2023年全国新高考Ⅰ卷数学试题解读及答案详解

2023年高考数学真题完全解读（新高考I卷）

适用省份

山东、河北、江苏、福建、湖北、湖南、广东、浙江

试卷总评

2023年全国新高考I卷坚持落实党的二十大精神，全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，

促进学生德智体美劳全面发展；反映新时代基础教育课程理念，落实考试评价改革、高中育人方式改革等

相关要求，全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的核心素养，体现

基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥数学科在人才选拔中的重要作用。

1、设置现实情境，发挥育人作用。

2023年全国新高考I卷命题坚持思想性与科学性的统一，发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点，设置

真实情境，命制具有教育意义的试题，发挥教育功能和引导作用。如第10题利用对数函数研究噪声声压水平，

通过对声压级的研究，突出了数学与环境的联系；再如第21题以生活中投篮比赛为背景，通过设置比赛规

则和概率、数学期望等联系，体现数学在生活中的作用

2、加强教考衔接，发挥引导作用。

2023年全国新高考I卷在反套路，反机械刷题上下功夫，深化基础考查，突出主干知识，加强教考衔

接，发挥高考试题对中学教学改革的引导和促进作用。

2.1深化基础考查。如第3题考查向量垂直的坐标表示，第5题考查椭圆离心率，第9题考查统计抽样

中样本的基本数字特征，考查考生对样本平均数、样本标准差、样本中位数、样本极差概念，第17题考查

了三角函数和解三角形等，这些知识的考查都体现了注重试题的基础性。

2.2突出主干知识考查。该试卷在选择题、填空题上都加强了对主干知识的考查，全面考查了集合、复

数、平面向量、排列组合、三角函数的图象和性质、几何体的体积、直线和圆等内容；在解答题上全面考

查了三角函数，立体几何，函数与导数，数列，概率统计，平面解析几何。

3、加强素养考查，发挥选拔功能。

2023年全国新高考I卷加强学科核心素养考查，强化数学思想方法的渗透，深入考查关键能力，优化试

题设计，发挥数学科高考的选拔功能，助力提升学生综合素质。如第7题以等差数列为材料考查充要条件

的推证，要求考生判别充分性和必要性，然后分别进行证明突出考查了逻辑推理素养；再如第12题以立体

几何图形为背景，突出考查了直观想象素养；再如第17题以正弦定理、同角三角函数基本关系式、解三角

形等数学内容，突出考查数学运算素养。

2023年全国新高考I卷，总体来说，试卷难度比去年难度有一定下降，总体不难，但是考查方向很全

面，尤其是选择、填空题；大题裁剪了素材，控制了阅读量，回归了数学本源，运算量适宜；主观题布局

是：17题解三角、18题立体几何、19题导数、20题数列、21题概率、22题圆锥曲线，试卷大题布局发生

比较大的变化。

题号分值题型考查内容考查点

15单选集合集合的运算（交集）；一元二次不等式求解

25单选复数复数的四则运算；共舸复数

35单选平面向量平面向量垂直的坐标表示；平面向量线性运算的

坐标表示；平面向量数量积的坐标表示

45单选函数根据指数型复合函数的单调性求参数

55单选平面解析几何根据椭圆离心率求参数

65单选平面解析几何；直线与圆相切；二倍角公式

三角函数

75单选数列；等差数列的通项公式；等差数列前〃项和公式；

充分条件与必要条根据等差数列定义判断数列为等差数列

件

充分条件与必要条件的判断

85单选三角函数正弦两角和（差）公式；二倍角公式

95多选统计平均数，中位数，极差，标准差

105多选函数对数运算；对数函数的实际应用

115多选函数抽象函数；赋值法

125多选立体几何立体几何中的体积问题

135填空题计数原理排列组合

145填空题立体几何棱台的体积

155填空题三角函数余弦函数图象与性质；零点个数问题

165填空题平面解析几何双曲线离心率；余弦定理

2

1710解答题三角函数；正弦两角和（差）公式；

解三角形正（余）弦定理的应用

1812解答题立体几何线线平行；根据二面角求参数

1912解答题函数与导数利用导数讨论单调性：

利用导数证明不等式恒成立

2012解答题数列等差数列的通项公式；等差数列前〃项和

等差数列的函数性质

2112解答题概率与统计相互独立事件；数列递推关系；

两点分布的数学期望

2212解答题平面解析几何轨迹方程问题；直线与抛物线的位置关系；

圆锥曲线中相关的范围问题

备考指津

1、根据教材与一轮资料的内容、重点、难点以及高考的热点制定出详细的复习备考计划。

2、注重基础和通法：注重基础，不仅是重视基础知识和基本技能，而且要注重数学的基本思想和基本活动

经验，要认真研究教材定义，概念，要真理解，不仅大字，小字也要重视，高考试题不脱离教材。注重通

