2024年中考数学复习（全国版）专题23 图形的相似与位似【十四大题型】（举一反三）（解析版）

专题23图形的相似与位似【十四大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用比例的性质求值】 4【题型2黄金分割】 5【题型3由平行线分线段成比例判断式子正误】 9【题型4平行线分线段成比例（A型）】 12【题型5平行线分线段成比例（X型）】 16【题型6平行线分线段成比例（AX型）】 19【题型7平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】 22【题型8平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】 27【题型9相似多边形的性质】 34【题型10画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 39【题型11求位似图形的坐标】 44【题型12求位似图形的线段长度】 47【题型13坐标系中求位似图形的周长】 50【题型14求位似图形的面积】 53【知识点图形的相似与位似】1.比例线段的概念与性质线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比．比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如ab=cd（即ad=bc），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，【补充】当比的内项相等时，即ab=bd或a：b=b：d，线段b叫做线段a【解题思路】1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可；2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成ab=cd（即：比例的性质：1）基本性质：ab=2）变形：ab=c3）合、分比性质：a【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：a4）等比性质：如果ab=cd=【补充】根据等比的性质可推出，如果ab=c5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果ACAB=BCAC,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC【注意】1）AC=5-12AB≈0.648AB(52）一条线段的黄金分割点有两个.【扩展】作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB，按照如下方法作图：①经过点B作BD⊥AB，使BD=12②连接AD，在DA上截取DE=DB.③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.6）平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.①已知l3∥l4∥l5,可得ABBC①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况：

推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．2.相似多边形的性质：1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.2)相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方.3.位似图形位似图形的定义:如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心.常见的位似图形：画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.位似图形的性质：1)位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点；2）位似图形的对应边互相平行或者共线.3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k.画位似图形的步骤：1）确定位似中心,找原图形的关键点.2）确定位似比.3）以位似中心为端点向各关键点作射线.【题型1利用比例的性质求值】【例1】（2023·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填

【答案】2【分析】根据题意得出a=【详解】解：∵a∴a∴ac故答案为：2．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．【变式1-1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）若xy=2，则x【答案】1【分析】根据比例的性质解答即可．【详解】解：∵xy∴x-故答案为：1．【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质．【变式1-2】（2023·湖南岳阳·校考一模）已知x2=y3=z5【答案】4【分析】设x2=y3=z5=k，再用k表示x【详解】解：设x2则x=2k，y=3那么3x解得，k=2则x=4故答案为：4【点睛】本题考查了比例的性质，解答关键是用k表示x、y、z，构造方程求解．【变式1-3】（2023·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若▲●=●-◆▲=◆●A．2:3:4 B．2:4:3 C．3:4:5 D．3:5:4【答案】B【分析】可设▲●=●-◆▲=◆●+▲=k，利用等比性质可得k的值，设▲为x，●为y，【详解】解：设▲●=●-◆▲=◆●+▲=k，∴k=∴x=∴y=2∴▲，●，◆这三种物体的重量比为2:4:3．故选：B．【点睛】考查比例性质的应用；利用等比性质得到所给比值的确定值是解决本题的关键．【题型2黄金分割】【例2】（2023·广东云浮·统考一模）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点A．5-1 B．3-5 C．5【答案】B【分析】证AD=BD=BC，再证△BDC∽△ABC，得BCAC=【详解】解：∵∠A∴∠ABC由题意得：BD平分∠ABC∴∠ABD∴∠ABD∴AD∵∠CBD=∠∴△BDC∴BCAC∴ADAC∴点D是AC的黄金分割点，AD>∵AB=2∴AD∴CD故选：B．【点睛】本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式2-1】（2023·上海杨浦·统考一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列等式能成立的是（A．ABAP=APC．APBP=5【答案】A【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．【详解】解：如图，∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>∴APAB故选：A．【变式2-2】（2023·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，【答案】(80【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为5-【详解】解：弦AB=80cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC=∴80-x80=点D是靠近点A的黄金分割点，设AD=y，则∴80-y80=∴C,D之间的距离为故答案为：(805【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．【变式2-3】（2023·安徽·统考模拟预测）如图，AB为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿CB为折痕折叠BC交AB于点M，连接CM，若点M为AB的黄金分割点（BM>AM），则

