安徽省合肥市高考数学三年（2020-2022）模拟题汇编-复数、坐标系与参数方程

安徽省合肥市高考数学三年（2020-2022）模拟题知识点分类

汇编-复数、坐标系与参数方程

一、单选题

1.（2021.安徽合肥.统考三模）设Z=等（i为虚数单位），则IZI=（）

A.-2b∙Tc∙1D.√2

2.（2021•安徽合肥・统考三模）设z=*+i（i是虚数单位），则IZl=（）

A.-2b∙Tc∙1D.√2

3.（2021•安徽合肥・统考二模）复数笔（i是虚数单位）的模等于（

)

1-1

A.2√5B.2√2C.√5D.√2

4∙（2。21・安徽合肥・统考一模）己知z=K（i为虚数单位），则在复平面内复数Z所对

应的点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

一l+5i

5∙（2。2卜安徽合肥.统考二模）若复数Z=R,其中，为虚数单位，则Z的虚部是

A.3B.-3C.2D.-2

6.（2021♦安徽合肥•统考一模）已知复数Z=T—（i为虚数单位），则Z的共辗复数为（）

1+1

ʌ33.「33.

2222

C13.C13∙

2222

7.（2020•安徽合肥・统考三模）若复数4，N?在复平面内对应的点关于原点对称，

z∣=1+，，则z,2=（）

A.-2B.-2iC,2D.2/

8.（2020・安徽合肥・统考三模）已知i是虚数单位，则复数Z=K在复平面上所对应的

1+z

点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.（2020・安徽合肥・统考二模）欧拉公式屋=COSe+isin6把自然对数的底数%虚数单

位i,三角函数CoSe和Sine联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天

桥”，若复数Z满足Gt+i）∙z=i,则IZl=（）

A.1B.—C.更

D.√2

22

10.（2020•安徽合肥•统考一模）设z=（2+5i）（3-i）,则IZl=()

A.5√29B.√290C.2√70D.4√35

11.（2020.安徽合肥.统考一模）设复数Z满足Iz-31=统Z在复平面内对应的点为

M(a,b),则M不可能为()

A.(2,aB.(3,2)C.(5,0)D.(4,1)

12.（2022•安徽合肥•统考二模）设复数Z满足iz+4+i=0,则IZI=()

A.√17B.4C.√7D.√5

13.（2022•安徽合肥•统考二模）设复数Z满足iz-3-i=z,则Z的虚部为（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

二、解答题

14.（2022•安徽合肥•统考二模）在直角坐标系XOy中，直线/的参数方程为卜

y=1-√2∕

口为参数）.以坐标原点为极点，X轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标

方程为"=Y7（a>0,peR）∙

cos2，

（1）求直线/的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

TTTT

（2）若直线9=;SeR）与直线/交于点M,直线e=±（pcR）与曲线C交于点A8,且

AMLBM,求实数”的值.

15.（2021.安徽合肥.统考二模）在直角坐标系Xoy中，曲线G的参数方程为

X=斜3

）,［。为参数）.在以原点为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线

y=+.

G的极坐标方程为PSin（啧）-20=0.

（1）求曲线G和曲线C2的直角坐标方程；

试卷第2页，共4页

,、11

（2）若曲线C?与曲线G交于点A,B,M（-2,2）,求丽一丽的值.

16.（2021∙安徽合肥•统考二模）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为夕=6sind,点

P的极坐标为（忘，?），以极点为坐标原点，极轴为X轴正半轴，建立平面直角坐标系.

（1）求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；

夜

X=H一

-2

（2）已知直线/：＜亚C为参数），若直线/与曲线C的交点分别是A、B,求

y=1+

*2

疗用的值.

17.（2021.安徽合肥.统考一模）在平面直角坐标系Xoy中，曲线C的参数方程为

X=COS20

,Ian/（夕为参数），以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

V=------

l+tan2/7

（1）求曲线C的极坐标方程；

乃ɪI

（2）若点"，N为曲线C上两点，且满足NMON=求丽p~0W的最大值.

fx=rcosa

18.（2020・安徽合肥•统考三模）在平面直角坐标系中，直线机的参数方程为.

