2023年山东省桓台第一中学数学高二年级下册期末监测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数Z满足（l+i）z=i,则Z的共扼复数三=:()

11.11.11.C11.

A.—I---1B.-------1C.-----1—ID.-----------1

22222222

2.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是y=±3尤，则该双曲线的离心率是（

A.√iθB.2√2C.亚D.拽^

33

3.设随机变量X的分布列为P（X=i）=α（g）',ι=l,2,3,则”的值为（）

91127

A.1B.—C.—D.—

131313

4.在ΔA3C中，*〃，c分别是内角A,B,C所对的边，若hcosC+CCOSB="sinA,则ZVWC的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.锐角三角形

5.随机变量X的分布列如下表，其中。，h,C成等差数列，且c='αθ,

2

X246

Pabc

则P(X=2)=()

6.已知回归方程y=2x-l,则该方程在样本（3,4）处的残差为（）

A.5B.2C.1D.-1

7.某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和

物理不得连续安排，则不同的排课方法数为O

A.60B.48C.36D.24

ɔ*

8.已知i是虚数单位，尸=-1，则计算一L的结果是O

1+z

A.1+zB.-1+/C.1-z

9.设函数/(x)=e*(l-2x),g(x)=ax-a,“>—1若存在唯一的整数,使/(x)-g(x)>0,则。的取值范

围是()

-l,-ɪ21

A.C.D.

-41,

2e⅛72e3e2

10.已知全集U={L3,5,7},A={3,5},则GA=

A.{1}B.{7}C.{1,7}D.{1,3,5,7}

用数学归纳法证明1+L+,++」—<〃(〃WN*,〃>1)时，第一步应验证不等式()

11.

232〃一1''

l+,<2,ll11111ɔ

B.IH----1—<2nC.I1H-----1—<3oD.11H-----1----1—<3

22323234

12.由2,3,5,O组成的没有重复数字的四位偶数的个数是()

A.12B.10C.8D.14

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知一组数据6,7,8,X,y的平均数是8,且肛=90,则该组数据的方差为

(1

14.二项式ʌ展开式中含Y项的系数是

Ivɪ

15.设集合A={1,3,5},B={3,4,5},则集合ArB=

(尤-1-)7的展开式的第3项为.

16.

Ix

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

∙Q

17.(12分)在AABC中，内角A5,C所对的边分别是α∕,c,已知tanC=——

1-cosB

(I)求证：ΔABC为等腰三角形;

12

(H)若AABC是钝角三角形，且面积为O幺，求幺h的值.

4ac

18.(12分)有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件.求:

(1)第一次抽到次品的概率;

(2)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.

19.(12分)(本小题满分13分)已知函数/(x)=0x-Inx(α∈R)°

(I)当α=l时，求曲线y=∕(x)在x=2处切线的斜率;

(∏)求/(X)的单调区间

(In)当α>0时,求/(x)在区间(O,e］上的最小值。

TT

20.(12分)在四棱锥ABCD中，底面ABC。为菱形，ND48=§,侧面WJP为等腰直角三角形，PA=PD,

点E为棱AZ)的中点.

(1)求证：≡PEBAMABCDX

(2)若AB=PB=2,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

21.(12分)已知正三棱柱ABC-A4G中，AB=2,AAt=√3,点。为AC的中点，点E在线段AA上.

(I)当AE:EA1=1：2时，求证DE±BC1；

(H)是否存在点E,使二面角。一BE—A等于60。？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由.

22.(10分)已知函数分(X)=(X+1)InX-X+1.

(I)^^∖x)≤x2+ax+l,求α的取值范围;

(∏)证明：(D/(x)≥0.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

算出z,即可得)

【详解】

由(l+i)z=i得，z='-=，+，i,所以I=，—，'

''1+z2222

故选：B

【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，共辗复数的概念，考查了学生基本运算能力和对基本概念的理解.

2、C

【解析】

分析：由题意，双曲线的焦点在)’轴上的双曲线的渐近线方程是y=±3χ,求得f=3,利用离心率的公式，即可求

解双曲线的离心率.

