海南省2023-2024学年高三年级上册高考全真模拟（四）数学试题（含答案）

2023-2024学年海南省高考全真模拟卷（四）

数学

1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页.

2.考查范围：集合、常用逻辑用语、不等式、三角函数、平面向量、解三角形、函数与导数、数列、立体

几何、解析几何.

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知集合4={刈刀|,,1},5={-3,—2,—1,0,1,2,3},,则Ac5=()

A.{-3,-2,-1,0}B.{-2,-1,0,1}c.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1}

x+1

o_i_n

2.若函数/（%）=/.3rm为R上的偶函数，则实数。的值为（

A.-2B.2C.lD.-1

121

3.已知sin2a+—cos。=一,则tana=)

22

A.OB.4C.-4D.0或4

4.已知数列｛%｝的通项公式为。〃=2"+2,从该数列中抽取出一个以原次序组成的首项为4,公比为2的等

比数列气，气,,其中勺=1,则数列｛勺｝的通项公式为（）

A.勺=2"—1B.kn=2n+1

n

C.kn=2-2D.kn=2n-1

n’11'8（。’则下列说

5.己知函数〃X）=COS（5+0)。〉0,附〈（的部分图象如图所示，其中A

71

1

C.直线X=三S77■"是〃x）图象的一条对称轴

D.是/（X）图象的一个对称中心

6.已知函数了（尤）=-4,则/（%）的图象大致为（）

（尤―2）2

7.已知圆C过点（1,1）,（5,3）,且直线/:x+y=o被圆C所截得的弦长为J亚，若圆C的圆心在丁轴右侧，

则圆C的面积为（）

A.16"B.25»C.367rD.497r

8."大衍数列"来源于《乾坤谱》中对易传"大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原

理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知"大衍数列"的前10项分别为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,,据此可

以推测，该数列的第15项与第60项的和为（）

A.1012B.1016C.1912D.1916

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知。>6>0,则下列不等式正确的是（）

A.«+—>/?+—B.a—〃>sina—sin〃

ba

「27、°C

C.a>abD.一<一

ab

10.已知向量a=（sine,cose）为=（1,/'）,c=（3,,则（）

71

A.若a//b则。］

B力在C方向上的投影向量为gc

2

c.存在9,使得。在c—b方向上投影向量的模为1

D.|a—"J的取值范围为[1,3]

n.已知函数/(%)=acosa>x+bsina)x(a)>0)在x=三处取得最大值2,/(%)的最小正周期为万，则下列结

论正确的是()

A.f(x)=2cos^2x-yj

Bj(九)在0,1上的单调递减区间是

C.将y=/(X)图象上的所有点向右平移三个单位长度,再把得到的曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,

纵坐标不变，得到y=2cosx的图象

D.将y=/(x)图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移g个单位长

度，得到y=2cosx的图象

12.已知定义在R上的函数〃％)满足g(x)=sinV(l—力为奇函数，MX)=/(3x+2)的图象关于点(0,1)

对称，则下列说法正确的是()

A.函数y=/(%)的图象关于x=l对称

B.函数y=/(x)的图象关于点对称

C.函数y=f(x)的一个周期为4

2024

D./(/)=2024

1=1

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

22

13.已知双曲线C：工—二=1(。〉0)的渐近线方程为y=±3x,则双曲线C的焦距为.

a9

14.已知向量a,b满足|。|=4,|b|=2JXa—b\=2A/21,a•Z?=—4,则2=.

15.等差数列｛4｝,也｝前几项和分别为S“Z，且尸=3,则誉=.

3

221

16.已知椭圆。：=+2=13〉6〉0）的左、右焦点分别为耳,尸2,离心率为X，”为C上任意一点，且

ab2

MF；月的周长为6,若直线/:丁=左（%—1）+1经过定点N,贝ij|儿W|+|阿|的最小值为.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）

在ABC中，角所对的边分别为a,b,c,己知asiaB=bsin+A].

