山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（14套）-2填空题

山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型

难易度分层分类汇编（14套）-02填空题

一.有理数的乘方（共1小题）

1.（2023•商河县一模）对数的定义：一般地，若（〃>0且那么x叫做以a

为底N的对数，记作x=log“N,比如指数式23=8可以转化为对数式3=log28,对数式2

=log636,可以转化为指数式62=36.计算Iog39+logsl25-log232=.

二.有理数的混合运算（共1小题）

2.（2023•济阳区一模）我们规定：使得a"=而成立的一对数a,匕为“差积等数对"，记

为（a,b）.例如,因为3-0.75=3X0.75,（-2）-2=（-2）X2,所以数对（3,0.75）,

（-2,2）都是“差积等数对"，若（3-1）是“差积等数对"，则k的值

是.

三.估算无理数的大小（共1小题）

3.（2023•历城区一模）比五大的最小整数是.

四.同底数幕的乘法（共1小题）

4.（2023•莱芜区一模）对数的定义：一般地，若"=N（a>0,aWl）,那么x叫做以a为

底N的对数，记作：x=log“N.比如指数式24=16可以转化为4=log216,对数式2=log525,

可以转化为52=25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log”（M・N）=

log〃M+logJV（a>0,M>0,N>Q）.理由如下：设log〃M=/n,1og“N=〃，则M

n,n+n

=a"',N=a",'.M'N=a"',a=a,由对数的定义得/n+n=loga又,，〃+〃=

logaM+logaN,.,.log"—\ogaM+\og（iN,类似还可以证明对数的另一个性质：log』

N

=log«M-log«N（a>0,aWl,M>0,7V>0）.

请利用以上内容计算Iog318+log32-log34=.

五.因式分解-提公因式法（共1小题）

5.（2023•长清区一模）因式分解：2ah-4a=.

六.因式分解-运用公式法（共1小题）

6.（2023•市中区二模）分解因式：%2-6x+9=.

七.最简二次根式（共1小题）

7.（2023•长清区一模）写出一个最简二次根式a,使得2<a<3,则a可以

是

八.解一元一次方程（共1小题）

8.（2023•长清区一模）若代数式4x-5与空支的值相等,则x的值是.

2

九.解一元二次方程-因式分解法（共1小题）

9.（2023•槐荫区一模）若菱形的两条对角线长是方程7-7x+12=0的两个根，则该菱形的

周长等于.

一十.根的判别式（共1小题）

10.（2023•天桥区一模）若关于x的一元二次方程/-2x+〃z=0没有实数根，则实数机取

值范围是.

一十一.解分式方程（共4小题）

11.（2023•历下区一模）代数式上与代数式_2_的值相等，贝.

x+2x-1

12.（2023•莱芜区一模）代数式的值比代数式二―的值大4,则》=.

2x_33-2x

13.（2023•市中区一模）代数式与代数式旦的值相等，贝■=.

x-4x~8

14.（2023•槐荫区一模）分式方程工正1=4的解是.

x-33-x

一十二.坐标与图形性质（共1小题）

15.（2023•平阴县一模）平面直角坐标系中，若点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（mx+y,

x+my},其中，"为常数，则称点。是点P的，*级派生点，例如点P（l,2）的3级派生

点是（3X1+2,1+3X2）,即Q（5,7）.如图点。（3,-1）是点P（x,y）的-3级派

生点，点A在x轴上，且S^APQ—3,则点A的坐标为.

yk

o!书

0*（3,-1）

一十三.一次函数的应用（共2小题）

16.（2023•章丘区一模）小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参

加社会实践活动，如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y（单位:

千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地

的距离为千米.

17.（2023•长清区一模）秤是我国传统的计重工具.为了方便了人们的生活.如图，我们可

以用秤坨到秤纽的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤杆上秤坨到秤纽

的水平距离为无（厘米）时，秤钩所挂物重为丫（斤），则y是x的一次函数.表中为若

干次称重时所记录的一些数据.在如表x,y的数据中，发现有一对数据（x,y）记录错

误.当y为7斤时，对应的水平距离为cm.

