广东省深圳大学附属实验中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

深大实验2023—2024学年第一学期高一期末考试（数学）试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．“”是“”的（）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要2．函数的图象大致是（）A． B．C． D．3．已知，，则（）A． B． C． D．4．已知集合，，则（）A． B． C． D．5．已知，且，则（）A． B． C． D．6．三个数，，的大小顺序是（）A． B．C． D．7．已知函数则方程有四个实根的充要条件为（）A． B． C． D．8．中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（）（附：）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知，，若，则（）A．的最大值为 B．的最小值为1C．的最小值为8 D．的最小值为10．下列化简正确的是（）A． B．C． D．11．函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（）A．B．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递增D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象12．已知函数，则（）A．的定义域为B．当时，C．D．对定义域内的任意两个不相等的实数，，恒成立三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若命题：，，则命题的否定是________．14．已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式________．15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．16．设函数是定义域为的奇函数，且，都有．当时，，则函数在区间上有________个零点．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）化简求值（1）；（2）．18．（12分）已知集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．19．（12分）已知函数．（1）若关于的不等式解集为，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式．20．（12分）进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会，也是一个促进全球贸易和交流的重要平台．某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台，计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产（百辆），需投入流动成本（万元），且，其中．由市场调研知道，每辆车售价25万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．（总利润＝总销售收入－固定成本－流动成本）21．（12分）已知函数，．（1）求函数的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程；（2）解关于的不等式；（3）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域．22．（12分）若函数为定义在上的奇函数．（1）求实数的值，并证明函数的单调性；（2）若存在实数使得不等式能成立，求实数的取值范围．参考答案1．A【分析】根据同角三角函数基本关系进行判断即可．【详解】充分性：若，则，故充分性成立；必要性：若，则，故必要性不成立；故“”是“”的充分不必要条件．故选：A．2．A【分析】结合奇函数的图象性质及特殊函数值判断即可．【详解】解：由，得函数为奇函数，排除B项，由，得，则排除C、D两项．故选：A．3．B【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解．【详解】，故选：B．4．D【分析】利用函数定义域求法解不等式可求得集合，，再利用交集运算法则可得结果．【详解】根据题意可知，即，解得或，即或；易知，解得或，即或；可得或，因此．故选：D．5．A【分析】结合同角三角函数及诱导公式即可求解．【详解】由，，得，则，故．故选：A．6．A【分析】根据题意，由，，，即可得到结果．【详解】由三个数，，，可知其大小关系为．故选：A．7．D【分析】由题意求分段函数的极值，作出函数简图，进而求解．【详解】当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，则的图象如图所示，要使方程有四个实根，需满足．故选：D．8．C【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和5000时的比值即可求解．【详解】解：依题意得，当时，，当时，，，的增长率约为．故选：C．9．ACD【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．【详解】对于A，由，即，当且仅当，且，即，时，取等号，所以A正确；对于B，因为，当且仅当时，取到最小值，所以B错误；对于C，因为，，所以，当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确；对于D，，当且仅当，且，即，时，取等号，所以D正确．故选：ACD．10．BCD【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、两角和的正弦公式进行求解即可．【详解】A：因为，所以本选项不正确；B：因为，所以本选项正确；C：因为，所以本选项正确；D：因为，所以本选项正确，故选：BCD．11．ABC【分析】借助图象周期求出、再由定点结合范围求出，得出解析式后结合正弦型函数性质可得A、B、C，结合函数图象的平移可得D．【详解】由题意可得，故，则，，即，解得又，即，故A正确；即，当时，有，故的图象关于点对称，故B正确；当时，，故C正确：将函数的图象向由右平移个单位得到，故D错误．故选：ABC．12．ACD【分析】根据可判断选项A；根据的单调性，判断的单调性可判断选项B；根据的奇偶性可判断选项C；由复合函数单调性和奇偶性可判断选项D．【详解】对于A，由，得，即恒成立，故A正确；对于B，令，易知在单调递减，且，则在单调递减，且，故B错误；对于C，令，则，，为上的奇函数，，，故C正确；对于D，由B选项知，在单调递减，且，在单调递减，且，为上的奇函数，在单调递减，且，又，在上单调递减，在上单调递减，对定义域内的任意两个不相等的实数，，恒成立，故D正确．故选：ACD．13．，【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可．【详解】由题意，根据全称量词命题的否定的定义有，命题的否定是：，．故答案为：，．14．【分析】根据奇函数满足求解即可．【详解】依题意，当时，，故在区间上的解析式．故答案为：．15．【分析】利用一次函数和对数函数及分段函数单调性解决即可．【详解】因为函数在上单调递增，所以当时，一次函数是增函数，得出，即；当时，对数函数是增函数，得出；又因为，解得；又因为，解得；取交集得；故答案为：．16．6【分析】由函数是定义域为的奇函数，结合的条件可得函数的一个周期为4，根据函数的单调性与零点存在性定理可得零点个数．【详解】如图，因为函数是定义域为的奇函数，所以，且．又，即，所以函数的图象关于直线对称，且，所以，所以4是函数的一个周期，所以．易知函数在上单调递增，且，，所以函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上．由对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点．因为是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，所以，所以函数的图象关于点中心对称，所以函数在区间上有且仅有2个零点．因为函数在区间上没有零点，所以函数在区间上没有零点．结合，得函数在区间上有6个零点．故答案为：6．17．（1）29 （2）1【分析】（1）利用指数的运算法则计算即可；（2）利用对数的运算法则计算即可．【详解】（1）原式；（2）原式．18．（1）或（2）或【分析】（1）解不等式得出，代入得出，进而根据并集的运算求解，即可得出答案；（2）根据已知可推得，以及，根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出答案．【详解】（1）解可得，或，所以，或．当时，，所以或．（2）由“”是“”的必要不充分条件，所以，．又或，．当，有，即，显然满足；当时，有，即．要使，则有或，解得或．综上所述，或．19．（1） （2）答案见解析【分析】（1）转化为一元二次不等式恒成立问题，令解出即可；（2）由判别式确定的范围，分类再解不等式即可．【详解】（1）由题意，可得，；（2）①当时，即时，原不等式的解集为；②当时，即或时，当时，，原不等式的解集为，当时，，原不等式的解集为；③时，即或时，，解得或，原不等式的解集为．20．（1）（2）当年产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为3250万元【分析】（1）根据总利润＝总销售收入－固定成本－流动成本，代入相关数据运算化简即可．（2）当时，利用一元二次函数知识，在对称轴处取得最值；当时，利用基本不等式知识，通过变形得，再求最值即可．然后通过比较得到利润最大值．【详解】（1）当时，．当时，．综上，（2）当时，，当时，万元．当时，，当且仅当时，等号成立．，所以当年产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为3250万元．21．（1），单调递增区间为，；对称轴，（2），（3）【分析】（1）应用两角和的正弦公式及二倍角公式化简得，应用整体代入法即可求解单调区间与对称轴；（2）结合函数图像解不等式；（3）应用换元法求值域；【详解】（1）函数的最小正周期．令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，．令，，解得，，所以的对称轴方程为，．（2）即，，所以，，解得，．（3）由题知，则，令，则，当时，；当时，．综上可知所求值域为．22．（1），证明见解析（2）【分析】（1）由求得的值，运用函数单调性的定义证明即可．（2）由在上