不等式性质与基本不等式-2023年高考数学考试（新高考）（原卷版）

专题03不等式性质与基本不等式

不等式性质与基本不等式

，

忽

视

多次应用忽视

字

母

运用基本一元

的

取

不等不等

值

范二次

式性式忽

围

而不等

质而略不

致

错式中

致错等式两根

成立大小

条件而致

错

ɪ.不等式两边同乘以一个数时，没有考虑该数的取值范围而致错。

2.在利用不等式性质求范围时，由于多次运用不等式性质导致范围扩大而致错。

3.有关含有参数的不等式问题中，忽略参数的取值范围而致错。

4.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正一一各项均为正；二定一一积

或和为定值；三相等一一等号能否取得"，若忽略了某个条件，就会出现错误.

夕布台所

一、忽视字母的取值范围而致错

1.（多选）对于任意实数。，h,c,d,下列四个命题中，其中真命题的是（）

A.若α>b,c≠0,则Qc>6c;B.若a>b,则Qc2>bc2;

C.若ad>儿2,则。>b；D.若”>6>0，Od>0,则〃c>6d∙

【错解】对于A,若a>b,当c<0时，则。Cebc,故A错误；对于B,若a>b,则欧2>庆2；故B

对；对于C,若〃。2>庆2，可得02〉0，所以a>b,故C正确；对于D,若Q>b>O,c〉d〉O,则

ac>bc>bd,故DiE确.所以选BCD.

【错因】

【正解】

2.（多选）下列说法中正确的是（）

A.若Q>b>O,则QC2>be?B.若Q<b<O,则Q2>Q6>〃

CCI1

C.若α>6>0,则一>—D.若且一>—,则必<0

ahah

【错解】对于A中，若。〉6〉0,当C=O时，则。。2=儿2,所以A不正确；对于B中，若a<b<O,

11

—>—

根据不等式的性质，可得所以B正确；对于C中，∣l∣α>b>O,可得αb,再根据不等

cc11h-aC

—>-----=---->0

式的性质可得“b,所以C正确；对于D中，若α>b,可得6-。<0,由“bab,可得必<0,

所以D正确。所以选BCD。

【错因】

【正解】

二、多次运用不等式性质而致错

已知-l<2α+b<2,3<a-b<4,求5α+b的取值范围.

【错解】因为一l<2α+b<2,3<a-b<4t两式相加得2<3α<6,所以W<5α<10,

3

因为一l<2α+6<2,—8<-2α+26<-6,两式相加得一9<3b<-4,所以一3<6<於，

3

所以与一3<5α+b<10-3,即5a+be(；,g)。

【错因】

【正解】

三、忽视不等式中高次项的系数

1.若不等式mx2+2WΛ-4<2x2+4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是()

A.(-2,2)B.(2,+∞)C.(-2,2]D.[-2,2]

【错解】原不等式可整理为(2-"φj+(4-2a)χ+4>0.

2—m>0,

由题意知必须满足,解得一2<m<2

(4-2//J)2—4×4(2-∕n)<0,

.综上知实数m的取值范围是(一2,2).选A

【错因】

【正解】

五、应用基本不等式求最值时，忽略不等式成立的三个条件，

1.(没有考虑等号能否取到)当XW(1,2)时，不等式/+/7优+4<0恒成立，则加的取值范围是()

A.tn≤-5B.m<-4C.m<5D.m>5

y*2-I-44

【错解】当Xe(1,2)时，由/+加工+4<0得加<一上==一(x+一).

XX

4

一(X+—)≤-2.:.m<-4,故选B。

x

【错因】

【正解】

2.(没有考虑“一正”)已知递增等差数列{%}中，ala2=-2,则%的()

A.最大值为-4B.最小值为4C.最小值为-4D.最大值为4或-4

,,2

【错解】因为q%=-2,由等差数列通项公式,设公差为d,可得《(％+")=—2,变形可得1=一/一7

而由等差数列通项公式可知

a=a+2d=a+2-ɑ,-ɪ=(-α,)+41Γ×l=-4

ili%+一(-2JaI

Ia∖/∖fl∣√a

aJV∖

当且仅当6=±2时取得等号，所以％的最大值为%选A。

【错因】

【正解】

三、忽视一元二次不等式中两根大小而致错

1.已知集合/={x∣χ2-(3α-l)x+2/-α<θ},集合8={x∣x?-4x+3<θ},命题尸：x&A,

命题。：x&B,若P是。的充分条件，求实数。的取值范围.