X（厘米）12471112

y（斤）0.751.002.002.253.253.50

一十四.反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）

18.（2023•天桥区•模）如图，直线A8交x轴于点C,交反比例函数（k>0）的图象

于A.B两点,过点B作轴,垂足为D,连接CD,若SABCD=§,则k的值为

2

一十五.七巧板（共1小题）

19.（2023•历下区一模）清陆以港《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数

七，其变化之式多至千余.七巧板是古代中国劳动人民的发明，是一种古老的中国传统

智力游戏，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，十九世纪最流行的谜题之一就是七巧

板.将边长为K后的正方形ABC。制作一副如图1所示的七巧板，并将这幅七巧板在正

方形EFGH内拼成如图2所示的“加油兔”造型，则正方形EFGH的面积为

一十六.等腰三角形的性质（共1小题）

20.（2023•历下区一模）如图，/XABC中，AB=AC=\2,平分NBAC交BC于点£）,

点E为AC的中点，连接力E,则力E的长是.

C

一十七.多边形内角与外角（共2小题）

21.（2023•莱芜区一模）一个多边形的每个外角都是60。，则这个多边形的对角线共有

条.

22.（2023•平阴县一模）如图，将一个正六边形与一个正五边形如图放置，顶点A、B、C、

。四点共线，E为公共顶点.则NBEC=.

23.（2023•商河县一模）正方形ABC。中，AB=2,E为A3的中点，将△AOE沿OE折叠

得到FHLBC,垂足为H,则尸//=.

一十九.扇形面积的计算（共3小题）

24.（2023•历城区一模）如图，扇形纸片AO8的半径为4,沿4B折叠扇形纸片，点。恰

好落在金上的点C处，图中阴影部分的面积为.

AO

25.（2023•章丘区一模）如图.将扇形AOB翻折，使点4与圆心O重合，展开后折痕所在

直线/与源交于点C,连接AC.若OA=6,则图中阴影部分的面积

26.（2023•历下区一模）如图，已知扇形AOB,点。在会上，将扇形沿直线C。折叠，点

A恰好落在点。，作DELDA交OB于点E,若408=150°,04=4,则图中阴影部

分的面积是.

二十.翻折变换（折叠问题）（共2小题）

27.（2023•莱芜区一模）已知正方形ABCD,点E是AB边上一动点，将正方形ABCO沿

DE折叠，点A的对应点为点G,若△ABG是以AB为底的等腰三角形，则的度

数为.

28.（2023•章丘区一模）如图，在矩形4BC。中，8。为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF

所在直线折叠，使点4落在8。上的点“处，点C落在8。上的点N处，连接EF.已

知AB=6,BC=8,则EF的长为.

29.（2023•历城区一模）正方形ABCD的边长为8,点E、尸分别在边A。、BC上，将四边

形ABFE沿EF折叠，使点A落在4处，点B落在点9处，交BC于G.以下结论：

①当A，为CD中点时，三边之比为3：4：5；②连接4T,则4V=EF；③当△A75E

三边之比为3：4：5时，W为CO中点；④当H在C。上移动时，ZWCG周长不变.其

中正确的有（写出所有正确结论的序号）.

30.（2023•槐荫区一模）如图，将矩形ABCC沿着GE、EC、G尸翻折，使得点A、B、。恰

好都落在点。处，且点G、0、C在同一条直线上，同时点E、。、尸在另一条直线上.小

炜同学得出以下结论：①GF〃EC；②△COF'S^CEG；③A8=2A。；④GE=\f^）DF；

2

⑤0C=2五OF.其中正确的是.

31.（2023•槐荫区一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A8C关于点P成位似图

32.（2023•历下区一模）东汉时期的数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出的“赵爽弦图”

是我国古代数学的瑰宝，如图，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边与

短直角边之比为4：3,若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在图中阴影区域的概率

33.（2023•济阳区一模）一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一

枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为

£

34.（2023•莱芜区一模）如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上,

则它最终停留在阴影区域的概率是.

35.（2023•商河县一模）小华在如图所示的4X4正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖

均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率

36.（2023•槐荫区一模）如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转

山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型

难易度分层分类汇编（14套）-02填空题

参考答案与试题解析

一.有理数的乘方（共1小题）

1.（2023•商河县一模）对数的定义：一般地，若〃=N且〃#1）,那么x叫做以a

为底N的对数，记作x=log,W,比如指数式23=8可以转化为对数式3=log28,对数式2

=log636,可以转化为指数式62=36.ifWIog39+log5125-log232=0.

