s的最大值为2,

yAOPO2

此时4/-4卜+1=2,解得k=7或k=-7,此时直线/的方程为x+y-3=o或7x+y-15=o.

fc2+12

3.(5分)(2020•湖南模拟)已知m>0,n>0,若直线(m+l)x+(n+l)y-2=0与圆

(x-l)2+(y-l)2=l相切，则m+n的取值范围是.

【解析】因为m>0,n>0,直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切，所以

圆心C(1,1)到直线的距离为半径1,

所以=1.

7(m+1)?+包+i)2

即|m+n|=[(m+l)2+5+1)2.

两边平方并整理得mn=m+n+1.

由基本不等式可得m+n+1即(m+n)2-4(m+n)-420解得

m+n扌2+2^2当且仅当m=n时等号成立.

答案：(2+2«2，+8)

4.(10分)已知圆(x-1)2+y2=25,直线ax-y+5=0与圆相交于不同的两点A,B.

(1)求实数a的取值范围.

-6-

(2)若弦AB的垂直平分线I过点P(-2,4),求实数a的值.

【解析】(1)由题设知其望<5,故12a2-5a>0,

所以a<0或a>—.

17

故实数a的取值范围为(-8,0)U(三，+8).

⑵圆(x-1)2+y2=25的圆心坐标为(1,0),

又弦AB的垂直平分线过圆心(1,0)及P(-2,4),所以k=—

Z-?-1R

又k二a,且AB丄/，所以k,•k二T,

ABIAB

即a•(一±)=7,所以a卫.

5.(10分)已知圆C经过点A⑵-1),和直线x+y=l相切，且圆心在直线y=-2x上.

(1)求圆C的方程.

⑵已知直线/经过原点，并且被圆C截得的弦长为2,求直线/的方程.

【解析】(1)设圆心的坐标为C(a,-2a),

则l(Q-2/+(