2024年中考数学复习（全国版）第18讲 等腰三角形（讲义）（解析版）

第18讲等腰三角形目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一等腰三角形的性质与判定题型01等腰三角形的定义题型02根据等边对等角求角度题型03利用等边对等角证明题型04根据三线合一求解题型05根据三线合一证明题型06格点图中画等腰三角形题型07根据等角对等边证明等腰三角形题型08根据等角对等边证明边相等题型09根据等角对等边求边长题型10求与图形中任意两点构成等腰三角形的点题型11等腰三角形性质与判定综合题型12等腰三角形有关的折叠问题题型13等腰三角形有关的规律探究问题题型14等腰三角形有关的新定义问题题型15等腰三角形有关的动点问题题型16探究等腰三角形中线段间存在的关系考点二等边三角形的性质与判定题型01利用等边三角形的性质求线段长题型02手拉手模型题型03等边三角形的判定题型04等边三角形与折叠问题题型05等边三角形有关的规律探究问题题型06等边三角形有关的新定义问题题型07利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题考点三线段垂直平分线的性质与判定定理题型01利用垂直平分线的性质求解题型02线段垂直平分线的判定题型03线段垂直平分线的实际应用考点要求新课标要求命题预测等腰三角形的性质与判定理解等腰三角形的概念.探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.等边三角形的性质与判定探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°.探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形.线段垂直平分线的性质与判定定理理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.考点一等腰三角形的性质与判定等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形．等腰三角形性质：1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.1.1.等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.2.顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.3.等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．4.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．5.等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则b26.等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=1807.底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）.8.等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．题型01等腰三角形的定义【例1】（2023·山东济南·统考三模）已知m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程x2−6x+k=0的两个根，则k的值等于（

A．3 B．5或9 C．5 D．9【答案】B【分析】当m=5或n=5时，即x=5，代入方程即可得到结论，当m=n时，即Δ=0【详解】解：∵m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长∴当m=5或n=5时，即x=5∴方程为5解得：k=5此时该方程为x解得：x1=5此时三角形的三边为5，5，1，符合题意；当m=n时，即Δ即6解得：k=9此时该方程为x解得：x此时三角形的三边为3，3，5，符合题意，综上所述，k的值等于5或9故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确的理解题意是解本题的关键．【变式1-1】（2023·内蒙古鄂尔多斯·三模）腰长为5，一边上的高为4的等腰三角形的底边长为（）A．6或45 B．6或45或25 C．45或25 D．6或25【答案】B【分析】根据不同边上的高为4分类讨论，即可得到本题的答案．【详解】解：①如图1，

当AB=AC=5，底边上的高AD=4时，则BD=CD=3，故底边长为6；②如图2，△ABC为锐角三角形，

当AB=AC=5，腰上的高CD=4时，则AD=3，∴BD=2，∴BC=2∴此时底边长为25③如图3，△ABC为钝角三角形，

当AB=AC=5，腰上的高CD=4时，则AD=3，∴BD=8，∴BC＝∴此时底边长为45故底边长为6或45或2故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理，解题的关键是分三种情况进行讨论．【变式1-2】（2023·湖南邵阳·统考二模）已知等腰三角形的三边x、y、z满足x−42+y−2+z−aA．2 B．3 C．4 D．2或4【答案】C【分析】根据绝对值、二次根式、平方的非负性计算出x、y、z的值，然后根据等腰三角形的定义计算即可；【详解】解：∵x−42且x−42≥0，y−2≥0∴x−4=0，y−2=0，z−a=0，∴x=4，y=2，z=a，∵三角形为等腰三角形，∴a=4或a=2，当a=2时，2+2=4，不能构成三角形，∴a=4，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，以及绝对值、二次根式、平方的非负性、构成三角形的条件等知识点，绝对值、二次根式、平方的非负性的准确应用是解题关键．【变式1-3】（2023·河南安阳·统考一模）已知等腰△ABC的边是方程x2−7x+10=0的根，则A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15【答案】D【分析】利用因式分解法求方程的两个根分别是2和5，结合三角形的三边关系和等腰三角形的性质进行分类讨论即可．【详解】解：∵x∴x−2解得：x1=2，∵等腰△ABC的边为：2和5，∴当腰长为2，底边为5时，不符合三角形的三边关系定理，当腰长为5，底边为2时，△ABC的周长为：5+5+2=12，当边长都为2时，△ABC的周长为：2+2+2=6，当边长都为5时，△ABC的周长为：5+5+5=15，故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和三角形的三边关系是解题的关键．【变式1-4】（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）已知△ABC是以AB为一腰的等腰三角形，AB=5，AC边上的高为4，则△ABC的底边长为．【答案】25或45【分析】分三种情况：AB=AC，且是锐角三角形；AB=AC，且是钝角三角形；AB=BC，利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解．【详解】解：①AB=AC，且是锐角三角形，如图；∵BD⊥AC，且BD=4，∴AD=A∴CD=AC−AD=2，在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC=②AB=AC，且是钝角三角形时，如图；由勾股定理得AD=A∴CD=AC+AD=8，在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC=③AB=BC时，如图，∵BD⊥AC，∴DC=1在Rt△BDC中，由勾股定理得：DC=∴AC=2DC=6；综上，底边的长为25或45或【点睛】本题考查了等腰三角形的定义及性质，勾股定理，解题的关键是，数形结合，注意分类讨论．题型02根据等边对等角求角度【例2】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）等腰三角形腰长为8，面积为16，则底角的度数为．【答案】75°或15°【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．【详解】解：当三角形为锐角三角形时，如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D，

则AB=AC=8，S△ABC∴12解得CD=4，sinA=∴∠A=30°，∴∠B=∠ACB=180°−30°当三角形为钝角三角形时，如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，

则AB=AC=8，S△ABC∴12解得CD=4，sin∠CAD=∴∠CAD=30°，∴∠BAC=150°∴∠B=∠ACB=180°−150°即底角的度数为75°或15°，故答案为：75°或15°．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，解直角三角形，三角形内角和定理的应用，注意要分类讨论．【变式2-1】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，则有（

A．∠1=50° B．∠1=40° C．∠1=35° D．∠1=20°【答案】D【分析】根据垂直的定义得到∠ADC=90°，根据∠A=40°和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠1=90°−∠ABC=90°−70°=20°．故选：D【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【变式2-2】．（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，A，B两点分别在直线l1，l2上，且l1∥l2，BA=BC，

A．20° B．22° C．24° D．26°【答案】D【分析】先求解∠CAD=180°−∠1=64°，证明∠CEB=∠CAD=64°，求解∠BCA=90°−64°=26°，可得∠BAC=∠ACB=26°．【详解】解：如图，