性通法，就是不要沉迷套路，而要认真分析近几年高考试题，尤其是新高考全国1卷的命题思路

3、聚焦能力和素养：“能力立意”是指试题设计上体现出的思维的灵活性、深刻性，方法的综合性、探究性

和创造性等方面。“素养立意”则是指试题对学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算和数据分析等学科核心素

养提出了较高的要求。

4、突出主干和重点：数学的主干知识是函数与导数、三角函数及解三角形、数列、立体几何、解析几何、

概率与统计，要想在有限的时间内获得最大的效益，必须针对重点知识、重点题型及主要数学思想方法进

行重点复习，切忌面面俱到；同时在选择题和填空题中，集合、复数、三角函数的图象和性质、平面向量、

数列的概念与性质、圆锥曲线的简单几何性质、解三角形、函数与导数综合问题、函数的性质、排列组合

二项式定理、概率统计以及数学文化等仍然是高频考点.

5、选择填空题小题小做巧做：数学选择题可以采用直接法，也可以采用特值法、估算法、数形结合法、儿

何法、验证法或排除法、极值法、重要结论等；填空题可以采用直接法、特值法、数形结合法、几何法或

利用一些二级结论公式等方法。

3

6、答题规范做，限时做：对于解答题在复习备考中，既要训练答题的规范性，又要训练答题的技巧和方法，

同时注重在训练在规定的时间内完成。

综上所述，2024年的数学复习备考要在《高考评价体系》的指导下，注重基础和通法，突出主干和

重点，聚焦能力和素养，尝试小做和巧做，规范步骤和成文，提高考试的技巧。最终，从课本岀发，由基

础到能力，构建完整的数学知识结构体系，形成整体性的数学“认知框架”，提高数学能力和学科核心素养,

在融会贯通知识的基础上达到灵活运用、创新求活。

监真题解读

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合知={-2,—1,0,1,2},N={X|X2-X-6>0),则()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

【命题意图】本题考查简单•元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查数学运算核心素养.

难度：容易.

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为N=WX2-X_620}=(-8,-2M3,+8),而知={—2,-1,0,1,2},

所以历cN={-2}.

故选：C.

方法二：因为加={-2,-1,0,1,2},将-2,-1,0,1,2代入不等式*2—犬一620,只有-2使不等式成立，所以

〃CN={-2}.

故选：C.

【点评】集合是髙考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，位于选择题的前2题的位置匕考查热点一是集

合的并集、交集、补集运算，

【知识链接】

1.求解集合的运算问题的三个步骤：

(1)看元素构成,集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数

集、点集还是图形集等，如{x|y=f(x)},{y|y=/(x)},{(x,y)|y=/(x)}三者是不同的.；

(2)对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；

(3)应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(世〃〃).

4

2.已知z=，：，则z-W=()

2+21J

A.-iB.iC.0D.1

【命题意图】本题考查共辄复数及复数的四则运算,考查数学运算的核心素养.

难度：容易.

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共粗复数的概念得到口从而解出.

1-i-2i1-1

【详解】因为z=G=所以Z*,即Z二一

故选：A.

【点评】复数是高考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，位于选择题的前2题的位置匕或者填空题第

1题；考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共鋸复数、纯虚数等，都结合J'复数的加

减乘除运算。

【知识链接】

解复数运算问题的常见类型及解题策略

(1)复数的四则运算，特别是除法，要先将分母实数化.再结合题意考察复数模，几何意义，共扼复数等；

(2)若题目只给出复数Z,一般要设出复数2=。+初，再带入题意计算；

(3)复数几何意义也常与圆结合在一起考查，注意结合图形，利用数形结合综合解题。

复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作•类同类项，不含i的看作另一类同类项，分

别合并即可.

