2023高考理科数学模拟试卷

2023年高考数学（理）模拟试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时

间120分钟.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（2019•北京高考）已知复数z=2+i,则z•日=（）

A.由B.而C.3D.5

答案D

解析解法一：,.,z=2+i,.,.@=2-i,

：.z•日=（2+i）（2—i）=5.故选D.

解法二：'.'z=2+i,.,.z・0=|z|2=5.故选D.

2.（2019•浙江高考）已知全集。={-1,0,1,23,集合4={0,1,2},B={-

1,0,1},则（Cu/）n5=（）

A.{-1}B.{0,1}

C.{-1,2,3}D.{-1,0,13}

答案A

解析,.•（/={-1,0,1,2,3}.4={0,1,2},=3}.又,：B=L

1,0,1},，（［必）C8={—1}.故选A.

3.（2019•湛江二模）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图

可以是（）

正视图侧视图

B

俯视图

BCI)

答案B

解析由正视图排除A,C；由侧视图排除D,故B正确.

4.(2019•内蒙古呼和浩特市高三3月第一次质量普查)在等比数列｛%｝中，

做一“1=2,且2做为3%和的的等差中项，则%为()

A.9B.27C.54D.81

答案B

解析根据题意，设等比数列｛四｝的公比为夕，若2该为3al和的的等差中

项，则有2义2。2=3。1+的，变形可得4aq=3ai+aq2,即g2-4q+3=0,解得

4=1或3；又必一“1=2,即ai(q—l)=2,则q=3,4=1,则斯=3"T,则有

々4=33=27.故选B.

5.(2019•绍兴市适应性试卷)函数｛x)=(3—x)ln|x|的图象是()

答案C

解析因为函数/(X)的定义域关于原点对称，且/(—x)=—(r5—x)ln|x|=—

./(x),.♦.函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B,函数的定义域为

｛x|x#0｝,由/(x)=0,得(X3—x)ln恸=0,即(N—l)ln|x|=0,即》=±1,即函数

/(X)有两个零点，排除D,/(2)=61n2>0,排除A.故选C.

6.(2019•四川省内江二模)如果执行下面的程序框图，输出的S=110,则

2

判断框处为（）

A.左＜10?B.后211?C.%W10?D.All?

答案C

*2+2左）

解析由程序框图可知，该程序是计算S=2+4+…+24=---=k（k+

1）,由S=A（4+1）=110,得左=10,则当％=10时，左=4+1=10+1=11不满

足条件，所以条件为“％W10?故选C.更多高三资料加：2724878

7.（2019•九江二模）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒

洛（1829〜1905）首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每

个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边

三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形内部随机取一点,则此点取自等边三

角形内部的概率为（）

2兀一3由B.小

A--------------

2（兀-两2（兀-我

A/32兀-3百

c——-------

2（兀+4）2（兀+\,午）

答案B

兀X222兀

解析如题图，设8c=2,以8为圆心的扇形的面积为——『又

6

3

1J3L

•..△NBC的面积为QX]X2X2=小，...勒洛三角形的面积为3个扇形面积减

去2个正三角形的面积，即为丁X3-24=2兀-2由，故在勒洛三角形中随机取

一点，此点取自等边三角形的概率为‘「='厂，故选B.

2兀-2432(71-<3)

8.(2019•淄博一模)已知41(-4,0)，M0,4),点P(x,y)的坐标x,夕满足

Error!则府方・丽»的最小值为()

24196厂

A-B.—C.----D.-J5

52525v

答案C

解析由点尸(x,歹)的坐标x,y满足Error!

作出可行域如图中阴影部分,

则MPWP=(x+2)2+(y—2)2—8的最小值为点/(一2,2)到直线3x-4j；+12=

13X(-2)-4X2+1212

0的距离的平方再减8,由--------、------------可得(x+2)2+(y—

196

2)2-8的最小值为一]一•故选C.

9.(2019・临沂一模)在△4BC中，角/,5,C所对的边分别为a,h,c,a

=3,c—2^3,加in/l=acos(8+V，贝(Ib=()

A.1B.也C.小D.而

答案C

4

ab

解析在△45C中，由正弦定理得---=----,得6sin4=asirLS,又bsiM

sirUsin5

71'TV71'n兀

=acos5H--,/.<zsin5=acos--,即sin5=cos--I=cos5cos—sinSsin-

66.666

由1

=­cos5-sin5,・・tan5=—,又8£(0,7i),・・.8=一・・.・在4/8。中，Q=3,

2236

。=24，由余弦定理得6=击2+。2—2accos2=b+12-2X3X2小X号

=小.故选C.