【答案】0.

【解答】解：Iog39+log5125-log232

=2+3-5

=0.

故答案为：0.

二.有理数的混合运算（共1小题）

2.（2023•济阳区一模）我们规定：使得。-6=小成立的一对数m〃为“差积等数对"，记

为（.a,b）.例如，因为3-0.75=3X0.75,（-2）-2=（-2）X2,所以数对（3,0.75）,

（-2,2）都是“差积等数对"，若（左，-1）是“差积等数对"，则上的值是」.

—2—

【答案】二.

2

【解答】解：•••（无,-1）是“差积等数对”，

：.k-（-1）=kX（-1）,

解得：k=_A.

2

故答案为：-1.

2

三.估算无理数的大小（共1小题）

3.（2023•历城区一模）比五大的最小整数是3.

【答案】3.

【解答】解：：2〈加〈3,

二比血大的最小整数是3,

故答案为：3.

四.同底数幕的乘法(共1小题)

4.(2023•莱芜区一模)对数的定义：一般地，若〃=N(q>0,aWl),那么x叫做以a为

底N的对数，记作：x=k)gJV.比如指数式24=16可以转化为4=log216,对数式2=k)g525,

可以转化为52=25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log”(M・N)=

logaM+logaN(。>0,aWl,M>0,N>0).理由如下：设log0M=m,log(N=m则M

N=a",：・M,N=♦a"=a1rt+〃,由对数的定义得加+〃=loga(M・N),又

logaM+lOgaN,.,.loga(M・N)=k)gaM+log6N,类似还可以证明对数的另一个性质：log«A

N

=k)g“M-logaN(a>0,"1,M>0,N>0).

请利用以上内容计算Iog318+logs2-log34=2.

【答案】2.

【解答】解：Iog318+log32-log34

=log3(2X9)+logs2-log34

=log32+log39+log32-log34

=2+(Iog32+log32)-logs4

=2+log32X2-log34

=2+log34-log34

=2.

故答案为：2.

五.因式分解•提公因式法(共1小题)

5.(2023•长清区一模)因式分解：2/-4〃=2〃0-2).

【答案】2a(。-2).

【解答】解：原式=2〃(2-2).

故答案为：2a(6-2).

六.因式分解.运用公式法(共1小题)

6.(2023•市中区二模)分解因式：-6x+9=(A-3)2.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：原式=(x-3)2.

故答案为：(x-3)2

七.最简二次根式(共I小题)

7.（2023•长清区一模）写出一个最简二次根式a,使得2<a<3,则4可以是_代_.

【答案】收.

【解答】解：述是最简二次根式，且2<3,

则。可以是找.

故答案为：V5-

八.解一元一次方程（共1小题）

8.（2023•长清区一模）若代数式4x-5与红1的值相等，则x的值是_3_.

2~2~

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由题意得，4》-5=空支，

2

去分母，2（4x-5）=2x-l,

去括号，8x70=2x7,

最后移项，8x-2x=-1+10,

合并同类项，6%=9,

系数化为1,X=g.

2

故答案为：3.

2

九.解一元二次方程-因式分解法（共1小题）

9.（2023•槐荫区一模）若菱形的两条对角线长是方程/-7x+12=0的两个根，则该菱形的

周长等于10.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：/-7X+12=0

（x-3）（x-4）=0

.*.x=3或x=4,

•.•菱形的两条对角线长是方程--7x+12=0的两个根，

菱形的两条对角线长为3,4,

•••菱形的边长为:/方+合2=25

，菱形的周长为：4X2.5=10,

故答案为：10.

一十.根的判别式（共1小题）

10.（2023•天桥区一模）若关于x的一元二次方程/-2x+〃?=o没有实数根，则实数机取

值范围是m>l.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：根据方程没有实数根，得至【JA=b2-4ac=4-4m<0,

解得：m>1.

故答案为：1.

一十一.解分式方程（共4小题）

11.（2023•历下区一模）代数式上与代数式_2—的值相等，则尸3.

x+2x-l

【答案】3.