3.已知向量“=(1,1),厶=(1,-1),若(a+/lb)丄(a+〃b),则()

A.2+〃=1B.2+〃=-1

C.=1D.2〃=-1

【命题意图】本题考查平面向量坐标的线性运算及垂直的坐标表示形式，考查数学运算的核心素养.

难度：容易.

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出4+46，a+曲,再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为a=(l』),6=(l,-l)，所以a+，b=(l+41-4),。+〃6=(1+〃』一〃)，

由(a+2b)丄(“+〃可得，++=0,

即(1+九)(1+〃)+(1_/1)(1_〃)=0,整理得：加=-1.

故选：D.

【点评】向量是高考数学的重要解题工具，，一般有有道题以客观题形式考查,考查热点是平面向量的线性

运算及平面向量的数量积，可以是容易题,也可以是中等难度题，也可以结合其他知识点加大难度考察；容易

5

题一般单独考查平面向量知识,中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.

【知识链接】

（1）平面向量的基底表示是重点；

（2）向量的加（减）法是重要解题工具

（3）向量的共线是核心人=

（4）向量模，向量数量积，特别是最值，范围是考查的重点难点

（5）向量在新教材中增加「投影向量，投影单位向量；

4.设函数/（力=2不引在区间（0,1）上单调递减，则〃的取值范围是（）

A.（f-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,田）

【命题意图】本题考查指数型复合函数的单调性问题，考查数学运算的核心素养.

难度：中等偏下

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=2,在R上单调递增，而函数〃x）=2｛询在区间（0,1）上单调递减，

2

则有函数y=x（x—a）=（x-]号在区间（0,1）上单调递减，因此計1,解得“N2,

所以〃的取值范围是[2,+8）.

故选：D

【点评】函数问题一直是高考的重点考察对象，如函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性，函数零点问

题等；呈现方式可以是选择题或填空题，难度可以是简答题型，也可以结合奇偶性，周期性，对称性综合

考查，难度中等，或者考查零点问题，结合函数图象，数形结合，难度一般比较大。

【知识链接】

（1）函数中图象的翻折变化，对称变化，以及利用特殊值，奇偶性，单调性，极值点，零点，极限等工具

判断或画出函数图象是考查重点；

（2）函数奇偶性+单调性或者奇偶性+对称性+周期性综合考查，难度一般比较大，此类题型注意结合函数图

象考察

（3）对数函数是高中生的弱点题型之一，对数函数特别注意定义域，忽视定义域可能直接造成错解；

（4）函数的零点常常和对数函数，三角函数结合考查，注意结合图形解题

（5）总之函数问题，定义域是隐藏的坑，数形结合是解题的金钥匙；

22

5.设椭圆6：£+丁=1（。＞1）6：?+》2=1的离心率分别为4,4.若02=6耳，则。=（）

6

A.込B.41C.V3D.76

3

【命题意图】本题考查椭圆的离心率计算，考查数学运算的核心素养.

难度：容易

【答案】A

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.

【详解】由e,=Gq,得星=3d,因此1=3x伫口，而所以〃=拽.

-'4a-3

故选：A

【点评】解析几何在高考中一般有2道选填试题左右，一般涉及椭圆、双曲线、抛物线；有时候也考查直线

与圆；难度一般都是中等，或者结合其他知识如:向量，正余弦定理综合考查；

【知识链接】

（1）圆锥曲线的小题中常考查的知识点有：离心率，定义，焦点三角形，焦点三角形面积等，直线与圆锥

曲线的位置关系；

（2）圆锥曲线中常用的二级结论，如焦点三角形面积，切线，中点弦问题等平时应多注意记忆相关结论，

小题可直接使用；

6.过点（0,—2）与圆/+产-以-1=0相切的两条直线的夹角为a,贝l]sina=（）

A.1B.—C.—D.国

444

【命题意图】本题考查圆的切线问题和二倍角问题,考查数学运算的核心素养.