[y=fsιnα

（，为参数，0女＜兀）.以坐标原点为极点，以X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲

线E的极坐标方程为p2+2pcos0-3=0,直线皿与曲线E交于A,C两点.

（1）求曲线E的直角坐标方程和直线的极坐标方程；

（2）过原点且与直线机垂直的直线”，交曲线E于8,。两点，求四边形ABa）面积

的最大值.

19.（2020・安徽合肥•统考二模）在直角坐标系XQy中，曲线C的参数方程为

x=3cos¢＞-4sin⅞9

V129.为参数），以坐标原点。为极点，X轴的非负半轴为极轴建立

γ=-cos^9+-sιn^?

极坐标系，直线/的极坐标方程为。sin，+?）=有.

（1）曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

（2）若直线/与曲线C交于P，。两点，M（2,0）,求画+1MQl的值.

20.（2020・安徽合肥・统考一模）在平面直角坐标系Xo），中，曲线Cl的参数方程为

X=2+2cos，

.V=2sin,(°为参数),以原点为极点,X轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，

4

曲线ɑ的极坐标方程为"=

cos2(z+4sin2a

(1)求曲线G的极坐标方程以及曲线Cz的直角坐标方程;

(2)若直线Ly="与曲线G、曲线3在第一象限交于P,。两点，且IOPI=2I0QI,

点M的坐标为(2,0),求AMPQ的面积.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数模的公式进行求解即可.

【详解】因为Z=H=与211.

-------1

2zhi22

所以IZl=J(；尸+(-3)2=当,

故选：B

2.B

【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数模的公式进行求解即可.

■'出届∏^ιʌ/I+，∙(l+i)∙i.11..11.

【详解】因为Z=~^r+1=+/=7一7/+2=7+72

2z2ι∙ι2222

所以IZl=

故选：B

3.C

,八匚一廿”

【分析】求出丁l+丁3后i可T求4其模.

1-1

【详解】—=(1-3^(1-=-l+2i,故所求的模为逐,

1-i2ɑ

故选：C.

4.D

【分析】复数的分子与分母同乘分母的共粗复数，化简为。+4的形式，即可推出结果.

2-1(2-i}(2-i}3-Ai3424

【详解】解：F=K.=▼=1『,故它所表示复平面内的点是4-当位于第四

z+z(1Z+i)∖∆-i)jJj55

象限.

故选：D.

5.A

【解析】先利用复数的除法运算，化简复数z,再利用复数的概念求解.

-l+5zk(-l+5z)(l-z)

【详解】因为复数Z=—L=7rVHd=2+3凄

1+i(l+z)(l-z)

所以Z的虚部是3,

故选：A

6.C

【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数z,贝IJZ的共规复数可求.

答案第1页，共9页

2-z(2-f)(l-z)l-3z_13.

【详解】解:T+7^(1+0(1-0^2~2~2l

13

的共轨复数为：→-/.

故选：C.

7.A

【分析】利用已知求得Z2=T-i,进而求得=+再利用复数的乘法运算计算即可得

解.

【详解】zl=l+/,复数4,Zz在复平面内的对应点关于原点对称,

*'"z2=-1—i,则z2=-l+i,

.∙.zl∙z2=(l+z)(-1+Z)=—2.

故选：A.

【点睛】本题考查了复数的对称关系，共貌复数以及复数的乘法运算，属于基础题.

8.C

【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共朝复数，化简复数z,从而

可得结果.

1—2/(1-2∕)(1-z)_-l-3i

【详解】由于复数Z=

1+z(l+z)(l-z)2

在复平面的对应点坐标为1!，-|

・•.在第三象限.

故选：C.

【点睛】主要考查复数的概念及复数的运算.属于容易题.

9.B

【解析】由新定义化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出Z后再求模.

-z+l11.

【详解】由题意z=7⅛------=-------I

cosæ+zsinæ+z-1+Z(-l+f)(-l-i)222

故选：B.

【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义

化/为代数形式，然后求解.

答案第2页，共9页

10.B

【解析】化简得到z=ll+13i,再计算模长得到答案.

【详解】依题意，z=(2+5i)(3-i)=6-2i+15i+5=ll+13i,故∣z∣=】依+169=质.

故选：B.

