静矩及其性质

关于静矩及其性质12§7-1静矩和形心一、简单图形的静矩（面积矩）1、定义：dA对y轴的微静矩:2、量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。dA对z轴的微静矩:3、静矩的值可以是正值、负值、或零。第2页,共38页，2024年2月25日，星期天34、静矩和形心的关系可知静矩和形心的关系由平面图形的形心公式结论：图形对过形心的轴的静矩为零。

若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。第3页,共38页，2024年2月25日，星期天4求图形对y、z

轴的静矩第4页,共38页，2024年2月25日，星期天5二、简单图形的形心1、形心坐标公式：2、形心确定的规律：（1）图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。（2）图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。第5页,共38页，2024年2月25日，星期天6三、组合图形（由若干个基本图形组合而成的图形）的静矩：四、组合图形的形心：

利用基本图形的结果，可使组合图形的形心计算简单基本图形----指面积、形心位置已知的图形第6页,共38页，2024年2月25日，星期天71、水线面计算如下图示水线面，可应用梯形法或辛普生法列表计算

L=147.18米，l=L/20=7.359米船舶专业中的应用第7页,共38页，2024年2月25日，星期天82、横剖面计算（横剖面形心垂向坐标）在x处取dx薄层，则对平面yoz和xoy的静矩分别为：zA为As的形心坐标第8页,共38页，2024年2月25日，星期天93、横剖面面积曲线

~特性:1)2)Saeda的形心坐标等于xB3)e第9页,共38页，2024年2月25日，星期天104、排水体积和浮心坐标可列表进行计算第10页,共38页，2024年2月25日，星期天11例试确定下图的形心。801010c(19.7;39.7)zyC1C2解法1：1)、建立坐标如图示，分割图形2)、求形心第11页,共38页，2024年2月25日，星期天12801201010c(-20.3;34.7)解法二：1)、分割图形及建立坐标系，如图所示zy2)、求形心第12页,共38页，2024年2月25日，星期天13解法三：负面积法求形心：80120101010zy第13页,共38页，2024年2月25日，星期天14§7-2

惯性矩和惯性积一、简单图形的惯性矩1、定义：dA对z轴的惯性距:dA对y轴的惯性距:2、量纲：m4、mm4。yzdAzyo3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。4、惯性矩的取值恒为正值。5、极惯性矩：（对o点而言）图形对z轴的惯性矩:图形对y轴的惯性矩:第14页,共38页，2024年2月25日，星期天156、惯性矩与极惯性矩的关系：

图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。yzdAzyo第15页,共38页，2024年2月25日，星期天16bhzccyc7、简单图形惯性矩的计算⑴

圆形截面：实心（直径D）——空心（外径D，内径d）——⑵矩形截面：bdyhdzzcycc第16页,共38页，2024年2月25日，星期天17二、惯性半径：三、简单图形的惯性积1、定义：2、量纲：［长度］4，单位：m4、mm4。3、惯性积是对轴而言。4、惯性积的取值为正值、负值、零。yzdAzyo5、规律：

两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形这一对坐标轴的惯性积为零。工程上，经常把惯性矩写成图形面积与某一长度平方的乘积，即第17页,共38页，2024年2月25日，星期天18例2

求图示矩形的yzbhzdzc第18页,共38页，2024年2月25日，星期天19思考：bhy第19页,共38页，2024年2月25日，星期天20例3

求图示圆形的yzd第20页,共38页，2024年2月25日，星期天21例4

求圆环圆形的dDyz第21页,共38页，2024年2月25日，星期天22三、组合图形的惯性矩及惯性积

根据定义可知，组合图形对某坐标轴的惯性矩等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之和；组合图形对于某一对正交坐标轴的惯性积等于各个简单图形对同一对轴的惯性积之和。用公式可表示为式中，、、分别为第个i简单图形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积。第22页,共38页，2024年2月25日，星期天23解：zyoyczcczcyc已知：图形截面积A，形心坐标yc、zc

、Izc、Iyc、a、b已知。Zc轴平行于z轴；yc轴平行于y轴。求：Iz、Iy。§7-3

平行移轴公式一、平行移轴公式第23页,共38页，2024年2月25日，星期天24二、组合图形的惯性矩和惯性积注意：ZC、YC

为形心坐标。

a、b为图形形心在yoz坐标系的坐标值，可正可负，，zyoyczcczcyc——平行移轴公式

根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和：第24页,共38页，2024年2月25日，星期天25例

求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。解：§A-1xyb(y)ycCdxc第25页,共38页，2024年2月25日，星期天262、求对形心轴xc

的惯性矩由平行移轴公式得：xyb(y)ycCdxc第26页,共38页，2024年2月25日，星期天27例

试求图a

所示截面对于对称轴x的惯性矩。解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。1、矩形对x

轴的惯性矩：2、一个半圆对其自身形心轴xc

轴的惯性矩（见上例）xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p第27页,共38页，2024年2月25日，星期天283、一个半圆对x

的惯性矩由平行移轴公式得：4、整个截面对于对称轴x的惯性矩：xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p第28页,共38页，2024年2月25日，星期天29§7-4转轴公式一、惯性矩和惯性积的转轴公式

dA

在坐标系ozy和坐标系oz1y1的的坐标分别为（z，y

）和（z1，

y1

）代入惯性矩的定义式：zyOzyazya11ABCDEdAzy11已知：A、Iz、Iy、Izy、α。

求：Iz1、Iy1、Iz1y1。第29页,共38页，2024年2月25日，星期天30

利用二倍角函数代入上式，得转轴公式：

的符号为：从z轴至z1轴逆时针为正，顺时针为负。zyOzyazya11ABCDEdAzy11第30页,共38页，2024年2月25日，星期天31

上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩将前两式相加得zyOzyazya11ABCDEdAzy11第31页,共38页，2024年2月25日，星期天32第32页,共38页，2024年2月25日，星期天33

例：求矩形对轴、的惯性矩和惯性积

解:矩形对y、z轴的惯性矩和惯性积分别为yzabO第33页,共38页，2024年2月25日，星期天34

从本例的结果可知，当矩形变为正方形时，即在a=b时，惯性矩与角无关，其值为常量，而惯性积为零。这个结论可推广于一般的正多边形，即正多边形对形心轴的惯性矩的数值恒为常量，与形心轴的方向无关，并且对以形心为原点的任一对直角坐标轴的惯性积为零。

讨论：当a＝b时，结果如何？第34页,共38页，2024年2月25日，星期天35令§7.5主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩第35页,共38页，2024年2月25日，星期天36可求得和两个角度，从而确定两根轴y0,，z0。由求出代入转轴公式可得：第36页,共38页，2024年2月25日，星期天372、主惯性矩（主矩）：

图形对主轴的惯性矩Iz0、Iy0

称为主惯性矩，主惯性矩为图形对过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。3、形心主惯性轴（形心主轴）：

如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴。（Izcyc=0。zc、yc

为形心轴。zc、yc

为形心主轴）。4、形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩。（Izc、Iyc）。由此引出几个概念：1、主惯性轴（主轴）：y0,z0

如果图形对过某点的某一对坐标轴的惯性积为零，则该对轴为图形过该点的主惯性轴。（，

轴为主轴）。第37页,共38页，