全国通用2023年高考数学二轮复习易错题-易错点7 数列（含解析）

易错点07数列

易错分析

易错点1：已知数列｛a“｝的前n项和S.与通项a”的关系式，求a”时应注意分类讨论的应用，

特别是在利用a,尸S.一S「进行转化时，要注意分n=l和n22两种情况进行讨论，学生特

别是容易忽视要检验n=l是否也适合a„.

易错点2已知数列｛aj的前n项和S.与通项频的关系式，求a”时应注意分类讨论的应用，

特别是在利用a“=S”-S"r进行转化时，要注意分n=l和n>2两种情况进行讨论，学生特

别是容易忽视要检验n=l是否也适合a„.

易错点3：用裂项相消法求和时,注意裂项后的系数以及搞清未消去的项

易错点4：利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幕指

数会发生变化，为避免出错，应将相同幕指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另

外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n-l项是一个

等比数列.

易错点5：含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论.

易错点6：数列中的最值错误。

数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数的函数，要善于从函数的观点认识和理

解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，或即使考虑了n为正整数，但对于n

取何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整

数距离二次函数的对称轴远近而定。

错题纠正

1.已知等比数列｛q｝的公比4=—则安幺等于()

3'44

A.—B.-C.3D.—3

33

【答案】D

【详解】解：因为等比数列｛叫的公比4=-；，

所以j=3^=1=一3

叼+包+q

故选：D

2.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，若=11(),Su。=10,则S120=()

A.-10B.-20C.-120D.-110

【答案】C

1OOZ|l+6Z|l()

【详解】S][0—S[0=+。[2++〃]IO^L-ioo,

2

"n-9hillc120(4+q20)120(%]+%io)

a\\+410一一，，WJS|20=---------------------------=------------------------------=-120.

故选：C

3.已知等比数列｛为｝的前〃项和为S.=3〃+a(〃wN*),则实数a的值是()

A.-3B.3C.-1D.1

【答案】C

【详解】等比数列｛〃“｝的前〃项和为S,=3〃+a(〃£N)

当〃=1时，可得3i+〃=q=S],可得％=3+a,

当〃22时，5,1=3"一+*则a.=S“-S,T=3"+a-(3"T+a)=2-3"T

所以4=2,2T=6,%=2-33T=18

因为｛4｝为等比数列,

所以的2=4%，即6x6=18(3+4)

解得。=-1,经检验符合题意.

故选：C.

4.(多选)己知S,,为数列他“｝的前〃项之和，且满足4S.=a：+24,则下列说法正确的是

()

A.｛an｝为等差数列B.若｛a,,｝为等差数列，则公差为2

C.｛。,,｝可能为等比数列D.S,的最小值为0,最大值为20

【答案】BCD

【详解】当〃=1时，4sl=a；+2q=4q,解得q=0或4=2,当〃22时，4S„_,-a“_J+2a„_,,

2

4%=4s“-4S,i=a,,+2an-an_；-2a„_t,

整理得2(4,+的)=(4+%)(%-%),当。“+*=0时，若4=0,可得a“=0,若q=2,

，，

可得数列他“｝为等比数列，«„=2.(-1)-';当凡+。“一户0时，可得a“-a,i=2,数列仅“｝

为等差数列，

若q=0,可得/=2〃-2,若q=2,可得〃,=2"；故A错误；B正确；C正确；当。“=。13寸，

s4=o；

当勺=2・(一1)”'时，S4=2+(-2)+2+(-2)=0；当q=2〃-2时，S4=^x4=12；当

2_L.Q

%=2"时，S4=^X4=20；故D正确.

故选：BCD.