【解答】解：工=2,

x+2x-l

去分母得，5（x-1）=2（x+2）,

去括号得，5x-5=2x+4,

移项得，5x-2x=4+5,

解得x=3,

经检验x=3是原方程的解，

所以原方程的解为x=3,

故答案为：3.

12.（2023•莱芜区一模）代数式的值比代数式，—的值大4,则尸2.

2x~33~2x

【答案】2.

【解答】解：由题意得：

-------=4,

2x~33-2x

x+2=4（2x-3）,

解得：x—2,

检验：当x=2时，2%-3W0,

.••x=2是原方程的根，

故答案为：2.

13.（2023•市中区一模）代数式_2_与代数式上_的值相等，则x=-4.

x-4x-8

【答案】-4.

【解答】解：依题意得：2=旦，

x-4x-8

去分母得：2(x-8)=3(x-4),

去括号得：2x76=3x72,

移项合并得：-x=4,

系数化为I得：x=-4,

经检验x=-4是分式方程的根.

故答案为：-4.

14.(2023•槐荫区一模)分式方程工正1=4的解是x=^L.

x-33~x5

【答案】

5

【解答】解：去分母得：57=4(%-3),

解得：x=XL,

5

检验：把•代入得：X-3^0.

5

二分式方程的解为

5

故答案为：x=XL.

5

一十二.坐标与图形性质(共1小题)

15.(2023•平阴县一模)平面直角坐标系中，若点P的坐标为(x,y),点。的坐标为(尔+y,

x+my),其中，”为常数，则称点。是点P的，"级派生点，例如点尸(1,2)的3级派生

点是(3X1+2,1+3X2),即Q(5,7).如图点。(3,-1)是点尸(x,y)的-3级派

生点，点A在x轴上，且S/^APQ=3,则点A的坐标为(5,0)或(-7,0).

yA

O：%

0*(3,-1)

【答案】(5,0)或(-7,0).

【解答】解：由点Q(3,-1)是点P(x,y)的-3级派生点得卜会+丫=3,

x-3y=-l

解得」x=T,

1y=0

:.p（-1,o）,

设A(x,0),

•.•SM>Q=、AP|・|yQ|=3,

2

.•.』x+l|Xl=3,

2

解得：x—5或-7,

；.A(5,0)或(-7,0),

故答案为：（5,0）或（-7,0）.

一十三.一次函数的应用（共2小题）

16.（2023•章丘区一模）小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参

加社会实践活动，如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y（单位:

千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地

【解答】解：由图象可知,点（1,8）和（2,24）在直线C。上,

设直线CD的解析式为:y\—kx\+b(AW0),

.J8=k+b

I24=2k+b

解得:k=16

b=-8

二直线C£＞的解析式为：yi=16xi-8；

当yi=0时，1

XV

A(y>8>

二•点A(/,8)，点8(2.5,24)在直线AB上,

二直线AB的解析式为：），2=fcc2+b

1

・

••<8^rNk+b，

24=2.5k+b

解得：尸,

\b=4

，直线AB的解析式为：*=8x2+4；

，当x=2时，）2=20,

，小泽距甲地的距离为20千米.

故答案为：20.

17.（2023•长清区一模）秤是我国传统的计重工具.为了方便了人们的生活.如图，我们可

以用秤坨到秤纽的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤杆上秤泥到秤纽

的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数.表中为若

干次称重时所记录的一些数据.在如表x,y的数据中，发现有一对数据（x,y）记录错

误.当y为7斤时，对应的水平距离为26cm.

X（厘米）12471112

y（斤）0.751.002.002.253.253.50

【解答】解：由表格可知，

从x从1厘米增加到2厘米，y增加0.25斤，x从11厘米到12厘米，y增加0.25斤，而

x从2厘米增加到4厘米，y增加了1斤，

故x=4,y=2.00这组数据错误，

设y与x的函数解析式为y—kx+b,

：x=l时，y=0.75,x=2时，y=1.00,

.fk+b=0.75

12k+b=l.00,

解得［k=0.25,

lb=0.50

即y与x的函数解析式为y=0.25x+0.50,

当y=7时，7=0.25x+0.50,

解得x=26,

即当y为7斤时，对应的水平距离为26°”,

故答案为：26.

