2023年高考数学真题及解析合集

2023年新课标全国I卷数学真题一、单选题A.λ+μ=1B.λ+μ=-1A.(-o,-2)B.[-2,0]A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件试卷第1页，共4页的平均数等于x₁,x₂,…,x₆的平均数的中位数等于x;,x₂,…,x₆的中位数的标准差不小于x₁,x₂…,x₆的标准差10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级声源声压级/dB电动汽车已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为P₁,P₂,P₃A.p₁≥P:B.P₂>10p₃C.P₃=100p₀D.p₁≤100p₂A.f(0)=012.下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A.直径为0.99m的球体试卷第2页，共4页13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种(用数字作答),则C的离心率为试卷第3页，共4页的前n项和.21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；22.在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W.试卷第4页，共4页【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共轭复数的概念得到三，从而解出.【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.答案第1页，共22页【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k²+8k+1=0,利用韦达定理结合夹角公式运算求解.;即3-cos∠APB=5+5cos∠APB,答案第2页，共22页若切线斜率存在，设切线方程为y=kx-2,则圆心到切点的距离d=2>r,则整理得k²+8k+1=0,且△=64-4=60>0设两切线斜率分别为k,k₂,则k₁+k₂=-8,k;k₂=1,,,则sinα>0,【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n答案第3页，共22页即则S=na-t·n(n+1),即S=nS₁+n(n-1)D,S₇=(n-1)S+(n-1)于是a=a₁+2(n-1)D,又a-a=a₁+2nD-[a₁+2(n-1)D]=2D所以甲是乙的充要条件.故选：C【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(a+β),再利用二倍角的余弦,,答案第4页，共22页总有一定关系.解题时，要利用观察得到的关系，结合三数.角”,使其角相同或具有某种关系.子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A:设x₂,x₃,x₄,x₅的平均数为m,x,x₂,…,x₆的平均数为n,例如1.2.2.2.2.2,可得m对于选项B:不妨设x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤x₅≤x₆,,标准差.4,6,8,10,则平均标准差.答案第5页，共22页对于选项D:不妨设x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤x₅≤x₆,则x₆-x₁≥x₅-x₂,当且仅当x₁=x₂,x₅=x₆时，等号成立，故D正确；【分析】根据题意可知Ln∈[60,90],L。∈[50,60],L=40,结合对数运算逐项分析判断.且则可得n≥B,则),即则),即所以),可得p₂≥√ep₃,当且仅当L=50时，等号成立，故B错误；,,,,方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D,可构造特殊函数.进行答案第6页，共22页判断即可.【详解】方法一：因为f(xy)=y²f(x)+x²f(y),对于A,令x=y=0,f(0)=0f(0)+0f(O)=0,故A正确.对于B,令x=y=1,f(1)=1f(1)+1f(1),则f(1)=0,故B正确.对于C,令x=y=-1,f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),则f(-1)=0,令y=-1,f(-x)=f(x)+x²f(-1)=f(x),又函数f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D,不妨令f(x)=0,显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.对于A,令x=y=0,f(0)=0f(0)+0f(0)=0,故A正确.对于B,令x=y=1,f(1)=1f(1)+1f(1),则f(1)=0,故B正确.对于C,令x=y=-1,f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),则f(-1)=0,又函数f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数，故C正确，答案第7页，共22页则,则,显然，此时x=0是f(x)的极大值，故D错误.【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项D:因为正方体的体对角线长为√3m,答案第8页，共22页【点睛】关键点睛：对于C、D:以正方体的体对角线为圆柱的性质分析判断.【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数【详解】(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C|C|=16种；(2)当从8门课中选修3门，答案第9页，共22页【分析】令f(x)=0,得cosox=1有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为0≤x≤2π,所以O≤ox≤2om,令f(x)=cosox-1=0,则cosox=1有3个根，令t=ox,则cost=1有3个根，其中t∈[0,2om]a,m的表达式，从而利用勾股定理求得a=m,进而利用余弦定理得到a,c的齐次方程，从1A代入双曲线C得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解；【详解】方法一：故a=m或a=-3m(舍去),整理得5c²=9a²,答案第10页，共22页-定理与余弦定理得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解.【分析】(1)根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；(2)利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出b,根据等面积法求解即可.