详解：由题意，双曲线的焦点在)'轴上的双曲线的渐近线方程是y=±3χ,

即£=3,所以双曲线的离心率为e='=J+(3)2=Jl+(g)2=千，故选c

点睛：本题主要考查了双曲线的离心率的求解问题，其中熟记双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查

了推理与运算能力.

3、D

【解析】

根据分布列中所有概率和为1求4的值.

【详解】

111127

因为P(X=i)="(-i=l,2,3(所以α(—I---1---)=14=—,选D.

3392713

【点睛】

本题考查分布列的性质，考查基本求解能力.

4、B

【解析】

TT

利用正弦定理和两角和的正弦化简ACOSC+CCOSB=asinA可得SinA=sin2A,从而得到SinA=I即A=—.

2

【详解】

因为∕?COSC+ccos8=。SinA,所以SinBCOSC+sinCcosB=Sin?A，

所以Sin(B+C)=siɪ?A即SinA=Sin2A，

因为A<0,%）,故SinA>0,故SinA=1,所以A=^,AABC为直角三角形，

故选B.

【点睛】

在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边

的关系式或角的关系式.

5、A

【解析】

根据a,b,c成等差数列，a+b+c=l,C=Jab可解得a,b,c,进而求出P（X=2）.

【详解】

4

2b=a-∖-c7

由VC=Ja814

得b=g.则P(X=2)=—，故选A.

2

a+b+c=12

C=一

21

【点睛】

本题考查根据随机变量X的分布列求概率，分析题目条件易求出.

6、D

【解析】

分析：先求当x=3时，9的值5,再用4-5=-1即得方程在样本（3,4）处的残差.

详解：当x=3时，9=2x3-l=5,4-5=-1,所以方程在样本（3,4）处的残差为-1.

故答案为：D.

点睛：（D本题主要考查残差的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平∙（2）残差=实际值-预报值，不要减反了.

7、D

【解析】

由排列组合中的相邻问题与不相邻问题得：不同的排课方法数为&&A；=24,得解.

【详解】

先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，

再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可,

即不同的排课方法数为"A；A；=24,

故选：D.

【点睛】

本题考查了排列组合中的相邻问题与不相邻问题，属中档题.

8、A

【解析】

根据虚数单位i的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值.

【详解】

解：i2——1»

.2i2i(l-i)2+2i]i£

'l+7^^(l+ι)(l-ι)-2一1'

故选A.

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

9,C

【解析】

先确定X=O是唯一整数解,再通过图像计算g(-D≥/(-D得到范围.

【详解】

f(%)=e'(1—2x)=>∕'(x)=ev(l+2x)

x>--是函数单调递减；函数单调递增.

22

存在唯一的整数厮，使/(x)-g(x)>O

取X=0,a>-∖,/(0)-g(0)=l+α>0满足，则0是唯一整数.

g(x)=ax-a恒过定点(1,0)

如图所示:

故答案选C

【点睛】

本题考查了函数的图像，函数的单调性，首先确定O是唯一解是解题的关键.

10、C

【解析】

根据补集定义直接求得结果.

【详解】

由补集定义得：QA={1,7}

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.

11、B

【解析】

根据〃∈N",”>1,第一步应验证〃=2的情况，计算得到答案.

【详解】

因为WeN",">1,故第一步应验证〃=2的情况，即l+'+J<2∙

23

故选：B.

【点睛】

本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数学归纳法的理解和掌握.

12、B

【解析】

根据个位是O和2分成两种情况进行分类讨论，由此计算出所有可能的没有重复数字的四位偶数的个数.

【详解】

当O在个位数上时，有6=6个；当2在个位数上时，首位从5,3中选1,有两种选择，剩余两个数在中间排列有2

种方式，所以有2x2=4个所以共有10个.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查简单排列组合的计算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2

【解析】

根据题意，列出关于％,y的等量关系式，结合孙=90,求得χ,y的值，利用方差公式求得结果.

【详解】

一组数据6,7,8,x,y的平均数是8,且孙=90,

所以6+7+8+x+y=8x5=4(),

化简得x+y=19,又盯=90,

所以X，)'的值分别为10,9或9,10,

所以该组数据的方差为：

/中6一8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(1。-8沟吟=2,

故答案是：2.