一十四.反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）

k

18.（2023•天桥区一模）如图，直线AB交x轴于点C,交反比例函数y二（k>o）的图象

于A、B两点，过点B作轴,垂足为D,连接CD,若S"CD=8,则k的值为5

【解答】解：连接。8,

轴，

•*.5ABOD=A|Z：|,

2

轴，

.<•S/\BCD=SzBOD=工M,

2

".,SABCD=—.

2

.•二因=5,

22

'：k>0,

解得：k=5,

故答案为：5.

一十五.七巧板（共1小题）

19.（2023•历下区一模）清陆以港《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数

七，其变化之式多至千余.七巧板是古代中国劳动人民的发明，是一种古老的中国传统

智力游戏，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，十九世纪最流行的谜题之一就是七巧

板.将边长为K左的正方形ABC。制作一副如图1所示的七巧板，并将这幅七巧板在正

方形EFG”内拼成如图2所示的“加油兔”造型，则正方形EFGH的面积为^0

【解答】解：连接EG,过E作EMGN交GN延长线于如图:

•.•图1的正方形边长为2&,

...直角三角形⑦的斜边为2,直角三角形①的一条直角边为2,③的一条直角边与④的边

长和是2,即MN=2,

:.ME=2,MG=2+2+2=6,

.•.£G=A/HE2+HG2=2/io,

，正方形EfGH的边长为典=2粕，

V2

...正方形的面积为（2遥）2=20,

故答案为：20.

一十六.等腰三角形的性质（共1小题）

20.（2023•历下区一模）如图，△ABC中，AB=AC=\2,AD平分NB4C交BC于点力,

点E为AC的中点，连接。E,则力E的长是6.

【答案】6.

【解答】解：：4B=AC=12,AO平分/8AC,

：.ADA.BC,

为AC的中点，

.•.OE=X4C=上义12=6,

22

故答案为：6.

一十七.多边形内角与外角（共2小题）

21.（2023•莱芜区一模）一个多边形的每个外角都是60°,则这个多边形的对角线共有_9

条.

【答案】9.

【解答】解：多边形的边数：360°+60°=6,

对角线条数：6X（6-3）=9.

2

故答案为：9.

22.（2023•平阴县一模）如图，将一个正六边形与一个正五边形如图放置，顶点A、B、C、

。四点共线，E为公共顶点.则N3EC=48°.

ABCD

【答案】48°.

【解答】解：由多边形的内角和可得，

NABE=（6-2）X二二。。,

6

.,.Z£BC=1800-ZABE=\S00-120°=60°,

ZDCE=（-5-2-X18Cr=108°,

5

，N8CE=180°-108°=72°,

由三角形的内角和得：

ZB£C=180°-NEBC-NBCE=180°-60°-72°=48°.

故答案为：48°.

一十八.正方形的性质（共1小题）

23.（2023•商河县一模）正方形ABC。中，AB=2,E为AB的中点，将△ADE沿。E折叠

得到△FDE,FHLBC,垂足为H,则FH=2.

一5一

5

【解答】解：如图，过点尸作MN〃BC,交AB于M,交CD于N,

•..四边形ABC。是正方形，

：.ZB=ZC=90°,

,:MN〃BC,

.../AMF=/B=90°,/DNF=NC=90°,

：.NEMF=NDNF=90°,

由折叠得：AD=DF=2,AE=EF,NA=NEFD=90°,

：.4EFM+4DFN=4DFN+4NDF=90°,

NEFM=NNDF,

:./XEMFs丛FND,

.EF_FM_EM

"DF"DN"FN"

:正方形ABC。中，AB=2,E为A8的中点,

设FH=BM=x,则EM=\-x,FN=2EM=2(1-x)=2-2x,

:.FM=2-FN=2-(2-2x)=2x,

在Rt/XEMF中，由勾股定理得：FM1=EM1+FM1,

12=(1-JC)2+(2x)2,

解得：xi=0,X2=—,

5

:.FH=2_.

5

故答案为：2.