（2019•山东济南高三3月模拟）若函数心）=目11（3；-/（«>>0）在［0,

10.兀I

上的值域为一储，则”的最小值为（)

2343

A-B-C.—D-

3432

答案A

Tt兀Tt1

解析,.,OWXWJI,/-W(yxWarn-而/（X）的值域为一5,1,发

662

1

现HO)=sin

P

兀兀7兀242

•一〈①兀—W整理得-W①W-.则co的最小值为-.故选A.

266333

x2v2

U.（2019・石家庄模拟汨知双曲线后一石=1（A。，〃>。）的左、右焦点分别

为尸”尸2，点/为双曲线右支上一点，线段交左支于点5,若NB-L

BF2,且则该双曲线的离心率为（）

展34

A.也B.----C.----D.3

55

答案B

5

解析因小外|=；|/&1，设

则防尸f,Z>0,

由双曲线的定义可得“更多高三资料加：2724878

\BF2\=\BF]\+2a=t+2a,|/吊|=|4或+2a=3f+2a,

则=ME|一|8Fi|=2f+2a,

由AF2-LBF2,可得(2a+27)2=(3/)2+(/+2a)2,

23/2a3

解得E=-a,则在直角三角形/BF2中，cos4=-----=---=一

32t+2a105

(3/)2+(3,+2。)2—(2c)2

在△力乃&中,可得cosA=

2,30(3z+2a)

4〃2+16。2—4。2313cA/65

一，化为c2=一a2,则e=-=?.故选B.

I6a255a

12.（2019•北京高考）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：

X2+J2=1+|X|J就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线。恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线。上任意一点到原点的距离都不超过低;

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①B.②C.①②D.①②③

答案C

解析由x2+y2=i+|x[y,当x=0时，y=±l;当y=0时，x=±l;当y=

6

1时，x=0,±1.故曲线。恰好经过6个整点：Z(O,1),5(0,-1),C(l,0),

£(-1,0),F(—1,1),所以①正确.由基本不等式，当y>0时，/+/=

1+Ix[y=l+M<l+—y-,所以炉+产或2,所以也2+y2W也,故②正

确.如图，

由①知长方形CDFE面积为2,三角形8CE面积为1,所以曲线。所围成

的“心形”区域的面积大于3,故③错误.故选C.

第II卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2019•烟台一模)已知伍一*)(2+*)5的展开式中3的系数为40,则实数

a的值为.

答案3

解析；(a-x)(2+x)5=(a-x)(32+80x+80x2+40x3+10/+15)的展开式匚

R的系数为40。-80=40,：.a=3.

14.(2019•揭阳一模)在曲线/(x)=sinx--cosx,x£(-的所有切线中,

斜率为1的切线方程为________.

答案X—y—l=0

解析由7(x)=sinx—cosx,得/'(x)=cosx+sinx=屈sink+-j,

由啦sin(x+：)=1,得sin(x+；)=9，

L/兀兀\.Tl(713兀、

1—,T，_一£—,—L

\22)4\44/

兀71

•,.xH■一=一，即x=0.・••切点为(0,-1),切线方程为y+1=x即x—y—1

449

7

=0.

15.(2019•唐山一模)在四面体4BCZ)中，AB=BC=\,AC=隹,且/O_L

CD,该四面体外接球的表面积为.

答案2兀

解析如图，,：AB=BC=1,AC=也,：.ABLBC,又ZO_LCZ),的

啦

中点即为外接球的球心，外接球的半径为里，

2

1

1・S球=4兀X-=2兀.

2

16.(2019•河南省十所名校高三尖子生第二次联考)若函数y=/a)的图象存

在经过原点的对称轴，则称y=/a)为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转

对称函数”的有.(填写所有正确结论的序号)

®y=Error!(2)y=cos^ln----}⑨=ln(e73v+l).

答案①②

解析对于①，'=6%¥或0)的反函数为y=lnx(0<xWl),所以函数>=

Error!关于直线y=x对称，故①是“旋转对称函数”.

,/1+x\,/1-X\/1+x\

对于②，令y=/(x)=cos(ln则八一X)=cos(ln~p2p)=cos(—lny^)

/1+x\/1+x\

=cos(ln不一]=/(x),所以函数^=3$(in厂厂)是偶函数，它的图象关于歹轴对

称，故②是“旋转对称函数”.更多高三资料加：2724878

对于③，y=ln(e+l)>lne=\&r,当xf+8时，丁一板，则函数歹=]n(e

+1)的图象只可能关于直线对称，又y=ln(e+l)>ln1=0,当x—-8

8

时，yf。，这与函数y=ln（e+1）的图象关于直线丁=技对称矛盾，故③不是

“旋转对称函数”.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第

22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：60分.更多高三资料加：2724878

17.体小题满分12分）（2019•四川攀枝花高三第二次统考）已知数列｛%｝

中，«i=l,a„—a„-i=2M—l（nGN*,”22）.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

1

（2）设b.=-----，求数列彷”｝的通项公式及其前〃项和T.

