函数项级数一致收敛的判别法

函数项级数一致收敛的判别法摘要函数项级数的一致收敛性在高等数学中是非常重要的，对于求极限、导数等都是有重要的意义，也为以后的学习做了铺垫和基础。为了更好地理解和掌握函数项级数一致收敛的方法，本文对函数项级数一致收敛的几种判别法进行了分析、归纳和总结。举出部分例子。首先在基础知识部分列举了大家熟知的几种基本判别法，然后对基本判别法作了进一步讨论。利用大家已经学过的数列级数的定义和判别法对函数项级数定义进行推广，对比数项级数和函数项级数及判别法,给出了类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法比式判别法和根式判别法。本文还介绍分析了把Gauss指标判别法如何应用于正项的函数项级数的一致收敛性的判别，得出了正项的函数项级数一致收敛的另一种判别法，也就是Gauss型判别法。本文也拓展了部分知识。考虑函数项级数和含参变量广义积分的一致收敛性的判别问题。关键词：函数项级数；一致收敛；判别法

目录引言 DiscriminantMethodForUniformConvergenceOfSeriesOfFunctionTermsABSTRACTInordertobetterunderstandandmasterthemethodofuniformconvergenceoffunctionseries,severaldiscriminantmethodsofuniformconvergenceoffunctionseriesareanalyzed,summarizedandsummarized.First,theintroductionlistsseveralbasicdiscriminantmethodswhicharewellknown,andthendiscussesthebasicdiscriminantmethodsfurther.Inthispaper,thedefinitionofseriesoffunctiontermsisgeneralizedandcomparedwithseriesoffunctiontermsanddiscriminantmethod.Thediscriminantmethodofuniformconvergenceofseriesoffunctiontermssimilartoseriesofnumbertermsisgiven,whichisratiodiscriminantmethodandrootdiscriminantmethod.ThispaperalsointroducestheGaussindexdiscriminantmethodappliedtothediscriminantoftheuniformconvergenceoftheseriesofpositiveterms,andgivestheGausstypediscriminantoftheuniformconvergenceoftheseriesofpositiveterms.Inaddition,theproblemofjudgingtheuniformconvergenceoftheseriesoffunctiontermsandthegeneralizedintegralwithparametervariablesisalsoconsidered.Keywords:seriesoffunctionterms;uniformconvergence;discriminantmethod

引言函数项级数的一致收敛性的判定是数学分析中的一个重要知识点,函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广,同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例.它们在研究内容上有许多相似之处,比如它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决,同时它们的敛散性的判别方法也有可以拿来借鉴的地方,如Cauchy判别法,阿贝尔判别法,狄利克雷判别法等.教材中给出了对于函数项级数一致收敛性的判别法:魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法等,而数项级数的判别法除阿贝尔判别法和狄利克雷判别法之外还有许多判别法,如比式判别法、根式判别法等，然而作为数项级数的推广函数项级数,能否对比式判别法,根式判别法等进行推广使其适用于函数项级数的一致收敛性的判定呢，这是值得展开讨论的课题。还有一些函数项正项级数一致收敛性的判别法得分析讨论。以下主要从函数项级数一致收敛性的定义及数项级数判别法展开讨论,得到了一些值得借鉴的适用于函数项级数一致收敛的判别方法.还有一点就是在正向级数中我们能用比式判别法和根式判别法对函数项级数的一致收敛性进行判别，那么在函数项级数中是否也有类似的定理呢？下面我们就进一步讨论函数项级数一致收敛的基本方法。还有正项的函数项级数一致收敛的方法的推论，Gauss型判别法。

