锐角三角函数的简单应用

关于锐角三角函数的简单应用铅直线水平线视线视线仰角俯角◆运用数学知识解决实际问题，首先要求能够建立实际问题的数学模型．例如，将硬币看成圆；将水塔看成线段，将引水槽看成等腰梯形等等．仰角和俯角30°45°BOA西东北南第2页,共13页，2024年2月25日，星期天◆坡度＝，一般地，我们将坡度i写成1∶m

的形式．坡度i与坡角α之间的关系为i＝tanα．第3页,共13页，2024年2月25日，星期天例题讲解

例1、“五一”节，小明和同学一起去游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20m,旋转1周需要10min.小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5m)开始1周的观光，

(1)经过2min后，小明离地面的高度是多少(精确到0.1m)？

(2)摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度达到10.5m？

(3)小明将有多长时间保持在离地面10.5m以上的空中？ACODB分析：(1)先算出2分钟时摩天轮转动的角度，然后构造直角三角形；

(2)利用高度仍然构造(1)中的直角三角形求出摩天轮转动的角度，再利用摩天轮转动的速度求出时间；

(3)第二次距离地面10.5米的时间减去第一次距离地面10.5米的时间，这两个点是对称的。第4页,共13页，2024年2月25日，星期天

例2、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．解：在Rt△ACD中，

tanC=∴AD=CD·tanC=BE·tanC

=15×tan52°=15×1.2799≈19.20(米)．∴AB=AD+BD=19.20+1.72=20.92(米)．答：树高20.92米．第5页,共13页，2024年2月25日，星期天例3、如图，在小明家的住宅楼(AB)与相邻工厂的烟囱(DC)间有一条河，现工厂改造，准备用爆破的方法拆除烟囱。设在地面上以D为圆心以CD的长为半径的圆形区域为危险区。小明从自家的窗中(点B表示小明眼睛的位置)眺望烟囱,并测得烟囱顶部的仰角是25°、烟囱底部的俯角是30°。若身高为1.4米的小明家住在8楼，底层楼高3米，其余每层楼高为2.6米。问：小明家的住宅楼是否在危险区内？(以下数据供选用：sin250≈0.42,cos250≈0.91,tan250≈0.47,≈1.73).ADCB分析：这道题实际上是要比较线段CD与线段AD的大小关系，首先求AB的长=3+2.6×6+1.4=20，根据解直角三角形求出AD的长；过点B作CD的垂线BE，ED=AB，BE=AD，解直角三角形求线段CE的长。若线段CD大于线段AD，则说明小明家的住宅楼需要拆迁；若线段CD小于线段AD，则说明小明家的住宅楼不需要拆迁。第6页,共13页，2024年2月25日，星期天例4、如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少？(结果精确到1米)分析：过点C作AB的垂线，构造两个直角三角形，根据已知条件来解直角三角形。第7页,共13页，2024年2月25日，星期天例5、如图，海岛A四周20海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西，航行24海里后到C处，见岛A在北偏西，货轮继续向西航行，有无触礁危险？分析：过点A作BC的垂线AD，比较线段AD的长与20的大小关系，求线段AD的长是利用两个直角三角形来解决。第8页,共13页，2024年2月25日，星期天

例6、气象局发出预报：沙尘暴在A市正东方向400km的B处，正在以40km/h的速度向西偏北300的方向转移(如图1)，距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否受到这次沙尘暴的影响？如果受到影响，将持续多长时间？(精确到1h)分析：判断A市是否受到影响，只要求出A市到沙尘暴的行进路线的最短距离，看其是否大于400km即可．如果要判断影响时间，则可以以A为圆心，画出一个半径为300km的圆，设该圆与行进路线交于两点D、E，求出DE的长度，即可以算出影响时间．第9页,共13页，2024年2月25日，星期天解：过点A作BC的垂线(如图2)，在Rt△ABC中，∵∠B＝300，AB＝400km，∴AC＝200km＜300km，因此，A市将受到沙尘暴的影响．以A为圆心，300km为半径画圆，交BC于点D、E，在Rt△ACD中，∵AD＝300km，AC＝200km∴CD＝100

km，∴DE＝200km,这样，A市受到沙尘暴的影响时间为11(h)评析：本题需要综合运用三角函数及圆的相关知识解题．第10页,共13页，2024年2月25日，星期天

例7、如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶CD宽是5m，坝高DE为20m，斜坡的坡度为1：,斜坡的坡度为5：6，建造这样的大坝1000需要多少m3的土？(结果保留根号)分析：求这个梯形的面积，求下底的长利用AE+EF+BF，E