∵∠1=116°，∴∠CAD=180°−∠1=64°，∵l1∴∠CEB=∠CAD=64°，∵BC⊥l∴∠BCA=90°−64°=26°，∵AB=BC，∴∠BAC=∠ACB=26°．故选D【点睛】本题考查的是邻补角的含义，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的运用以上知识解题是关键．【变式2-3】（2023·广东河源·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠1=．【答案】55°/55度【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线定义；根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出∠ACB，可得∠ACD的度数，然后根据角平分线定义得出答案．【详解】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠B=∠ACB=1∴∠ACD=180°−∠ACB=110°，∵CE平分△ABC的外角∠ACD，∴∠1=1故答案为：55°．【变式2-4】（2023·江西吉安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AC=BC，AE⊥BC．垂足为E，点D在AE上，且CD平分∠ACB，若∠ABC=54°，则∠ADC的度数为．

【答案】126°/126度【分析】根据等边对等角，结合三角形内角和定理，求得∠ACB=180°−∠B−∠BAC=72°，由角平分线定义求得∠DCE=12∠ACE=36°【详解】解：∵AC=BC．∴∠B=∠BAC=54°，∴∠ACB=180°−∠B−∠BAC=72°，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCE=1∵∠ADC是△DEC的一个外角，∴∠ADC=∠DEC+∠DCE=126°，故答案为：126°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角定义和性质；灵活运用三角形内角和定理，外角性质求解角度是解题的关键．【变式2-5】（2023·浙江金华·校考一模）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD=12AC，则等腰△ABC【答案】15°或45°或75°【分析】分点B是顶角顶点、点B是底角顶点、BD在△ABC外部和BD在△ABC内部三种情况，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算．【详解】解：①如图1，当点B是顶角顶点时，

∵AB=BC，BD⊥AC，∴AD=CD，∵BD=1∴BD=AD=CD，在Rt△ABD中，∠A=∠ABD=②如图2，当点B是底角顶点，且BD在△ABC外部时，

∵BD=12AC∴BD=1∴∠BCD=30°，∴∠ABC=∠BAC=1③如图3，当点B是底角顶点，且BD在△ABC内部时，

∵BD=12AC∴BD=1∴∠C=30°，∴∠ABC=∠BAC=1故答案为：15°或45°或75°．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．题型03利用等边对等角证明【例3】（2023·浙江温州·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，D，E分别为AB，AC上的点，且∠BDP=∠

(1)求证：△BDP≌△CEP．(2)若PD⊥AB，∠A=110°，求∠【答案】(1)见解析(2)70°【分析】（1）根据AB=AC，P为BC的中点，得出∠B=∠C,BP=CP，即可求证△BDP≌△CEPAAS（2）根据等边对等角得出∠B=∠C=35°，则∠DPB=55°，结合全等的性质得出∠DPB=∠EPC=55°，即可求解．【详解】（1）证明：∵AB=AC，P为BC的中点，∴∠B=∠C,BP=CP，在△BDP和△CEP中，∠BDP=∠CEP∠B=∠C∴△BDP≌△CEPAAS（2）解：∵∠A=110°，AB=AC∴∠B=∠C=1∵PD⊥AB，∴∠DPB=90°−35°=55°，∵△BDP≌△CEP，∴∠DPB=∠EPC=55°，∴∠EPD=180°−55°×2=70°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，直角三角形两直角边互余，全等三角形对应角相等．【变式3-1】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD，连接AC，点M为线段AC上一点，连接BM，若AC=BC，AB=BM．求证：

【答案】证明见解析【分析】根据等边对等角的性质，得出∠ABC=∠BMA，进而得到∠BCD=∠BMA，再利用平行线的性质，得到∠DAC=∠ACB，∠D+∠BCD=180°，从而得到∠D=∠BMC，然后利用“AAS”即可证明△ADC≌【详解】证明：∵AC=BC，∴∠ABC=∠BAC，∵AB=BM，∴∠BAM=∠BMA，∴∠ABC=∠BMA，∵∠ABC=∠BCD，∴∠BCD=∠BMA，∵AD∥∴∠DAC=∠ACB，∠D+∠BCD=180°，∵∠BMA+∠BMC=180°，∴∠D=∠BMC，在△ADC和△CMB中，∠D=∠BMC∠DAC=∠MCB∴△ADC≌△CMBAAS【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．【变式3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）已知：▱ABCD中，DE=BC，BE=EF．

(1)求证：AF=DC；(2)连接AE，当AE=AF时，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与∠B互补的角．【答案】(1)见解析；(2)∠ECD，∠DFA，∠BAD，∠AEC．【分析】（1）由平行四边形的性质证明AD=BC,AD∥BC，进而得到DE=AD，∠ADF=∠DEC，可证明△ADF≌△DEC，则问题可证明；（2）根据平行四边形性质和等腰三角形的性质，分别证明∠B+∠ECD=180°，∠B+∠BAD=180°，∠B+∠AEC=180°，∠DFA与∠B互补，则问题可解；【详解】（1）（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC,AD∥BC，∵DE=BC，∴DE=AD，∵BE=EF，∴DF=CE，∵AD∥∴∠ADF=∠DEC，∴△ADF≌△DEC，∴AF=DC；（2）∠ECD，∠DFA，∠BAD，∠AEC理由：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD,AD∥BC，∴∠B+∠ECD=180°，∠B+∠BAD=180°由（1）可知，△ADF≌△DEC，∴∠DFA=∠ECD，AF=DC，∴∠DFA与∠B互补，∵AE=AF，∴AE=AB，∴∠B=∠AEB，∵∠AEB+∠AEC=180°，∴∠B+∠AEC=180°，故与∠B互补的角有：∠ECD，∠DFA，∠BAD，∠AEC．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，解答关键是根据题意找到全等三角形并进行证明．【变式3-3】（2023·江苏无锡·校考二模）如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC边上，∠EBC=∠DCB．

(1)求证：BE=CD；(2)若AB=8，BC=5，当CD⊥AB时，求CE的长．【答案】(1)见解析(2)25【分析】（1）先证∠ABE=∠ACD，再根据全等三角形的证明方法证明即可；（2）根据等边三角形的性质和勾股定理求出AF=2312，由三角形的面积得【详解】（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠EBC=∠DCB，∴∠ABC−∠EBC=∠ACB−∠DCB即∠ABE=∠ACD，在△ABE与△ACD中，∠A=∠AAB=AC∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD；（2）过点A作AF⊥BC于点F，如下图，

