新人教A版高中数学《二项分布》教学设计

7.4.1二项分布教学设计

一、内容与内容解析

1.内容：〃重伯努利试验，二项分布及其数字特征。

2.内容解析：

(1)〃重伯努利试验："重伯努利试验也称“次独立重复试验，其特征是独立性(各次试

验之间相互独立)和重复性(在同一试验条件下重复进行试验)，判断试验是否是〃重伯努利试

验是本节课的重点也是难点。

(2)二项分布是基于特殊试验(〃重伯努利试验)的特殊概率模型，对于服从二项分布的

随机变量A,运用二项分布的知识，能快速解决关于A的相应问题；另外，相较以往的概率计

算方法，基于二项分布能将运算量减少，提高效率的同时能提高准确率。在教学中，将利用二

项分布解决问题的方法和其他方法比较，体会其优势。

3.教学重点：〃重伯努利实验，二项分布及其数字特征。

二、目标与目标解析

1.目标：

(1)理解伯努利试验以及“重伯努利试验的概念,掌握随机变量服从二项分布的有关计算；

(2)能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的

均值和方差；

(3)在具体问题的解决过程中，领会二项分布需要满足的条件，培养运用概率模型解决实

际问题的能力：

(4)在利用二项分布解决一些简单的实际问题过程中，深化对某些随机现象的认识，进一

步体会数学在日常生活中的广泛应用。

2.目标解析：

达成上述目标的标志是：

(1)能抓住"重伯努利试验的两大特征：独立性和重复性；

(2)能准确识别伯努利试验中的成功事件及成功概率；

(3)体会到二项分布事实上是特殊随机试验下的特殊概率模型，其本质是只关心在“重伯

努利试验中成功的次数，而不在意哪一次成功，因此与组合问题相通，充分理解3的由来。

三、教学问题诊断解析

1.问题诊断

(1)让学生体会学习二项分布的必要性是本节课的一个教学难点。在本节课前，学生所具

备的知识已经足够解决〃重伯努利试验中随机变量的分布列等相关问题，为何还要学习二项分

布？为了让学生主动接受并乐于接受二项分布，需要将选择权还给学生。因此，本节课将从探

究1的问题出发，学生运用已有能力，解决问题，教师基于学生的解答进行深化，得出从二项

分布的视角解决问题的方法，核心是对系数3的由来进行分析，让学生在思考4中体会这一

思路在解决问题中的优越性，进而自然而然接受特殊随机试验用特殊概率模型解决的思想。

(2)对二项分布的理解？在得出二项分布的概念后，“二项”二字会让学生自然联想的所

学的知识——二项式定理，因此抛出“对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系

吗？'‘这一问题，学生将两个知识进行对比，体会命名由来。其本质是只关心在〃重伯努利试

验中成功的次数，而不在意哪一次成功，因此与组合问题相通，充分理解3的由来。

(3)二项分布的期望、方差的推导本节课的一大难点。两个公式的完整证明对学生累加运

算要求较高，尤其是在符号不熟悉、运算性质较陌生的况下，学生单独推导难度很大。本节课

采用从特殊到一般的思想，先从特殊情况出发，由学生计算0.8、1Q和5时随机变量A

的期望和方差，并大胆猜想一般情况下的A期望和方差，而后由老师带领对期望进行证明，关

于方差的证明则作为课外探究由学生自行查阅资料完成。

2.教学难点：

(1)对二项分布的理解；

(2)在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布并能用二项分布解决问题。

四、教学支持条件分析

在前面的学习中，学生已经掌握了有关概率的基础知识，掌握了等可能事件概率、互斥事

件概率、条件概率和相互独立事件概率的求法，也学习了分布列的有关内容。二项分布是一种

应用广泛的概率模型，是对前面所学知识的综合应用。本节课的学习是从实际出发，通过抽象

思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。

五、教学过程设计

引导语前两节我们学习了离散型随机变量的有关知识，了解了离散型随机变量及其分布

列，基于分布列我们还研究了离散型随机变量的均值(数学期望)和方差，它们分别反应了随

机变量取值的平均水平和随机变量取值与其均值的偏离程度。本节我们将利用这些知识研究一

类重要的概率模型——二项分布。

1.课题引入

思考1下面是几个常见的随机试验，这些随机试验有何特征？

(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，观察正面向上还是反面向上；

(2)一个盒子中装有3个红球和2个黑球，从中任意摸取一个球观察其颜色；

(3)一个篮球运动员罚球一次。

概念1我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoullitrials)。

追问1你能举出一些伯努利试验的例子吗？

师生活动：结合问题，明晰概念，体会伯努利试验的特征。

【设计意图】学生通过对三个随机试验进行对比，发现它们的共性：试验只包含两个可

能的结果。引出伯努利试验这一概念，并通过学生举例，进一步强化对概念的理解，体会伯

努利试验的特征。

概念2我们将一个伯努利试验独立地重复进行。5次所组成的随机试验称为解重伯努利试

验。

追问20.5重伯努利试验有何特征？

思考2下面3个随机试验是否为05重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什么？

对于每个试验，定义“成功”的事件为帆那么?峨的概率是多大?重复试验的次数是多少？

(1)抛掷一枚质地均匀的硬币X次。