【详解】(1)∵A+B=3C,答案第11页，共22页,(2)由(1)知，,【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；【详解】(1)以C为坐标原点，CD,CB,CC所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如答案第12页，共22页则C(0,0,0),C₂(0,0,3),(2)设P(0,2,λ)(O≤λ≤4), 则A₂C₂=(-2,-2,2),PC₂=设平面A₂C₂D₂的法向量m=(a,b,c),答案第13页，共22页解得λ=1或λ=3,19.(1)答案见解析【分析】(1)先求导，再分类讨论a≤0与a>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即(2)方法一：答案第14页，共22页,;由于y=e在R上单调递增，所以h'(x)=e-1在R;答案第15页，共22页【分析】(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；(舍去),答案第16页，共22页【分析】(1)根据全概率公式即可求出；(3)先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出.P(A)=P(A,A)+P(BA)=P(4)P(4A)又公?答案第17页，共22页;;然后根据数列的基本知识求解.【分析】(1)设P(x,y),根据题意列出方程.化简即可；(2)法一：设矩形的三个顶点,且a<b<c,分别令k₄g=a+b=m<0,kgc=b+c=n>0,且mn=-1,利用放缩法,设函数利用导数求出其最小值，则得C的最小值，再排除边界值即可.将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式可.法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.,两边同平方化简得(2)法一：设矩形的三个顶点易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0,答案第18页，共22页,,令且mn=-1,;此时f(x)单调递减，此时f(x)单调递减，得证.法二：不妨设A,B,D在W上，且BA⊥DA,易知直线BA,DA的斜率均存在且不为0,答案第19页，共22页;;;;则联得x²-kx+ka-a²=0,此处取等条件为k=1,与最答案第20页，共22页【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新答案第21页，共22页答案第22页，共22页2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题一、单选题A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A.2B.13.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有().A.C·C1a种4.若为偶函数，则a=().的左、右焦点分别为F,F₂,直线y=x+m与C交于A,BA.A.120B.85二、多选题9.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°,则().试卷第1页，共4页交于M,N两点，l为C的准线，则().A.p=2C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形既有极大值也有极小值，则().A.bc>0B.ab>0C.b²+8ac>0D.ac<0收到0的概率为1-α;发送1时，收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1).B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(I-β)²C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)²+(1-β)³D.当0<α<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高积的一个值若若试卷第2页，共4页四、解答题17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为√3点，且AD=1.求tanB;19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：患病者未患病者利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，试卷第3页，共4页20.如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.(2)点F满足EF=DA,求二面角D-AB-F的正弦值.M在第二象限，直线MA与NA₂交于点P.证明：点P在定直线上.22.(1)证明：当0<x<1时，x-x²<sinx<x;试卷第4页，共4页【来源】2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.【来源】2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题【分析】根据包含关系分a-2=0和2a-2=0两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为AB,则有：【来源】2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.,【来源】2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.【详解】因为/()为偶函数，则解得a=0,则其定义域为,解得则其定义域为,关于原点对称.答案第1页，共17页【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用△>0,求出m范围，再根据三角形面积比得到关于m的方程，解出即可.【详解】将直线y=x+m与椭圆联立消去y可得4x²+6mx+3m²-3=0,,答案第2页，共17页,即a的最小值为e,【分析】根据二倍角公式(或者半角公式)即可求出.方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解.,,因为S₄=-5,S₆=21S₂,所以q≠-1,否则S₄=0,,答案第3页，共17页矛盾，舍去.【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握S₄,S₈的关系，从而减少相关量的求解，简化运算.【来源】2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性A选项，圆锥的体积为,A选项正确；C选项，设D是AC的中点，连接OD,PD,则AC⊥OD,AC⊥PD,所以∠PDO是二面角P-AC-O的平面角B答案第4页，共17页【来源】2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题【分析】先求得焦点坐标，从而求得P,根据弦长公式求得|MN|,根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.,C选项：设MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d,d₂,d,即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确.