∵AB=AC，BC=5，∴BF=1∴AF=A∵CD⊥AB，∴1即12解得：CD=5∴BD=B由（1）得：△ABE≌△ACD，∴CE=BD=25【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理．题型04根据三线合一求解【例4】（2023·辽宁·模拟预测）如图，线段AB=8，点P在线段AB上，且AP=5，分别以点A和点B为圆心，AP的长为半径作孤，两弧相交于点C和点D，连接AC，BC，AD，BD，则点C到边AD的距离是（

）

A．245 B．485 C．4 D【答案】A【分析】连接CD交AB于E，求出CE，可得CD的长，然后根据△ACD面积的不同求法列式求解即可．【详解】解：连接CD交AB于E，

由作图可得CD垂直平分AB，AC=AD=AP=5，∴AE=1∴CE=A∵AC=AD，AE⊥CD，∴CD=2CE=6，设点C到边AD的距离为h，∴S△ACD∴ℎ=CD⋅AE故选：A．【点睛】本题考查了作线段垂直平分线，勾股定理，熟练掌握等面积法的应用是解题的关键．【变式4-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）图1为红斑钟螺，壳型为圆锥形．多分布在菲律宾、以及我国台湾垦丁等区域．现有一个“钟螺”小摆件，可近似看成圆锥形，图2为其主视图，其中AB=13cm，摆件的高度为12cm．现要在AB上选取一个位置P安装挂钩，在该点与C之间布设导线，线路上安装微型小彩灯，若挂钩以及导线连接处等长度损耗忽略不计，则最短线路，即CP的最小值为（

A．10cm B．12013cm C．6013【答案】B【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点C作CM⊥AB于点M，由题意可知，AB=AC=13cm，AH=12cm，BH=CH=12BC,由勾股定理得到BH=5cm，则BC=2BH=10cm，由S△ABC=12BC⋅AH=1【详解】解：过点A作AH⊥BC于点H，过点C作CM⊥AB于点M，

由题意可知，AB=AC=13cm，AH=12cm，∴BH=A∴BC=2BH=10cm∴S△ABC即12解得12∴CM=120根据垂线段最短，则CP的最小值即为CM的长，即CP的最小值为12013故选：B【点睛】此题考查了等腰三角形判定和性质、勾股定理、垂线段最短等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式4-2】（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，边BC在x轴上，且点B−1,0，点A2,4，则△AOC的面积为（

A．5 B．8 C．10 D．20【答案】C【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据点A、B的坐标可得OB=1，BD=3，AD=4，利用等腰三角形的性质求出BC，可得OC的长，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，

∵AB=AC，∴BD=DC，∵点B−1,0，点A∴OB=1，BD=3，AD=4，∴BC=2BD=6，∴OC=BC−OB=6−1=5，∴S△AOC故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质，能够根据点的坐标得出相关线段的长度是解题的关键．【变式4-3】（2023·陕西西安·校考二模）如图，等腰△AOB在平面直角坐标系中，点B的坐标为6，0，OA=AB=5，点A在反比例函数y=kx（k≠0，x>0）的图象上，则k

【答案】12【分析】过点A作AC⊥OB于点C，利用等腰三角形的性质求得OC=BC=3，再利用勾股定理求得AC=4，得到点A的坐标是3，【详解】解：过点A作AC⊥OB于点C，

∵OA=AB=5，∴OC=BC=3，∴AC=5∴点A的坐标是3，∵点A在反比例函数y=kx（k≠0，∴k=3×4=12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查反比例函数与等腰三角形的综合，利用等腰三角形的性质求得反比例函数上点的坐标是解题关键．【变式4-4】（2023·河北·统考模拟预测）如图，点D,C,E在直线l上，点A,B在l的同侧，AC⊥BC，若AD=AC=BC=BE=5,CD=6，则CE的长为．

【答案】8【分析】过点A作AM⊥CD于点M，BN⊥CE于点N，证明△ACM≌△CBN，得出AM=CN，BN=CM，根据等腰三角形性质得出DM=CM=12CD=3，根据勾股定理求出AM=AD【详解】解：过点A作AM⊥CD于点M，BN⊥CE于点N，如图所示：

则∠AMD=∠AMC=∠BNC=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠ACM+∠BCN=∠BCN+∠CBN=90°，∴∠ACM=∠CBN，∵AC=BC，∠AMC=∠BNC=90°，∴△ACM≌△CBN，∴AM=CN，BN=CM，∵AD=AC，AM⊥CD，∴DM=CM=1∴AM=A∴CN=AM=4，∵BC=BE，BN⊥CE，∴EN=CN=1∴CE=2CN=8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，证明△ACM≌△CBN．题型05根据三线合一证明【例5】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（）A．线段AE的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点B．线段AB的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点C．线段AE的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点D．线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点【答案】C【分析】如图所示，连接AD，设该圆圆心为O，连接OE，OD，先由三线合一定理和切线的性质证明A、O、D三点共线，即AD是⊙O的直径，进而得到点【详解】解：如图所示，连接AD，设该圆圆心为O，连接OE，∵AB=AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴A、O、D三点共线，即∴点O在线段BC的垂直平分线上，∵OA=OE，∴点O在线段AE的垂直平分线，∴点O是线段AE的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点，故选C．【点睛】本题主要考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，三线合一定理，证明AD是⊙O的直径是解题的关键．【变式5-1】（2023·山东青岛·统考一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是(1)求证：DE=BF；(2)请从以下三个条件：①AC=2BD；②∠BAC=∠DAC；③AB=AD中，选择一个合适的作为已知条件，使四边形DEBF为菱形．你选择添加的条件是：______（填写序号）；添加条件后，请证明四边形DEBF为菱形．【答案】(1)见解析(2)②，证明见解析【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得到AO=CO,OD=OB然后根据题意得到OE=OF，进而证明出四边形DEBF是平行四边形，即可得到DE=BF；（2）选择添加的条件是：②∠BAC=∠DAC，首先根据平行四边形的性质得到∠DCA=∠BAC，然后利用等量代换得到∠DCA=∠DAC，然后利用等腰三角形三线合一性质得到AC⊥BD，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO,OD=OB∵点E，F分别是AO，∴OE=OF∴四边形DEBF是平行四边形∴DE=BF；（2）选择添加的条件是：②．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥∴∠DCA=∠BAC∵∠BAC=∠DAC∴∠DCA=∠DAC∴AD=CD∵AO=CO∴AC⊥BD∵四边形DEBF是平行四边形∴平行四边形DEBF是菱形．【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【变式5-2】（2023·广西河池·校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．(1)求证：AD是圆O的切线．(2)若PC是圆O的切线，BC=4，求PE的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）根据等腰三角形的判定与性质得到AD⊥BC，即可得证；（2）连接OP，通过证明△DEC∽△POC，利用相似三角形的性质得到PC与CE的长度，再进行线段和差即可求解．【详解】（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=DC，∵OD是⊙O的半径，∴AD是圆O的切线；（2）连接OP，∵BC=4，∴BD=DC=2，∵BD为直径，∴BO=OD=1，∵EP为⊙O切线，∴OP=1，∵OC=3，∴在Rt△OPC中，O∴PC=3∵∠ECD＝∠PCO，∴△DEC∽△POC，∴ECOC∴EC3∴EC=3∴PE=PC−EC=22−322【点睛】本题考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质．如果已知切线，连半径，得垂直；如果证明切线，则连半径，证垂直．【变式5-3】（2023·贵州黔东南·统考三模）（1）如图，直线AB经过⊙O上一点C，连接OA,OB，从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．①OA=OB；②CA=CB；③AB是⊙O的切线．你选择的条件是____________，结论是______（填序号）；（2）在（1）的条件下，若∠AOB=90°，OA=42【答案】（1）①②，③（答案不唯一）；（2）16−4π【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③；理由：连接OC，根据等腰三角形性质可得OC⊥AB，即可；（2）先求出OC，再阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，即可．【详解】解：选择的条件是①②，结论是③；理由如下：如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∵OC为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；故答案为：①②，③（答案不唯一）；（2）∵∠AOB=90°，OA=42，OA=OB∴AB=O∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，OC=1∴阴影部分的面积为S△AOB【点睛】本题考查命题与定理，切线的判定，扇形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．题型06格点图中画等腰三角形【例6】（2023·江苏扬州·统考一模）如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是AB、BC上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM、PN，则满足∠MPN=45°A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先根据等腰直角三角形的两个锐角等于45°，构造出一个P点，再画出△P【详解】解：如图，在BC边上取点P1，使BP1∴NB=AM=4，∵∠MAN=∠NBP∴△MAN≌△NBP∴MN=NP1，∵∠ANM+∠AMN=90°，∴∠ANM+∠BNP∴△P∴∠MP作△P1MN根据圆周角定理，得∠MP故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等，解答时需要一定的空间想象能力，模型意识．【变式6-1】（2023·广西玉林·统考一模）如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是()