A．5-12 B．5+12 C【答案】A【分析】过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M'，连接CM'，BM'，根据折叠的性质可得：∠CMB=∠CM'B，BC⊥MM'，从而可得∠BDM=90°【详解】解：过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M'，连接

由折叠得：∠CMB=∠CM∴∠BDM∵点M为AB的黄金分割点（BM>∴BMAB∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB∴∠ACB∵∠DBM∴△DBM∴DMAC∵四边形ACM'B是半∴∠A∵∠AMC+∠CMB∴∠A∴CA=在Rt△CDM中，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【题型3由平行线分线段成比例判断式子正误】【例3】（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E

A．直线PQ是AC的垂直平分线 B．CDC．DE=12【答案】D【分析】根据直线PQ是AC的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，分别进行判断即可．【详解】解：A．由作图过程可知，直线PQ是AC的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；B．由作图过程可知，直线PQ是AC的垂直平分线，∴点E是AC的中点，AD=在△ABC中，∠∴DE∥∴ADBD即点D是AB的中点，∴CD=故选项正确，不符合题意；C．∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，∴DE是△ABC∴DE=故选项正确，不符合题意；D．∵DE∥∴△ADE∴S△∴S△故选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键．【变式3-1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，连接DE，点F为BC边上一点，BF=2FC，连接AF

A．ANAF=12 B．DNDE=2【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理，可推出AN=NF【详解】解：∵D、E分别为AB、∴DE∥∴AD∴ANAF=12∴NEFC∵BF=2∴DN=2∴DNDE所以，A,B,D正确，C错误；故选：C【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，中位线定理；由平行线的位置关系得到线段间数量关系是解题的关键．【变式3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，△ABC中，D是AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，DF∥BE交AC于点F

A．ADBD=AEEC B．AFAE=【答案】D【分析】由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵DE∥BC，∴ADBD=AEEC，△ADE∴DEBC=AD∴AEEC=AF∴选项A、B、C正确，选项D错误；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，下列结论错误的是（

）A．AEED=BEEH B．EHEB=【答案】C【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，证出△ABE∽△DHE，△【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DHE，△∴AEED=BE∴选项A、B、D正确，C错误；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．【题型4平行线分线段成比例（A型）】【例4】（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F

A．165 B．167 C．2 D【答案】A【分析】先证得四边形DEFC是平行四边形，得到DE=FC，再利用平行线截线段成比例列式求出【详解】∵DE∥BC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DE=∵EF∥∴FCBF∵BF=8∴FC=∴DE=故选：A．【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键．【变式4-1】（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，DE∥BC，AE

A．1.5 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【详解】解：∵DE∴AD∵AE=4，∴3解得：BD=1.5故选：A．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【变式4-2】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC=30°，已知窗户的高度AF=2m，窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8m，则洒在地面上光线EP的宽度为

【答案】2.7【分析】设AC,DP交于点Q，解Rt△ADQ，求得【详解】解：如图所示，

设AC,DP交于点依题意，AD∴∠∴AQ=∴QF∵DP∴∠FEC∴CF∵DP∴QF∴EP故答案为：2.7．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．【变式4-3】（2023·全国·一模）剪纸是中国的传统文化之一．如图1，将长为12cm，宽为5cm的矩形纸片剪成4张小纸片、分别记为“①，②，③，④”．若这四张小纸片恰好能拼成如图2所示的矩形，则在“小纸片①”中，较长直角边=cm．

【答案】607/【分析】如图，设CD=xcm,DE=y【详解】如图，设CD=xcm∵DE∥∴DEAB∴y5∴y=又∵x=∴x=∴x=∴较长直角边为607故答案为：607

【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题．【题型5平行线分线段成比例（X型）】【例5】（2023·广西贵港·统考一模）如图，F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，已知DE=2BC=4，CD=6，求A．22 B．3 C．13 D．【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例结合已知条件可知CP=2=BC，在根据勾股定理求出BC即可；【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴又∵DE=2∴DP=2又∵CD=6∴CP=2；在Rt△BCP中，∠CBP=故选：A【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例及勾股定理，利用平行线分线段成比例求得CF=2是解题的关键．【变式5-1】（2023·北京·统考中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，FD