所以三角形OMN的面积所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误.答案第5页，共17页的定义域为(0,+w),求导得因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f(x)在(0,+o)上有两个变号零点，而a≠0,因此方程ax²-bx-2c=0有两个不等的正根x₁x₂,于是,即有b²+8ac>0,ab>0,ac<0,显然a²bc<0,即bc<0,A错【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断计算判断C;求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.【详解】对于A,依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，答案第6页，共17页对于B,三次传输，发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到1,0,1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，对于C,三次传输，发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件和对于D,由选项C知，三次传输，发送0,则译码为0的概率P=(1-α)²(l+2α),单次传输发送0,则译码为0的概率P'=1-a,而O<a<0.5,结合【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法结合,则C+4C·b+4b²=4c²+4c.b+b²,答案第7页，共17页【来源】2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.【详解】方法一：由而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,所以正四棱锥的体积为所以棱台的体积为32-4=28.方法二：棱台的体积故答案为：28.B中任意一个皆可以)【来源】2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题 答案第8页，共17页中任意一个皆可以).【来源】2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题即可得即可得,依题可得，从而得到0的值，再根据.【详解】设,【详解】设,所以8所以8,,函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键.【来源】2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题【分析】(1)方法1,利用三角形面积公式求出a,再利用余弦定理求解作答；方法2,利用三角形面积公式求出a,作出BC边上的高，利用直角三角形求解作答.(2)方法1,利用余弦定理求出a,再利用三角形面积公式求出∠ADC即可求解作答；方法2,利用向量运算律建立关系求出a,再利用三角形面积公式求出∠ADC即可求解作答.答案第9页，共17页【详解】(1)方法1:在△ABC中，因为D为BC中点，,AD=1,方法2:在△ABC中，因为D为BC中点，,AD=1,解得a=4,,解得b=√3,有AC²+AD²=4=CD²,则,;,,;,,,方法2:在△ABC中，因为D为BC中点，则2AD=AB+AC,又CB=AB-AC,于是4AD²+CB²=(AB+AC)²+(AB-AC)²=2(b²+c²)=16,即4+a²=16,解得a=2√3,答案第10页，共17页*,*,,【来源】2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题(2)方法1,利用(1)的结论求出S,b,,再分奇偶结合分组求和法求出T,并与S,作差比较作答；方法2,利用(1)的结论求出S,b。,再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出T,并与S,作差比较作答.则b₁=a₁-6,b₂=2a₂=2a₁+2d,b于是解得a₁=5,d=2,a,=a₁+(n-1)d=2n+3,当n为偶数时，b,+b,=2(n-1)-3+4n+6=6n答案第11页，共17页;当n为奇数时，若n≥3,则显然T=b₁=-1满足上式，因此当n为奇数时，所以当n>5时，T>S,.,最小值为0.02.【来源】2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题【分析】(1)根据题意由第一个图可先求出c,再根据第二个图求出c≥97.5的矩形面积即(2)根据题意确定分段点100,即可得出f(c)的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出.【详解】(1)依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5×0.002>0.5%,所以95<c<100,q(c)=0.01×(97.5-95)+5×0.002=f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(答案第12页，共17页.【分析】(1)根据题意易证BC⊥平面ADE,从而证得BC⊥DA;(2)由题可证AE⊥平面BCD,所以以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴，角三角函数关系即可解出.【详解】(1)连接AE,DE,因为E为BC中点，DB=DC,所以DE⊥BC①,∴AC=AB,从而AE⊥BC②,由①②,AE∩DE=E,AE,DEC平面ADE,所以，BC⊥平面ADE,而ADC平面ADE,所以BC⊥DA.(2)不妨设DA=DB=DC=2,∵BD⊥CD,∴BC=2√2,DE=AE=√2.BCD∴AE⊥平面BCD.答案第13页，共17页所以二面角D-AB-F的正弦值为【来源】2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题【分析】(1)由题意求得a,b的值即可确定双曲线方程；(2)设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线MA与NA₂的方程，联立直线方程，消去y,结合韦达定理计算可得即交点的横坐标为定值，据此可证得点P在定直线x=-1上.双曲线方程为,答案第14页，共17页可得x=-1,即xp=-1,据此可得点P在定直线x=-1上运动.(2)根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究f(x)在(0,1)上的单调性，求导，分类讨论O<a²<2和a²≥2,结合(1)中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.答案第15页，共17页答案第16页，共17页且,,答案第17页，共17页2023年高考全国甲卷数学(理)真题一、单选题A.{x|x=3k,k∈Z}B.{x|x=3k-1,C.