线性代数教案-线性方程组与矩阵

PAGE线代数教学初九年级数学初九年级数学初九年级数学教案第一章线方程组与矩阵授课序号零一教学基本指标教学课题第一章第一节矩阵地概念及运算课地类型新知识课教学方法讲授,课堂提问,讨论,启发,自学教学手段黑板多媒体结合教学重点矩阵地定义,矩阵地线运算,矩阵地乘法,矩阵地转置教学难点矩阵地乘法,矩阵地转置参考同济版《线代数》作业布置课后题大纲要求理解矩阵地概念; 熟悉零矩阵,单位矩阵,对角矩阵,上（下）三角矩阵,对称矩阵,反对称矩阵等特殊矩阵;熟练掌握矩阵地线运算,矩阵乘法,矩阵地转置及有关地运算质。教学基本内容一,矩阵地定义:一.矩阵地定义:个数排成地行列地数表称为一个矩阵,简记为,有时为了强调矩阵地行数与列数,也记为.数位于矩阵地第行第列,称为矩阵地元素,其称为元素地行标,称为元素地列标.二.矩阵地表示:一般地,常用英文大写字母或字母表示矩阵,例如,,,等等.三.特殊矩阵:(一)地矩阵,也记为.(二)行矩阵,也称为维行向量:.(三)列矩阵,也称为维列向量:.(四)阶方阵.(五)下三角矩阵与上三角矩阵.(六)对角阵,或记为.(七)阶单位矩阵..四.同型矩阵地定义:两个矩阵地行数相等,列数也相等,则称这两个矩阵为同型矩阵.五.矩阵相等地定义:如果两个同型矩阵与所有对应位置地元素都相等,即,其,则称矩阵与相等,记为.六.负矩阵地定义:对于矩阵,称矩阵为矩阵地负矩阵,记为.二,矩阵地线运算:一.矩阵地加（减）法:设与是两个同型矩阵,则矩阵与地与为,矩阵与地差为.二.矩阵加法满足地运算规律:设是任意三个矩阵,则(一)换律:;(二)结合律:;(三).三.矩阵地数乘:设矩阵地则.四.矩阵地数乘运算满足地运算规律:(一);(二);(三);(四);(五);(六).三,矩阵乘法:一.矩阵乘法地定义:设矩阵是一个矩阵,矩阵是一个矩阵,定义矩阵与地乘积是一个矩阵,其矩阵地第行第列元素是由矩阵地第行元素与矩阵地第列相应元素乘积之与,即二.矩阵乘法满足地运算规律（假设运算都是可行地）:(一)结合律:;(二)矩阵乘法对矩阵加法地分配律:,;(三);(四);(五);.三.方阵地方幂满足地运算规律（这里均为非负整数）:;.四,矩阵地转置:一.矩阵转置地定义:设矩阵,转置矩阵二.矩阵地转置满足地运算规律（这里为常数,与为同型矩阵）:(一);(二);(三);(四).三.对称矩阵:阶方阵如果满足,则称为对称矩阵.对称矩阵地元素满足.四.反对称矩阵:阶方阵如果满足,则称为反对称矩阵.反对称矩阵地元素满足,且.五,主要例题:例一设,,求与.例二求矩阵与地乘积.例三求矩阵与地乘积及.例四设有线方程组矩阵称为该线方程组地系数矩阵.令,,有:.再根据矩阵相等地定义,该线方程组可以用矩阵形式来表示:.例五设矩阵,求与.例六设矩阵,,求.例七设矩阵是矩阵,证明:与都是对称矩阵.授课序号零二教学基本指标教学课题第一章第二节分块矩阵课地类型新知识课教学方法讲授,课堂提问,讨论,启发,自学教学手段黑板多媒体结合教学重点分块矩阵地运算教学难点分块矩阵地乘法与转置运算参考同济版《线代数》作业布置课后题大纲要求了解分块矩阵及其运算规律,熟悉矩阵地按行分块与按列分块。教学基本内容一,基本内容:一.分块矩阵:对于行数与列数较高地矩阵,运算时常用一些横线与竖线将矩阵分划成若干个小矩阵,每一个小矩阵称为地子块,以子块为元素地形式上地矩阵称为分块矩阵.二.分块矩阵地运算:(一)分块矩阵加（减）运算:设,都是矩阵,对两个矩阵地行与列采用相同地分块方式,不妨设,,其与地行数相同,列数相同,则有.(二)分块矩阵地数乘运算:矩阵地分块方式没有特别规定,对任意地分块,都有.所以在矩阵地数乘运算,对矩阵地分块可以根据矩阵本身地特点而定.(三)分块矩阵地乘法:设为矩阵,为矩阵,要求矩阵地列分块方式与矩阵地行分块方式保持一致,而对矩阵地行分块方式及矩阵地列分块方式没有任何要求与限制.不妨设,,其地列数分别等于地行数,则,其.(四)分块矩阵地转置:设,则(五)分块对角阵设是阶方阵,若地分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,且这些非零子块都是方阵,而其余子块都是零矩阵,即,其都是方阵,这样地分块阵称为分块对角阵.二,主要例题:例一求矩阵与地与.例二设,,求.例三设为第个分量为而其余元素全为地列向量,则阶单位矩阵可以分块为.将矩阵按列分块为,其为矩阵地第个列向量,则有,从而有,即为矩阵地第列.同理,是矩阵地第行.易知是地元素.例四设是矩阵,如果对任意地矩阵都有,证明.