【点睛】本题考查复数的运算、复数的概念，考查运算求解能力以及化归与转化思想.

11.D

【解析】依题意，设z=α+bi,由∣z-3∣=2,得(α-3>+序=4,再一一验证.

【详解】设z="+bi,

因为∣z-3∣=2,

所以(α-3)2+方=4,

经验证”(4,1)不满足，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础

题.

12.A

【分析】由复数的四则运算结合几何意义得出∣z∣.

22

【详解】Z=―,'==-l+4i,∣z∣=Λ∕(-1)+4=Λ∕∏

故选：A

13.C

【分析】根据复数的除法运算求出复数Z,再根据虚部的定义即可得解.

【详解】解：因为iz—3—i=z,所以(l-i)z=-3-i,

-3-i_(-3-i)(l+i)-2-4i

贝IJZ==-l-2i.

1-i^(l-i)(l+i)2

所以Z的虚部为-2.

故选：C.

14.(I)。Cos。+PSin<9=2,x2-y2=a

(2)1

答案第3页，共9页

【分析】⑴消去参数何把参数方程化为普通方程，由公味黑可把极坐标方程与

直角坐标方程互化；

（2）用极坐标法求出M,A8的极坐标，∣M=∣8-∕72∣,再利用直角三角形性质可求得

x=l+∖[2t

【详解】⑴由Lα为参数）得χ+y=2,

γ=1-√2r

・•・直线I的极坐标方程为pcos^÷psinθ=2.

12221222

由p=--—得夕2COS26=O,p（cos0-sinθ]=atpcosθ-psinθ=a

COS2。'）

.,.x~2-y~9=a,

.∙.曲线C的直角坐标方程为V-y2=。.

（2）直线/的极坐标方程为0cos6+psin。=2,将。（代入直线/的极坐标方程得p=√2,

二点M的极坐标为（衣

将e=J代入曲线C的极坐标方程"=—⅛-得P、=J%,0=-疝，

6cos29

.∙∖AB∖^∖pt-p2∖=2>j2a.

AMIBM,且。为线段48的中点，

[OMI=；IABI=疡，即岳=6,

.∙.。=1.

15.（1）见详解；（2）土亚

5

•Jlx=MT彳

【分析】（1）变形式子为v1_>,然后平方作差可得曲线Cl的直角坐标方程，根据

==产+f4

X=PCoSay=PSine化简可得曲线G的直角坐标方程.

（2）得到曲线C2的参数方程，然后根据参数f的几何意义可得结果.

答案第4页，共9页

，I]\

X=「Ta√2x=r3-M

【详解】（1）由（f为参数）,则VɪJQ为参数）

11、

44

y=6-¼=r+r

=40

√2∙2Vf4+f4=2√2（当且仅当/=1时取等号）

所以曲线CI的直角坐标方程为片-《=l（y≥2夜）

82、/

由psin^--j-2>∕2=O,贝=O

即夕Sine-0CoSe-4=0,又x=0COSay=0sinO

所以y-x-4=0,即x-y+4=0

所以曲线G的直角坐标方程为

曲线C2的直角坐标方程为x-y+4=0

由（1）可知：曲线C?的直角坐标方程为x-y+4=0,且M（-2,2）在曲线C2上

户—2+g

[1为参数）①

则曲线G的参数方程为：,

y=?+e

2

将①代入曲线G的直角坐标方程化简为：3产-20√2∕+40=0

设AB所对应的参数分别为4名

所以G+G=邛>044=*>0,所以，>o,∖>o

J_____1JMB∖-∖MA∖∣r2∣-∣r,∣

zτλ

∣M4∣∖MB∖∣M4∣∣Λ7B∣∣rl√2∣

ti

乂LG=i∙∖∕（ri+?2）2-4?1'2=~γ^

8√5

1+^V+√5

所以∣⅛Γ∣M8-∣-----=I-------=十------

1-|-40-5

3

【点睛】关键点点睛：第（1）问关键在于观察式子平方化简可知曲线G,掌握

答案第5页，共9页

X=PCoSay=PSin。可将极坐标方程化为直角坐标方程；第(2)问关键在于曲线C?转化为

参数方程便于计算掌握参数的几何意义.

16.(1)x2+(y-3f=9;(1,1)；(2)4.