难度：容易

【答案】B

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，

结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得公+8%+1=0,利用韦达定理结合

夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为/+/-4..1=0,即（x—2>+丁=5,可得圆心C（2,0）,半径r=逐，

过点尸（0,-2）作圆C的切线，切点为A,B,

因为|PC|=次+(-2)2=20,则=7|PC|2-r=,

可得sinZAPC=,cosZAPC=-^==—,

2V242V24

则sinZAPB=sin24Ape=2sinZAPCcosZAPC=2x—x—=—,

444

7

2

cosZ.APB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2Z.APC=画--<0

44

即ZAPB为钝角，

所以sina=sin（兀-NAPB）=sinZAPS

4

法二：圆r+y2-4x_]=。的圆心。（2,0）,半径「=石，

过点P（0,-2）作圆。的切线，切点为A8,连接AB,

可得IPC|=商+（-2丫=20,则|P川=归⑼=JlPCf-产=，

因为+|PB|2一21PA却cosNAPB=|C4|2+|C砰-2|CA|-|CB|COSZACB

HZACB=TC-ZAPB,则3+3-6cosZAPB=5+5-10cos（7t-ZAF>B）,

即3-cosZAPB=5+5cosZAPB,解得cosNAPB=--<0,

4

即NAP8为钝角，贝！］cosa=cos（兀-/4P8）=-cosZAPB=；,

旦a为锐角，所以sina=Jl-cos2a=凶^；

4

方法三：圆*2+'2-以_1=0的圆心C（2,0）,半径『=百，

若切线斜率不存在，则切线方程为丫=0,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程为丫=履-2,即日-），-2=0,

则।c~=L=#1,整理得标+8Z+1=0，J5.A=64—4=60>0

我+1

设两切线斜率分别为3月，则用+&=-8温的=1,

可得％&I=］（匕+&2）2-4"2=2>/15,

所以tana=—~—=V15,即包纟=715,可得cosa=当？，

1+匕&cosavl5

n

则sin2a+cos2a=sin2a+a=1,

、15

“则sina>0,解得sina=

故选：B.

8

【点评】圆的问题常数形结合，通过图形直观感知，另外圆的问题，圆心是核心；本题结合切线，构造直

角三角形，再综合二倍角考查，考查学生的思维过程和对已知条件的转化。

【知识连接】

（1）圆的方程，包括标准方程，一般方程

（2）圆的问题，画图是重点，圆的切线，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系是常考知识点；

（3）直线与圆相切常用结论：圆心到直线距离等于半径；

（4）直线与圆相交，弦长A8=2,戸_解

（5）两圆相交，公共弦方程，用两圆方程作差，得到的就是公共弦方程；

（6）与圆有关的最值问题，圆心是核心：

q

7.记为数列｛4｝的前"项和，设甲：｛%｝为等差数列；乙：｛厶｝为等差数列，贝I（）

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【命题意图】本题考查等差数量的通项公式，前〃项和公式，充分必要性的逻辑推理,考查数学运算与逻辑

推理的核心素养，

难度：中等

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前〃项和与第〃项的关系推理判断

作答.，

【详解】方法1，甲：｛〃,｝为等差数列，设其首项为4,公差为"，

°n(n-l).Sn-\.ddS,

则rlll丁乩『t}+丁=—n+a.----&=丄

212n+1n2

S

因此｛2｝为等差数列，则甲是乙的充分条件:

n

｛員｝为等差数列,即当上为常数

反之，乙:设为，,

n

9

即=t,则s“=na„-rn(n+l),有5,,^=(n-l)a„-tn(n-l),n>2,

n(n+1)+l

两式相减得：a”=叫向-5T)a“-2m,即《卄1-4=21,对”=1也成立，

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛4｝为等差数列，设数列｛为｝的首项外,公差为d,即S“=〃q+gld，

则2=4+”工"=4〃+4-4，因此｛2｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222n

反之，乙：｛2｝为等差数列，即一■一丄=£>,==5+5-1)0,

nn+\nn

即Sn=g+n(n-l)D,SB,,=(n-l)S1+(n-1)(〃-2)D,

当〃N2时，上两式相减得：S,,-S,i=E+2("-l)Q,当〃=1时，上式成立，

于是。“=4+2(〃-1)£),又a„+t-a„=a,+2nD-[ax+2(〃-1)。]=2£>为常数，

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

【点评】本题考查等差数列的常用结论，如等差数列的通项公式可以写成4=〃〃+4,前.〃项和可以写成

S“=A/+3〃，小题中可以直接使用；另外充分性与必要性如果不成立，也可以举反例.

