押题预测卷03-决胜2024年高考数学押题预测模拟卷（新高考九省联考题型）（解析版）

决胜2024年高考数学押题预测卷03数学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】向量，，，.故选：B.2．已知集合，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知：，所以之间没有包含关系，且，故ABC错误，D正确；故选：D.3．已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，所以.故选：C4．已知样本数据的平均数为，则数据（）A.与原数据的极差不同 B.与原数据的中位数相同C.与原数据的方差相同 D.与原数据的平均数相同【答案】D【解析】由样本数据的平均数为，可得，其方差为，对于数据，其平均数，其方差；即两组数据的平均数相同，方差不同，可得C错误，D正确；由极差定义，两组数据的最大值和最小值不变，则两组数据的极差相同，即A错误；对于中位数，两组数据的中位数不一定相同，即B错误.故选：D5．在梯形中，，以下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】旋转后所得几何体为圆柱与一个同底的圆锥的组合体，如图所示：其中圆柱与圆锥的底面半径都等于，圆柱的高等于，圆锥的高等于，底面圆的面积为，圆锥的体积为，圆柱的体积为，所以所得几何体的体积为．故选：B.6．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（）A.，互斥 B. C. D.【答案】C【解析】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确；由题意得，，，，，故B，D均正确；因为，故C错误.故选：C.7．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为函数为偶函数，则，即，①又因为函数为奇函数，则，即，②联立①②可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为.8．双曲线C：的左、右焦点分别是，，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，若C上一点T满足，则T到C的两条渐近线距离之和为（）A. B. C. D.【答案】A

【解析】设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，所以是等腰三角形，所以，且M是的中点．根据双曲线的定义可知，即，由于O是的中点，所以MO是的中位线，所以，

又双曲线的离心率为，所以，，

所以双曲线C的方程为所以，，双曲线C的渐近线方程为，设，T到两渐近线的距离之和为S，则，由，得，又T在C：上，则，即，解得，，所以，故，即距离之和为

故选:A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数是关于x的方程的两根，则（）A. B.

C. D.若，则【答案】ACD

【解析】解：

，

，

不妨设

，

，

则

，故A正确；

由选项A可知，

，C正确；

由韦达定理得

，

，

当

时，

，故B错；

当

时，

，

，

计算得

，

同理可得

，

结合B选项可知

，同理可得

，故D正确．

故选：ACD10．如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（）A.B.C.函数在上单调递增D.若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为【答案】AD【解析】令得，或，，由图可知：，，，所以，，所以，所以，故A选项正确，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B错误.当时，，因为在为减函数，故在上单调递减，故C错误；将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移），为偶函数得，，所以，，则的最小值为，故D正确.故选：AD.11．如图，正方体的棱长为2，点E是AB的中点，点P为侧面内（含边界）一点，则（）A.若平面，则点P与点B重合B.以D为球心，为半径的球面与截面的交线的长度为C.若P为棱BC中点，则平面截正方体所得截面的面积为D.若P到直线的距离与到平面的距离相等，则点P的轨迹为一段圆弧【答案】ABC【解析】正方体中，平面，平面，，正方形中，，平面，，则平面，平面，，同理，，平面，，平面，若点P不与B重合，因为平面，则，与矛盾，故当平面时，点P与B重合，故A正确；，，三棱锥为正三棱锥，故顶点D在底面的射影为的中心H，连接DH，由，得，所以，因为球的半径为，所以截面圆的半径，所以球面与截面的交线是以H为圆心，为半径的圆在内部部分，如图所示，，所以.，所以，同理，其余两弦所对圆心角也等于，所以球面与截面的交线的长度为，故B正确；对于C，过E，P的直线分别交DA、DC的延长线于点G，M，连接、，分别交侧棱于点N，交侧棱于点H，连接EH和NP，如图所示：则截面为五边形，，，，，，，故，所以，，所以五边形的面积，故C正确；因为平面，平面，所以，点P到直线的距离即点P到点的距离，因为平面平面，故点P到平面的距离为点P到的距离，由题意知点P到点的距离等于点P到的距离，故点P的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线在侧面内的部分，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，得，故常数项为．故答案为：.13.在中，，，则__________；__________．【答案】①.②.【解析】由，，可得；所以可得，所以，即；易知，，由正弦定理可得；故答案为：，14.已知点A为抛物线上一点（点A在第一象限），点F为抛物线的焦点，准线为l，线段AF的中垂线交准线l于点D，交x轴于点E（D、E在AF的两侧），四边形为菱形，若点P、Q分别在边DA、EA上，，，若则的最小值为______，的最小值为______．【答案】①.3②.【解析】对于第一个空：因为四边形为菱形，所以,,又由抛物线的定义知，，所以,,所以的方程为，由联立得，，得，由分析知，，所以,,,,,,,,，又，所以,，,当时，取最小值3.对于第二个空：,,表示的是点到点和的距离之和，在直线上，设关于直线对称的点,由得，所以，，当且仅当三点共线时，等号成立.故的最小值为.故答案为：①3，②.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．设，曲线在点处取得极值.求a；求函数的单调区间和极值.【答案】（1）2（2）单调递减区间和,单调递增区间,极大值为，极小值为【解析】，则，

又，

故可得，

解得；

由可知，，，

令，解得，，

又函数定义域为，

故可得在区间和单调递减，在区间单调递增.

故的极大值为，的极小值为

16．如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面底面.（1）求证：；（2）若，且四棱锥的体积为2，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）平面底面，平面底面，底面是边长为2的菱形，，底面，则有平面，又平面，所以.（2）底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，，，平面底面，平面底面，过点作的垂线，垂足为，则底面，四棱锥的体积为2，则，解得，则，所以为中点，即为和交点，，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面一个法向量，则有，令，则，，即，，所以直线与平面所成角的正弦值为.17．现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．（1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率；（2）当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；（3）记n号盒子中红球的个数为，求的期望．【答案】（1）（2）分布列见解析（3）【解析】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为；（2）由题可知可取，，，所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为123P（3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，化解得，得，而则数列为等比数列,首项为，公比为，所以，又由求得：因此．18．已知为曲线上任意一点，直线与圆相切，且分别与交于两点，为坐标原点.（1）若为定值，求的值，并说明理由；（2）若，求面积的取值范围.【答案】（1）或;（2）【解析】（1）由题意设，当直线的斜率不为时，直线：，因为直线与圆相切，所以，即，联立，可得：，所以，所以，因为，所以，要使为定值，则，所以或，当直线的斜率为时，因为直线与圆相切，所以，即，不妨取，联立，可得,所以所以，也符合上式.（2）当时，由（1）可知，，同理,即三点共线，所以，当直线的斜率不为时，由（1）可知：所以，因为，所以，令，所以，所以当时，有最小值为；当时，有最小值为；当直线的斜率为时，由（1）可知：.综上:面积的取值范围.19．在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处