【答案】3【分析】由平行线分线段成比例可得，BOOE=AOOF=21，OE【详解】∵AB∥EF∥CD，∴BO∴BO∵OE∴EC∴BE故答案为：32【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.【变式5-2】（2023·安徽滁州·统考二模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE【答案】52/【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式ADAB【详解】解：∵DE∥∴ADAB∵AE=2,AC=4∴AD5∴AD=故答案为：52【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，会利用平行线分线段成比例定理正确列出比例式是解答的关键．【变式5-3】（2023·重庆渝中·统考一模）已知▱ABCD，点E是BA延长线上一点，CE与AD，BD分别相交于点G，F．求证：C

【答案】见解析【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线分线段成比例定理得到CFEF【详解】∵▱ABCD∴AB∥CD，∴CFEF=DF∴CFEF即CF【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．【题型6平行线分线段成比例与三角形中位线综合】【例6】（2023·安徽滁州·统考二模）如图，G为△ABC的重心，AG=12，则AD=．【答案】18【分析】连接CG并延长交AB于点E，连接DE，根据题意，可以得到DE时△ABC的中位线，从而可以得到DE∥AC且DE=12AC，然后即可得到△DEG∽△ACG，由相似三角形的性质得到DG和AG的比值，求出然后DG【详解】解：如图，连接CG并延长交AB于点E，连接DE，∵点G是△ABC的重心，∴点E和点D分别是AB和BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE=12AC∴△DEG∽△ACG，∴DEAC∵AG=12，∴DG=6，∴AD=AG+GD=18．故答案为：18．【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式6-1】（2023·湖南湘潭·模拟预测）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA=2，△AOE周长为A．16 B．32 C．36 D．40【答案】B【分析】由平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，OB=OD，证OE是△ABD的中位线，则AB【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=∵OE∥∴DEAE∴AE=∴OE是△ABD∴AB=2OE，∵△AOE的周长等于10∴OA+∴AE+∴AB+∴▱ABCD的周长=2×故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理，求出AB+【变式6-2】（2023·宁夏银川·校考一模）如图，在▱ABCD中，AB=5，BC=8.E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC=90°.连接AF并延长，交CD于点GA．52 B．32 C．3 D【答案】D【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再得到CG的长，进而得出DG的长．【详解】解：∵E是边BC的中点，且∠∴Rt△BCF中，∵EF∥AB，AB∥CG∴F是AG可得EF=∴CG又∵CD∴DG故选：D．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、梯形的中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．【变式6-3】（2023·山东聊城·统考二模）如图，在正方形ABCD中，按如下步骤作图：①连接AC，BD相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接OE交BC于点F；④连接AF交BO于点G．若AD=4

A．1 B．2 C．43 D．【答案】C【分析】证明OF∥AB，OF=【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=∴BD=∴OB=由作图可知OE垂直平分线段BC，∴BF=CF，又∴OF∥AB，∴OGGB=OFAB故选：C．【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、正方形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【题型7平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】【例7】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC上的点，CE=2，CA=5，AD=4，BD

【答案】5【分析】过B作DC的平行线交AC的延长线于点M，过E作EN⊥BM，由平行线分线段成比例可得ADDB=ACCM，进而求得CM=258，由勾股定理可得BM=A【详解】解：过B作DC的平行线交AC的延长线于点M，过E作EN⊥

∵DC∥∴ADDB=AC∵CE=2，CA=5，AD=4∴AC=5，AB∴CM=∴ME=在Rt△ABM中，∵∠EMN=∠BMA∴△MNE∴MEMB∴NE=在Rt△ABE中，∴sin∠故答案为：55【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解直角三角形以及三角形相似，关键是构造直角三角形并能将更多的已知线段集中．【变式7-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D为BC边的中点，点E在线段AD上，BE的延长线交AC边于点F，若AE：ED＝1：3，