基础知识：函数项级数及其一致收敛性函数项收敛与函数项一致收敛的概念.设是定义在数集E上的函数项级数un(x)的部分和函数列，若在数集上收敛于，则称为un(x)的和函数，记为，,并称为函数项级数的收敛域。类似}若在上一致收敛于，则称函数项级数un(x)在上一直收敛于，或称un(x)在上一致收敛。一致收敛的柯西准则。函数项级数un(x)在数集上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在某自然数，使得当n>N时，对一切和一切自然数，都有或由此我们得到函数项级数un(x)在数集上一致收敛的必要条件是函数列在上一致收敛于零。函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是：，其中称为函数项级数un(x)的余项。定理1(放大法)设是函数项级数un(x)的部分和函数数列，函数列和函数都是定义在同一数集上，对于任意的，存在数列，使其对于任意的有，且，则称函数列一致收敛于，即函数项级数un(x)在上一致收敛于。证明：由假设，对任给，存在正整数，使得当时，有。因为对于一切总有，故对任给存在正整数，使得当时，对一切，都有。以上对函数项级数一致收敛性的判定都是需要知道函数，如果未给出，那么我们该如何判定，下面给出一个余项法解决此问题。定理2：（余项法）设un(x)为定义在上的函数项级数，为函数项级数un(x)的余项，即，若，则函数项级数un(x)在上一致收敛于函数。证明：设是函数项级数un(x)的部分和函数列，为和函数，则有，并令。而，即，有定理1得知函数项级数在上一致收敛于函数。

