电路课件第九章 正弦稳态电路的分析

第9章

正弦稳态电路的分析首页本章重点正弦稳态电路的分析9.3正弦稳态电路的功率9.4复功率9.5最大功率传输9.6阻抗和导纳9.12.正弦稳态电路的分析；3.正弦稳态电路的功率分析；

重点：1.阻抗和导纳；返回9.1阻抗和导纳1.阻抗正弦稳态情况下Z+-无源线性网络+-阻抗模阻抗角欧姆定律的相量形式下页上页返回当无源网络内为单个元件时有：Z可以是实数，也可以是虚数。C+-下页上页R+-L+-表明返回2.

RLC串联电路KVL：下页上页LCRuuLuCi+-+-+-+-uRR+-+-+-+-j

L返回Z—复阻抗；|Z|—复阻抗的模；

z

—阻抗角；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)。转换关系：或R=|Z|cos

zX=|Z|sin

z阻抗三角形|Z|RXjz下页上页返回分析R、L、C

串联电路得出：下页上页返回（1）Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠jz

为复数，称复阻抗（2）wL>1/wC

，X>0，j

z>0，电路为感性，电压超前电流。（3）wL<1/wC，

X<0，jz

<0，电路为容性，电压落后电流。（4）wL=1/wC

，X=0，j

z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。例

已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求

i,uR,uL,uC.解画出相量模型下页上页LCRuuLuCi+-+-+-+-uRR+-+-+-+-j

L返回则下页上页返回3.导纳正弦稳态情况下导纳模导纳角下页上页无源线性网络+-Y+-返回对同一二端网络:当无源网络内为单个元件时有：Y可以是实数，也可以是虚数。下页上页C+-R+-L+-表明返回4.RLC并联电路由KCL：下页上页iLCRuiLiC+-iRR+-

j

L返回Y—复导纳；|Y|—复导纳的模；

y—导纳角；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；转换关系：或G=|Y|cos

yB=|Y|sin

y导纳三角形|Y|GB

y下页上页返回（1）Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠jy为复数，称复导纳；（2）wC>1/wL，B>0，

y>0，电路为容性，电流超前电压。分析R、L、C

并联电路得出：下页上页返回（3）wC<1/wL，B<0，

y<0，电路为感性，电流落后电压；（4）wC=1/wL，B=0，jy=0，电路为电阻性，电流与电压同相。5.复阻抗和复导纳的等效互换一般情况G

1/R，B

1/X。若Z为感性，X>0，或B<0。下页上页ZRjXGjBY注意返回同样，若由Y变为Z，则有：下页上页GjBYZRjX返回例RL串联电路如图，求在＝106rad/s时的等效并联电路。解RL串联电路的阻抗为：下页上页0.06mH50

R’

L’返回6.阻抗（导纳）的串联和并联分压公式阻抗的串联下页上页Z1+Z2Zn－Z+-返回分流公式导纳的并联两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：下页上页Y1+Y2Yn－Y+-返回例1求图示电路的等效阻抗，

＝105rad/s

。解感抗和容抗为：下页上页1mH30

100

0.1FR1R2返回例2图示电路对外呈现感性还是容性？解1等效阻抗为：下页上页3

3

－j6

j4

5

电路对外呈现容性返回9.3正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：下页上页返回1.引入相量法，电阻电路和正弦电流电路依据的电路定律是相似的。下页上页结论2.引入电路的相量模型，把列写时域微分方程转为直接列写相量形式的代数方程。3.引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的所有网络定理和分析方法都推广应用于正弦稳态的相量分析中。直流（f=0)是一个特例。返回例1画出电路的相量模型求:各支路电流。已知：解下页上页R2+_Li1i2i3R1CuZ1Z2R2+_R1返回下页上页Z1Z2R2+_R1返回下页上页Z1Z2R2+_R1返回+_R1R2R3R4列写电路的回路电流方程和结点电压方程例2

解回路方程下页上页+_LR1R2R3R4C返回结点方程下页上页+_R1R2R3R4返回例3

求图示电路的戴维宁等效电路。解下页上页+_j300

+_+_100

求开路电压：j300

+_+_50

50

返回求短路电流：下页上页+_j300

+_+_100

+_100

返回例4

用叠加定理计算电流解下页上页Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3返回下页上页Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3+-返回已知平衡电桥Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jwL3。

求：Zx=Rx+jwLx。平衡条件：Z1Z3=

Z2Zx

得：R1(R3+jwL3)=R2(Rx+jwLx)∴Rx=R1R3/R2,Lx=L3R1/R2例5解下页上页Z1Z2ZxZ3

返回

|Z1|

1

•|Z3|

3

=|Z2|

2

•|Zx|

x

|Z1|

|Z3|

=|Z2|

|Zx|

1

+

3

=

2

+

x

例6求RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。解应用三要素法：用相量法求正弦稳态解下页上页L+_+_R返回9.4正弦稳态电路的功率下页上页返回一、瞬时功率和平均功率图示单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向的条件下，它吸收的功率为在单口网络工作于正弦稳态的情况下。端口电压和电流是相同频率的正弦电压和电流，即其瞬时功率为p