5.(多选)已知两个等差数列｛%｝和也,｝,其公差分别为4和4，其前〃项和分别为S“和T„,

则下列说法正确的是()

A.若｛后｝为等差数列，则4=2qB.若｛邑+7；,｝为等差数列，则4+4=0

C.若也也｝为等差数列，则4=4=0D.若勿CN*,则｛%,｝也为等差数列，且公差

为44

【答案】ABD

【详解】对于A,因为｛四｝为等差数列，所以2后=6+四，

即2〃+%=M+“+%+%.所以2j2q+4="+J3q+34,

化简得(4一2卬)2=0,所以4=2q,故A正确；

对于B,因为阻+瑁为等差数列，所以2(星+()=耳+7；+53+7；,

所以2(勿1+4+2々+&)=4+4+3q+3&+3々+3&，

所以4+4=0,故B正确；

对于C,因为｛4,2｝为等差数列，所以2砧2=岫+%瓦,

所以2(q+4)(4+4)=。也+(q+2dl)(4+24),

化简得44=0,所以4=0或4=。，故c不正确：

对于D,因为%=4+5-1)4,且4eN",所以旬=%+(a-1)4=4+,

所以%,=4+伯-1)4+(〃-1)44,

所以a%—%=4+(4一1)4+〃4d2_q_(4-1)4_(〃一i)44=,

所以｛%,｝也为等差数列，且公差为""2，故D正确.

故选:ABD

举一反三/

1.设｛%｝是公差不为0的无穷等差数列，则“｛%｝为递增数列”是“存在正整数N。，当

w

时，an>0的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】设等差数列｛%｝的公差为“，则4x0,记［同为不超过x的最大整数.

若｛%｝为单调递增数列，则d>0,

若qNO,则当〃22时，«„>«,>0:若q<0,则q=4+(〃—1”，

由q=q+(〃Td>0可得得，取N°=1得+1,则当〃〉乂时，«„>0,

所以，"｛4”｝是递增数列”n“存在正整数N。，当〃>N。时，a„>0"；

若存在正整数N0,当〃>此时，a„>0,取々eN*且k>乂，«,>0,

假设d<0,令可=4+（〃一4）4<0可得〃>%-3,且%

da

当〃>k*+1时，4<0,与题设矛盾，假设不成立，则d>0,即数列｛%｝是递增数列.

所以，“｛%｝是递增数列”u“存在正整数M),当“>乂时，4>o”.

所以，是递增数列"是''存在正整数N。，当〃〉M时，。“>0”的充分必要条件.

故选：C.

2.已知等比数列｛4｝的前3项和为168,电-4=42,则4=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【详解】解：设等比数列｛4｝的公比为%什0,

若4=1,则的-4=0,与题意矛盾，

所以qwl,

4(1一/)=96

4+%+。3=--------=1684刀

则nil「"3\-q，解4得H<1，

q二­

4

a2-as=a^q-atq-42I2

所以4==3.

故选：D.

3.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的

人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛a｝：+

人-1仇=1+----'—

«,+——T，…，依此类推，其中%€N*(Z=1,2,).则

a24十一

）

A.b,<b5B.b3VbsC.%<入D.b4Vbi

【答案】D

【详解】解：因为%eN*(Z=l,2,),

,11

1-->-------

所以—，/〃*1,得到白>勿,

%a\+

出

11

CX.H—>aH-------

同理'1

+可得b2Vb3,bx>by

%

1111

—>-------j，a\+----1<a\+-------j

又因为％a2+j-a2+-a2+-------j-

%+—%%+—

4%

故瓦<b”hy>h4；

以此类推，可得伪>4>a>4>…，故A错误;

4>4，故B错误；

11

屋,i

2。2+「，得/<4,故c错误；

%+…一

。6

11

%+------j—>/+---------j-

%+-----「%+…-----「，得b4Vb7,故D正确.

%+-4+—

a4a7

故选：D.

4.图1是中国古代建筑中的举架结构，A4',33',CC',Z)。'是桁，相邻桁的水平距离称为步，

垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中。。,。。1，3'明是举，

OD},DG，CM，%是相等的步，相邻桁的举步之比分别为

柴L=05第=.普=&”管L=%•已知匕，右，总成公差为0.1的等差数列，且直线。4的

ULf[L/CjCOjD/i,

斜率为0.725,则与=()

4

A

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【详解】设OR=DC】=CB1=BA=1,则CG=k1,BB、=&,A4,=&,

DD、+CC]+BB[+AA[_0725

依题意,有k3-O.2=k^k3-OA=k2,且

OD^DCi+CBl+BA[~.