【答案】12【分析】过点D作DG∥BF于点G,由平行线分线段成比例定理得AEED=AF【详解】解：如图，过点D作DG∥BF于点则AEED而AEED=1∴FG∵D为BC∴GF∴CF故答案为：12．

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．【变式7-2】（2023·安徽宿州·校考一模）如图，在△ABC中，CG平分∠ACB，过点A作AH⊥CG交BC于点H，且H是BC的中点．若AH=4，CG

【答案】15【分析】作HK∥CG交AB于点K，由平行线分线段成比例定理可证AG=KG=【详解】解：作HK∥CG交AB于点

∴BKKG=BH∵H是BC∴BH∴BK∴HK=∵AH∴∠ANC∵CG平分∠∴∠ACN∵CN在△ACN与△∠ACN∴△ACN∴AN∴AG∴AG∵HK∥∴∠KHA∴AK=∴AG=∴AB=故答案为：152【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，证明AG=KG=BG是解答本题的关键．【变式7-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考三模）如图，在△ABC中，AB=9，∠B=2∠C，AD⊥BC，AE

【答案】4.5【分析】首先过E点作ME∥AD，交AC于M，连接BM，易证得△MAB∽△BAC【详解】解：过E点作ME∥AD，交AC于M，连接

∴AD∴ME∵AE是BC∴BM∴∠C又∵∠B∴∠MBA又∵∠CAB∴△MAB∴ABAM∵ME∥∴CECM∵CE∴BCCM∴ABAM∴AB∵AB∴DE故答案为：4.5．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及平行线分线段成比例定理．注意正确的作出辅助线是解题的关键．【题型8平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】【例8】（2023·浙江·一模）如图，菱形ABCD中，点E是CD的中点，EF垂直AB交AB延长线于点F，若BGCG=13，EF=2

A．35 B．1455 C．5【答案】D【分析】过C作CM⊥AB延长线于M，根据BGCG=13，设【详解】解：过C作CM⊥AB延长线于

∵BGCG∴设BG=∴DC=∵点E是边CD的中点，∴CE=∵菱形ABCD，∴CE∥∵EF⊥AB，∴EF∥∴四边形EFMC是矩形，∴CM=EF=2∵GF∥∴BFFM=BG∴BF=∴BM=在Rt△BCM中，∴83x2+2∴CD=4故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属于拔高题．【变式8-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十九中学校校考一模）在△ABC中，∠ABC=45°，AK⊥BC于点K，点M在AK上，CK=KM，tan∠KAC=34，N【答案】5【分析】如图：过N作ND⊥BC，过G作GE⊥BC，过N作NF⊥GE，则四边形DEFN是矩形；再说明△ABK是等腰三角形可得AK=BK；然后再证ΔBKM≅ΔAKC(SAS)可得BM=AC；再根据正切的定义结合BC=14【详解】解：如图：过N作ND⊥BC，过G作GE⊥BC，过∴四边形DEFN是矩形，∵∠ABC=45°∴△ABK∴AK=在△BKM和△BK∴Δ∴BM∵tan∠∴设CK=3x，则∴BC=3x∴CK=∵ND⊥BC∴DN∥∴BDDK=BN∵N为BM的中点，G为AC的中点，∴BD=DK，∴DN,EG为∴DN=12KM=3∴EF∴NF∴NG=故答案为52【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、正切的定义等知识点，正切作出辅助线、构造三角形中位线是解答本题的关键．【变式8-2】（2023·河南商丘·校考二模）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AC=5，AB=12，将△ABC绕点C逆时针旋转α°0°<α°<90°，得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，射线ED分别交【答案】1或26【分析】分两种情况讨论，当BF=BM时，得到EF=EC=13，求得DF=EF-DE=1，在Rt△CDF中，利用勾股定理求解；当BF=FM时，则【详解】解：∵∠A=90°，AC=5∴BC=由旋转的性质得，AC=CD=5，AB=ED=12，当BF=∴∠BFM∵∠B∴∠ECF∴EF=∴DF=在Rt△CDF中，∴BM=∴AM=当BF=FM时，则∠B=∠FMB∵∠CFE由旋转的性质得，∠B∴FC=设FC=FE=x，则在Rt△CDF中，CF解得x=16924，即FC∵FN⊥AB，∴FN∥∴BFBC=BN∴BN=∵BF=FM，∴MN=∴AM=12-2×综上，AM的长为1或26-故答案为：1或26-【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．【变式8-3】（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图，点P是△ABC内部一点，且PA=PB=PC，∠ABC=45°，点D在AC上，连接DP并延长交BC于点E，若CD=3