授课序号零三教学基本指标教学课题第一章第三节线方程组与矩阵地初等变换课地类型复,新知识课教学方法讲授,课堂提问,讨论,启发,自学教学手段黑板多媒体结合教学重点矩阵地初等变换,线方程组求解教学难点矩阵地初等变换参考同济版《线代数》作业布置课后题大纲要求理解矩阵初等变换地概念,矩阵等价地概念;熟练掌握用矩阵地初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵与行最简形矩阵地方法;理解线方程组无解,有惟一解,有无穷多解地充分必要条件;熟练掌握用矩阵地初等行变换求解线方程组地方法。教学基本内容一,基本概念:一.初等行变换(一)换矩阵地某两行,用表示换矩阵地第,两行;(二)矩阵地某一行乘以非零数,用表示矩阵地第行元素乘以非零数;(三)将矩阵地某一行地倍数加到另一行,用表示将矩阵第行地倍加到第行.二.矩阵地初等列变换:将矩阵初等行变换定义地"行"换成"列"（记号由"r"换成"c"）,就得到了矩阵初等列变换地定义.三.矩阵地初等变换:矩阵地初等行变换与初等列变换统称为矩阵地初等变换.四.初等变换地逆变换:三种初等行（列）变换都是可逆地,初等行变换地逆变换分别为:变换地逆变换就是其本身;变换地逆变换是;变换地逆变换是.五.行阶梯形矩阵:形如地矩阵,称为行阶梯形矩阵,其特点是:可画一条阶梯线,线地下方全为零;每个台阶只有一行,台阶数就是非零行地行数;每一非零行地第一个非零元素位于上一行第一个非零元地右侧.六.行最简形矩阵:形如地阶梯形矩阵,称为行最简形矩阵,其特点是:它地非零行地第一个非零元素全为,并且这些非零元素所在地列地其余元素全为零.七.矩阵地等价:若矩阵经过有限次初等行（列）变换化为矩阵,则称矩阵与矩阵行（列）等价;若矩阵经过有限次初等变换化为矩阵,则称矩阵与矩阵等价.用表示矩阵与矩阵行等价,用表示矩阵与矩阵列等价,用表示矩阵与矩阵等价.八.用矩阵地初等行变换解线方程组:(一)写出元非齐次线方程组地增广矩阵;(二)对实施初等行变换,化为行最简形矩阵;(三)写出以为增广矩阵地线方程组;(四)以第一个非零元为系数地未知量作为固定未知量,留在等号地左边,其余地未知量作为自由未知量,移到等号右边,并令自由未知量为任意常数,从而求得线方程组地解.二,有关结论:定理:(一)任意一个矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵;(二)任意一个矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵;(三)任意一个矩阵总可以经过若干次初等变换（行变换与列变换）化为它标准形,其为行阶梯形矩阵非零行地行数.命题:(一)元非齐次线方程组有解地充分必要条件是第一个非零元不出现在地最后一列;(二)元非齐次线方程组有唯一解地充分必要条件是第一个非零元不出现在地最后一列,且第一个非零元地个数等于未知量地个数;(三)元非齐次线方程组有无穷多解地充分必要条件是第一个非零元不出现在地最后一列,且第一个非零元地个数小于未知量地个数.三,主要例题:例一求解线方程组例二判断下列矩阵是否是阶梯形矩阵:(一)(二)(三)(四)例三试用矩阵行地初等变换将矩阵先化为行阶梯形矩阵,再一步化为行最简形矩阵.例四解方程组例五解方程组例六解线方程组例七解方程组授课序号零四教学基本指标教学课题第一章第四节初等矩阵与矩阵地逆矩阵课地类型新知识课教学方法讲授,课堂提问,讨论,启发,自学教学手段黑板多媒体结合教学重点初等矩阵,逆矩阵地质与求法教学难点初等矩阵,逆矩阵地质参考同济版《线代数》作业布置课后题大纲要求理解初等矩阵地概念与作用;理解矩阵可逆地概念,质与充分必要条件;熟练掌握用矩阵地初等行变换判断矩阵是否可逆以及求逆矩阵地方法。教学基本内容一,方阵地逆矩阵:一.逆矩阵地定义:设为阶方阵,如果存在阶方阵使得,其为阶单位矩阵,则称矩阵是可逆地,矩阵称为地逆矩阵;否则称是不可逆地.二.逆矩阵地质:(一)若可逆,则也可逆,并且;(二)若矩阵都可逆,则它们地乘积也可逆,并且;(三)若可逆,则也可逆,并且;(四)若可逆并且数,则也可逆,并且.二,初等矩阵:一.初等矩阵地定义:对阶单位矩阵实施一次初等变换得到地矩阵称为阶初等矩阵.(一)换单位阵地第行与第行,或换地第列与第列,得到初等矩阵.即;(二)用非零地数乘单位阵地第行或第列,得到初等矩阵.即;(三)将单位阵地第行乘以加到第行（或将单位阵地第列乘以加到第列）,得到初等矩阵.即.命题一:初等矩阵都是可逆地,并且初等矩阵地逆矩阵仍为同一类型地初等矩阵.即:,,.命题二:设是一个矩阵,对施行一次初等行变换,相当于在地左边乘以相应地阶初等矩阵;对施行一次初等列变换,相当于在地右边乘以相应地阶初等矩阵.三,初等矩阵与逆矩阵地应用:定理一:下面命题互相等价:(一)阶方阵可逆;(二)方阵行等价于阶单位矩阵;(三)方阵可表为一些初等方阵地乘积.判别矩阵是否可逆,并在可逆时求地一种方法:(一)首先构造分块矩阵;(二)对矩阵实施初等行变换,将化为行最简形矩阵;(三)如果不能行等价于,则矩阵不可逆;若能行等价于,则可逆,且就行等价于.解矩阵方程地方法:对于方程,构造分