5

一十九.扇形面积的计算(共3小题)

24.(2023•历城区一模)如图，扇形纸片AO8的半径为4,沿AB折叠扇形纸片，点。恰

好落在篇上的点C处，图中阴影部分的面积为一旭2料_.

—3―

AO

【答案】lin-873.

3

【解答】解：连接OC交AB于，,

,：/\OAB沿AB折叠落到△CA8,

：.AB垂直平分OC,

，OH=JLOC=4X4=2,

22

VCOSZAO/7=^.=A,

OA2

.•.N4O”=60°,

"：OA=OB,OH1AB,

."AOB=2/AOH=120°,AB=2AH,

,:AH=g0H=2M，

，4B=2X2愿=4后

，扇形OAB的面积=120.？芷一=」巨瓦,XAOB的面积=!48・。”=1*4代*2=

360322

4我，

VACAB的面积=Z\AOB的面积，

.•.阴影的面积=扇形OAB的面积-XAOB的面积X2=Kn-8M.

3

故答案为：lin-873.

3

25.（2023•章丘区一模）如图.将扇形AO8翻折，使点4与圆心O重合，展开后折痕所在

直线/与众交于点C,连接AC.若OA=6,则图中阴影部分的面积是61T-9JQ.

【解答】解：由翻折的性质可知，AD=OD=1OA,AC=OC,

在RtZXCOD中，OD=4OC=3,

2

AZOCD=30°,

AZAOC=90°-30°=60°,

:.s阴影都分=S扇形AOC-S^AOC

=60兀x6?-工*6x3^3

3602

=6TT-9,\/3-

故答案为：6TT-9A/3.

26.（2023•历下区一模）如图，已知扇形A08,点。在窟上，将扇形沿直线CD折叠，点

A恰好落在点0,作。EJ_D4交08于点E,若乙408=150°,0A=4,则图中阴影部

分的面积是超区.

—3-

3

【解答】解：连接0。,

:将扇形沿直线CD折叠，点A恰好落在点0,

：,AD=OD,

'：AO=OD,

：.OA=OD=AD,

：.ZAOD=ZADO=60°,

VZAOB=}50°,

・・・NQOE=90°,

DELDA,

：.ZADE=90°,

：.ZODE=30°,

・・・AO=OO=4,

0E=亚。。

33_

•••图中阴影部分的面积=5KDE=LX至巨*4=包巨,

_233

故答案为：为巨.

3

二十.翻折变换（折叠问题）（共2小题）

27.（2023•莱芜区一模）已知正方形ABCD,点E是4B边上一动点，将正方形ABC。沿

DE折叠，点A的对应点为点G,若△ABG是以AB为底的等腰三角形，则NACE的度

数为15°

【答案】15°.

【解答】解：如图所示，连接CG,

'：AG=BG,

；.NBAG=NABG,

又；NBAD=/ABC=90°,

：.ZDAG=ZCBG,

y.'：AD=BC,

：./XADG^^BCG(SAS),

：.DG=CG,

又,：DG=AD=CD,

：.DG=CD=CG,

•**/XCDG是等边三角形,

：.ZCDG=60°,

又,：/ADE=/GDE,ZADC=90°,

：.ZADE=1.(90°-60°)=15°.

2

故答案为：15°.

28.（2023•章丘区一模）如图，在矩形ABC。中，80为对角线，将矩形A8C。沿BE、BF

所在直线折叠，使点A落在8。上的点M处，点C落在80上的点N处，连接EF.已

知A8=6,BC=8,则EF的长为_至乂亘

ED

BC

【答案】.5遍.

3

【解答】解：•••四边形A8CZ)是矩形，

：,AB=CD=6,AO=8C=8,ZA=ZC=ZEDF=9O0,

BD=d/铲+g2=io,

•.•将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处,

：.AE=EM,/A=NBME=90°,

；.NEMD=90°,

NEDM=NADB,

.,.△EDMsABDA,

•ED=EM

*'BDAB'

设QE=x,贝|JAE=EM=8-x,

•・•—x―-”8—-x»

106

解得，x=5,即DE=5,

同理，/\DNFsADCB,

•DF=NF

"BDBC"

设DF^y,则CF=NF=6-y,

••-y---_--6---y--,

108

解得，），=22,即DF=H,

33_________

•••EF=、DE2+DF2=J52+学2=_^1,

voo

故答案为：上叵.

