辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体2024届高三下学期高考适应性考试（一）数学试题

绝密★启用前辽东十一所重点高中联合教研体2024届高考适应性考试（一）数学本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个进项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知复数满足（为虚数单位），则（）A.B.C.D.3.已知，若是第二象限角，则（）A.B.C.D.4.如图，为圆锥底面圆的一条直径，点为线段的中点，现沿将圆锥的侧面展开，所得的平面图形中为直角三角形，若，则圆锥的表面积为（）A.B.C.D.5.设实数满足，且，双曲线的渐近线分别是和，且都经过原点，则双曲线的离心率的比值（）A.B.C.1D.26.若过点可作函数图象的两条切线，则必有（）A.B.C.D.7.设则（）A.B.C.D.8.在正方体中，分别为线段的中点，为四棱锥的外接球的球心，点分别是直线上的动点，记直线与所成角为，则当最小时，（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得2分，选错得0分.9.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆与轴正半轴交于点.已知点在圆上，点的坐标是，则下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则C.，则D.若，则10.已知随机变量的分布列（如下表），则下列说法错误的是（）A.存在B.对任意C.对任意D.存在11.对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”.对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好.某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用（单位：百元）和网购图书的费用（单位：百元）的情况如图所示，现将和为第I组点将和归为第点.在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为.给出下列四个结论：①直线比直线的分类效果好；②分类直线的斜率为2；③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于的同侧；④如果从第I组点中去掉点，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是.其中所有正确结论的序号是（）A.①B.②C.③D.④三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间中的三个点，则点到直线的距离为__________.13.函数的值域为__________.14.设，用表示不超过的最大整数，例如：，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步楫.15.（13分）如图，在平行六面体中，，点为中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.16.（15分）某校举行知识竞赛，规则如下：选手每两人一组，同一组的两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，比赛进行到一方比另一方多2分为止，且多得2分的一方胜出.现甲乙两人分在同一组，两人都参与每一次抢题，每次抢到的概率都为.若甲､乙正确回答每道题的概率分别为和，每道题回答是否正确相互独立.（1）求第1题答完甲得1分的概率；（2）求第2题答完比赛结束的概率；（3）假设准备的问题数足够多，求甲最终胜出的概率.17.（15分）已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）若，且，求证：.18.（17分）已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于两点，其中与轴交点的横坐标是.（1）证明：；（2）求的最大值，并求此时双曲线的方程；（3）判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由19.（17分）对于数列，称（其中）为数列的前项“波动均值”.若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”.（1）若数列为“趋稳数列”，求的取值范围；（2）已知等差数列的公差为，且，其前项和记为，试计算：；（3）若各项均为正数的等比数列的公比，求证：是“趋稳数列”.辽东十一所重点高中联合教研体2024届高考适应性考试（一）数学·参考答案一､单选题：1.B2.A3.B4.B5.C6.C7.B8.D二､多选题：9.AD10.ABD11.BCD三､填空题：13.14.398四､解答题：15.（1）6分：证明见详解（2）7分：（几何法､基地法也得分）（1）因为，所以，所以在的投影数量为，因为，所以，所以在的投影数量为，以为原点建立如图所示的坐标系，所以，所以，设面的法向量为，所以，令，所以，因为不在面内，所以平面；（2），所以，设面的法向量，因为，所以，令，则，设面的法向量，因为，所以，令，所以，所以，所以二面角的正弦值为.16.（1）4分：（2）5分：（3）6分：（不设事件扣3分）（1）记“答完1题甲得1分”为事件，则，第1题答完甲得1分的概率为.（2）第2题答完比赛结束，甲得了2分，或乙得了2分.记“答完1题乙得1分为事件，”则.记“第2题答完比赛结束”为事件.（3）记甲最终胜出的概率为.答完2题，有四种情况：甲得2分，乙得2分，甲先得1分乙后得1分，乙先得1分甲后得1分，其中甲乙各得1分，与初始状态（即比赛前）的情况相同，从而，即，解得，即甲最终胜出的概率为.17.（1）3分：（2）12分：证明见解析（1）由可得，所以在处的切线斜率，且，故所求切线方程为.（2）设在处的切线斜率为，由（1）得，且，故在处的切线方程为，设，则.设，则.因为，所以，仅在时取等号，故在上单调递增.列表如下.单调递减极小值单调递增所以，即.令，其中，且，则有，累加得，即取，即得，当时，显然满足题意，综上可得.18.（1）4分：证明见解析（2）7分：面积最大值为，此时双曲线方程为.（3）6分：过定点，定点为和.（1）因为，所以，即，双曲线的渐近线方程为位于两条渐近线上，若，则，若，则，①，又点双曲线上，，解得：，故，；（2）当时，，l与轴的交点为，若，则，若，则，，由（1）可得：同号，于是，，，当且仅当时，，故面积最大值为，此时，双曲线方程为；当时，易得，，，由①式可得：，且点在双曲线上，，，，当时，同样当且仅当时，，双曲线方