{x|x=3k-2,k∈Z}A.-1B.0C.13.执行下面的程序框遇，输出的B=()是A=A+BB=A+B结束否A.21B.34C.55A.7B.9C.156.有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()A.0.8B.0.4C.0.2A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件试卷第1页，共4页交于A,B交于A,BB.服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(A.120B.60C.4的交点个数为()A.1B.2C.3A.2√2B.3√2C.,为偶函数，则a=(2)求数列的前n项和T.的距离为1.(2)若直线AA与BB;距离为2,求AB;与平面BCC;B₁所成角的正弦值.19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物).(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g):(已按从小到大排好)对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.(i)求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2x2列联表：(ii)根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.试卷第3页，共4页22.已知P(2,1),直线l:(t为参数),l与x轴，y轴正半轴交于A,B两试卷第4页，共4页【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出.【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.【详解】因为(a+i)(1-ai)=a-a²+i+a=2a+1-a²)=2,【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出.【详解】当n=1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，A=1+2=3,B=3+2=5,当n=2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A=3+5=8,B=8+5=13,n=2+1=3;当n=4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出B=34.【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【分析】作出图形，根据几何意义求解.【详解】因为a+b+ē=0,所以a+b=-c,即a²+b²+2a·b=c²,即1+1+2a·b=2,所以a.b=0.答案第1页，共19页;;;;,,,cos(a-c,b-c)=cos∠ACB=cos2∠AC【详解】报名两个俱乐部的人数为50+60-70=40,【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.答案第3页，共19页;,,,即,;,,,即,【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e,假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A²=12种方法，同理：b,c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5×12=60种.【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)的部分的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因平移个单位所得函数为的部分大致图像如下，,,;;;;,,;;答案第4页，共19页【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)法二：先在△PAC中利用余弦定理求得PA=√17,【详解】法一：连结AC,BD交于O,连结PO,则O为AC,BD的中点，如图，答案第5页，共19页故则又在△PBD中，BD²=PB²+PD²-2PB·PDcos∠BPD,即32=m²+9-6mcosθ,则答案第6页，共19页【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PFF2的面积，即可得到点P的坐标，从即,,答案第7页，共19页【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大.【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【分析】利用偶函数的性质得到从而求得a=2,再检验即可得解.则所以a=2.故答案为：2【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，答案第8页，共19页【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2,EF中点为O,取AB,BB中点G,M,侧面BBCC的中心为N,连接FG,EG,OM,ON,MN,如图，答案第9页，共19页由正弦定理可得，由正弦定理可得，则球心O到BB的距离为OM=√ON²+MN²=√F+F=√Z,所以球O与棱BB相切，球面与棱BB只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.故答案为：12【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【分析】方法一：利用余弦定理求出AC,再根据等面积法求出AD;方法二：利用余弦定理求出AC,再根据正弦定理求出B,C,即可根据三角形的特征求出.【详解】如图所示：记AB=c,AC=b,BC=a,方法一：由余弦定理可得，2²+b²-2×2×b×cos60°=6,故答案为：2.答案第10页，共19页故答案为：2.用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规.【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)(2)根据错位相减法即可解出.【详解】(1)因为2S,=na,,当n=1时，2a₁=a,即a₁=0;当n=3时，2(1+a₃)=3a₃,即a₃=2,(2)因为答案第11页，共19页【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【分析】(1)根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得AO⊥平面BCC₁B,再由勾(2)利用直角三角形求出AB₁的长及点A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.