（1）求A的大小；

（2）若入。为3。上的高，且AD=2,求.A5C面积的最小值.

18.（12分）

如图，在长方体ABC。-AB1G2中，A4=&。=2,点M为A3的中点，点N是8耳上靠近用的三等

分点，8,与用。交于点。.

（1）求证：OM〃平面3CG4；

（2）若CO，用。，求点N到平面COM的距离.

19.（12分）

已知数列｛4｝的前"项和为SQ且塔/1一（"+1）5"=2/2+2〃,%=7.

（1）求S“；

（2）若2=5"•4,求数列也“｝的前〃项和Tn.

20.（12分）

如图，在四棱锥P—A3CD中，PAL^ABCD,底面A5CD为直角梯形，ZBAD=ZABC=9G-

AD=2B4=2AB=23C=2,点E为PB的中点.

4

(1)证明：PBkDE；

(2)求直线3D与平面PCD所成角的正弦值.

21.(12分)

已知抛物线C:丁=©的焦点为尸，直线小y=匕(x+2)与直线4：丁=%(%+2)与抛物线C分别交于点

尸,。和点氏5.

(1)若尢=：，求—PQ尸的面积；

(2)若直线PS与RQ交于点A，证明：点A在定直线上.

22.已知函数/(%)=如%-依2.

(1)当a=l时，讨论函数八%)的单调性；

(2)若不等式/(x)>ae*+(l—a)f—%恒成立，求实数。的取值范围.

2023-2024学年海南省高考全真模拟卷（四）

数学•答案

l.D2,A3.D4.A

5.C6,A7.B8,C

9.ABC10.BCDll.ABD12.ACD

l_513

13.2,1014.2或一一15.一16.3

23

17.解：（1）因为asiiLB=6sin[q+A],

结合正弦定理得，

sinAsinB=sinBsinIy+A1,

5

因为sinB>0,所以sinA=sin[1+Aj,

所以sinA=cosA+—sinA，

22

所以tanA=石.

又A«0,乃），所以A=g.

（2）由题意得，

S=—BCAD--bcsmA,

ABRC22

故。=^-bc・

4

由余弦定理，得"2=/+/一2bccOSA，

3

/.——b1c1=b2+c2-bc..2bc-bc=bc,

16

：.bc..^,当且仅当6=c时取等号，

3

ABC面积的最小值为工=

2323

18.解：（1）连接A£>i，BG.

易知。,M分别为线段BDX,A3的中点，

所以//ADX.

又AB=D]C]且AB//D©,

所以四边形A3GA是平行四边形，

所以ADX//BCX,故OM〃BQ,

又二平面BCCXBX,BC[u平面BCC[B],

故OM〃平面3CCI4.

6

(2)连接用CGN.由题易知BG=20.

易知。为耳。的中点，又COLBiD,

所以CD=B[C=2e.

以。为原点，DA,DC,DD[所在直线分别为羽％z轴

建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则C（0,2应,0）,M（2,贬,0）,O（l,V2,l）,2Vl2,2A/2,1

所以CO=（1,—后,1）,CM=（2,—后,0）.

设平面COM的法向量为小=（%,%,zj,

mCO=0,fx-41y+z,=0,

则,即二y

m-CM=0,\2x{-y/2yi-0,

令％=i,则％=e/i=i,

可得加=（1,V2,lj.

因为CN=12,0,：1,

\CN-m\5

故点N到平面COM的距离为d=1,,1=-

|m|3

19.解：（1）依题意，

nSn+i-（zz+l）Sn=2"+2〃=2〃（〃+l）,

故^±L__k=2,

n+1n

7

是以2为公差的等差数列.

而昆_县=g-q=2,

又42=7,解得q=3,

的首项为3,

q

则j=3+（"-1>2=2〃+1,

2

贝ijSn=2n+n.

