第十二章（陈文伟）

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页第十二章超静定系统12-1试问下列结构(梁或刚架)中那些是静定的?哪些是超静定的?若是超静定的,试说明它的次数。答：a,静定b,f,一次超静定d,e,二次超静定g,h,三次超静定c,几何可变12-2试求下列各超静定梁的支反力，设各梁均为等截面梁，其抗弯刚度为EI。a)解：图a可分解如下图（1）代入（1）式得（）b)解：设支承B反力为由P和共同作用下B点的总挠度要求为零，即有 （）c)解：设支承B反力为，则必然有（1）代入(1)式得 d)解：（）朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页e)解：e图可由下图e’和e”叠加而成因为代入（1）式得；；（）f)解：A,B端转角为零，则有：（1）（2）式中，；将以上表达式代入（1），（2）联立求解得：；；；

12-3梁AB的一端固定，另端由拉杆拉住，梁与杆系用同一材料两成，其弹性模量为E，梁截面惯矩为I，拉杆的截面积为A，梁上承受均布载荷q，试求拉杆BC的内力。解：AB梁的B端有拉杆支承，B点因为BC杆的伸长而下沉，同时悬臂梁AB在均布载荷q及拉杆BC的拉力作用下发生在B点的位移也是 （拉）12-4两悬臂梁AB及CD中央并不固接，而以方块支持如图示。当受扩散力P作使劲后，试问两梁如何承担P力?已知:。解：解除约束，受力如图。由卡氏定理得故算得 AB梁受力方向向下CD梁受力方向向下12-5变截面超静定梁ABC，试求支座A,C的反力。解：解除约束，受力如图因为由卡氏定理得由平衡条件得（方向与图示相反）12-6梁ABC与杆BD系用同一材料制成，梁的A端固定，在B点与杆BD相铰接如图示。梁上承受均布荷重q，梁截面的惯矩为I，杆的截面积为A。试求BD杆的内力。解：截开BD杆，系统受力如图利用，有12-7试求下列等截面刚架的支反力。截面抗弯刚度为EI，略去轴力与剪力的影响。（a）解：如图解除约束有平衡条件：（b）解：解除约束如图利用由卡氏定理得，即解得(c)解除约束如图有静平衡条件，得，得，得将代入上式又有d)二次超静定问题解除A断约束，受力如图利用,由卡氏定理得，，即解得，（向下） （方向与图示相反）12－8试作图示刚架的弯矩图。解：采用图形互乘法有利用，得解：为一次超静定问题。在C绞点处截开，建立等效系统如图，由对称性可得，仅未知。C点的绝对位移（x方向）为0，由卡氏定理（c）解：此为一次超静定问题，解除约束如图；由静力平衡条件得得由卡氏定理得 得解：解除B点约束，受力情况如图。因为，由卡氏定理得即得12－9试求图示双铰圆拱的支座反力及中点C沿P力方向的位移。建立等效系统如图，因为结构及载荷的对称性可知求等效系统的变形由对称性可只考察细圆环的一半利用多于约束处水平位移等于0的变形条件即求P力作用下的位移因为结构对称性，只考虑有半环（1）（2）（3）把（1），（2）代入（3）得12－10图示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度同为,由刚架DC相衔接。CD杆,。若,试求悬臂梁AD在D点的挠度。解：等效系统如图，由迭加法得解得12－11图示悬臂梁的自由端恰好与光洁斜面接触,若温度升高,试求梁内的最大弯矩。设E、A、J、已知,且梁的自重以及轴力对弯曲变形的影响均可忽略不计。解：按照斜面与梁成可知（1）由变形后的几何条件，得（2）其中查表得，代入（2），得（3）联立（1），（3），解得12－12试求图示封闭形刚架在转角衔接处的弯矩。（a）解：建立等效系统如图（a），应用图形互乘法由得 （b）1）建立等效系统如图设对称截面上内力为，因为结构，载荷的对称性知剪力。按照静力平衡条件得2）按照截面处相对转角为0的条件建立正则方程。截面处弯矩在单位力偶作用下代入正则方程得12-13链条的一环如图所示，试求环内的最大弯矩。环的抗弯刚度EI，尺寸如图示。解：取等效系统如图（a），其正则方程为外力P产生的内力CE段单位力矩产生的内力AC：CE：3计算代入正则方程，求原结构的弯矩方程：AC：CE：可得：在A处M最大12－14车床夹具如日所示，抗弯刚度EI已知，试求夹具A截面上的弯矩。解：考虑对称轴从夹具中截取圆心角为的一部分，如图a所示。由静力平衡条件求得A和B截面上的轴力为，把A和B截面上的弯矩作为多余未知量，又因截出部分对p力作用点C对称，故只考虑圆心角为的AC部分即可；由图b和c可知12－15图示结构中各杆的材料和截面均相同，试求各杆的内力。解：（a）以5杆为多余约束，解除它代以N，相对线位移＝0，即列表计算 杆号1a2a3a4a51612Pa+（b）以3杆为多余约束，代以，列表计算假定各杆内力为正，设各杆长为a。杆号1－12－13－14－15－16－17P00819110P00111121可知＝0 故12－16水平折杆的截面为圆形，d＝2cm，A、D两端固定支承，角B，C为直角，在BC中点承受铅垂载荷P如图示，若，材料的许用应力,。试求许可载荷P。解：由对称性易知A、D处约束反力，约束反力矩（弯矩）；解除A、D处关于扭转的约束，设A、D处扭转反力矩为（A、D处大小相等，方向相反），变形协调条件：危险截面为A、D，使用第三强度理论： 即12－17试用三弯矩方程求下列各梁的（1）支座反力（2）绘梁的剪力图与弯矩图，(3)设梁材料的许用应力，试挑选工字钢梁的截面。解：（a）（1） （2）弯矩图（3）（b）(1)（2）弯矩图（3）选用No.22a工字钢。（c）易知， 弯矩图 12－18在延续梁中抽取相邻的两跨度地出，如其3个支座（1）（2）（3）不在同一水平线上，支座（1）比支座（2）高，支座（2）比支座（3）高，试问三弯矩方程应作何修正？解：相当于相邻两静定简支梁有初始相对转角（在支座（2）截面处）：故三弯矩方程应作如下修正：12－19梁AB用一桁架加固，梁的抗弯刚度为EI，抗拉刚度为EA。桁架中1、2、3、4、5五杆的抗拉任刚度均为，受力及尺寸如图示。试使劲法求杆1中的轴力。解：在一对单位力作用下，由 如略去轴向变形，则12-20超静定刚架受力如图示，其各段的抗弯刚度均为EI，试求A点的水平位移。解：取静定基如下：12－21在曲率半径R＝2m的半圆形曲杆AB中有拉杆CD，承受载荷如图示。设曲杆的横截面为边长的正方形，拉杆的横截面面积为，曲杆与拉杆的材料相同，试求拉杆内力与支座反力（曲杆内的轴力影响略去不计）。 解：选静定基如图，则 12－22有2n根截面相同、材料相同的钢杆，一端用铰与半径为R的刚性圆周边衔接，另一端互相铰接于圆心C处，各杆沿四面均布（即相邻