【详解】(1)如图，∵AC⊥底面ABC,BCC面ABC,∴AC⊥BC,又BC⊥AC,AC,ACC平面ACCA,AC∩AC=C,∴BC⊥平面ACC₁Aj,又BCC平面BCCB₁过A作AO⊥CC交CC于O,又平面ACCA∩平面BCCB=CC,AOC平面ACC₁A,∵A到平面BCC₁B的距离为1,∴AO=1,设CO=x,则CO=2-x,答案第12页，共19页∵△AOC,△A₁OC,△ACC为直角三角形，且∴1+x²+1+(2-x)²=4,解得x过B作BD⊥AA,交AA于D,则D为AA中点，由直线AA与BB距离为2,所以BD=2在Rt△ABC,∴BC=√AB²-AC²=√3,延长AC,使AC=CM,连接CM,平面ABC,又AM℃平面ABC,又A到平面BCC₁B₁距离也为1,答案第13页，共19页【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【分析】(1)利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；(2)(i)根所中位数的定义即可求得m=23.4,从而求得列联表；(ii)依用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【详解】(1)依题意，X的可能取值为0,1,2,X012P(2)(i)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，故第20位为23.2,第21位数据为23.6,66所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.答案第14页，共19页【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【分析】(1)利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出P;亦即(m²+1)yy₂+m(n-1)(y₁+y₂)+(n-1)²=4m²=n²-6n+1,4(m²+n)=(所以n≠1,且n²-6n+1≥0,设点F到直线MN的距离为d,所以答案第15页，共19页0021.(1)答案见解析.【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)讨论即可.答案第16页，共19页所以当a∈(-0,3),f(x)<sin2x,符合题意.所以当x∈(0,x₀),g(x)>g(0)=0,不合题意.【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【分析】(1)根据t的几何意义即可解出；(2)求出直线l的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出.【详解】(1)因为1与x轴，y轴正半轴交于A,B两点，所,所以sin2a=±1答案第17页，共19页.由x=pcosa,y=psina可得直线l的极坐标方程为pcosa+psina-3=0.【来源】测试使用，请勿下载(全国甲卷理数)【分析】(1)分x≤a和x>a讨论即可；(2)写出分段函数，画出草图，表达面积解【详解】(1)若x≤a,则f(x)=2a-2x-a<x,即3x>a,解得.,即,若x>a,则f(x)=2x-2a-a<x,解得x<3a,即a<x<3a,【点睛】C答案第18页，共19页答案第19页，共19页2023年高考全国甲卷数学(文)真题一、单选题A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,A.-1B.1C.1-iA.4.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()A.25B.22C.206.执行下边的程序框图，则输出的B=()是A.21B.34试卷第1页，共4页在点处的切线方程为()B.c.o.A.1A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>a的交点个数为()二、填空题三、解答题已知已知试卷第2页，共4页18.如图，在三棱柱ABC-ABC中，AC⊥平面A(2)设AB=A,B,AA₁=2,求四棱锥A-BBC;C19.一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对32.634.334.835.635.635.836.2319.820.221.622.823.623.925.128.232.3(2)(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于(ii)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正试卷第3页，共4页k试卷第4页，共4页【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.答案第1页，共16页于是a₃=a₄-d=5-1=4,【分析】根据程序框图模拟运行即可解出.当k=4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出B=34.方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出.答案第2页，共16页【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.,·【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.所以弦长|答案第3页，共16页【分析】证明AB⊥平面PEC,分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解.【详解】取AB中点E,连接PE,CE,如图，∴PE⊥AB,CE⊥AB,又PE,CEC平面PEC,PE∩CE=E,.:AB⊥平面PEC,故PC²=PE²+CE²,即PE⊥CE,可.因为而答案第4页，共16页)又y=e为增函数，故a<c<b,即b>c>a.的部分的大小关系，从而精确图像，由此得解.向左平移个单位所得函数为,即,即的交点个数为3.答案第5页，共16页【分析】先分析q≠1,再由等比数列的前n项和公式和平方差公式化简即可求出公比9.【详解】若q=1,则由8S。=7S₃得8·6a₁=7·3a₁,则a₁=0,不合所以q≠1.当q≠1时，因为8S₀=7S₃.【分析】根据常见函数的奇偶性直接求解即可.且函数为偶函数，故答案为：2【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，答案第6页，共16页由图可知，当目标函数过点A时，z有最大值，所以Zmx=3×3+2×3=15.故答案为：15【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.【详解】设球的半径为R.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，答案第7页，共16页分别取侧棱AA,BB,CC,DD的中点M,H,G,N,显然四边形MNGH是边长为4的正方形，连接MG,则MG=4√2,当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆，球的半径达到最【分析】(1)根据余弦定理即可解出；(2)由(1)可知，只需求出sinA即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出.;18.