【知识连接】

(1)等差数列证明方法：①定义法：4+1-。“=。(〃6%*)(或者4-41=1(n22))②等差中项法：

。川+。,1=2。“(〃之2)

(2)等差数列判断方法有：①定义法；②等差中项法；③通项形如q=P〃+4：④前〃项和形如

2

Sn=An+Bn

(3)等差数列常考性质：当w+"=p+q时，am+an=ap+aq(m,n,p,qeN*).

特别地，若〃?+〃=2〃，则+。“=2%,(〃2,〃，0eN*).

(4)片段和性质：S“，S2ll-Sn,S3,-S2,,…也成等差数列，公差为“2小

L

(5)两个等差数列比值问题：若数列｛%｝,｛么｝均为等差数列且其前〃项和分别为Sn,7；,则：=廿

bn&T

8.已知sin(a-夕)=丄,cosasin4=丄，则cos(2a+27?)=().

36

10

【命题意图】本题考查三角函数正弦两角和(差)公式，余弦二倍角公式,考查数学运算的核心素养.

难度：中等.

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(a+/?),再利用二倍角的余弦公式计算作答.

【详解】因为sin(a-0=sinacos尸-cosasinA=丄,而cosasin/?=丄，因此sinacos6=丄,

362

2

则sin(a+/?)=sinacosp+cosasin夕=§,

2।

所以cos(2a+2〃)=cos2(ar+£)=l-2sin2(a+y0)=1-2x(—)2=—,

故选：B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系.解

题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角

相同或具有某种关系.

(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得

的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.

【点评】三角函数与解三角形在新高考I卷中一般有1到2道客观题，考查热点是三角函数定义，三角变

换及三角函数的图象与性质.本题侧重考查公式的记忆与熟练使用，特别是余弦二倍角公式有3个，考查能

正确选择合适的公式解题.

【知识链接】

(1)sin(a±=sinacos/3±cosasin(3

(2)cos(a±0=cosecosp.sinasin/?

(3)sin2«=2sintzcosa

⑷cos2cr=cos2<z-sin2a=l-2sin2a=2cos2<2-1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.有一组样本数据%,工2,…,*6,其中演是最小值，%是最大值，则()

A.%，不，4毛的平均数等于为，々一、入6的平均数

B.%2,^,x4,%5的中位数等于王,々，…，血的中位数

C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于傾,*2,…，X6的标准差

D.£,毛,匕,毛的极差不大于玉,吃,…,毛的极差

【命题意图】本题考查用样本估计总体中的平均数，中位数，标准差，极差，考查数学运算和逻辑推理的核

11

心素养.

难度：容易.

【答案】BD

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.

【详解】对于选项A：设生如匕,毛的平均数为机，4七,…瓜6的平均数为〃，

则〃_机=X1+X2+X3+X4+X5+/_X2+X3+X4+X5=2(.+X6)-(X5+%+4+匕)

"61T12

因为没有确定2(%+%),毛+马+玉+%的大小关系，所以无法判断粧”的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得〃?=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得加=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得加=2,〃="；故A错误；

6

对于选项B：不妨设不(工3«冗44天工工6，

可知王，七，匕，三的中位数等于%，%，…，%的中位数均为厶产，故B正确；

对于选项C：因为演是最小值，%是最大值，

则马,工3，匕,刀5的波动性不大于西,々,…,X(,的波动性，即％,XpZ,Xs的标准差不大于％,W，…,吃的标准差,

例如：2,4,6,8,10,12,则平均数〃=:(2+4+6+8+10+12)=7,

4,6,8,10,则平均数%=；(4+6+8+10)=7,

标准差S2=£[(4-7)2+(6-7『+(8-7『+(10-7)1二旧,

显然亚1>5,即心>S2；故C错误；

3

对于选项D：不妨设再4毛4匕4%，

则%-占之%-々，当且仅当为=与,%=%时，等号成立，故D正确：

故选：BD.

【点评】统计是每年常考题型，常以多选题呈现，涉及到频率分布直方图，条形图，扇形图，平均数，众

数，中位数的估计值，方差，标准差，极值；试题往往比较简单，新教材中增加了第p百分位数

【知识链接】

(1)第P百分位数的定义

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有P%的数据小于或等于这个

12

值，且至少有（1-P）%的数据大于或等于这个值.

（2）计算一组〃个数据的第P百分位数的步骤：

第1步,按从小到大排列原始数据.

第2步，计算i=〃xp%.