(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为10,连续射击3次。

(3)一批产品的次品率为2%,有放回地随机抽取气件。

思考3(1)伯努利试验与0.8重伯努利试验有何不同？

(2)在伯努利试验中，我们关注什么？在0.8重伯努利试验中呢？

【设计意图】让学生进一步体会0.5重伯努利试验的特征。明确伯努利试验是一个“有两个

可能结果的试验“，在伯努利试验中，我们关注某个事件跚是否发生；0.8重伯努利试验是将一

个“有两个可能结果的试验''重复进行了3次，我们关注事件嬲发生的次数10。进一步地，因

为10是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列。例如，对产品抽样检

验，随机抽取5%件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列。

2.合作探究

探究1某飞碟运动员每次射击中靶的概率为20。连续，次射击，中靶次数10的概率分布

列是怎样的？

师生活动：学生独立解决问题(结合树状图进行分析)，老师基于学生给出分布列进行评

析并进一步深化。

思考4如果连续射击那次，表示中靶次数X等于，4的结果有哪些？写出中靶次数X的分

布列。

师生活动：学生类比探究1进行分析，独立解决思考4。老师引导学生观察探究1和思考

4中的两个分布列，总结分布列的结构特征，形成二项分布的概念。

【设计意图】学生独立解决问题后，老带领学生对各个概率值的计算式中的系数进行分

析，引导学生发现其本质是只关心在〃重伯努利试验中成功的次数，而不在意哪一次成功，

因此与组合问题相通，充分理解3的由来，形成二项分布的概念。

3.概念生成与深化

二项分布一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为

购翩呱丽:碗,用X表示事件发生的次数，则X的分布列为

如果随机变量足的分布列具有上式的形式，则称随机变量皿服从二项分布(binomial

distribution),记作0.82x0.2。

思考5(1)二项分布中的各个量的意义是什么？对比二项分布和二项式定理，你能看

出他们之间的联系吗？

(2)二项分布与两点分布有何关系？

【设计意图】引导学生关注二项分布表达式中各个量的实际意义，对比二项分布与二项

式定理的结构特点，发现二者联系，理解命名由来；并利用二项式定理完成分布列中各概率

和为1的证明。同时，注意到两点分布是只有两种试验结果的随机试验的概率分布，也就是

伯努利试验的概率分布，自然的将其与二项分布进行比较，并得出两点分布是。烦皿的二项分

布，二项分布可以看做两点分布的一般形式这一结论。知识回扣的同时，加深学生对所学知

识的理解。

4.学以致用

［例1】将一枚质地均匀的硬币重复抛掷0次，求:

(1)恰好出现1次正面朝上的概率；

(2)正面朝上出现的频率在阳副出网.内的概率。

师生活动：学生独立完成，师生共同完成规范解答。

预设答案：

【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上'’和"反面朝上''两种结果且可能性相等,

这是一个0重伯努利试验。因此，正面朝上的次数服从二项分布。

【解析】设4“正面朝上”，则砧M小懵ME。用〃=1表示事件〃发生的次数，则

（1）恰好出现次正面朝上等价于c,于是

UX"X（1—.

⑵正面朝上出现的频率在口蜘犍侬内等价于Kl-p）+p]",于是

文=左）=文。:xx（1—[尸+《1-A”"=1

左=OJt=o

【设计意图】在问题的分析过程中引导学明确分析问题的基本思路，体会如何判断随机

变量是否服从二项分布并利用二项分布解决问题。让学生尝试使用其他方法（树状图分析

等）解决问题，与使用二项分布解决的方法对比，突出应用二项分布解决搬重伯努利试验中

随机变量的概率分布的优势。

【例2】如图是一块高尔顿板的示意图。在一块木板上钉着若干排

相互平行但相互错开的圆柱形小木钉。小木钉之间留有适当的空隙

作为通道，前面挡有一块玻璃。将小球从顶端放入，小球下落的过泠卜

程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底

部的格子中。格子从左到右分别编号为,用”=1表示小球

最后落入格子的号码，求”=|的分布列。

师生活动：学生在老师带领下进行问题分析，之后学生独立解决问题，教师巡视并答

疑。

预设答案：

【分析】小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果。设试验为观察

小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“后右下落”两种可能结果，且概率都是七沿。

在下落的过程中，小球共碰撞小木钉1蒯次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影

响，因此这是一个1枷重伯努利试验。小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此e硼

服从二项分布。

【解析】设4“向右下落”，则4="向左下落”，且尸(A)=O.5。因为小球最后落入

格子的号码幽I等于事件屣发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉次，所以

喇=5)=5。入言堞于是，幽I的分布列为-1-==

1024256■-----------------------一---------

则I的概率分布图如下图所示:

思考6我们厘清了一颗小求的情况，但高尔顿板中并非只有一颗小球，当高尔顿板中所

有的小球都落到格子中时，你认为他们会堆积出一个什么样的形状呢？

师生活动：学生猜想，老师播放视频验证猜想(视频截图如下)。

【设计意图】该问题情景比较复杂，学生在老师的引导下找到问题本质：小球碰到小木

钉后“向左下落”和“后右下落”的次数；进一步分析，发现试验是一个10重伯努利试验，进而

用二项分布的知识解决问题。并用实际实验视频“印证”理论分析。在解决问题的同时体现数

学在实际应用中的基本思路：实际问题——数学抽象——数学问题求解——解决实际问题。

小结二项分布中需要注意的问题和关注的点：

(1)当㈣4服从二项分布时，应弄清XB(〃,p)中的试验次数o与成功概率］。

(2)解决二项分布问题的两个关注点

①对于公式一，必须在满足“独立重复试验”时才能应用，

否则不能应用该公式.

②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生

与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了10次.

【例3】甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为

0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？

师生活动：学生独立解决问题，教师评讲并提出应用二项分布解决本题的想法，引导学

生思考如何用二项分布解决本题。

【分析】判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大,可以把“甲最

终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个

求概率；也可以假定赛完所有八局，把〃局比赛看成“重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获

胜”的概率。

【解析】解法1:采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1,前者是前两

局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜。因为每局比赛的结果是独立的，甲

最终获胜的概率为

22

PL=0.6+C；X0.6x0.4=0.648。

类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0,3:1或3:2。因为每局比赛的结果是

独立的，所以甲最终获胜的概率为

3332

p2=O.6+C；x0.6x0.4+C；x0.6x0.4=0.68256。

解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用幽表示3局比赛中甲胜的局数，则

X5(3,0.6)□甲最终获胜的概率为

Pi=P(X=2)+P(X=3)=C；X().62X().4+C；X().63=0.648。

采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用I嬲表示5局比赛中甲胜的局数，则XB(5,0.6)。

甲最终获胜的概率为

2=P(X=3)+X=4)+P(X=5)=C；x0.63x0.42+C；x0.64x().4+Cfx0.65=0.68256.

因为P2>8，所以5局3胜制制对甲有利。实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利。

【设计意图】本题学生不易发现“隐藏着的伯努利试验，更多的会使用分类讨论的方法

解决问题，在学生解答后，老师抛出“能否从二项分布的视角解决问题？''这一问题，激发学

生思考。学生在理解了为何可以“不妨设赛满3局”、"不妨设赛满5局”后，此类问题的求解

便可以大大减少思维难度。

【归纳】一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：

(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p;

(2)确定重复试验的次数〃，并判断各次试验的独立性；

(3)设1则为〃次独立重复试验中事件A发生的次数，则X

探究2:假设随机变量㈣服从二项分布B(〃,p)，那么幽的均值和方差各是什么？

【思考6］我们知道两点分布是0.8的二项分布，两点分布的期望和方差是什么？

【思考7】当1O时，二项分布的期望和方差是什么？试着计算并观察，说说你的发现。

师生活动：学生计算——猜想，老师带领学生完成证明。

分析过程：

(1)当〃=1时，X服从两点分布，分布列为

p(X=0)="p,P(X=l)=p.

均值和方差分别为

E(X)=p,D(X)=p(T—p).

(2)当〃=2时，X的分布列为

P(X=0)=(l-/2)2,P(X=l)=2p(l-p),P(X=2)=p2.

均值和方差分别为

E(X)=0x(l-/?)2+lx2p(l-p)+2xp2=2p

£>(X)=02x(l-p)2+l2x2p(\-p)+22xp2-(2p)2=2p(l-p).

猜想如果XB(n,p),那么E(X)=〃p,D(X)=〃p(l-p).

下面我们对均值进行证明。

令q=l—p,由kC：=〃C：,可得

E(X)=之kC：pkq-k=之仁二囱…=印

A=0k=1k=l

n-l

mm

令人一1=加，则E(X)=C3pq'-'-=np(p+力”=np.

〃J=0

一般地，如果XB(n,p),那么E(X)=〃p,£)(X)=〃p(l-p).

【设计意图】一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差也是我们关心的。从特殊的情况

进行分析，发现规律，大胆猜想，小心论证，得出结论。

【例4】一次数学测试由20道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是

正确的，每道题选择正确得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。已知小明选对任一

题的概率均为0.6,求小明在这一次测试中的成绩的数学期望和方差.

师生活动：学生独立完成，师生共同批改和纠错。

【解析】设小明在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X,所得的分数为丫。

由题意知，Y=5X,且X〜B(20,0.6),

则E(X)=20x0.6=12,E(X)=20x0.6x(l-0.6)=4.8o

故E(Y)=E(5X)=5E(X)=5x12=6(),D(Y)=D(5X)=52D(X)=25x4.8=1200

所以小明在这一次测验中的成绩的数学期望与