3

AED

BC

二十一.相似三角形的判定与性质（共2小题）

29.（2023•历城区一模）正方形ABCZ）的边长为8,点E、尸分别在边A。、BC上，将四边

形ABFE沿EF折叠，使点A落在W处，点8落在点8处，Ab交BC于G.以下结论:

①当4为CD中点时，△AQE三边之比为3：4：5；②连接4T,则A4，=EF；③当△A75E

三边之比为3：4：5时，A为CZ）中点；④当A在C。上移动时，△ACG周长不变.其

中正确的有①②④（写出所有正确结论的序号）.

【答案】①②④.

【解答】解：①当4为CD中点时,

则A'D=A'C=4,

设。E=x,则AE=8-x,

由题意得：AE=A'E=8-x,Z£>=90°,

VZ)E2+A,£>2=4'画

.*.X2+42=(8-X)2,

解得：x=3,

：.DE=3,A'£=8-3=4,

VA，0=4,

.♦.△ADE三边之比为3：4：5,

①的结论正确；

②过点尸作于点凡如图，

贝ljFH=AB,

•.•四边形48C。为正方形，

；./。=90°,AB=AD,

：.AD=FH

；.ND=NEHF=90°.

：.ZDAA'+ZDA1A=90°,

；将四边形ABFE沿EF折叠，使点A落在4处，

."A'LEF,

：.ZEAA'+NFEH=90°,

：.ZDA'A=NFEH.

在△£>A4'和中，

'/D=NEHF=90°

-ZDAZA=ZFEH，

AD=FH

：./\DAA'名△HFE(A4S),

.•.A4'=EF,

②的结论正确；

③「△ATJE三边之比为3：4：5,

.,.设则A'£>=3a,A'E=5a,AE=S-4a,

VAE=A'E,

.*.8-4a=5。,

.•.A'。=处£4,

9

.♦.A'不是DC的中点，

③的结论不正确；

④连接A4',AG,过点A作AHLA'G于点H,如图,

由题意得：ZBGA=ZA'GA,

•：AHLA'G,

；./AHG=/8=90°.

在△4BG和aAHG中，

'/AGB=/HGA

<ZB=ZAHG=90°，

,AG=AG

.♦.△ABG会"HG(44S),

：.AB=AH,BG=GH.

'：AD=AB,

：.AD=AH.

在RtZ\AD4'WRt^AHA'中，

[AA，=AA，，

lAD=AH

，RtZ\AD4'丝RlAVM'(HD,

.♦.4'力=A'H.

•.,△HCG周长=A'C+CG+A'G

=A'C+CG+A'H+GH

=4'C+CG+A'D+BG

=4'C+4'D+BG+CG

=AC+BC

=8+8

=16,

•••△ACG周长不变.

.•.④的结论正确.

综上，正确的结论有：①②④,

故答案为：①②④.

30.（2023•槐荫区一模）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、。恰

好都落在点。处，且点G、0、C在同一条直线上，同时点E、。、F在另一条直线上.小

炜同学得出以下结论：①G尸〃EC；②XCOFsXCEG：③AB=3A。；④GE=yf^）DF；

2

⑤0C=2&0尸.其中正确的是①④⑤.

【答案】①④⑤.

【解答】解：由折叠性质可得：£>G=OG=AG,AE=OE=BE,OC=BC,

NDGF=NFGO,NAGE=NOGE,ZAEG^ZOEG,ZOEC^ZBEC,

:.NFGE=NFGO+NOGE=90°,NGEC=NOEG+NOEC=90°,

AZFG£+ZG£C=180°,

：.GF//CE,故①正确；

无法证明NFCO=NGCE,

.•.无法判断△COFs^cEG,故②错误；

设A£>=2"，AB=2b,则。G=0G=4G=a,AE=OE=BE=b,

：.CG=OG+OC=3a,

在Rt^CGE中，CG2=G£2+CE2,

(3a)2—a2+b2+b2+C2a)2

解得：b—\[2a,

：.AB=42AD,故③错误；

在RtACOF中，设OF=DF=x,则CF=2b-