（2）由（1）可知，当〃=1时，％=3；

=

当.2时，cin—Sn—=2n~+n—2（“，—1）2_—1）4“—1,q=3

也满足该式，故a”=4〃—l（〃eN*）,

故用=（4”—1）5,

则Z,=35+7-52+n§++（4«-l）-5\

57；=3-52+7-53+ll-54++（4W-1）-5/,+1

两式相减得，-47；,=4-5'+4-52+4-53++4-5n-（4w-1）-5n+1-5=（2-4w）-5n+1-10,

小（2n-l）-5n+1+5

故T------------

20.解：（1）法一：连接AE，在Rt_Q4B中,

PA=AB,PE=EB,PB±AE.

QAJ_底面ABCD,r.QA_LAD.

又在直角梯形A5CD中，ADLAB，

PA,ABu平面PAB,PAr\AB=A,

..AZ），平面PAB,AD±PB,

而A。cAE=A,AEu平面ADE，

.•.尸8,平面ADE，

8

:.PB±DE.

法二：PD=yJp^+AD-=75,BD=

VAB2+AD2=V5,PD=BD,»E=BE,

:.PB±DE.

(2)以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP所在直线为苍y,z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,

则3(1,0,0),25(0,2,0),P(0,0,1),C(l,1,0),

BD=(-1,2,0),DC=(1,-1,0),

DP=(O,-2,l).

设平面尸CD的法向量场=(%,y,z),

fn-DC=0fx-y=0,

令〈即〈

n-DP=0,[-2y+z=0,

令x=l,则n=(1,1,2),

设直线3D与平面PCD所成角为8,

..„.,八小।n-BD1730

则nsin0=cos〈”,BD)\=----------=—^==------.

\n\\BD\V3030

即直线3D与平面PCD所成角的正弦值为典.

30

21.解:(1)依题意，“1,0),

y2=4x,

联立《

y=g(x+2),

9

得y2_8y+8=0.

设。（马，力），。（加，为卜

故丁尸+>2=8,yPyQ=8,

故

yP-yo\

=7i+4xJ64—32:4回，

3

点厂（1,0）到直线4的距离d=而

故SPQF——x4^/10x—j==65/2.

（、,2、（、,2、(,2、

(2)设P,Q吟%,%，R?,为

4

7k47\47

(2、)

y=K(x+2,

S-j-,y,联立＜

I44y/=4x,

得k^y~—4_y+8kl=0,

则=8.

同理可得，为%=8.

(2、

pc._:%—M_2L

则直线vvT

44

化简得，4%-(％+乂)丁+%%=°，①

同理可得，直线尺。：4*一(%+%)丁+%%=。，②

联立①②消去y可得，

*=%%(%+%)-%%(%+%)

,4[(%+为H%+%)]

_x%%+y2y3y4—。为”—xy3y4

4[(%+%)-(%+”)]

10

=8y3+8%-8%-8y=?

4[(先+%)-(%+%)]'

故点A在直线％=2上.

22.解：(1)当々=1时，/(x)=xlnx-x2,x>0,

所以/'(%)=lnx+l-2x,

令加(x)=/'(%)=lnx+l—2%x>0,

11-7Y

可得加'(％)=上_2=二^,

XX

当X£/g1时，加(X)>°，根(%)单调递增；

当x£时，mr(x)<0,m(x)单调递减，

所以当冗二；时，根(x)取得极大值，也为最大值，

门「1一11八

且机[5)=1115+1-1=In'VO,

所以/'(尤)<0,所以“X)在(0,+8)上单调递减.

(2)由/(x)>ae，+(1-。)为2,

得aex<xlnx一/+x，

即a<xlnx—J+x在(0,+“)上恒成立.

令丸⑶=X1nx:+x,xe(0,+")，

e

可得小)=(1)(<T明,

令0(x)=x-2-lnx,

1丫-1

可得(p'(x\=\=----，

XX

令0（力＞0,可得尤＞1；

11

令0’（九）<0,可得O<X<1,

所以。（%）在（0,1）单调递减，在（1,+"）单调递增