(1)证明见解析.答案第8页，共16页【分析】(1)由AC⊥平面ABC得AC⊥BC,又因为AC⊥BC,可证BC⊥平面ACCA,从(2)过点A作A₁O⊥CC,可证四棱锥的高为4O,由三角形全等可证AC=AC,从而证得O为CC中点，设AC=AC=x,由勾股定理可求出x,再由勾股定理即可求AO.【详解】(1)证明：因为AC⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以AC⊥BC,AC,ACC平面ACCA,AC∩AC=C,所以BC⊥平面ACCA,(2)如图，过点A作AO⊥CC,垂足为O.所以AO⊥平面BCC;B₁因为AC⊥平面ABC,的高为AO.AC,BCC平面ABC,答案第9页，共16页所以四棱锥A-BBC₁C的高为1.【分析】(1)直接根据均值定义求解；(2)(i)根据中位数的定义即可求得m=23.4,从而求得列联表；(ii)利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【详解】(1)试验组样本平均数为：(2)(i)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得第11位数据为18.8,后续依次为故第20位为23.2,第21位数据为23.6,6答案第10页，共16页6所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.上单调递减利用零点存在定理与隐零点的知识判断得a>0时不满足题意，从而得解.,,(2)法一：则当a<0时，由于,满足题意；显然ax<0,,满足题意；所以0<sinx<1,0<cosx<1,显然ax<0,满足题意；,满足题意；答案第12页，共16页设点F到直线MN的距离为d,所以【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到m,n的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.【分析】(1)根据t的几何意义即可解出；(2)求出直线l的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出.【详解】(1)因为1与x轴，y轴正半轴交于A,B两点，所l,,,答案第14页，共16页.由x=pcosa,y=psina可得直线l的极坐标方程为pcosa+psina-3=0.【分析】(1)分x≤a和x>a讨论即可；(2)写出分段函数，画出草图，表达面积解方程即可.【详解】(1)若x≤a,则f(x)=2a-2x-a<x,即3x>a,解得.,若x>a,则f(x)=2x-2a-a<x,解得x<3a,即a<x<3a,答案第15页，共16页答案第16页，共16页2023年高考全国乙卷数学(理)真题则z=()A.1-2iB.1+2iA.C(MUN)B.NUC,Mc.C(M∩N)3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为()A.24B.26C.284,已知是偶函数，则a=()A.-2B.-1C内随机取一点，记该点为A,则直线OA的倾斜角的概率为()6.已知函数f(x)=sin(ox+φ)在区间单调递增，直线和为函数7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()试卷第1页，共4页若△PAB的面积等,则该圆锥的体积为()A.πB.√6πC.3πC-AB-D为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为()D.A.-111.设A,B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是()A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)12.已知OO的半径为1,直线PA与OO相切于点A,直线PB与OO交于B,C两点，D为BC的中点，若|PO|=√2,则PA.PD的最大值为()BC.1+√2 17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每缩率分别记为x;,y;(i=1,2,…10),试验结果如下试卷第2页，共4页试验序号i123456789记z;=x;-y;(i=1,2,…,10),记z,z₂,…,z₀的样本平均数为Z,样本方差为s²,显者提高(如果橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°,求△ADC的面积.20.已知椭圆C:证明：线段MN的中点为定点.).试卷第3页，共4页,曲线C,:,曲线C,:则z=1+2i【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题【分析】根据偶函数的定义运算求解.又因为x不恒为0,可得e²-e(a-1=0,即e⁴=e-1),【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.则直线OA的倾斜角不大的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角答案第2页，共20页【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题所以且o>0,则T=π,k∈Z,不妨取k=0,则【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公可得到答案.【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题答案第3页，共20页【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.,由△PAB的面积为,【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB的中点E,连接CE,DE,因为△ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CE⊥AB,又△ABD是等边三角形，则DE⊥AB,从而∠CED为二面角C-AB-D的平面角，即答案第4页，共20页显然CE∩DE=E,CE,DEC平面CDE,于是AB⊥平面CDE,又ABC平面ABC,因此平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDE∩平面ABC=CE,直线CDC平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE,,;所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题]的周期为3,而nεN*,即cosa,最多3个不同取值，又则在cos则在cos,cosa₂,cosa₃),即有,解得,kez,【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题【分析】根据点差法分析可得k·k=9,对于A、B、D:通过联立方程判断交点个数，逐答案第5页，共20页项分析判断；对于C:结合双曲线的渐近线分析判断.