第3步，若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第P百分位数为第j项数据;若i是整数，则第P百分位数为

第j项与第（/+1）项数据的平均数.

（3）标准差与方差

如果有〃个数据须，%,X,♦,那么平均数口，标准差为：

n

222

S^J-[（XI-X）+（X2-X）++（七一嚏）2],方差：$2=丄[（$-X）2+*2—+（X„-X）]

Vnn

（4）在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值

①最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数；

②中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的；

③平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标

之和.

10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级4=20xlg£,其中常数

P。

Z（为>0）是听觉下限阈值，。是实际声压.下表为不同声源的声压级:

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车106090

混合动力汽车105060

电动汽车1040

己知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为Pi，P2，P3,则（）.

A.pt>p2B.

C.p,=100p（）D.Pi41000

【命题意图】本题考查对数不等式的解法，对数函数的实际应用，考查数学运算的核心素养.

难度：中等.

【答案】ACD

【分析】根据题意可知厶八e[60,90],e[50,60]，4,=40,结合对数运算逐项分析判断.

[详解】由题意可知：4e[60,90],%e[50,60],4,=40,

13

对于选项A：可得=20xlg出■-20x1g卫=20xlg且，

PoPoPi

因为L/C，则414=20xlg且NO,即lg且20,

PiP2

所以且21且pup?〉。，可得p旧pz,故A正确；

Pl

对于选项B：可得厶八-4,=20xlg卫-20xlg£l=2°xlg卫，

'PoPoP)

因为厶%一4、=4,-40210,贝1]20*电及210,即IgHz；,

p3凸2

所以口N厶且厶,心>0,可得p,2厶厶，

〃3

当且仅当丄也=50时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为4=20x1g2=40,即3乙=2,

PoP<>

可得厶=100,即厶=100%,故C正确；

Po

对于选项D：由选项A可知：4,-4,=20x1g且，

Pi

且^<90-50=40,则20x1g且440,

〃2

即电且42,可得且4100,且回,外>0,所以乃《1000,故D正确；

PlP1

故选：ACD.

【点评】指数函数和对数函数是高考的重点内容，小题中常涉及到相关函数的图象，不等式解法，复合函

数的单调性，值域，有时也可在填空题中涉及开放性问题，难度可以从简单到难，涉及函数问题，一定要

注意考虑定义域

【知识链接】

(1)对数的运算性质

如果。〉0,且〉0,N>0,那么：

①log.(M-N)=logaAf+log“N；

②log噂=log/Tog,N：

③log“M"=〃log"M(neR).

(2)对数的换底公式

14

对数的换底公式：log,/=b（a>o,且a¥l；c>0,且c丰\-,b>0）.

log,a

换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成

什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

换底公式的变形及推广：

①logb"=—log,,b(a>0且aw1,。>0)；

“m

②logb=——(a>0且a声\,b>0且b+1).

Iog〃a

③log.log/-log/=log/(其中a,b,c均大于o且不等于1,J>0).

22

11.已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=yf(x)+xf(y),则().

A."0)=0B.41)=0

C./(x)是偶函数D.x=0为的极小值点

【命题意图】本题考查抽象函数问题,考查数学抽象的核心素养.

难度：中等.

【答案】ABC

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC,举反例/(x)=0即可排除选项

D.

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D,可构造特殊函数八=进行判断即可.

[0,x=0

【详解】方法一：

因为/3)=yV(x)+x"(y),

对于A,令x=y=0,f(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则于-1)=0,

令y=T,/(-X)=/(%)+x2f(-l)=f(x),

又函数/(X)的定义域为R,所以/(x)为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令〃x)=0,显然符合题设条件，此时/")无极值，故D错误.

方法二：

因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y),

对于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=令/(I)=1/(1)+1/(1),则/(I)=0,故B正确.