【答案】2【分析】如图所示，过点P作PH⊥AC于点H，过点E作EM⊥AC于点M，设∠ABP=α，∠【详解】解：如图所示，过点P作PH⊥AC于点H，过点E作EM⊥AC于点M，设

∴α+∵PA=∴∠BAP=∠ABP∴∠PAC∴△APC∵∠APD=∠CBP∴∠EDC=∠APD∴∠EDC∴CE=CD，即设AD=∴CD=3∴AC=∵PA=∴AH=∵CE=∴DM=∴HM=∵PH∥EM，∴PDPE=DH∴PD=2故答案为：27【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质、平行线分线段成比例的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．【题型9相似多边形的性质】【例9】（2023·上海虹口·统考一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（

）A． B． C．D．【答案】D【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，如果两个四边形的四条边对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形相似，据此求解即可．【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则已知四边形的四条边分别为1，2，2，5．选项A中的四边形的四条边分别为2，2，2，10，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意；选项B中的四边形的四条边分别为2，5，13，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项B中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；选项C中的四边形的四条边分别为2，5，13，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项C中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；选项D中的四边形的四条边分别为2，22，4，2将已知四边形表示为四边形ABCD，将选项D中的四边形表示为EFGH．如图，连接AC、EG，则AC=5，在△ABC与△∵ABEF∴△ABC∴∠BAC=∠FEG，∠在△ADC与△∵ADEH∴△ADC∴∠DAC=∠HEG，∠∴∠BAD=∠FEH，∠B=∠又∵ABEF∴四边形ABCD∽四边形EFGH故选：D．【变式9-1】（2023·浙江宁波·校联考三模）如图，▱ABCD∽▱EFGH，AB∥EF，记四边形ABFE、四边形BCGF、四边形CDHG、四边形DAEH的面积分别S1，S2，S3，S4，若已知▱ABCD和▱EFGH的面积，则不用测量就可知的区域的面积为（）A．S1﹣S2 B．S1+S3 C．S4﹣S2 D．S3+S4【答案】B【分析】作CK⊥AB于K，GN⊥EF于N，FM⊥AB于M，HJ⊥CD于J，得出CK＝FM+GN+HJ，四边形AEFB和四边形CDHG都是梯形，由▱ABCD∽▱EFGH，得出EFAB＝HGCD＝GNCK，设EFAB＝HGCD＝GNCK＝a，则EF＝HG＝aAB，GN＝aCK，求出12S平行四边形ABCD﹣12S平行四边形EFGH＝12（1﹣a2）AB•CK，S1+S3＝12【详解】解：作CK⊥AB于K，GN⊥EF于N，FM⊥AB于M，HJ⊥CD于J，∵四边形ABCD和四边形EFGH都是平行四边形，AB∥EF，∴CK＝FM+GN+HJ，四边形AEFB和四边形CDHG都是梯形，∵▱ABCD∽▱EFGH，∴EFAB＝HGCD＝设EFAB=∵AB＝CD，EF＝HG，∴EF＝HG＝aAB，GN＝aCK，S1＝12（EF+AB）MF＝12（a+1）AB•S3＝12（GH+CD）HJ＝12（a+1）AB•12S平行四边形ABCD﹣12S平行四边形EFGH＝12AB•CK﹣12EF•GN＝12（AB•CK﹣a•AB•a•CK）＝12（1﹣aS1+S3＝12（a+1）AB•MF+12（a+1）AB•HJ＝12（a+1）AB（MF+HJ）＝12（a+1）AB（CK﹣GN）＝12（a+1）AB（1﹣a）CK＝12（1﹣a∴S1+S3＝12S平行四边形ABCD﹣12S平行四边形故选B．【点睛】本题考查了相似多边形的性质、平行四边形的性质、梯形面积与三角形面积以及平行四边形面积的计算等知识；通过作辅助线得出大平行四边形AB边与小平行四边形EF边上高的差等于S1、S2的高的和是解决问题的关键．【变式9-2】（2023·河北衡水·统考一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（

