2024届浙江省宁波市二模模拟考试数学试题

2024年宁波二模模拟考试数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1．已知点集．设非空点集，若对中任意一点，在中存在一点（与不重合），使得线段上除了点外没有中的点，则中的元素个数最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4已知复数z的实部大于等于1，则的最小值为（）A.2 B.3 C.13-12 3．已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（

）A．a＜b＜2 B．b＜a＜2 C．2＜a＜b D．2＜b＜a4．( )A.1sin1° B.45sin1° C.5．如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（

）

A．2 B．C． D．46．已知向量，，满足，，，则32的最大值是()A.15B.332C.3+3657．等差数列的通项是，等比数列满足，，其中，且、、均为正整数.有关数列，有如下四个命题：①存在、，使得数列的所有项均在数列中；②存在、，使得数列仅有有限项（至少1项）不在数列中；③存在、，使得数列的某一项的值为2023；④存在、，使得数列的前若干项的和为2023.其中正确的命题个数是（

）个A．0 B．1 C．2 D．3我们规定具有下述性质的正整数为“奇妙数”：若将中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在9个互不相同的红色的数满足，或者存在10个互不相同的蓝色的数满足.则最小的“奇妙数”为（）A.396 B.397 C.408 D.409二、多选题（每题6分，共18分）9．如图，ABCD是边长为5的正方形，半圆面APD⊥平面ABCD．点P为半圆弧上一动点（点P与点A，D不重合）．下列说法正确的是（

）

A．三棱锥P－ABD的四个面都是直角三角形B．三棱锥P一ABD体积的最大值为C．异面直线PA与BC的距离为定值D．当直线PB与平面ABCD所成角最大时，平面PAB截四棱锥P－ABCD外接球的截面面积为10．函数在上有两个零点，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．在上有2个极值点且11．平面直角坐标系中xOy中，已知抛物线，焦点为F，准线为l，顶点为A，则下列说法正确的有：（

）.A．抛物线上两点P、G与顶点A为正三角形三顶点，PG与的对称轴交于N，则AN=6p.B．过上两点Q、的切线交于T，作TK⊥l,直线Q与的对称轴交于，则TK=2F.C．过焦点F作三条弦，则.D．任意作一条直线与抛物线相交于（设R在上方）,在直线取两点使得（设T在R上方，在下方），分别过作的切线，切点为，直线和交于M，则M为中点.三、填空题（每题5分，共15分）12．现要将一边长为101的正方体，分割成两部分，要求如下：（1）分割截面交正方体各棱，，，于点P，Q，R，S（可与顶点重合）；（2）线段，，，的长度均为非负整数，且线段，，，的每一组取值对应一种分割方式，则有种不同的分割方式.（用数字作答）13．正多面体又称为柏拉图立体，是指一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这样的多面体就叫做正多面体.已知正12面体的每个面均为正五边形,棱长为1，则它的体积为 14．已知函数的图象上存在四个点，过的切线为，其中，且围成的图形是正方形．则的取值范围为四、解答题15．（13分）设，满足．(1)证明：若，则当时，．(2)若存在满足，证明．16．（15分）近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.(1)求四棱锥的总曲率；(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数.17．（15分）设整数满足1=a1≤a（1）求f的最小值f0.（2）求使f=f0成立的数组的个数.（可用组合数表示）18．（17分）设为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于，两点.（1）求的最大值；（2）若直线与轴、轴分别交于，，且以为直径的圆与线段的垂直平分线的交点在椭圆内部（包括在边界上），求实数的取值范围.19．（17分）-t乘积数组是由白俄罗斯LilianaW.Willanovski提出的概念，在量子力学、曲面几何等领域有重要应用。求最小的实数，使得-t乘积数组概念如下：对任意的正整数，可以将其表示成t个正整数之积，即xt，且满足对任意的i∈{1,2...t}，均有是素数或者，则称（x1,x2...xt）为n的-t乘积数组．记A(n,,t)为{a|a=i=1txi,（x1,x2...xt）为n的-t乘积数组}（1）直接写出A{22024,11012,2023（2）若对任意正整数n，均存在-t乘积数组，求的最小值。参考答案：1．B2．C3．D4．A5．B6．D7．B8．C9．AC10．ACD11．ACD12．70750413．14．15．（1）令，则， ——2分由于，，故，即，又，，，故，由于在上单调递减，故， 所以恒成立，所以在上单调递增， ——6分设，，则，令，，则在上恒成立，故在上单调递减，故，故，所以在上单调递减，由于，，故， ——9分即，故，即； ——10分（2）存在满足，即在上有根，由（1）可得与等号成立的条件均为故若存在满足，则有. ——13分16．（1）四棱锥有个顶点,个三角形面,个凸四边形面,故其总曲率为 ——5分（2）设多面体有个面,给组成多面体的多边形编号,分别为号.设第号多边形有条边.则多面体共有条棱. ——7分由题意，多面体共有个顶点. ——9分号多边形的内角之和为,故所有多边形的内角之和为 ——11分故多面体的总曲率为所以满足题目要求的多面体的总曲率为. ——15分17．（1）由题意，，可得，① ——3分由于及均为非负整数，故有，且， 于是，② ——6分由①，②得，结合及，可知，③ ——8分另一方面，令，，，此时验证，知上述所有不等式均取到等号，从而f的最小值. ——9分（2）取等时，且②中的不等式均取等，即.因此1=a1≤a2≤…≤a2019=99，且对每个k(1≤k≤49)，中至少有两项等于k.对每个k(1≤k≤49)，设等于k的项数为，则nk为正整数，且，即， ——13分该方程的正整数解的组数为，且每组解唯一对应一个使④取等的数组，故使成立的数组有个. ——15分18．（1）的半长轴半短轴半焦距离心率 ——3分设，，联立，可得，所以， ——5分,则； ——7分（2）依题意可知，，所以圆的方程为①，垂直平分线为②， ——9分联立①②消去,,即,即,即,即,即， ——11分解得，，对应，，两个交点的坐标为 ——13分则可知且，即，即，解得或. ——17分19．（1）46088142 ——4分（2）一方面，取(其中为素数) ——6分此时若将表示成2023个正整数之积，即时，可设(为非负整数，，由抽屉原理，存在正整数，使得，此时，因此有； ——8分另一方面，证明：当时，对任意的正整数，存在正整数，使得是素数或者，且，对任意的正整数，采用如下方法依次构造出满足要求的:对，假设已构造出，接下来考虑的取值(特别地，时代表尚未构造出任何一项，考虑构造的值)，对时：若的最大素因子，则令；若的任一素因子均小于，则令为的不超过的最大正约数，依次得到， ——12分证明这样的构造符合要求：由于此时对任意的，已有是素数或者，因此只须证，若