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】确定AB的长度后即可确定点C的位置．【详解】AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，据此可以确定共有2个点C，位置如图，

故选：B．【点睛】本题考查了正多边形和圆以及等腰三角形的判定，解题的关键是确定AB的长，难度不大．【变式6-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1

(1)在图1中画一个腰长为5，面积为10的等腰三角形ABC，（点A、B、C在小正方形的顶点上）．(2)在图2中画出一个腰长为10的等腰三角形DEF（点D、E、F在小正方形的顶点上），并直接写出等腰三角形DEF的底角的正切值为__________．【答案】(1)见解析(2)见解析，7【分析】（1）根据腰长和面积求出腰上的高，即可画图；（2）根据勾股定理求解可画出三角形，过点E作EG⊥DF交DF于点G，由勾股定理求得DF=22，根据等腰三角形的性质可得DG=FG=12【详解】（1）解：该等腰三角形腰上的高为：10×2÷5=4，AB=3

（2）如图，DE=EF=6过点E作EG⊥DF交DF于点G，DF=22+EG=10∴tan∠EDG=故答案为：7．【点睛】本题考查了勾股定理，网格内作三角形，等腰三角形的性质和正切值的计算，结合勾股定理作出三角形是解题的关键．【变式6-3】（2023·浙江丽水·统考二模）如图，是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点叫作格点．线段AB的端点均在网格上，分别按要求作图，每小题各画出一个即可．

(1)在图1中画出以AB为边的平行四边形ABCD，且点C，D在格点上；(2)在图2中画出等腰三角形ABE，且点E在格点上；(3)在图3中画出直角三角形ABF，且点F在格点上．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）找到格点C,D，根据AD=BC=2，且AD∥BC，即可得出四边形（2）AB,AE分别为两个小菱形的对角线，即可求解；（3）作菱形ABMN对角线AM,BN交于点F，则AF⊥BF，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，AD=BC=2，且AD∴四边形ABCD是平行四边形，

（2）解：如图所示，AB,AE分别为两个小菱形的对角线，∴AB=AE，∴△ABE是等腰三角形，

（3）解：如图所示，∵AB,AN,MN,BM分别等于两个菱形的对角线长，∴四边形ABMN是菱形，对角线AM,BN交于点F，则AF⊥BF∴△ABF是直角三角形．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的定义，菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．题型07根据等角对等边证明等腰三角形【例7】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，D，E是△ABC边上的点，ED∥BC，BE平分∠ABC

(1)求证：BD=DE；(2)若BD:BC=2:3．直接写出S△ADE【答案】(1)见解析(2)2:1【分析】（1）由平行线的性质可得∠CBE=∠BED，由角平分线的定义可得∠DBE=∠CBE，即∠DBE=∠BED，即可解答；（2）由已知条件可得DEBC=23，再说明△ADE∼△ABC可得AEAC=DEBC=2【详解】（1）证明：∵ED∥∴∠CBE=∠BED,∵BE平分∠ABC，∴∠DBE=∠CBE,∴∠DBE=∠BED∴BD=DE．（2）解：∵BD:BC=2:3，BD=DE，∴DEBC∵ED∥∴△ADE∼△ABC∴AEAC=DE如图：过D作DG⊥AC∴S△ADE∴S△ADE

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．【变式7-1】（2023·江苏常州·统考二模）如图，已知△ABC．

(1)在图中用直尺和圆规作△ABC的角平分线BD，作∠ADE，使得∠ADE=∠C，射线DE交AB于点E（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，判断△BDE的形状，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)△BDE是等腰三角形，证明见解析【分析】（1）作∠ABC的角平分线BD，作∠ADE=∠C．（2）利用平行线的性质与判定证明∠BDE=∠DBC，结合角平分线的定义可得△BDE两个内角相等，进而得△BDE是等腰三角形．【详解】（1）解：如图所示，BD为△ABC的角平分线，∠ADE=∠C．