所以O.5+3&-O.3=0725,故公=09,

4

故选：D

5.已知数列｛4｝满足6=1M,用=/一ga；("eN*),则(

)

、5577

A.2<lOOq<—B.—<10041<3C.3<1OO4<—D.—<100〃]<4

150Jn22*nono2210f0t

【答案】B

【详解】V6/.=l,易得出=：«。，1)，依次类推可得为£(0，l)

由题意‘(丁1JA即K1=311

,--1---1--.1....1>-

••丹讨43-。“3'

111111111111/i

即------>----------,----------,-------->-,(«>2),

a243a3a23a4a334%3

累加可得，T>:(〃-1),即，>J(〃+2),(〃22),

a„3a,3

,(n>2),EPa100<—,100al(x)<-^-<3,

〃n+2

1

*L-=li,(«>2)

乂%an3_4,3_L3(+〃+1

〃+2

-----d+』],(〃N3),

an6T31nJ

累力口可得卷T＜；（〃T）+；（+；+4｝（"-3）＞

—--1<33+-(-+-++—|<33+-(-x4+-x94|<39,

〃ioo312399J3(26J

即:<40,.•.『>>£，即1004no>。；

%004Uz

综上：—<l(X)6z1(x)<3.

故选：B.

易错题通关

一、单选题

1.设数列｛q｝满足勺+L詈，且勾="贝lJ〃2O22=()

1a〃2

A.—2B.—C.—D.3

32

【答案】D

1+q+,1+a)1+3.

L*3

【详解】由题意可得：^2=-—=T=3,«3=-~^=-=-2,

l-ql-a21-3

一5

l+a,_1+(-2)^1&J+44>3=]

--25

1-%l()3,1-%]+12

3

据此可得数列｛4｝是周期为4的周期数列,

则。2()22=^505x4+2=々2=3.

故选：D

2.2知数列｛4｝满足"〃,4+1'4+2=—1(〃eN*),q=—3,若应｝的前〃项积的最大值为3,

则生的取值范围为()

A.[-1,0)50,1]B.1-1,0)C.(0,1|D,-1)0(1,+^)

【答案】A

【详解】数列｛“/中，neN*,an-a^-an+2=-\,则有凡q+「a“+2=《川"+2七川=T，

因此，VneN*,4+3=4,，

因数列｛a„｝的前"项积的最大值为3,则当"=6k,keN*,｛a,,｝的前n项积a,a2a„=\<3,

当"=6Z+l,keN*,｛</“｝的前十项积。“=4=-343,

当〃=6k+2,ZeN.,｛%｝的前〃项积4生a„=ata2=-3a2<3,解得々NT，

当〃=6%+3,%eN*,｛叫的前"项积4a2a„=ata2a3=-1<3,

当"=6k+4,ZeN*,的前〃项积4出a“=qa2a3a4=-“1=3V3,

当"=6%+5,%eN*,｛%｝的前〃项积W22a3。4a5=-4%=3243,解得％VI,

显然。“*0,综上得一14%<0或0</41，

所以小的取值范围为[-1,0)o(0,l].

故选：A

3.设数列伍,｝的前〃项和为S,,满足2S,,=加(〃eN*),则下列说法正确的是

%

()

A・々2021，。2022<1B.“2021022

C.02gv-2A/2022D.01g>2^2022

【答案】A

【详解】因为数列｛%｝的前〃项和为S“，满足25.=如(〃eN*),

an

所以当〃=1时，2,=豆工'(〃€"),解得q=l或6=-1,

%

当〃22时，2S„=^=a„+-=(S„-S„_,)+—^―,整理得S：-S,：=1,

ananS,,-S,i

所以数列｛S,j｝是以1为公差的等差数列，

2

当q=±l时，5n=l+(n-l)=n,所以S“=6或S”=一耳

所以=S“-S“T=品-Jn-l,首项4=1满足此式，或=S“-S,i=一4+J”-l首项

4=-1满足此式，

所以旬22=\^恒—或02a22-V262T-V2022,

所以CD错误，

当时,g02「“2022=(亚万一

11,

=______________________X_______________________V]

-72021+7202072022+72021，

=

当an=-y/n+<n—l时，a2m-^022(42020—J2021)(J2021—J2022)

A/2021+V2020XV2022+V2021<1

所以A正确，B错误，

故选：A

4.已知数列｛%｝满足：6=1024,点（〃,4）在函数y=的图象上，记S“为｛4｝

的前〃项和，则Sg

【答案】A

【详解】由题得q=1024=ga,解得a=2'',故=2"一"，所以S„-S9=al0+a„=2'+20=3

故选：A.