【解析】(1)P=6sin0两边同时乘以。，由X=。CoS6,y=QsinO可得直角坐标方程以及

点P的直角坐标.

(2)将直线的参数方程代入C方程，利用参数r的几何意义即可求解.

【详解】解：(1)由。=6sin4,Wp2=6psin6>,

又x=∕jcos(9,y=psmθ,：.χ2+y2=6y,

即曲线C的直角坐标方程为f+(y-3)2=9,

点P的直角坐标为(1,1).

(2)把直线/的方程代入C方程，整理得产-30—4=0，

Δ=(-3√2j2-4×l×(-4)>0,

设A、B对应的参数分别是乙、t2,则径=Y,

■叫IPBH讣同=陶=4

17∙(1)*+3：n2e；⑵乎

【分析】(1)直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间进行转换;

(2)利用极径的应用和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.

X=Cos2β

【详解】解：(1)曲线C的参数方程为，tanyg(月为参数)，

v-2

l+tany?

其中，—tanβ_sinβcosβ_万加之月

22222

)l+tany0cos/7+sinβcosy0+siny5

x=PCoSe

所以r2+4y2=1根据y=0sine转换为极坐标方程为配=J

l÷3sm~θ

I/9+y9=P-7

⑵设Mg,α),NMe),向一闵=9,

答案第6页，共9页

故一二---二二」--ζ-=3(sin2θ`-sin2a)

政IOM2|0岬戊戊',J

TT

不妨设a=α+g,

故3(si∏2q-sin%)=?sir^ɑ-sin?,+?[]=-^^sin(2q+(}

当"2呜卜-1时，焉一加的最大值为唳

18.(1)(x+l)2+y2=4,e=α("R);(2)7

【分析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.

(2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果.

【详解】ɑ)曲线E的极坐标方程为炉+20COSe-3=0,

所以曲线E的直角坐标方程为(x+l)Oy2=4,

[x=tcosa

因为直线机的参数方程为.(r为参数，0≤a<万)

[y=rsma

所以y=tanα∙x,

所以直线用的极坐标方程为6=α(peR).

(2)设点4C的极坐标分别为(p∣,α),(p2,α).

0—a

2CAQn可得"+20COS<Z-3=O,

{p+2pcos^-3=0

.∙.p∖+P?=-2cosa,plp2=-3,

2

.∙.∣AC∣=∣pl-p21=2∖∕cosa+3；

同理得忸a=2jsin%+3；

设四边形ABCo面积为S,

S=~l√ʌɑl'I=2√cos2a+3-∖∕sin2a+3≤cos2a+3+sin2a+3=7,

当且仅当cos2a+3=sin2a+3,即a=工或苧时，等号成立，

44

，四边形ABCO面积的最大值为7.

答案第7页，共9页

【点睛】本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三

角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及

思维能力，属于基础题型.

19.(1)C：—+^-=1,/：√3x+y-2λ^=0;(2)迎旦

2597

【分析】(1)根据参数方程消去参数夕得到椭圆方程，利用极坐标公式化筒得到答案.

(2)将直线/的参数方程代入椭圆方程，得到6+，2=*格=-9,计算得到答案.

x=3COSe-4Sine

【详解】(1)曲线C的参数方程129.消去参数e得，

y=-cosφ+-s∖nφ

X2/f34.Yf43.Y

—+--=-cos^——Slne+—cos。+—Slno=11,

259V55JV55J

故曲线C的普通方程为(+1=I.

∙.∙0sin(e+?)=∖∣3,∙J3pc0aθ+PSine-2百=O,

.∙.直线/的直角坐标方程为√Ir+y-26=0.

x=2一■-Z

2

(2)设直线/的参数方程为百U为参数)，

F

将其代入曲线C的直角坐标方程并化简得7/-6f-63=0,∙∙.r,+4=?格=6

：点〃(2,0)在直线/上,

230√2

.∙.∖MP∖+∖MQ∖=∖tl-r2∣=⅛+G)-4∕l∕2=

【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.

20.(1)G的极坐标方程为0=4CoSCz的直角坐标方程为:+9=1(2)半

【解析】(1)先把曲线G的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用X=PeOSay=0sinO