（2）解：△BDE是等腰三角形，理由如下：∵∠ADE=∠C，∴DE∥∴∠BDE=∠DBC，又∵∠DBC=∠DBE，∴∠BDE=∠DBE，∴DE=BE，∴△BDE是等腰三角形．【点睛】本题考查了用尺规作角平分线，用尺规作相等的角，平行线的性质与判定，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．【变式7-2】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，D是AB上的一点，C是⊙O上的一点，过点D作AB的垂线，与过点C的切线相交于点P，PD与AC相交于点E．（1）求证：△PCE是等腰三角形；（2）连接BC，若AD=OD，AE=258，BC=6，求【答案】（1）见解析；（2）65【分析】（1）根据垂直和切线的性质得到∠AED=∠PCA，然后根据对顶角相等得到∠AED=∠PEC，根据等角对等边即可证明；（2）作OF⊥AC于点F，PG⊥AC于点G，连接OE，根据三角形中位线的性质得到OF的长，在Rt△OEF中应用勾股定理得到EF的长，进而得到CE的长，然后根据三角形相似的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵PD⊥AB，∴∠DAE+∠AED=90°．∵PC是⊙O的切线，∴∠PCA+∠OCA=90°．∵OA=OC，∴∠DAE=∠OCA．∴∠AED=∠PCA，∵∠AED=∠PEC，∴∠PCA=∠PEC．∴PC=PE，即△PCE是等腰三角形．（2）作OF⊥AC于点F，PG⊥AC于点G，连接OE，可得OF=12BC=3∴EF=O∴AF=4，AC=8．∴AB=10，⊙O的半径为5．∴CE=AC−AE=39∵∠PCE=∠PEC=∠AED=∠B又∵∠PGC=∠ACB∴△PCG∼△ABC∴PCCG∵CG=∴PC=CG·AB故答案为6516【点睛】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，三角形相似的性质，是几何部分的综合题，第（2）问关键是证明两个三角形相似．题型08根据等角对等边证明边相等【例8】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F则CF的长为（）

A．2 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【分析】直接利用平行四边形的性质结合角平分线的性质得出CD=AB=6，∠DAF=∠F，进而求出DF=AD=9的长即可由FC=DF−CD得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=6，AB∥∴∠BAF=∠F，∵∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，∴∠BAF=∠DAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD=9，∴FC=DF−CD=9−3=3，故选：B．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定．利用平行线与角平分线得出∠DAF=∠F是解题的关键．【变式8-1】（2023·江苏苏州·统考二模）如图锐角△ABC中，AB=4，BC=

【答案】5【分析】过点A作∠BAC的平分线，交BC于点D，证明△ABD∼△CBA，进而即可得到答案．【详解】解：过点A作∠BAC的平分线，交BC于点D，则∠1=∠2=1

∵∠BAC=2∠C，即∴∠1=∠2=∠C，∴AD=CD，∠3=∠2+∠C=2∠C，∴∠3=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△ABD∼△CBA，∴ABCB∵AB=∴BD=8∴CD=6−8∴46∴AC=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，添加辅助线构造相似三角形是关键．【变式8-2】（2023·浙江·统考二模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，EB平分

(1)求证：BC=CE；(2)若CE=AB，EA=EB，求∠C的度数．【答案】(1)见解析(2)36°【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DEB=∠BEC，根据平行线的性质得到∠DEB=∠EBC，根据等腰三角形的判定即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠C=∠A，设∠C=∠A=x，根据三角形内角和定理即可得到结论．【详解】（1）解：证明：∵BE平分∠DEC，∴∠DEB=∠BEC，∴DE∥∴∠DEB=∠EBC，∴∠BEC=∠EBC，∴BC=CE；（2）∵BC=CE，CE=AB，∴BC=AB，∴∠C=∠A，设∠C=∠A=x，∵EA=EB，∴∠ABE=∠A=x，∴∠EBC=∠BEC=∠A+∠ABE=2x，∴2x+2x+x=180°，∴∠C=x=36°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式8-3】（2023·湖北武汉·统考二模）如图，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F．

(1)求证：DE=DF；(2)若∠C=120°，直接写出∠1的度数．【答案】(1)见解析(2)150°【分析】（1）利用AD∥BC推出∠FED=∠FBC，AB∥CD推出∠2=∠F，用BF平分∠ABC推导∠2=∠FBC，从而得到∠F=∠FED，从而得证；（2）根据AD∥BC，推出∠EDF=∠C=120°，再结合∠F=∠FED利用三角形内角和为180°推出∠FED=180°−∠EDF2=30°【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠FED=∠FBC．∵AB∥CD，∴∠2=∠F．∵BF平分∠ABC，∴∠2=∠FBC，∴∠F=∠FED，∴DE=FD．（2）∠1=150°，求解过程如下：∵∠C=120°，AD∥BC，∴∠EDF=∠C=120°，又∵∠F=∠FED，∴∠FED=180°−∠EDF∴∠1=180°−∠FED=150°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的相关计算，等角对等边，三角形内角和等知识，掌握平行线的性质是解题的关键．题型09根据等角对等边求边长【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2，点F为对角线AC上一点，当∠CBF=22.5°时，则AF的长是（

）

A．22−2 B．116 C．2 【答案】C【分析】根据正方形的性质得出∠ABC=90°，∠ACD=∠ACB=12×90°=45°，求出∠ABF=90°−22.5°=67.5°，∠AFB=∠BCF+∠CBF=67.5°【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，∠ACD=∠ACB=1∵∠CBF=22.5°，∴∠ABF=90°−22.5°=67.5°，∠AFB=∠BCF+∠CBF=67.5°，∴∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=2，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，得出∠ABF=∠AFB．【变式9-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E.若DE=2，则BD的长为（

）

A．4 B．23 C．2 D．【答案】D【分析】过点D作DF⊥AB，根据角平分线的性质得出DF=DE=2，再由等角对等边得出DF=BF=2，由勾股定理即可求解．【详解】解：过点D作DF⊥AB，如图所示：

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DE=2，∴DF=DE=2，∵∠B=45°，∴∠BDF=∠B=45°，∴DF=BF=2∴BD=BF故选：D．【点睛】题目主要考查角平分线的性质，等角对等边及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．【变式9-2】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，CD于M，N两点，分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BCD的内部交于点P，射线CP交AD于点E，交BA的延长线于点