）．A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对【答案】C【分析】根据相似多边形的对应边成比例、对应角相等进行判断即可．【详解】解：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，平移后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似；乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边不平行，因此各角与原菱形角不相等，即新菱形与原菱形不相似．所以甲对，乙不对，故选：C．【点睛】本题考查了相似多边形的判定．此题难度不大，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键．【变式9-3】（2023·河北石家庄·统考三模）对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图1所示，最大值为16；乙方案：如图2所示，最大值为16．下列选项中说法正确的是（

）A．甲方案正确，周长和的最大值错误B．乙方案错误，周长和的最大值正确C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误【答案】D【分析】根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可．【详解】解：∵6：2=3：1，∴三个矩形的长宽比为3：1，甲方案：如图1所示，3a+3b=6，∴a+b=2，周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；乙方案：如图2所示，a+b=2，周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；如图3所示，矩形①的长为2，则宽为2÷3=23则矩形②的长为6-23=163，宽为163∴矩形①和矩形②的周长和为2(2+23)+2(163+169∵1769>∴周长和的最大值为1769故选：D．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽是解题的关键．【题型10画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】【例10】（2023·安徽芜湖·统考一模）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点B的坐标(-2

(1)以点O为位似中心，把△ABC按2:1放大在y轴的左侧，画出放大后的△(2)点A的对应点D的坐标是；(3)S△ABO:【答案】(1)见解析(2)(-2(3)1:3【分析】本题主要考查位似的知识，掌握位似的定义，性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．（1）位似中心为点O，根据位似比，连接AO，BO，（2）根据题意求出点A的坐标，再根据位似比，即可求解；（3）由题意可知相似比为2:1，可求出S△ABO:【详解】（1）如图所示，△DEF

（2）点A的对应点D的坐标是(-2，故答案为：(-2，（3）由题可得AB∥∴△ABO又∵位似比为2:1，∴S∴S故答案为:1:3．【变式10-1】（2023·广西防城港·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方格的边长都是1个单位长度，已知\△ABC的顶点坐标为A

(1)画出△ABC沿着x轴向右平移5个单位长度得到的△(2)以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，请在位似中心同侧画出缩小后的(3)直接写出线段C1【答案】(1)见解析(2)见解析(3)10【分析】（1）直接利用平移的性质得出A、B、C对应点A1、B（2）利用位似图形的性质得出A、B、C对应点A2、B（3）根据（1）（2）所求得到C1【详解】（1）解：如图所示，△A（2）解：如图所示，△A

（3）解：由（1）（2）可知C1∴C1【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移和位似，勾股定理，正确找到对应点的位置是解题的关键．【变式10-2】（2023·安徽合肥·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为-4,3，-3,-1(1)以点O为对称中心，画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1（其中A与A1，(2)以点D-2,1为位似中心，将△ABC放大2倍得到△A2B2C2（其中A与A2，【答案】(1)见解析(2)A2【分析】（1）先确定点A,B,C关于原点对称的对应点（2）根据位似比确定A2,B2,【详解】（1）解：如图，△A（2）如上图，△A2点A2的坐标为-【点睛】本题考查作中心对称图形以及位似图形．熟练掌握成中心对称图形的特征，以及位似图形的定义和性质，是解题的关键．【变式10-3】（2023·广西桂林·统考一模）如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A-1,2，B(1)画出△ABC关于y轴对称的△(2)以点B为位似中心，在点B的下方画出△A2B2C2，使(3)直接写出点A1，C【答案】(1)见解析(2)见解析(3)A11,2【分析】（1）根据轴对称变换：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标是原来相反数的性质找出对应点，再一次连接即可；（2）根据位似变换的性质：位似图形的对应点到位似中心的距离之比为相似比，找出对应点即可，再一次连接即可；（3）根据关于y轴对称的点的特征，即可写出A1的坐标，根据位似图形的性质，即可写出C【详解】（1）解：如图所示，△A（2）如图所示，△A（3）由图可知：∵A-∴A1∵C-3,1，∴MC=1,∵△A2B2∴NC∴C2综上：A11,2，【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，利用位似变换作图，根据网络结构的特点，准确找出对应点的位置是解题的关键．【题型11求位似图形的坐标】【例11】（2023·山东日照·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为-2，0，点C坐标为-1，0，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C．若点A的对应点A

