复变函数第2章解析函数

2.1复变函数的导数

定义2.1设函数定义在区域内，，

，若极限

存在，则称此极限为函数在点处的导数，记作或，即如果函数在区域内每一点都可导，则称在内可导.导数的其他书写方式与高等数学中的类似【例1】试证函数（n为自然数）在复平面上处处可导，且证设为复平面上任一点，由导数定义

若函数在点处可导，则在点处必连续.证因为知，故在点处连续.同高数一样，称函数的改变量的线性部分为函数在点处的微分，记作

或，即当时，，所以在点处的微分又可记为

亦即由此可知，函数在点处可导与可微是等价的.复变函数的求导法则与高数完全类似：(1)其中为复常数；(2)其中为正整数；(3)；(4)；(5)；

；（6）；

（7）是两个互为反函数的单值函数，且.假设以上各式涉及的函数均可导.【例2】求下列函数的导数.（1）（2）

解

（1）

（2）【例3】设.解因为所以2.2解析函数1.解析函数的定义定义2.2如果函数不仅在点处可导,而且在点的某邻域内的每一点都可导,则称在点处解析，并称点是函数的解析点；如果函数在区域内每一点都解析,则称在区域内解析或称为区域内的解析函数，区域称为的解析区域.如果在点处不解析，但在的任一邻域内总有的解析点,则称为的奇点.

【例1】讨论函数的解析性.解由前例知，在整个复平面内处处可导且，则由函数在某区域内解析的定义可知，函数在整个复平面上解析.(1)若函数和在区域内解析，则、、在内也解析；(2)若函数在区域内解析，而在区域内解析，且，则复合函数在内也解析，且.定理2.1

设函数在区域内有定义，则在内解析的充分必要条件为在内任一点处（1）可微；（2）满足上式称为柯西—黎曼（Cauchy-Riemann）条件（或方程），简称C—R条件（或方程）.定理2.2

函数在区域内解析的充要条件为（1）在内连续；（2）在内满足C—R条件，【例2】讨论函数的可导性，并求其导数.解由得则

显然，在复平面内和的偏导数处处连续，且即和处处满足C—R条件且处处可微，所以，在复平面内处处可导且.【例3】

讨论函数的可导性.解因为得

显然，、处处具有一阶连续偏导数，但仅当时，、满足C—R条件.因此，仅在点处可导.【例4】证明在复平面上不可微.证由于，于是，从而

显然，对复平面上任意一点，都不满足C—R条件，所以在整个复平面上不可微.【例5】讨论下列函数的解析性.

（1）；

（2）；（3）.解（1）设因为且这四个偏导数处处连续，故在复平面上处处解析.（2）因为，设，而所以在复平面上处处不解析．（3）因为设，由于

这四个偏导数虽然处处连续，但C—R条件仅在原点处成立，因而函数在复平面内的原点处可导，其它点不可导，可知该函数在复平面上处处不解析.定义2.3设二元实函数定义在区域内，若在内具有连续的二阶偏导数且满足拉普拉斯方程则称为内的调和函数定理2.3设，若在区域内解析，则与均为内的调和函数.定义2.4若在区域内，与均为调和函数且满足C-R条件则称为的共轭调和函数定理2.4设在区域内为调和函数，则存在由公式确定的函数，使得函数在区域内解析，其中点为内的动点，为内一定点，为常数.由共轭调和函数与解析函数的关系，可以根据给定的二元实函数来构造解析函数【例6】已知，试求解析函数解法一因为在复平面上为一调和函数，由定理2.4得取积分路径入下:先沿实轴从原点到点，再从点沿平行于虚轴的直线到点,有从而得解法二依C-R条件有,于是由此得从而有所以故得解法三由于要求为解析函数,所以有又因满足所以从而得2.3初等函数定义2.5

设，为正整数，称为幂函数.定义2.6设，称满足的为的次根式函数，记作）；幂函数在复平面内是解析函数；根式函数为多值函数，它不是解析函数；次根式函数在以支割线剪开的复平面上可分出个单值支；根式函数的每个单值支在剪开的复平面上是解析的。1.指数函数定义2.7设

，称为指数函数，等式右端的为自然对数的底为方便起见，约定：在无特殊声明时，用表示（1）指数函数在整个复平面内都有定义，且处处不为零.（2）对任意两个复数与,有（3）在整个复平面上解析，且有（4）对任意复数，有（5）指数函数是以为周期的周期函数．（6）的充分必要条件是（7）不存在，即无意义。由上述性质，在将推广到后，函数仍保留了某些性质（如指数的可加性），同时也去掉了某些性质（如当不为实数时，不再具有单调性），而且还增添了某些性质（如具有周期性）。证设，根据定义，有2.对数函数对数函数定义为指数函数的反函数.定义2.8若，则称是的对数函数，记作．对数函数是一个多值函数，每一个对应着多个的值.若记有．

若令，则上式中的多值函数便成为了单值函数，则称这个单值函数为多值函数的主值，记作，即【例2】求.解因为的模为，其辐角的主值为，所以而又因为的模为，而其辐角的主值为，所以

复变量对数函数具有与实变量对数函数同样的基本性质：（1）（2）（3）（4）；

（5）对数函数的解析性可以证明在除去原点与负实轴的平面内解析，所以的各个分支也在除去原点与负实轴的平面内解析（因的每一个单值连续分支与只相差一个复常数），且由于为多值函数，所以其在复平面上不是解析函数.

（1）实数的对数与复数的对数是有重大差别的；（2）性质（4）中是两个无穷集合的相等，因此有定义2.9设为任一复变量，称与分别为复变量的正弦函数与余弦函数，分别记为与，即易见，与都是以为周期的周期函数，即

（1），在复平面内均为解析函数，且其它四个三角函数，利用和来定义：（2）为奇函数，为偶函数，即对任意的有（3）实变函数中的三角恒等式，在复变函数中依然成立，如

（4）（欧拉公式普遍成立）（5）仅在处为零，仅在

处为零，其中的为整数（6）与均以（为整数）为周期（7）与均不存在（8）和都是无界的.

因为可见，当无限增大时，趋于无穷大，同理可知，也是无界的.【例3】求.解根据定义，有