有时为正,有时为负；p>0,电路吸收功率；p<0，电路发出功率；

t

iouUIcos

恒定分量。UIcos

(2t+2ψu－)为正弦分量。下页上页返回p周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率，用P表示，其定义是由此式看出正弦稳态的平均功率不仅与电压电流有效值乘积UI有关，还与电压电流的相位差

=

u-

i有关，式中的因子cos

称为功率因数。平均功率是一个重要的概念，得到广泛使用，我们通常说某个家用电器消耗多少瓦的功率，就是指它的平均功率，简称为功率。下面我们讨论单口网络的几种特殊情况。

1.单口网络是一个电阻，或其等效阻抗为一个电阻。此时单口网络电压与电流相位相同，即

=

u-

i=0,cos

=1其波形如下图所示。瞬时功率p(t)在任何时刻均大于或等于零，电阻始终吸收功率和消耗能量。此时平均功率的表达式为电阻的瞬时功率和平均功率

2.单口网络是一个电感或电容，或等效为一个电抗。此时单口网络电压与电流相位为正交关系，即

=

u-

i=

90

,cos

=0此时平均功率的表达式变为说明在正弦稳态电路中，电感或电容吸收的平均功率为零。电感和电容的瞬时功率和平均功率

其波形如图(a)和(b)所示。其特点是在一段时间吸收功率获得能量；另外一段时间释放出它所获得的全部能量。

3.由无源RLC元件构成的单口网络，其相量模型等效为一个正值电阻与电抗的串联或一个正值电导与电纳的并联。其电压电流的相位差

在-90

到+90

之间变化，功率因数cos

在0到1之间变化。此时瞬时功率p(t)随时间作周期性变化，所吸收的平均功率为式中的Re(Z)是单口网络等效阻抗的电阻分量，它消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。与此相似，式中的Re(Y)是单口网络等效导纳的电导分量，它消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。功率因数cos

之值与单口网络电压与电流间的相位差密切相关，故称

=

u-

i为功率因数角。二、功率因数单口网络吸收的平均功率P与cos

的大小密切相关，cos

表示功率的利用程度，称为功率因数，记为

，它与P和UI的关系为当单口网络呈现纯电阻时，功率因数角

为零以及功率因数cos

=1，功率利用程度最高。当单口网络等效为一个电阻与电感或电容连接时，即单口呈现电感性或电容性时，功率因数角

=0

90

以及功率因数cos

<1，以致于P<UI。为了提高电能的利用效率，电力部门采用各种措施力求提高功率因数。例

图(a)表示电压源向一个电感性负载供电的电路模

型，试用并联电容的方法来提高负载的功率因数。解：图(a)电路中的电流为单口网络吸收的平均功率为此时的功率因数

=cos

=0.6，功率的利用效率很低。为了提高功率因数，可以在ab两端上并联一个电容，如图(b)所示。为分析方便，先将电阻与感抗串联等效变换为电导和感纳的并联，如图(c)所示，其电导和电纳值由下式确定从此式可见，并联的电容的导纳为YC=j

C=+j0.16S时，单口网络呈现为纯电阻，可以使功率因数提高到1，即效率达到100％。并联电容后，电路端口的电流变为由此可见，并联电容后，不会影响电阻吸收的平均功率P=12W。而端口电流由2A减小到1.2A，提高了电源的利用效率。可以将节省下来的电流，提供给其它用户使用。已知：f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos

1=0.6，要使功率因数提高到0.9,求并联电容C，并联前后电路的总电流各为多大？例解未并电容时：并联电容后：下页上页LRC+_返回若要使功率因数从0.9再提高到0.95

,试问还应增加多少并联电容，此时电路的总电流是多大？解

cos

提高后，线路上总电流减少，但继续提高cos

所需电容很大，增加成本，总电流减小却不明显。因此一般将cos

提高到0.9即可。下页上页注意返回为了便于用相量来计算平均功率，引入复功率的概念。

下图所示单口网络工作于正弦稳态，其电压电流采用关联的参考方向，假设电压和电流的相量分别为9.5复功率电流相量的共轭复数为，则单口网络吸收的复功率为其中，复功率的实部P=UIcos

称为有功功率，它是单口网络吸收的平均功率，单位为瓦(W)。复功率的虚部Q=UIsin

称为无功功率，它反映电源和单口网络内储能元件之间的能量交换情况，为与平均功率相区别，单位为乏(var)。

复功率的模称为视在功率，它表示一个电气设备的容量，是单口网络所吸收平均功率的最大值，为与其它功率相区别，用伏安(VA)为单位。例如我们说某个发电机的容量为100kVA，而不说其容量为100kW。二、复功率守恒由此可以导出一个正弦稳态电路的有功功率和无功功率也是守恒的结论：可以用数学式表示如下：

复功率守恒定理：对于工作于正弦稳态的电路来说，由每个独立电源发出的复功率的总和等于电路中其它电路元件所吸收复功率的总和。可以用数学式表示如下：求电路各支路的复功率例