4an—1n

解（1）当“22时，由于a”一an-\—2n—1,«）=1,

所以%=（即一+4”_2）+…+（。2一。1）+田=1+3+*"+（2〃-1）

=〃2,

又。1=1满足上式，故a"="2（〃GN*）.

111

（2也=-----=------=------------

Aan—14M2—1（2〃+l）（2/一1）

=v----l

2\2n—12w+1/

所以—=仇+岳+…

2\2w+1/2〃+1

18.（本小题满分12分）（2019•石家庄质量检测）如图，已知三棱柱力5C—

461G，侧面4B54为菱形，AXC=BC.

9

(1)求证：小8,平面/&c；

(2)若N/88|=60。，ZCBA=ZCBB\,ACLB\C,求二面角8—ZC一4的

余弦值.

解(1)证明：因为侧面38为小为菱形，

所以记48CN8i=O,连接CO,

因为小。=3C,BO=A\O,

所以小8，。。，又[3]nco=o,

所以481.平面AB1C.

(2)解法一：因为NC氏4=NC68i，AB=BBi,BC=BC,所以

CBBi，所以ZC=3[C

又。是Z句的中点，所以C。，/历，

又小8_LCO,A\B^ABX=O,

所以CO_L平面ABBA

令331=2,因为N/85|=60。，侧面483Ml为菱形,AC^BXC,O为AB1

的中点，

所以CO=L

如图，以O为坐标原点，08所在的直线为x轴，。为所在的直线为y轴,

OC所在的直线为z轴建立空间直角坐标系.

则。（0,0,0）,4（0,-1,0）,B电0,0）,C（o,o,l）,小（一由，0,0）,

所以弱=（由，1,0）,就=（0,1,1）,看1=（一由，1,0）,iTc=（V3,0,1）.

设平面/8C的法向量为"i=（x,y,z）,

则Error!即Error!

io

令X=l,则〃1=（1,一小，书），

同理可得平面小ZC的一个法向量为〃2=（1，,，一我,

nlun25

COS〈〃],〃2〉=------=---，

|〃川〃2|7

由图知二面角8—NC—小为钝角，

5

所以二面角B—AC—A\的余弦值为---.

7

解法二：因为NC8/=NC88i，AB=BBX,BC=BC,

所以△CA4g△C88],

所以/C=8iC

设/8=2,因为N/86i=60。，侧面4881小为菱形，所以44]=/囱=2,

04=081=1,OB=OA\=^>.

又NC_LSC,所以C0=l,AB=BC=m，

又A】C=BC,。为小3的中点，所以8C=小。=2,所以△ZBC为等腰三

角形，△小NC为等腰三角形.

如图，取ZC的中点M,连接历0,AXM,则小为二面角8—NC—4

的平面角.

在ABMA।中，可得BM=A\M=,48=2小,

BM2+A\M2~A\B25

所以cos/BMA一,

2BMATM7

A5

所以二面角B-AC—A\的余弦值为—.

7

19.（本小题满分12分）（2019・拉萨一模）已知尸为椭圆C：%2*2

1（心〃>0）的右焦点，点P（2,"）在。上，且「口Lx轴.

11

.r=4

(1)求。的方程；

⑵过E的直线/交C于，，8两点，交直线x=4于点初证明：直线尸/,

PM,P8的斜率成等差数列.

解(1)因为点P(2,")在C上，且尸轴，所以c=2,设椭圆C的左

焦点为£,连接EP,则|班=2c=4,|PF|=啦，在Rt^EFP中，\PE\2=\PF]2+

IW=18,所以|PE|=3$.

所以2a=|PE|+|PF|=8Z。=2衣，

又〃=。2—〃=4,

x2y2

故椭圆C的方程为—I—=1.

84

(2)证明：由题意可设直线/的方程为y=A(x—2),

令x=4,得M的坐标为(4,2k)，

由Error!得(2N+1)x2—8Nx+8(N—1)=0,

设/(修，月)，如2，㈤，

“8人28(左2—1)

则有X|+X2=c,c_l_jX1M=c,c_L,•①

2左2+12k2+\

记直线PN,PB,PM的斜率分别为左i，k2,k3,

从而e=。/2=笆，网=2k—短］隹

k,

xl—2x2~24-22

因为直线/的方程为歹=4(x—2),所以刃=网修一2),y2=Kx2-2),

yl-72以一在

所以鬲+后=^—

xl—2工2一2

何।"11

xl—2x2~2,xl—2x2—2

xl+x2-4

=2k-yj2-②

x1x2—2(x1+x2)+4

12

8左2

4

r-2k2+1r-

①代入②，得鬲+后=2左一隹------------------=2k—&,

一8(^2-1)1642

----；；--1-4

2Z2+12Q+1

又-R所以向+后=2右,

2

故直线尸/,PM,P8的斜率成等差数列.