A．3,-2 B．-2,32 C．-【答案】C【分析】作AE⊥x轴，A'F⊥【详解】解：作AE⊥x轴，

∵B-2，0，C-1∴OB=2，OC=OB∴BC=1，B'∵由题意可得：△∴AC∵∠ACE=∠∴△∴AE∴AE=1∴OE∴点A坐标为-故选：C【点睛】此题考查了位似的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质．【变式11-1】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A1,2,B2,1,C3,2，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与

A．2,4 B．4,2 C．6,4 D．5,4【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC的位似比为2的位似图形是△A'∴C'2×3,2×2故选：C．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．【变式11-2】（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，△ABO的顶点坐标是A2,6，B3,1，O0,0，以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的13，得到

【答案】23,2或-23【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．【详解】解：∵以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的13，得到△A∴当△A'B'O在第一象限时，点A当△A'B'O在第三象限时，点A综上可知，点A'的坐标为23,2故答案为：23,2或【点睛】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算．【变式11-3】（2023·江苏盐城·统考二模）如图，以点C(0,1)为位似中心，将△ABC按相似比1:2缩小，得到△DEC，则点A(2,-1)的对应点

【答案】(-1,2)【分析】通过把位似中心平移到原点，利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标规律求解．【详解】如下图．

把△ABC向下平移1个单位得到A点的对应点的坐标为A1(2，-2)，点A1(2，-2)以原点O为位似中心，在位似中心两侧的对应点的坐标为D1-2，故答案为-1,2【点睛】此题主要考查了位似变换中对应点坐标问题，利用平移规律将位似中心移到原点是解题关键．【题型12求位似图形的线段长度】【例12】（2023·广东湛江·岭师附中校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A-2，0，D3A．22 B．32 C．42【答案】B【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念得到△ABC【详解】解：∵△ABC与△DEF是以坐标原点∴△ABC∵A(-2,0)，∴OA=2，∴△ABC与△DEF的相似比为∴DF∵AC∴DF故选：B．【变式12-1】（2023·河南周口·校联考二模）如图，在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=2，BO=23，以点O为位似中心，将△AOB缩小为原图形的

A．2 B．3 C．2.5 D．3.5【答案】A【分析】直接利用勾股定理求得OA的长度，然后利用位似图形的性质以及结合△AOB缩小为原图形的1【详解】在Rt△ABO中，∠B=90°，则：AO=∵将△AOB缩小为原图形的12，得到∴OC故选：A．【点睛】本题主要考查了位似变换和勾股定理，正确把握位似图形的性质时解题关键．【变式12-2】（2023·江苏南京·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A2,2，B4,2，C4,4，以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABCA．2 B．2 C．22 D．【答案】A【分析】根据勾股定理求出AC，再根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4），∴AB＝2，BC＝2，由勾股定理得：AC＝AB2+∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似比为1：2，∴线段DF的长度为12AC＝2故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．【变式12-3】（2023上·吉林长春·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O0，0，A4，3，B3，【答案】103/【分析】过点A作AH⊥x轴于H，根据勾股定理求出【详解】解：过点A作AH⊥x轴于∵A4，3∴BH=4-3=1，AH由勾股定理得：AB=∵△OCD与△OAB位似，且位似比为∴CD=故答案为：103【点睛】本题考查勾股定理，位似图形的性质，根据勾股定理和位似比计算边长是解题的关键．【题型13求位似图形的周长】【例13】（2023·山东菏泽·统考三模）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA:AD=2:3

A．4:9 B．2:3 C．2:5 D．4:25【答案】C【分析】先根据位似的性质得到△ABC与△DEF的位似比为OA:【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点