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由题意可得：CP是∠BCD的平分线，然后可由角平分线的定义、平行四边形的性质以及等角对等边得出BF=BC=8，再根据线段的和差即可得出答案.【详解】解：由题意可得：CP是∠BCD的平分线，∴∠BCF=∠DCF，∵▱ABCD，AB=6，∴AB∥CD，∴∠F=∠FCD，∴∠F=∠BCF，∴BF=BC=8，∴AF=BF−AB=8−6=2；故选：B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关图形的性质、得出BF=BC是解题的关键.题型10求与图形中任意两点构成等腰三角形的点【例10】（2020·安徽淮北·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是AD的中点，点F在DC上，且CF=1,若在此矩形上存在一点P，使得△PEF是等腰三角形，则点P的个数是（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF为腰，E为顶角顶点时，②当EF为腰，F为顶角顶点时，③当EF为底，P为顶角顶点时，分别确定点P的位置，即可得到答案．【详解】∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，CF=1，点∴EF=32∴△PEF是等腰三角形，存在三种情况：①当EF为腰，E为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC上存在两个点P，在AB上存在一个点P，共3个，使△PEF是等腰三角形；②当EF为腰，F为顶角顶点时，∵∴在BC上存在一个点P，使△PEF是等腰三角形；③当EF为底，P为顶角顶点时，点P一定在EF的垂直平分线上，∴EF的垂直平分线与矩形的交点，即为点P，存在两个点．综上所述，满足题意的点P的个数是6．故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．【变式10-1】（2018·江苏常州·统考一模）已知直线y=−3x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=−x−32+4上，能使△ABPA．8个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】A【分析】分三种情况考虑：①以点B为圆心，AB长度为半径作圆可找出两个点P；②以点A为圆心，AB长度为半径作圆可找出四个点P；③作线段AB的垂直平分线可找出两个点P．综上即可得出结论．【详解】分三种情况考虑：如图所示：①以点B为圆心，AB长度为半径作圆，交抛物线于点P1②以点A为圆心，AB长度为半径作圆，交抛物线于点P3③作线段AB的垂直平分线，交抛物线于点P7

综上所述：能使△ABP为等腰三角形的点P的个数为8个．故选A．【点睛】二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的判定，依照题意画出图形，解题的关键是利用数形解决问题．【变式10-2】．（2023·广东河源·统考一模）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（

）个．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根据题意，分三种情况：当BA=BC时，当AB=AC时，当CA=CB时，即可解答．【详解】解：如图所示：分三种情况：①当BA=BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交网格线的格点为C1，C②当AB=AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交网格线的格点为C3，C③当CA=CB时，作AB的垂直平分线，交网格线的格点为C5，C6，C7综上所述：使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有8个，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键．题型11等腰三角形性质与判定综合【例11】（2023·北京顺义·统考二模）如图，在△ABC中，AD，BD分别是∠BAC，∠ABC的平分线，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．若AE=4，BF=6，则EF的长为

【答案】10【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质可得∠BAD=∠ADE，∠ABD=∠BDF，进一步可得∠CAD=∠ADE，∠CBD=∠BDF，可得DE=AE，DF=BF，进一步可得EF的长．【详解】解：∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠BAD=∠CAD，∠ABD=∠CBD，∵EF∥∴∠BAD=∠ADE，∠ABD=∠BDF，∴∠CAD=∠ADE，∠CBD=∠BDF，∴DE=AE=4，DF=BF=6，∴EF=DE+DF=4+6=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键．【变式11-1】（2020·江苏泰州·统考一模）已知点A(2，m)，点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，则m=．【答案】0或±【分析】由于当OP=OA时，这样的P点一定有2个，易得PO=PA不存在，AP=AO也不存在，这时才满足符合条件的点P恰好有2个，从而得到m=0，当AP=OA时，可得n=2m，n为任何值均成立，然后将n=2m分别代入另外两种情况中求出m的值即可．【详解】设点P①当OP=OA时，这样的P点一定有2个，∴PO=PA不存在，AP=AO也不存在，∴A点在x轴上，此时m=0．②当AP=OA时，2可得n∵点P、O、A能够成三角形∴n=2m，n为任何值均成立③当OP=PA时，n可得4+∵符合条件的点P恰好有2个∴22+m∴将n=2m代入22可得2解得m=±将n=2m代入4+m可得4+解得m=±故答案为：0或±2【点睛】本题考查了等腰三角形的问题，掌握等腰三角形的性质以及判定、勾股定理、解一元二次方程是解题的关键．【变式11-2】（2023·湖南邵阳·统考一模）如图，已知AB=63，点C在线段AB上，△ACD是底边长为6的等腰三角形且∠ADC=120°，以CD为边在CD的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为【答案】9−2【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹．连接EC，过点M作MJ⊥CD于J，交AB于T．证明MJ垂直平分线段CD，推出点M的运动轨迹是直线MJ，当BM⊥MJ时，BM的值最小，求出BM即可．【详解】解：如图，连接EC，过点M作MJ⊥CD于J，交AB于T，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∵四边形EFCD是矩形，点M是DF的中点，∴点M在对角线DF，EC的交点，∴MD=MC，∵MJ⊥CD，∴DJ=JC，∴点M的运动轨迹是直线MJ，当BM⊥MJ时，BM的值最小，∵DA=DC，∠ADC=120°，AC=6，∴∠A=∠DCA=30°，AH=CH=1∴CD=3×2∴CJ=DJ=3∴CT=CJ∵AB=63，AC=6∴BT=BC+CT=(63∵∠CJT=90°，∠JCT=30°，∴∠BTM=60°，∴BM=3∴BM的最小值为9−23故答案为：9−23【变式11-3】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，函数y=kxx>0的图象过点A

(1)求n和k的值；(2)点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，若S△AOC=6，求(3)过C点作DE∥OA，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得△DEF是以DE为腰的等腰直角三角形?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)n和k的值分别为4，8；(2)C(2,4)，(3)点F(−9,6)或(−3,9)。【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得n、k的值；（2）设点C(m,8m)，过点C做CG⊥x轴于点G，交OA于点H，以CH为底，由△AOC（3）先用待定系数法求得进而求出直线DE的解析式，再分两种情况进行讨论：①以DE为直角边，D为直角顶点；②以DE为直角边，E为直角顶点．再观察图形并利用点的移动特点写出答案．【详解】（1）解：∵函数y=kxx>0∴2解得n=4故n和k的值分别为4，8；（2）解：∵n=4,k=8，∴A(4,2),B(8设直线OA的解析式为：y=mx，把A(4,2)代入y=mx，得2=4m，解得m=12∴直线OA的解析式为：y=1过点C作CG⊥x轴于点G，交直线OA于点H，

设C(m,8∴H(m,1∴S∴1∴m=2或m=8∴C(2,4)，（3）解：∵DE∥OA，直线OA的解析式为：∴设直线DE的解析式为：y=1∵点C(2,4)在直线DE上，，∴4=12×2+b∴直线DE的解析式为：y=1当x=0时，y=3，∴E0,3，当y=0时，x=−6，∴D−6,0，