20.（本小题满分12分）（2019・武汉一模）十九大以来，某贫困地区扶贫办积

极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小

康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增

加.为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计

划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方

图：

（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入原单位：千元）（同一组

数据用该组数据区间的中点值表示）；

（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布

N（ju,次），其中〃近似为年平均收入后近似为样本方差52,经计算得§2=

6.92,利用该正态分布，求：

（i）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的

农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千

元？

（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机

走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的

年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？

13

附：参考数据与公式西刃心2.63,若X〜N@,a2),则

①尸〃一(7<XW"+b)=0.6827；②尸仪一2<7<XW〃+2Q=0.9545；③尸(〃一

3。VXW〃+3。)=0.9973.

解(l)g=12X0.04+14X0.12+16X0.28+18X0.36+20X0.10+22X0.06

+24X0.04=17.40.

(2)由题意,X〜N(17.40,6.92).

10.6827

(i)VP(x>//-<7)=-+——20.8414,

，〃一a=17.40—2.63=14.77时，满足题意,

即最低年收入大约为14.77千元.

0.9545

(ii)由P(X212.14)=P(X2〃-2<7)=0.5+F—心0.9773,得每个农民年收

入不少于12.14千元的概率为0.9773,

记1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为S则4〜8（1000,p）,其

中"=0.9773.

于是恰好有％个农民的年收入不少于12.14千元的概率是PC=%）=C10D0

pk(T-p)1000T,

(1001—左)Xp

从而由>1,得AVIOOlp,

尸（『一1）k(Lp)

而1001^=978.233,

二.当04W978时，P^=k-Y）＜P^=k）,

当979^^1000时，P^=k-l）＞P（^=k）.

由此可知，在走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有

可能是978.

2

21.（本小题满分12分）（2019・长春三模）已知"CR,函数於尸-+alnx.

X

（1）讨论函数/（X）的单调性；

（2）若x=2是火X）的极值点，且曲线y=/（x）在两点Pg,汽修）），0（X2，

於2））（修＜小＜6）处切线平行，在y轴上的截距分别为仇，b2,求仇一岳的取值范

围.

14

2aax~~2

解W(x)=--^+一=—»

x2xx2

①当。<0时，，(x)v0在x£(0,+8)上恒成立,

....危)在(0,+8)上单调递减；

/2\「2

②当a>0时，xG0,1时，f(x)<0,xG+8)时，/(x)>0,即次x)在

xW(0,3)上单调递减，在xG?,+8)上单调递增

(2)Vx=2是/(x)的极值点，

,2

...由(1)可知一=2,'.a=\.

a

)=h1+5卜一修)‘在

设在尸(X],/(修))处的切线方程为y—1Flnxl

。(为，兀⑴)处的切线方程为y—(-^+lnx2)=(—__卜T(X—X2),

x2)

・・,这两条切线互相平行，

2121

—————=—————,

xlx\x2x2’

111

---1=1

xlx22

111

*.*——----,且0<两<12<6,

x22xl

1111111

<----<一,...y—<―,.\x\^(3,4).

62xlxl4xl3

4

令x=0,则仇=一+lnxi—l,

xl

4

同理，。2=—+1口工2—1.

x2

111

解法一：-=Z--T，

x22xl

/I1\/21/I1\

•,伍一方=4匕---+lnxi-lnx=4——"-In—rln-----.

\x\x2)2\xl2/xl\2xl/

15

设g(x)=8x—2—lnx+ln

1116x2-8x+l(4x-l)2

(x)=8---------=------------=------二<0,

x12x2—x2x2—x

/I1\

.•.g(x)在区间丁#单调递减,

In2,o],

即仇一岳的取值范围是In2,0

2x1

解法二：•.•X2=-----,

x\-2

/11\8ix\\

'.b\一3=4|------+lnxi—InX2=----2+InI----1.

\xlx2)xl\2/

8/x\

令g(x)=；+ln--1-2,其中x£(3,4),

81x2—8x+16(x-4)2

.".g'(x)=-----1-----=-----------='-------->0,

x2x-2x2(x-2)x2(x-2)

：.函数g(x)在区间(3,4)上单调递增，

In2,ok

二仇一历的取值范围是6■—In2,oj.

解法二：.X]X2=2(X]+》2)，

444(x2—xl)xl2(x2—xl)xl

.".b\—b2~-------Fin%]—Inx=---------bln—=---------Fin—

xlxl2xlx2x2xl+x2x2

2(1-x)

设g(x)Inx,

1+x

16

,一41(1—x)2

则/a)=—：—H_=—■—.

(1+x)2