因为A,B在双曲线上，则联立方程消去y得72x²-2×72x+73=0,所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；,联立方程消去y得45x²+2×45x+61=0此时△=(2×45)²-4×45×61=-4×45×16<0,所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C:可得k=3,kᴀg=3,则AB:y=3x所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；,消去y得63x²+126x-193=0,消去y得63x²+126x-193=0,此时△=126²+4×63×193>0,故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；答案第6页，共20页【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题,,A.D,,则点A到点A到C的准线的距离为,·【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.故答案为：8.答案第9页，共20页【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题【分析】原问题等价于f'(x)=a²lna+(1+a)In(1+a)≥0恒成立，据此将所得的不等式进故故【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出x,y,再得到所有的z;值，最后计算出方差即答案第10页，共20页故(2)由(1)知：;所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产高.;【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题据此即可求得△ADC的面积.【详解】(1)由余弦定理可得：ABC²=a²=b²+c²-2bccosA(2)由三角形面积公式可答案第11页，共20页【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题【分析】(1)根据给定条件，证明四边形ODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定推(2)由(1)的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.(3)由(2)的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.BF⊥AO,,,,即DE//OF,DE=OF,则四边形ODEF为EF//DO,EF=DO,又EF平面ADO,DOC平面ADO,所以EF//平面ADO.(2)由(1)可知EF//OD,则,得则OD⊥AO,有EF⊥AO,又AO⊥BF,BF∩EF=F,BF,EFC平面BEF,则有AO⊥平面BEF,又AOC平面ADO,所以平面ADO⊥平面BEF.(3)过点O作OH//BF交AC于点H,设AD∩BE=G,答案第12页，共20页;f;;f;由AO⊥BF,得HO⊥AO,且又由(2)知，OD⊥AO,则∠DOH为二面角D-AO-C的平面角，,,解得PA=√14,同理得;于是BE²+EF²=BF²=3,即有BE⊥EF,J,,,提,【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题【分析】(1)根据题意列式求解a,b,c,进而可得结果；(2)设直线PQ的方程，进而可求点M,N的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.答案第13页，共20页【详解】(1)由题意可得,解得,,,则答案第14页，共20页【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论.满足题意，理由见解析.【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的a,b是否正确答案第15页，共20页后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a≤0,况即可求得实数a的取值范围.【详解】(1)当a=-1时，和(2)由函数的解析式可得由对称性可知j满足题意，故满足题意.(3)由函数的解析式可答案第16页，共20页1据此可得1-x+Inx<0恒成立，;答案第17页，共20页,层求导，必要时要进行换元.求参数值之后也需要进行验证.【来源】2023年高考全国乙卷数学(理)真题【分析】(1)根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意x,y的取值范围；(2)根据曲线C,C₂的方程，结合图形通过平移直线y=x+m分析相应的临界位置，结合【详解】(1)因为p=2sinθ,即p²=2psinθ,可得x²+y²=2y整理得x²+(y-1)²=1,表示以(0,1)为圆心，半径为1的圆，答案第18页，共20页(2)作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【详解】(1)依题意，,因此-2≤x≤2,所以原不等式的解集为：[-2,2](2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影△ABC,解得A(-2,8),由解得C(2,4),又B(0,2),D(0,6),答案第20页，共20页2023年高考全国乙卷数学(文)真题一、单选题A.1B.2A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}c.{1,2,4,6,8}D.U3.如图，网格纸上绘制的是个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积()A.24B.26C,则∠B=A.-2B.-1C6.正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点，则EC.ED=()A.√5B.3内随机取一点A,则直线OA的倾斜角不的概率为()试卷第1页，共4页8.函数f(x)=x³+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是()A.(-o,-2)B.(-o,-3)c.(-4,-1)9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，10.已知函数f(x)=sin(ox+φ)11.已知实数x,y满足x²+y²-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是()A.B.412.设A,B为双曲线上上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是()A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)14.若则sinθ-cosθ=·,16.已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平三、解答题试卷第2页，共4页试验序号i123456789).).试卷第3页，共4页线段MN的中点为定点.;;曲线C₂:(2)若直线y=x+m既与C₁没有公共点，也