根据题意，分两种情况进行讨论：①以DE为直角边，D为直角顶点；如图，过F1做FK⊥x轴于点K，可知：∠

∵∠F∴∠F又∵∠DEO+∠EDO=90°，∴∠F1DK=∠DEO∴△F∴F故点D到点F1的平移规律是：D向左移3个单位，向上移6个单位得点F∵D(−6,0)，且F在第二象限，∴F1(−6−3,0+6)②以DE为直角边，E为直角顶点；同①理得，将E点向左移3个单位，向上移6个单位得点F坐标，得F2综上所述：点F(−9,6)或(−3,9)【点睛】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键．题型12等腰三角形有关的折叠问题【例12】（2023·辽宁·模拟预测）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ACD中，∠D=2∠C，AB⊥CD，垂足为B，且BC>AB．求证：

①如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取BE=BD，连接AE，将线段BC与AD，BD之间的数量关系转化为AD与CE之间的数量关系．

②如图3，小亮同学从∠D=2∠C这个条件出发给出另一种解题思路：作AC的垂直平分线，分别与AC，CD交于F，E两点，连接AE，将∠D=2∠C转化为∠D与∠BEA之间的数量关系．

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．【类此分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点A作AD∥BC（点D与点C在AB同侧），若∠ADB=2∠C

【学以致用】（3）如图5，在四边形ABCD中，AD=1003,CD=

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1444【分析】（1）选择小鹏同学的解题思路，利用垂直平分线的性质、三角形外角的性质，可得AE=AD=CE，进而可证BC=CE+BE=AD+BD；选择小亮同学的解题思路，先证AE=EC，∠D=∠AED，推出AE=AD，再根据等腰三角形“三线合一”证明BE=BD，进而可证BC=CE+BE=AD+BD；（2）过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，证明四边形AEBD是平行四边形，推出AD=BE，AE=BD，∠ADB=∠E，在BC上截取BF=BE，同（1）可证（3）延长AB交DC的延长线于点E，作AH⊥DE于点H，作BF⊥DE于点F，先通过导角证明∠D=∠E，∠BCE=2∠E，同（1）可得EF=BC+CF．再利用勾股定理、锐角三角函数解直角三角形，求出△EAD，△EBC的底和高，根据四边形ABCD的面积=S【详解】解：（1）选择小鹏同学的解题思路，证明如下：如图，

∵BE=BD，AB⊥CD，∴AB是线段DE的垂直平分线，∴AE=AD，∴∠D=∠AED，∵∠D=2∠C，∴∠AED=2∠C，又∵∠AED=∠C+∠CAE，∴∠C=∠CAE，∴CE=AE，∴CE=AD，∴BC=CE+BE=AD+BD；选择小亮同学的解题思路，证明如下：如图，

∵EF是线段AC的垂直平分线，∴AE=EC，∴∠C=∠CAE，∴∠AED=∠C+∠CAE=2∠C，又∵∠D=2∠C，∴∠D=∠AED，∴AE=AD，∴CE=AD．∵AE=AD，AB⊥CD，∴BE=BD，∴BC=CE+BE=AD+BD；（2）证明如下：如图，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，在BC上截取BF=BE，连接

∵AE∥DB，∴四边形AEBD是平行四边形，∴AD=BE，AE=BD，∠ADB=∠E，∵∠ADB=2∠C，∴∠E=2∠C，∵∠ABC=90°，∴AB⊥FE，又∵BE=BF，∴AB是线段EF的垂直平分线，∴AE=AF，∴∠E=∠AFE，∵∠E=2∠C，∴∠AFE=2∠C，又∵∠AFE=∠C+∠CAF，∴∠C=∠CAF，∴CF=AF，∴CF=AE，∴BC=CF+BF=AE+BE=BD+AD；（3）如图，延长AB交DC的延长线于点E，作AH⊥DE于点H，作BF⊥DE于点F，

∵∠BCD=∠BAD，∠BCD+∠BCE=180°，∠BAD+∠E+∠D=180°，∴∠BCE=∠E+∠D，∵∠ABC=∠E+∠BCE，∴∠ABC=∠E+∠E+∠D=2∠E+∠D，∵∠ABC=3∠ADC，∴3∠D=2∠E+∠D，∴∠D=∠E，∴∠BCE=∠E+∠D=2∠E，又∵BF⊥DE，同（1）可证EF=BC+CF．∵AD=1003，sinD=∴AH=AD⋅sin∴HD=A∵∠D=∠E，∴AD=AE，又∵AH⊥DE，∴HE=HD，∴DE=2HD=160∵CD=121∴EC=DE−CD=160−121设EF=x，则CF=EC−EF=13−x，∵EF=BC+CF，∴BC=EF−CF=x−13−x∴BF∵sinD=35∴tanE=∴BF=EF⋅tan∴34解得x1=32∴BF=3∴四边形ABCD的面积=S【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，注意应用前两问的结论．【变式12-1】（2023·福建南平·统考二模）在等腰三角形ABC中，AB=AC，△DEC是由△ABC绕点C按顺时针方向旋转α角0<α<180°得到，且点A的对应点D恰好落在直线BC上，如图1．(1)判断直线CE与直线AB的位置关系，并证明；(2)当∠ADC=2∠BAC时，求∠BAC的大小；(3)如图2，点F为线段AD的中点，点G在线段AB上且AG=AF，当点E在线段AD上时，求证：AB=AE+2BG．【答案】(1)CE∥(2)∠BAC=20°(3)证明见解析【分析】（1）由旋转的性质和等边对等角的性质，得到∠B=∠DCE，即可证明CE∥AB（2）设∠BAC=x，则∠ADC=2x，由旋转的性质，得出AC=DC，再根据三角形外角的性质，得到∠ACB=4x，然后根据三角形内角和定理，求出x的值，即可得到答案；（3）连接CF、CG，利用旋转的性质，证明△AGC≌△AFCSAS，得CG=CF，∠AGC=∠AFC，再根据等腰三角形三线合一的性质，得的CF⊥AD，从而得出∠BGC=90°，再证明Rt【详解】（1）解：CE∥证明：由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DCE，∴CE∥（2）解：设∠BAC=x，则∠ADC=2∠BAC=2x，由旋转的性质可得，AC=DC，∴∠CAD=∠ADC=2x，∴∠ACB=∠ADC+∠CAD=4x，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=4x，在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∴x+4x+4x=180°，解得：x=20°，即∠BAC=20°；（3）解：证明：如图3，连接CF、CG，由旋转的性质可知：∠BAC=∠D，CB=CE，CA=CD，∴∠CAD=∠D，∴∠BAC=∠CAD，∵AG=AF，AC=AC，∴△AGC≌∴CG=CF，∠AGC=∠AFC，∵CA=CD，点F为线段AD的中点，∴CF⊥AD，∴∠AFC=90°，∴∠AGC=∠AFC=90°，∴∠BGC=90°，在Rt△BCG和RtCB=CECG=CF∴Rt∴BG=EF，∴AB=AG+BG=AF+BG=AE+EF+BG=AE+2BG．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识．解题关键是作辅助线构造全等三角形．【变式12-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图1，已知三角形纸片ABC，AB=AC，∠A=50°，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，那么∠DBC的度数为（