正文内容对于函数项级数，研究函数的解析性至关重要，函数项级数必须具有一致收敛性，可判断函数项的一致收敛性往往是比较困难的，为了更好地理解判别函数项级数的各种方法。当然定义可以用来判别函数项是否一致收敛，但是如果较难得到函数项级数的部分和，或无法得到函数项级数得部分和时就要令寻它法，所以有的题目不能用定义来判别，故针对不同得题目就要用不同的方法，所以不能用定义来判断时就可以用下面几种判别函数项一致收敛的方法。我们先回顾一下我们熟知的几种函数项级数一致收敛的判别法。教材中给出了对于函数项级数一致收敛性的判别法:定义法，常用的方法有：魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法等。还有推广的Dini定理。这些定理是我们已经学过和熟知地几种判别法。下面我们先复习巩固一下这些基本判别法。函数项级数的基本一致收敛性判别法维尔斯特拉斯判别法（或称M判别法）设函数项级数un(x)定义在数集上，为收敛的正向级数，若对一切则数项级数un阿贝尔判别法。设un对于每一个，是单调的；在上一致有界，即对一切和自然数n，存在正数M，使得，则级数在上一致收敛。狄利克雷判别法。设un在上一致有界；2)对于每一个，是单调的；3）在上则级数在上一致收敛。在很多情况下，我们很容易证明某个函数项级数收敛，但是如何由收敛得出一致收敛呢，下面这个定理给出了一种由收敛推出一致收敛的方法。Dini定理：函数项级数的每一项均在有限区间上连续且非负；收敛于连续函数，则在一致收敛于证明:（反证法）假设在上非一致收敛，则存在，使得任意，存在，存在，，取，，存在，使；取，存在，存在，使，……,如此下去得一子列，使得,(1)有致密性定理，有界数列中存在收敛子列，有题设知是同号级数，因此关于单调递减，所以(1)由得：当时，由于在处连续，故当时，,这与在上收敛矛盾，故一致收敛。比式判别法、跟式判别法在实际问题中往往比较复杂，所以我们要解决实际问题仅有上面几种方法远远不够，因此我们需要再进一步研究函数项级数一致收敛的其他的方法。接下来就是对函数项级数一致收敛的基本判别法的进一步讨论。函数项级数的一致收敛性的判定是数学分析中的一个重要知识点,函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广,同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例.它们在研究内容上有许多相似之处,比如它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决,同时它们敛散性的判别方法也具有相似之处,如Cauchy判别法,阿贝尔判别法,狄利克雷判别法等.教材中给出了对于函数项级数一致收敛性的判别法:魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法等,而数项级数的判别法除阿贝尔判别法和狄利克雷判别法之外还有许多判别法,如比式判别法、根式判别法等，然而作为数项级数推广函数项级数,能否对比式判别法,根式判别法等进行推广使其适用于函数项级数的一致收敛性的判定呢，这是值得展开讨论的课题,以下主要从函数项级数一致收敛性的定义及数项级数判别法展开讨论,得到了一些值得借鉴的适用于函数项级数一致收敛的判别方法.在正向级数中我们能用比式判别法和根式判别法对函数项级数的一致收敛性进行判别，那么在函数项级数中是否也有类似的定理呢？下面我们就进一步讨论函数项级数一致收敛的基本方法。定理1：设为定义在数集上正的函数列,记，若且在上一致有界，则函数项级数在上一致收敛。这个定理为一致有界推出一致收敛提供了重要依据。定理2:设为定义在数集上正的函数列,若存在，那么若对任给，的，则函数项级数一致收敛；若对任给，，则函数项级数不一定收敛。证明：由定理条件知，对任给，存在使得对任给的，有，即，则当，对任给成立时，又，而当时收敛，由优级数判别法知函数项级数在上一致收敛；而当时对任给的成立时，有，而级数当时发散，从而函数项级数在上不一致收敛。定义：设函数项级数，其中是区间上的连续函数，且函数列在区间上单调递减收敛于0，则称这一级数为莱布尼兹型函数项级数。定理3:若，为莱布尼兹型函数项级数，由此级数在上一致收敛。证明：因为是上的连续函数，在上收敛于连续函数；对，单调，所以由狄尼定理知在上一致收敛于又因为，故一致有界；对任给的，单调有界，在上一致收敛于，所以由狄利克雷判别法知莱布尼兹型函数项级数在上一致收敛。定理4：两个函数项级数和，若，当，有（其中为正常数）且函数级数在区间上绝对一致收敛。则函数项级数在区间上绝对一致收敛。证明：已知级数在区间上绝对一致收敛，即对，，及，有。又由条件知有，当，有，取，，，，有由级数一致收敛柯西准则知，函数级数在区间上绝对一致收敛。定理5：函数项级数和，若，当，有（其中为正常数）且函数级数在区间上绝对一致收敛。则函数项级数在区间上绝对一致收敛。证明：已知，当，，（其中为正常数），又函数级数在区间上一致收敛，即，，，，有。取，当，，有从而函数项级数在区间上绝对收敛。定理6：设函数序列在内一致有界，且关于单调增加或单调减少，则在内一致收敛数项级数和都收敛。以上结论都是针对于一般的函数项级数都有的性质，若是定义在数集上的正项级数，那么我们有以下结论。定理7：（比式判别法）设是定义在数集上的正项函数项级数，在上有界，若，，设则1）时，在上一致收敛；2）时，在上不一致收敛。证明：由当，取存在，当时，对一切有由在上有界，即存在，对一切有，，由收敛，得收敛，由优先级数判别法知在上一致收敛。2）时，存在使得，因此不收敛，在上不一致收敛。定理8：（根式判别法）设是定义在数集上的正项函数项级数，若，设，则时，在上一致收敛；时，在上不一致收敛证明：1）时，由，取，存在时，对一切有由，由先级数判别法知在上一致收敛。