对于C,令x=y=—l,/(I)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(-1)=0,

15

令y=-1,/（一x）=令x）+x2/（-l）=fM，

乂函数/（X）的定义域为R,所以/（X）为偶函数，故C正确,

对于D,当一〉'2工0时，对/（冲）=）72/（工）+工2/（,）两边同时除以炉产，得到4^2=/孚+/学,

xyxyy

故可以设型=也凶（1*0）,则〃x）=x2ln|x|,x^O

0,x=0

当x>0肘，f(x)=x2Inx,则/"(x)=2xlnx+Y­—=x(21nx+l),

令/（力<0,得令/«少>0,得x>e+

11\

故，（x）在0,et~2上单调递减，在e2,+8上单调递增,

/

-co,e2I二单调递减,

7

【点评】抽象函数问题常使用赋值法，在解题过程中特别注意函数的单调性和奇偶性，抽象函数往往伴随

着单调性，奇偶性考查

【知识链接】

（1）赋值法:

（2）举例法:

①如满足/（%+>■）=/（幻/⑶）的函数高中阶段只有指数函数;

②如满足/（孙）=/（©+/（y）的函数高中阶段只有对数函数；

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为OQlm,高为1.8m的圆柱体

16

D.底面直径为1.2m,高为（）.（）lm的圆柱体

【命题意图】本题考查立体几何的内嵌问题，考查直观想象的核心素养.

难度：中等偏上.

【答案】ABD

【详解】对于A选项，正方体内切球直径为1根，故A正确；

对于B选项，如图（1）,正方体内部最大的正四面体棱长为％=3>1.4,故B正确；

对于C选项，如图（2）,底面直径为O.O1加，可忽略不计，高为1.8加，可看作高为1.8机的线段，而正方

体体对角线为6<1.8,所以C错误；

对于选项D,如图（3）,高为0.01加，可忽略不计，看作直径为1.2加的平面图，E,F,G,H」,J为各棱

6

中点，六边形EGHU为正六边形,其棱长为在加，其内切圆直径为四,所以NGFH=NG”b=30，

2

所以FH=J5EG=GG”=^/〃，（等）2=T>（L2）2=L44,所以D正确；

【点评】立体几何每年高考都有1-2题小题，常涉及到体积问题，内切球，外接球问题，动点探索问题，单

纯考体积则比较简单，如多选题涉及到动点探索问题则比较难；本题考查一个几何体能否能否完全放入一

个正方体中，涉及到几何体的长、宽、高的最大值和长方体的中最大的长，宽、高进行比较；考查数形结

合的思想.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且

每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

【命题意图】本题考查排列组合问题，查数学运算的核心素养.

难度：容易

【答案】64

17

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.

【详解】(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C：C：=16利

(2)当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C：1c：=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C；C；=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

【点评】本题中涉及到分类加法计数原理，解题时要能分辨是排列问题，还是组合问题，还是排列和组合

的综合问题，本题考查比较简单，属于简单的组合问题；高考中还涉及到涂色问题，分配问题，二项式定

理问题，难度一般中等偏下或者容易题.

【知识链接】

(1)二项展开式的通项

二项展开式中的%=0,1,2,“)叫做二项展开式的通项，用Tk+i表示,即通项为展开式的第k+\

项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心，它在求展

开式的某些特定项(如含指定’幕的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的

应用.

(2)二项式系数的性质

①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：

4-1n4-1

②增减性：当化＜——时，二项式系数递增，当女〉——时、二项式系数递减；

22

③最大值：当“为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当〃为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.

(3)各二项式系数和

①(。+。)”展开式的各二项式系数和：

端+C：+…+&+…+£'；=2"(〃eN)

②奇数项的：项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：

端+亡+…=C：+C,：+…=2"T(〃e")

14.在正四棱台ABC。-中，AB=2，Ag=LA4,=0，则该棱台的体积为.

【命题意图】本题考查台体体积，考查数学运算和直观想象的核心素养.

难度：容易.

【答案】捶］加

66

【分析】结合图像，依次求得A«，AO，AM,从而利用棱台的体枳公式即可得解.

18

【详解】如图，过A作AM丄AC,垂足为〃，易知AM为四棱台ABCD-AACQ的高，

因为厶3=2,=1,A4,=丘,

则4。1=gx0AB|=W，A0=；AC=；x®AB=4i,

故AM=g(4C-AG)=#，则4m={4*_冋2=小_.=当,

所以所求体积为丫=1X(4+1+"7T)X包=厶巨

326

故答案为：厶色.

6

【点评】立体几何的体积问题，表面积问题是常考问题，从简单的求体积，表面积，到利用割补法求解;

有时也长考查利用等体积法求点到平面的距离。

【知识链接】

(1)柱体体积：V=Sh

(2)椎体体积：V=-S/2

3

(3)台体体积：V=g(S上+S下+心百)〃

4,

(4)球