【点睛】

该题考查的是有关求一组数据的方差的问题，涉及到的知识点有方差公式，属于简单题目.

14、210.

【解析】

分析：先根据二项展开式通项公式得含χ3项的项数，再代入得系数

详解：因为&I=GO(点y~(-正^)'=G(TyXE,，所以“；10=3.」=6

O

因此含/项的系数是Cζ(T)6=210∙

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第厂+1项，再由特定项的特点求出，•值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第厂+1项，由特定项得出「值，最后求

出其参数.

15、{3,5}

【解析】

根据集合A,8,求出两集合的交集即可

【详解】

A={1,3,5},B={3,4,5)

r.AcB={3,5}

故答案为{3,5}

【点睛】

本题主要考查了集合交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题.

16、-xi

7

【解析】

利用二项式定理展开式。；./-,1一3%]，令r=2可得出答案.

【详解】

（x--^的展开式的第3项为《χ5J-L]=Zχ3,故答案为2χ3.

I7x）I7xJ77

【点睛】

本题考查二项式指定项，解题时充分利用二项式定理展开式，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)证明见解析；(II)2+√3

【解析】

(I)将正切化弦，结合两角和差正弦公式可求得SinC=Sin(6+C),根据三角形内角和可整理为SinC=SinA,

则由正弦定理可得到结论；(∏)利用三角形面积公式可求得SinB=根据三角形为钝角三角形且(I)中的c=α,

2

可知3为钝角，求得CoSB；利用余弦定理可构造方程求得4/之间关系，从而得到所求结果.

【详解】

,、工„sin83sinCsinB

(τI)由tan。=--------得：------=--------

1-cosBcosC1-cosB

则：SinC=sinBCoSC+cosBSinC=Sin(B+C)

∙.∙A+B+C=τr.∙.sin(6+C)=sin(乃-A)=SinA.∙.sinC=sinA

由正弦定理可知：c=a

,AABC为等腰三角形

2ɪ

(H)由题意得：S=LaCSinB=La2sinB=±,解得：Sin8=一

2242

ΔABC为钝角三角形，且α=c.∙.B为钝角.∙.cosB=-—

2

由余弦定理得：b2=cr-Vc1-2。CCoSB=2a~+∖∣3a~=(2+6)/

—=⅛=2+√3

aca~

【点睛】

本题考查三角形形状的求解、利用余弦定理、三角形面积公式求解三角形边之间的关系问题，涉及到两角和差正弦公

式、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数值的求解等知识.

14

18、(1)—(2)—

419

【解析】

(1)抽到每件产品的可能性相同，直接做比即可(2)考虑剩余产品数目和剩余次品数目再做比例。

【详解】

设第一次抽到次品的事件为A，第二次抽到次品的事件为8∙

(1)因为有20件产品，其中5件是次品，抽到每件产品的可能性相同，所以第一次抽到次品的概率为P(A)=TJ=；.

(2)第一次抽到次品后，剩余19件产品，其中有4件次品，又因为抽到每件产品的可能性相同，所以在第一次抽到

4

次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(BlA)=7.

【点睛】

本题考查古典概型和条件概率，属于基础题。

1(0,1)

19、(I)2(∏)当α≤°时，/(X)的单调递减区间为(°，+8)；当。>°时，函数/(X)的单调递减区间为‘a,

(—,+∞)0<α<—1ci≥—((、1

单调递增区间为。(HI)当e时，J(X)在区间(O,eJ上的最小值为αe-l,当e,/00在区间(()，ej

上的最小值为1+Ina

【解析】

/(ɪ)=X-In%,f∖x)=(ɪ>0)"\

试题分析：(I)利用导数几何意义求切线斜率：当α=ι时，X,故曲线y="χ)

—f'(x)=a--=-~~-(x>0),..„

在％=2处切线的斜率为2(Ii)因为XX,所以按。分类讨论：当αV0时，/f(x)<°,

递减区间为(“+°0)；当。>°时，在区间。上，/(x)<°,在区间。上，/(X)>°,单调递减区间为a,

(一,+oo)

单调递增区间为a.(∏i)根据(∏)得到的结论，

—I>eC()<al<—,.—1ʌ,eQ2、1.