【错解】因为P∕∈N,Q-.xeB,若尸是。的充分条件，则4uB.

因为Z={x∣F一(34-l)x+2/-4<θ}={x∣(x+l-24)(x-a)<θ}

a>1

则/={xIα<X<2a—1},5={x11<x<3),/.‹>解得1<q,2.

2a-L,3

实数α的取值范围是[1,2].

【错因】

【正解】

1.(2022・南京外国语学校)已知α,b,c∈R,则下列四个命题正确的个数是()

①若ac2>bc2，则。>6；②若|"2|>性—2],则("2)2>(b-2)∖

「X什j八→,,ciα+c

③右α>b>c>O,贝rij—〉----④若Q>O,b>O,α+b>4,ab>4则。>2,b>2.

hh+cf

A.1B.2C.3D.4

2.已知1VQ+2X2,-2<2a-h<∖,则8〃+6的取值范围是（）

C.(-4.7)DE¾

3.（多选）下列结论正确的是（）

A.当x>0时，y[xT~~

yjχ

B.当x>2时，x+∙⅛勺最小值是2

X

51

C.当XV-时，4x—2+------的最小值是5

44x—5

149

D.设x>0,y>0,且x+y—2,则一I~一的最小值是」

Λy2

4.（多选）（2022∙广东中山纪念中学）若a>b>O,则下列不等式恒成立的是（）

bb+l1,1

A.—<------B.a+->b+-

aa+1ah

1,12a+ba

C.dH—>bT—D.--------->-

baa+2bb

5.（2022•全国高一课时练习）若不等式（a—2）χ2+2（α-2）x-4<0对一切x∈R恒成立，则实数a

取值的集合（

A.{a∖a≤2}B.{a∖-2<a<2}C.{a∣-2<a≤2}D.{a∣a≤-2)

6.已知a,b∈(0,+∞),则>+"+∣+4ah的最小值为(

)

ah

A.1B.2C.4D.6

7.（多选题）已知a>0,b>0,则下列命题成立的有（)

B.若ab=1,则L+,22

A.若ab=1,则/+b?N2

ah

D.若a+b=l,则^+,≥4

C.若a+b=l,则/+〃<-

2ab

8.(多选)下列命题为真命题的是()

A.若a>b>O,贝I]ac2>bc2B.若QVb<0,贝IJa2>ah>h2

C.若a>6>0且CV0,则名[D.若a>b且kɪ,则ab<O

azb~ab

9.关于X的不等式（/-I）χ2-（a-l）x—1<0的解集为R,则实数。的取值范围为（

B.

5

c.f-∣,lu{-l}

10.（2022•石家庄市第十九中学）设a>0,b>0,给出下列不等式不恒成立的是（）

A.a2+1>aB.a2+9>6a

c∙("叫+04D∙m≥4

IL(多选)在下列函数中，最小值是2的函数有()

1I(OVxV4

A.f(x)=x2-∖~--B.√(x)=cosxH--------L2j

xzCOSX

x2-∣-44

C.fix)=-7==D./(X)=3ΛH-------2

√÷H3，

12.(多选题)已知x>0,y>0,且x+y+号一3=0,则()

A.中的取值范围是[1,9]13.%+歹的取值范围是[2,+00)

C.x+4y的最小值是3D.x+2y的最小值是4后—3

114

13.已知α+b=l,α>0>b>0>则—∣—∣—；-7的最小值为()

aba+b

-15r-

ʌ.12B.6+4√r2C.—D.4+6√2

14.已知一2<