5.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堵发明的，明万历十二年（公元1584年），

他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入

11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M,插入

11个数后这13个数之和为M则依此规则，下列说法错误的是（）

A.插入的第8个数为次B.插入的第5个数是插入的第1个数的荻倍

C.M>3D.N<7

【答案】D

［详解］设该等比数列为｛4｝,公比为4则4=1,颔=2,故，2=%=2.

a\

对于A：插入的第8个数为％=4*48=揖.故A正确；

对于B：插入的第5个数为％=6插入的第1个数为/=qxq,所以

&=也二="=蚯.故B正确;

a2a}xq

对于C：M-

11(eX12

要证M>3,即证T-----1>3,即证-L>4,即证3>2工，即证己>2,

1-212212-14

而图>0>2成立，故C正确；

对于D：N=M+3.

/Z-\I2A_L11

因为2>(1.4)6>0.9)3>2,所以2五，所以1—>5,所以-1-----丁>4,即加>4,

所以N=M+3>7

故D错误.

故选：D

6.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，且满足2sin(G+2)—3%-5=0,

2sin(o20l8+2)-3a20l8-7=0,则下列结论正确的是(

A.$2022=2022,且外>a2018B.$2022=-2022,且“5<”2018

C.^2022=-4044,且>。2018D.$2022=4044，且4<02018

【答案】C

【详解】设函数/(x)=2sinx-3x,则/(x)为奇函数,且/'(x)=2cosx-3<0,所以f(x)在

月上递减，由己知口］得Zsin®+2)—3(%+2)=-1,2sin(a2Olg+2)­3(<22OIg+2)=1,有

/(6+2)=—1,/(为“8+2)=1,所以/(氏+2)</(。刈g+2),且/(%+2)=—刈s+2),

a

所以“5+2>。2018+2=>20IS>且+2=一(%”8+2)，所以“5+“238=>

故选：C.

二、多选题

7.已知等差数列｛q｝的前〃项和为5“，等比数列｛2｝的前"项和为,，则下列结论正确的

是()

A.数列为等差数列B.对任意正整数〃，汇+热222%

C.数列母2-$2“｝一定是等差数列D.数列｛与.2-4“｝一定是等比数列

【答案】ABC

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,则S,=M1+心二Dd,所以，务•二可+也也.

2n2

对于A选项，鼠1•一2="+㈣_4_@1皿=&,所以，为等差数列，A对；

对于B选项，对任意的“6N*,月产0,由等比中项的性质可得匕3=2*2，

由基本不等式可得刈+死2>2bh2b3,B对;

对于C选项‘令c”=S2n+2~S2„=%>+2+%"+l>

所以，G+I一%=(4,,“+q“+3)-(%,+2+%,+1)=4d,

故数列区“+2-52.｝一定是等差数列，C对：

对于D选项，设等比数列｛勿｝的公比为4,

当q=-l时，T2II+2-T2H=b2n+2+b2n+l=b2n+,(<r+l)=O,

此时，数列｛自+2-&｝不是等比数列，D错.

故选：ABC.

8.己知等比数列｛4｝的公比为q,且02022=1>记｛叫的前”项和为S"，前”项积为刀,,

则下列说法正确的是（)

A.当。<”1时，⑸｝递减B.当q>0时，>4043

C.当4>1时，Tn>T2O22D.当-l<q<0时，Tn>T2O22

【答案】BCD

【详解】对于A中，因为0<"1,々侬=1,所以所以⑸｝递增，所以A错误.

对于B中，当g>0时，5^=-^-+-^-+L+^+l+<y+L+92020+^2t)21

-2,^7,产+2小胃»2°2；+L+2^^+1=4043,

当且仅当9=1时等号成立，所以B正确.

对于