解1下页上页+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W返回解2下页上页返回9.6最大功率传输Zi=Ri+jXi，ZL=RL+jXL负载有源网络等效电路下页上页ZLZi+-返回正弦电路中负载获得最大功率Pmax的条件若ZL=RL+jXL可任意改变

先设RL不变，XL改变显然，当Xi+XL=0，即XL=-Xi时，P获得最大值。再讨论

RL改变时，P的最大值下页上页讨论当RL=Ri

时，P获得最大值RL=RiXL=-XiZL=Zi*最佳匹配条件返回若ZL=RL+jXL只允许XL改变

获得最大功率的条件是：Xi+XL=0，即

XL=-Xi

最大功率为若ZL=RL为纯电阻负载获得的功率为：电路中的电流为：模匹配下页上页返回电路如图，求：1.RL=5

时其消耗的功率；2.RL=?能获得最大功率，并求最大功率；3.在RL两端并联一电容，问RL和C为多大时能与内阻抗最佳匹配。例

解下页上页+_10∠0oV50HRL5W

=105rad/s返回下页上页+_10∠0oV50HRL5W+_10∠0oV50HRL5WC返回求ZL=?时能获得最大功率，并求最大功率。例

解上页Zi+-ZL4∠90oAZL-j30W30W-j30W返回§9－7三相电路由三相电源供电的电路，称为三相电路。三相供电系统具有很多优点，为各国广泛采用。在发电方面，相同尺寸的三相发电机比单相发电机的功率大，在三相负载相同的情况下，发电机转矩恒定，有利于发电机的工作；在传输方面，三相系统比单相系统节省传输线，三相变压器比单相变压器经济；在用电方面，三相电容易产生旋转磁场使三相电动机平稳转动。本节介绍三相电路的一些基本概念和简单计算。一、三相电源若以作为参考相量，这三个电压相量为它们的相量图和波形图分别如图(a)、(b)所示。这样三个振幅相等、频率相同、相位差120°的一组正弦电源称为对称三相正弦电源。它们分别称为A相、B相和C相。它们分别称为A相、B相和C相，每相的电压称为相电压。按照各相电压经过正峰值的先后次序来说，它们的相序是A、B、C、A，称为正序，如果各相电压到达正峰值的次序为A、C、B、A

，称为负序。用户可以改变三相电源与三相电动机的连接方式来改变相序，从而改变三相电动机的旋转方向。三相电源有两种基本联接方式：星形联接和三角形联接。星形联接(又称Y形联接)是将三相电源的末端X、Y、Z接在一起，形成一个结点，记为N，称为中性点或中点，将各相的首端A、B、C以及中点N与四根输电线（分别称为相线和中线）联接，如图(a)所示。与传输线相联接的负载，可以从相线与中线之间得到三个相电压，用表示，也可以从三根相线之间得到三个线电压，用表示。线电压与相电压之间的关系可以从图(b)相量图中计算出来。从上式可以看出，线电压是相电压的倍，即。例如我们日常生活用电是220V相电压，相应的线电压则是380V。从相量图上可以看出，三个对称相电压以及三个对称线电压之间存在以下关系对称三相电源可以采用三角形联接(又称Δ联接)，它是将三相电源各相的始端和末端依次相连，再由A、B、C引出三根相线与负载相连，如图所示。将三相电源作三角形联接时，要求三绕组的电压对称，如不对称程度比较大，所产生的环路电流将烧坏绕组。对称三相电源在Δ联接时，不能将各电源的始末端接错，否则将烧坏绕组。A'B'C'ZBCZCAZABA'B'C'N'ZAZCZB负载的相电压：每相负载上的电压。负载的线电压：负载端线间的电压。线电流：流过端线的电流。相电流：流过每相负载的电流。+-+-二、三相电源与负载的连接1、Y－Y联接的三相电路三相负载也有Y和Δ两种连接方式。下图表示Y形三相负载连接到Y形对称三相电源的情况。当三相负载相同时，即ZA=ZB=ZC=Z时，该电路是对称三相电路。列出电路的结点方程，并代入得到由于，相当于中线短路，负载相电压等于相电压，线电流可以单独计算如下：例

图所示电路中，已知试求流过负载的电流（相电流）。从以上分析计算可以看出，在Y－Y形联接的对称三相电路中，由于，中线电流为零，中线可以不用，可以只用三根相线传输(称为三相三线制)，适合于高压远距离传输电之用。解：由于，相当于中线短路，则相电流等于线电流对于日常生活的低压用电，由于三相负载不完全对称，还有一定的中线电流存在，中线还必须保留，即采用三相四线制供电系统。假如不用中线，不对称三相负载的三相电压将不相同，过高的相电压可能损坏电气设备。例如将例中的C相负载阻抗变为ZC=(2+j2)

，用正弦稳态电路的计算方法可以得到在不用中线时的三相电压为由此可见，A相负载和B相负载的电压由220伏升高到303伏，这两相的电气设备可能损坏；C相负载的电压降低到94伏，使得C相的电气设备不能正常工作。