当。，即e时，/O)在区间(°，e］上的最小值为/(e),f∖e}=ae-∖,当。一，即1e时，在

m1f(ɪ)ʃ(ɪ)=I-In工=1+Inα

区间(O,eJ上的最小值为a,aa

f(x)=x-↑nx,f'(x)——~ɪ(%>0)

试题解析：解：(I)当α=l时，龙，2分

ɪ

故曲线y=/(%)在尤=2处切线的斜率为73分

/="=竺二!■(x〉0)

(∏)XX。4分

①当α≤°时，由于x>°,故以T<0,∕(x)<°。所以，/W的单调递减区间为(°，+8)。5分

JV——

②当a〉0时，由/'(X)=0,得'ao

在区间Q7(上，/'(χ)<°,在区间(7+8)上，/'(幻>0。

(0,—)(―,+∞)

所以，函数/S)的单调递减区间为a,单调递增区间为a7分

(0-)

综上，当a≤°时，/(X)的单调递减区间为(°，+8)；当。>()时，函数/(%)的单调递减区间为，单调递增区

1、

(一,+00)

间为a。8分

(ΠI)根据(H)得到的结论，

1八1

—>e()<a<—.

当a,即e时，/(X)在区间(°，0上的最小值为/(e),f(e)=ae-l。期分

3ea≥-f/ɑ1/(—)ʃ(-)=1-ɪnɪ=1+In«

当a,即e时，J")在区间(°，句上的最小值为ataa012分

ŋCVQ<l—Q、N—1

综上，当e时，/(x)在区间(0,e］上的最小值为这一1,当-e,/O)在区间(0,e］上的最小值为1+lna。

13分

考点：利用导数求切线斜率，利用导数求单调区间，利用导数求函数最值

20、(1)见解析；(2)立

4

【解析】

(1)根据线面垂直的判定定理，先证明4)，面PE6,再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；

(2)先由题中数据，得到PE上EB;再以E为坐标原点，分别以E4,EB,JEP所在直线为乂》/轴建立空间直角

坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值，进而可得出结果.

【详解】

(1)证明：YQA=PE>,E为棱AO的中点，∙∙.LAC),

TT

又VABCD为菱形且ZDAB=-,:.EBlAD,

•：PECEB=E，∙∙∙AD_L面PEB,

：ADu面ABCD,：.面PEB±面ABCD；

(2)解：I，AB=2»NDAB=—,BE=g>PE=1,

又PB=2，：.PE?+EB?=PB"则

以E为坐标原点，分别以E4,EB,EP所在直线为％Xz轴建立空间直角坐标系.

则A(l,0,0),β(0,√3,0),P(0,0,1),C(-2,√3,0),

BA=(I,-G,0),BP=(OCP=(2,-61).

设平面PBC的一个法向量为"=(χ,y,z).

n-BP=-ʌ/ɜv+z=0

由｛-L,取y=l,得〃=(

n-CP=2x-∖∣3y+z=0

设直线AB与平面PBC所成角为θ.

所以Sinθ=CoS(B4,=IBAjl==—

'/网W2x24

【点睛】

本题主要考查证明面面垂直，以及求线面角的正弦值，熟记线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求

线面角即可，属于常考题型.

21、（I）证明见解析；（II）存在点E,当AE=注时，二面角。一BE—A等于60°.

2

【解析】

试题分析：（I）证明：连接。G，=由ABC-AAG为正三棱柱=ΔΛ8C为正三角形=BoJ_AC,

又平面ABC，平面AC£4=30，平面ACcA=>5。，£>。易得。£，。&n。石_£平面

BOG=>OE_LBG.（∏）假设存在点E满足条件，设A£=加.由平面建立空

间直角坐标系。一孙z,求得平面DBE的一个法向量为

rt1=(-w,O,l),平面ΛSE的一个法向量为

试题解析：(I)证明：连接。α,

因为ABC-44G为正三棱柱，所以ZVLBC为正三角形，

又因为。为