）

A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】B【分析】依据三角形内角和定理，求出∠ABC的度数，再证明∠DBA=∠A=40°，即可得到∠DBC的度数．【详解】解：∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ABC=∠C=1由折叠可得：DA=DB，∴∠DBA=∠A=50°，∴∠DBC=65°−50°=15°．故选：B．【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等几何知识点．【变式12-3】（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E为AD边的中点，连接BE，CE，点F，G分别是BE，BC边上的两个动点，连接FG，将△BFG沿FG折叠，使点B的对应点H恰好落在边EC上，若△CGH是以GH为腰的等腰三角形，则EH的长为．

【答案】5011或【分析】当GH=CH时，如图1所示，过点H作HM⊥BC于M，则CM=GM=12CG，设BG=GH=CH=x，则CG=12−x，CM=6−x2，利用勾股定理求出CE=5，证明∠DEC=∠MCH，再解直角三角形得到cos∠MCH=CMCH=35，代入计算即可得到答案；当GH=CG时，如图2所示，过点G作GM⊥CE【详解】解：如图1所示，当GH=CH时，过点H作HM⊥BC于M，

∴CM=GM=1由折叠的性质可得BG=GH=CH，设BG=GH=CH=x，则CG=BC−BG=12−x，∴CM=6−x∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=12，CD=AB=8，∵E是AD的中点，∴DE=6，在Rt△CDE中，由勾股定理得CE=∵AD∥∴∠DEC=∠MCH，在Rt△CDE中，cos∴在Rt△CMH中，cos∴6−x解得：x=6011，即∴EH=CE−CH=50如图2所示，当GH=CG时，过点G作GM⊥CE于M，

∴CH=2CM，由折叠的性质可得BG=GH=CG=1在Rt△CGM中，CM=CG⋅∴CH=2CM=36∴EH=CE−CH=14故答案为：5011或14【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．【变式12-4】（2023·甘肃张掖·统考二模）（1）如图①，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，B'C与AD交于点E

（2）点O是矩形纸片ABCD对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段EF折叠，使点A的对应点为A'，点B与点D重合，连接BF，求证：四边形FBED【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由折叠的性质得出∠ECA=∠ACB，由平行线的性质得出∠EAC=∠ACB，则可得出结论；（2）连接BD，证明△DOF≌△BOE(AAS)，由全等三角形的性质得出DF=BE，得出四边形【详解】解：（1）证明：∵将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B'∴∠ECA=∠ACB，∵AD∥∴∠EAC=∠ACB，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∴△ACE是等腰三角形；（2）证明：连接BD，

∵将该纸片沿过点O的线段EF折叠，使点A的对应点为A'，点B与点D∴OB=OD，BD⊥EF，∵DF∥∴∠DFE=∠BEF，∵∠DOF=∠BOE，∴△DOF≌△BOE(AAS∴DF=BE，∴四边形BEDF是平行四边形，又BD⊥EF，∴四边形FBED是菱形．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的性质、翻折变换、菱形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．【变式12-5】（2023·河南洛阳·统考二模）综合与实践

(1)【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，请写出图中的一个45°角：______．(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕AE上的点N处，连接NF交AM于点P．①∠AEF=______度；②若AB=3，求线段PM(3)【迁移应用】如图3，在矩形ABCD，点E，F分别在边BC、CD上，将矩形ABCD沿AE，AF折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为CD的三等分点，AB=3，AD=5，请直接写出线段【答案】(1)∠EAF=45°，见解析(2)①∠AEF=60°，见解析；PM=2−3(3)线段BE的长为97或2【分析】（1）根据折叠性质和正方形的性质可得∠EAF=45°；（2）①由折叠性质可得∠NFE=∠CFE，∠ENF=∠C=90°，∠AFD=∠AFM，结合∠EAF=45°可得∠AFN=45°，即可求解；②根据△ANF是等腰直角三角形，可证△ANP≌△FNEASA，设PN=EN=a根据AN+EN=AE，即可求解；（3）在AD上取一点J，使得AJ=AB，过点J作JT⊥BC，交AF于点K，连接EK，可得△AJK∽△ADF，设BE=x，则EK=x+6【详解】（1）解：∠EAF=45°；∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=∠BAD=90°，由折叠性质可得：∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF，∴∠MAE+∠MAF=∠BAE+∠DAF=1即∠EAF=45°；（2）解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=∠B=90°，由折叠性质可得：∠NFE=∠CFE，∠ENF=∠C=90°，∠AFD=∠AFM，∴∠ANF=180°−90°=90°，由操作一得：∠EAF=45°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴∠AFN=45°，∴∠AFD=∠AFM=45°+∠NFE，∴245°+∠NFE∴∠NFE=∠CFE=30°，∴∠AEF=90°−30°=60°；②∵△ANF是等腰直角三角形，∴AN=FN，∵∠AMF=∠ANF=90°，∠APN=∠FPM，∴∠NAP=∠NFE=30°，∴△ANP≌△FNEASA∴AP=FE,PN=EN，∵∠NFE=∠CFE=30°，∠ENF=∠C=90°，∴∠NEF=∠CEF=60°，∴∠AEB=60°，∵∠B=90°，∴∠BAE=30°，∴BE=3∴AE=2BE=2，设PN=EN=a，∵∠ANP=90°,∠NAP=30°，∴AN=3PN=3a∵AN+EN=AE，∴3a+a=2，解得：∴AP=2a=23∴PM=AM−AP=3（3）解：如图，在AD上取一点J，使得AJ=AB，过点J作JT⊥BC，交AF于点K，连接EK，

当DF=2CF时，CF=1,DF=2，∵JK∥DF，∴△AJK∽△ADF，∴AJ∴JK∴JK=6由（1）可知，EK=BE+JK，设BE=x，则EK=x+6∵EK∴(x+∴x=9当CF=2DF时，同理可得BE=2，综上所述，线段BE的长为97或2【点睛】此题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出∠EAF=45°是解题的关键．题型13等腰三角形有关的规律探究问题【例13】（2022·湖北荆门·校考模拟预测）如图，直角坐标