2）时，存在使由即在上不收敛。例题例1：函数项级数在上一致收敛，由于，，由定理7知得知函数项级数在上一致收敛。例2：函数项级数在，其中上一致收敛，因为，设，由定理8得知函数项级数在上一致收敛。定理9：设是定义在数集上的正项函数项级数，，对每一个非负函数在上递减，若在数集上一致收敛，则在数集上一致收敛。证明：由在数集上一致收敛，对存在一个对一切自然数和一切有，由，所以在数集上一致收敛。正项级数收敛性Gauss指标判别法正项级数收敛性的判别法Gauss指标判别法，它是比值判别法、根式判别法和Raabe型判别法的推广，本文把它应用于正项的函数项级数的一致收敛性的判别，给出了正项的函数项级数一致收敛的Gauss型判别法，它是已有的比值型判别法和Raabe型判别法等一般化.相关概念函数项级数及其一致收敛的定义，可参见文献[1].这里我们仅给出与函数项级数一致收敛性判别的相关概念.为了叙述方便，已有的结论用引理给出.函数项级数一致收敛的充要条件(柯西准则).正项级数的Gauss判别法与Gauss指标判别法.引理1：如果正项级数满足条件：，其中与是常数，而是有界量即，，使得，则当或，时正项级数收敛；当或，时，正项级数发散。引理2：设有正项级数，为正数列的Gauss指标则当或时，收敛，当或时，发散。主要结果及其证明我们把正项级数的Gauss指标判别法，应用于判别正项函数级数的一致收敛性，给出如下的定理.定理1：设是在上的正项函数项级数如果，且或。且在上是一致有界，则在上一致收敛。如果，且或，则在上发散。证明：1）我们仅证明的情况。因为>1根据数列极限的性质，对于:,,,,有于是(1)以下证明，使得，有(2)由（1）式，，有故由泰勒定理可得，因为所以对于，，有即，于是，由于在上是一致有界，，使得，，有于是，其中是常数，这就证明了（4）式成立。因为正项级数收敛，根据引理2，函数项级数在上一致收敛。2）仅证明的情况。因为，根据极限的性质，对于满足：，有，按1）中的证明方法，有即，，于是，，即，，其中，。由于对于任意，级数发散，所以发散。考虑函数项级数和含参变量广义积分的一致收敛性的判别问题，经典的柯西准则判别法是证明函数项级数和含参变量广义积分一致收敛的有效方法，经过对经典的柯西准则的表述方式给予改进，利用改进表述的柯西准则，给出了函数项级数和含参变量广义积分的非一致收敛性的一般性方法，叙述简便。函数项级数一致收敛柯西准则判断法的改进形式在函数项级数的和函数S(X)已知的情况下，记则有：定理1：函数项级数在上一致收敛于的充要条件是含参变量广义积分一致收敛的柯西准则的改进设函数在上有定义，且对中任意，广义积分都收敛。定理2：广义积分关于在上一致收敛的充要条件是：对，，当时，不等式，对上的所有的成立。定理3：广义积分关于在上一致收敛的充要条件是：存在，对任意，存在及，满足。定理3是证明含参变量广义积分非一致收敛的常用方法，然而应用此方法在证明各个含参变量广义积分非一致收敛时都要重复的叙述一遍，表述有些繁琐。可以将定理结果的表述形式给予改进，使其指向性明确，方便于使用。记，，则有，，。定理4：广义积分关于在上一致收敛的充要条件是：。定理5：如果当时，不趋向于0，则积分关于在上不一致收敛。记定理6：广义积分关于在上一致收敛的充要条件是：。例题设在上单调递减非负且收敛，证明。证明：由于收敛，，存在，当时，。又在上单调递减非负，从而，故有。因此当时，，所以。设在上可薇，可积，且当时，单调递减趋于零，又收敛，证明收敛。证明：首先非负，否则，若存在使得，则时，恒有，从而发散，而这与已知条件矛盾。其次由，且收敛可知，收敛与否取决于是否存在。由例1证明过程可知。故收敛。设在上由连续可微函数，积分和都收敛，证明。证明：要证，有极限，由归结原则只要证恒有收敛。事实上，由收敛，由Cauchy收敛准则，，存在，当时，恒有，于是，存在，当时，有，从而。由Cauchy准则，存在，所以收敛。由归结原则存在。下证若，由局部保号性，存在，当时有，从而时，（当时）这与收敛矛盾。同理可证也不可能，故。结语以上方法解决了判断一个函数项级数是否一致收敛的问题，需要指出的是判断一个函数项级数是否收敛的方法往往不是唯一的.深刻理解每种方法的优点有利于我们更快更好地判断一个函数项级数是否收敛，在这些方法中，柯西准则判别法和魏尔斯特拉斯判别法是较为实用和方便的一致收敛判别法，一般要优先考虑使用，这也是我们学习函数项级数必备的知识。虽然有的我们已经很熟悉但是在实际证明中我们要根据已知选择特定的方法，加快解题速度，往往我们证明函数项级数一致收敛的问题时需要综合运用多种不同的方法，所以，要求我们要区分各个方法之间的优越性和缺点，把握解题关键．这也需要在平时多思考、总结、归纳，在不断的练习和实践中提高自身的分析问题、解决问题的能力．

参考文献:华东师范大学数学系.数学分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［M］．北京:高等教育出版社，2002．陈传章,金福临,宋学炎,等.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,1983.陈纪修，於崇华，金路．数学分析(下册)［M］．2版．北京:高等教育出版社，2003．邢家省，杨义川.函数项级数一致收敛柯西判别法的改进形式[A],2017石会萍.函数项级数非一致收敛判别方法的归纳分析[A],2012李苓玉，范进军.函数项级数一致收敛性及其应用[A],2016鲍倚天.函数项级数一致收敛基本判别法的讨论[A],2017侯晓磊，张璐.对于函数项级数一致收敛判别法的进一步讨论[A],2016王瑜,钟粤敏.正项函数项级数一致收敛的Gauss指标判别法[A],2019

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